Olika hundringar Berit Bergius och Lillemor Emanuelsson När barn upptäcker och använder tal utmanar de varandra med stora tal i lekar, spel och ramsor. Hundra är ett spännande tal, en viktig beståndsdel i ett positionssystem med basen 10. Vi möter hundra dagligen, när vi t ex betalar, mäter, anger storlek eller som referens. För att utveckla förståelse för antal, tal och deras innebörder behövs olika erfarenheter. Elever uttrycker dem i handling, med bilder, talat och skrivet språk och på sikt också med symboler. Kreativitet, lust och nyfikenhet får utlopp i problemlösning och mönster, i samtal och resonemang kring tal. I åk 1 arbetade vi med taluppfattning och räkning på olika sätt, med och utan materiel, eftersom flera elever hade alltför kort räknerad framåt och i ännu högre grad bakåt. Tidig skicklighet i ramsräkning har starkt samband med barns senare framgång i matematik. Det visade redan Fritz Wigforss på 1940-talet. Säkerhet i räkneraden stärktes efterhand och eleverna kunde ramsräkna längre och längre. För några var 100 länge ett stort tal. Vi sökte stimulera eleverna att söka efter 100 i sin omgivning. En annons En helsidesannons i DN 990425 blev en utgångspunkt i vårt arbete. Där efterfrågades 100 säljare över hela landet. En del av annonsen såg ut som på bilden. Vi frågar eleverna om vi alltid kan lita på det vi ser och läser? Hur kan vi kontrollera om det stämmer? Eleverna får var sin kopia. De använder olika strategier. Några trär indianpärlor på snöre. De kopplar inte talen till speciella färger. De räknar alla pärlor och ser att det blir hundra. En elev klipper ut lappar med siffror och grupperar i tio tal. Några lägger markörer på talen, grupperar efter färg och räknar samman. Någon håller ihop färgerna: röda på 3 osv, andra lägger huller om buller. Någon lägger samman varje rad. En elev kollar hur många treor, ettor osv det finns. Det fungerar som skutträkning, t ex tre i taget, en förberedelse för multiplikation. Några undersöker hur många siffror av varje slag det finns och gör stapeldiagram. De räknar samman som huvudräkning eller med miniräknare. Variationen ger möjlighet till överspridning av idéer. Elever tar intryck av varandra och samtal ger upphov till diskussion. De delar med sig av erfarenheter och tankar. 2 + 4 + 1 + 9 + 1 + 7 + 9 + 2 + 7 + 4 + 3 + 2 + 5 + 1 + 2 + 9 + 3 + 1 + 7 + 4 + 2 + 9 + 3 + 1 + 2 = 100 9 1 3 7 4 4 2 1 2 2 5 2 2 4 2 osv och räknar ihop tiotalen. 73
Taluppfattning och tals användning Vad lärde de sig? 1M och 1N UNDRINGAR ÖVER HUNDRINGAR Ge 100 en chans! Fundera över vad det kan betyda eller innebära för dig. Du kan tänka, kanske göra bilder eller skriva ner Dina tankar. Samla föremål. Du kan säkert få fram massor av möjligheter att undra över 100. När vi träffas den 16 augusti tar Du med dig alla dina erfarenheter. LYCKA TILL! Sommarlovshälsningar Att kontrollera annonsen kan ses som omvärldskunskap. Kan vi lita på det vi läser? Eleverna upptäckte att olika strategier kunde användas för att lösa samma problem. De fick tänka och fundera, hålla fast vid en tankegång men också förändra och utveckla sitt tänkande i samspel med lärare och kamrater. De lyssnade på, fick uttrycka egna och diskutera andras argument och idéer. De arbetade med addition men flera visade ett gryende tänkande för multiplikation. Ur elevtexter: Vi har försökt att ta reda på am maser av sifror blev 100. Jag räkna med plopar de blev 100. Vi hr fäm ätor säks tvåor tre treor tre fyror en fäma tre suor fyra nior. Ja rekna alla plopar. de ä 100. Hur tänker våra elever om hundra? Vår nyfikenhet ledde till ett sommaruppdrag. Vi såg med spänning fram emot skolstarten. Vi blev inte besvikna. Elevernas redovisningar gav grund för nya uppdrag, där vi försökte fördjupa och vidga tankar och idéer, men också lyfta fram samband mellan och inom det eleverna visat intresse för. Våra styrdokument betonar vikten av att elever utvecklar sin nyfikenhet och lust att lära, tillit till egen förmåga, ett aktivt utforskande av omvärlden enskilt och tillsammans med andra. Det gäller såväl övergripande som specifikt för matematik. Med vårt arbetssätt syftar vi till att elever lär sig lyssna, diskutera, argumentera och använda sina kunskaper för att ställa och undersöka hypoteser, formulera antaganden och problem. I aktiviteter försöker vi ge elever möjligheter att reflektera över erfarenheter men också granska och värdera påståenden och förhållanden kritiskt. Flera hade samlat 100 föremål av olika slag. En del funderingar handlade om tal i vår omvärld eller uppdelning av tal: Hur är det i Fiskebäck om 100 år? 100 myror får plats i ett glas men 100 elefanter får inte plats i ett hus. Om vi kokar de hundra makaronerna i burken, får de plats då? Jag har fångat jordlöpare, trädgårdslöpare, kålfjärilar, citronfjärilar, krabbor, ligustersvärmare. Tillsammans har de 100 ben. 100 ärtor från mitt trädgårdsland är bara lite i burken. Jag undrar hur många som får plats? Sofia är 100 cm lång. Det är 100 % bomull i min tröja. På lampan står det 100 watt. Det tar fem veckor för mig att få 100 kronor i veckopeng. Om man är 100 år är man gammal. Jag har 100 loppor i sängen och det kliar ibland! Jag tycker att jag borde ha 100 hundar. Att räkna till hundra är lätt tycker jag, men det tycker inte min lillebror David. 74
Olika hundringar Det handlar om mycket, om avstånd, dubbelt hälften, mätning, lägesbestämning, tid, procent, hastighet. Vi imponeras av mångfald, bredd och djup. Om tid Vi gick vidare med aktiviteter från elevers tankar. När är du hundra år? Har du levt i hundra dagar? Är ni i familjen tillsammans hundra år? När blir/var ni det? På frågan om familjens sammanlagda ålder sa Manne Jag vet att det var för fyra år sedan. Hur vet du det? Han skrev upp åldern på var och en och adderade. Varifrån har du fått talen? Vad betyder de? Kan någon som inte varit med här idag förstå det? Det skulle nog vara svårt. Han skrev till att det var åldern på Mats, Moa osv. Ser du, det är 104 år tillsammans. Då måste det vara fyra år sedan! Hur gammal var du för fyra år sedan? Han skrev åldrarna fyra år tidigare och insåg att summan inte alls var 100. Pia tänkte på samma sätt och fick en sammanlagd ålder på 103 år. Den spontana reaktionen var likadan, för 3 år sedan. Adam fick 106 och fick motsvarande första tanke. Han hejdade sig snabbt. Nej, för ett år sedan. Alla i familjen har fyllt år och blev ett år mer än förut. Vi är sex i familjen. 106 är sex för mycket. Förra året var vi 100 tillsammans. Karin försökte ta reda på hur gamla alla i familjen är om hundra år. Hon var själv nästan 8 och lillasyster 6 år. Hon visade den egna åldern med 8 entalskuber. Hon vet från tidigare erfarenheter att hundraplattan är hundra ental. Om hundra år är jag hundra mer än nu, säger Karin och lägger hundraplattan bredvid de åtta entalen. Hur mycket är hundra och åtta? Hundraåtta, tror jag. Hur skriver man det? Jag vet hur man skriver 8 och jag vet hur man skriver 100 men hundraåtta? Hon prövar och skriver 1 0 0 8. Nej så kan det nog inte vara? Hon löste problemet genom att skriva hundra med bokstäver och åtta med en siffra, hundra 8. Hon hanterade systerns ålder på samma sätt, hundra 6, en tillfällig lösning. Hennes begrepp bör utvecklas. Detta visar vad vi måste lyfta fram i undervisningen. Flera använde noteringar i kombination med huvudräkning. Några räknade i huvudet, men beskrev muntligt, under tiden, hur de utförde operationerna. Hur ser Fiskebäck ut om hundra år? Kalle har ritat hamnen och några båtar. På en segelbåt finns en person. Vem är det? Det är nog mitt barnbarn eller kanske barnbarnsbarn, menar han. Det är en pojke, han är nog 14 år. Vi resonerade: Hur gammal är du när du får barn? Jag är nog 35, som min pappa var. Kan pojken i båten vara ditt barn? Nej, han är ju 14 år om hundra år. Om jag får barn när jag är 35 så skulle det vara om... Det får jag fundera på. För enkelhets skull enades vi om att han kunde tänka sig att bli pappa vid 30 års ålder. Han ritade sig själv om 22 år, när han just blivit pappa. Sedan ritade han sonen som blivit pappa, 30 år gammal. Kalle är då 30 + 30, 60 år gammal om 52 år. En tredje bild visar Kalle, sonen och dennes son som blivit pappa 30 år gammal. Kalle är 90, sonen 60 och sonsonen 30. Det är om 82 år. Pojken på bilden är 14, hans pappa 30 + 14 och farfar drygt sjuttio, 30 + 30 + 14. Kalle, farfarsfar, är drygt 100 år, 30 + 30 + 30 + 14. Det måste vara Kalles barnbarnsbarn som står på båtdäcket om hundra år. Hur skulle det bli om varje generation blev förälder vid 25 år eller 35 år? 75
Taluppfattning och tals användning Insekter och krabbor Jag har fångat jordlöpare, guldbaggar, kålfjärilar, citronfjärilar, krabbor, ligustersvärmare. Tillsammans har de hundra ben. Hur många har jag fångat? skrev Edvard om sommaruppdraget. Vi hade tidigare arbetat med krabbor. Nu studerade vi vackra, läskiga, fantastiska insekter av de mest skilda slag. Vi upptäckte att de alla har sex ben, en tredelad kropp och att de flesta har vingar. Vi studerade symmetrier. Vi talade om fortplantningen, holometaboli, ägg larv puppa insekt, fullständig förvandling. Kamraterna sökte lösa Edvards fråga. Åta ben på en kraba och åta krabor är 64. Och ala insekter ha 6 ben och 6 insekter och 6 6 är lika med 36 och 64 + 36 är lika med 100. Så många insekter samlade vi och så monga kraber fongade vi. Först provade jag mej fram med miniräknaren sen kom jag fram til dena lösningen. Eivor ritade insekter och krabbor. Det gick inte ihop på slutet. Hon blev uppgiven. Det går inte. Hur har hon tänkt? I bilden syntes att en lösning var nära. Om hon kunde byta ut ett par insekter mot krabbor skulle det stämma. Hon upptäckte det i samtalet. Efter mycket tänkande och prövande kom en pojke fram till lösningen här intill Djungel och savann Ett temaarbete i åk 2 handlade om djungeln och savannen. Där lever många varelser med ben, t ex fåglar, ödlor, insekter, spindlar och däggdjur. En del lever i flock. I ett av de höga träden längs med Amazonfloden sitter en flock vrålapor samlad. Det är hanar, honor och ungar. De har sammanlagt 100 fötter på grenarna i trädet. Hur många apor finns det i flocken? Måla och beskriv. Den öppna formuleringen stimulerar fantasin. Apor kan hålla sig kvar med olika många fötter eller med svansen. Elevernas strategier varierar. Hur är det om alla använder alla fötterna? Går det? Många målade en apa i taget. Andra bestämde först hur många som använde alla fyra fötterna och fyllde sedan på tills de har hundra fötter och fick fram antalet apor. Eftersom apor ibland hänger i lianer eller bara använder svansen på grenar fanns det många lösningar. Att följa villkor är viktigt, också för att lösa matematiska problem. Elever behöver utmanas att förhålla sig till sådana. Vi ser en flock med 32 apor. Hur sitter eller hänger de? De har tillsammans hundra fötter på grenarna. Ingen hänger i lianer eller bara i svansen. Så här gjorde jag. Först blev det 103 ben på 40 apor. Jag tog bort ett ben på 3 apor då hade jag 100 ben som jag skulle ha men det var för många apor. Jag tog 76
Olika hundringar bort 8 apor som hängde i ett ben dom bena gav jag till dom andra aporna så nu har jag trettiotvå apor med hundra ben tillsammans på grenarna. Sedan kollräknade jag på miniräknan att det blev rätt Det var svårt att göra huller om buller. Så här kan man göra. Om varje apa har ett ben på grenen blir det 32 fötter. Om varje apa har 2 fötter på grenen så blir de dubbla 32 som är 64 fötter tillsammans. Om varje apa har 3 fötter på grenen så blir det 32 fötter mer än 64 då är det 96 fötter. Det saknas 4 fötter för att det ska bli 100. Då får 4 apor en fot mer. Så här blir det då. Fyra apor får fyra fötter på grenen alla andra har 3 fötter på grenen. I redovisningen upptäcks lösningar som inte stämmer med förutsättningarna. Vi diskuterar villkoren. Hur skulle uppgiften se ut för att den lösningen ska stämma? Vilka av djungelns och savannens djur kan ha hundra ben tillsammans? Nu spelade fantasin åter fritt. Variationen blev stor. Någon ritade ett djur i taget och fyllde på efterhand. Många gjorde en bild för varje art och antecknade antalet individer, redovisningar i både bild och tabellform. Eleverna menade att det var lättast att avläsa resultatet i en tabell. Den långa ormen Sofia hade med sin fingervirkning, en 14 meter lång orm med ögon. Någon föreslog att vi skulle göra en 100 m lång orm tillsammans. Vi beskrev i en gemensam text hur vi tänkte. Vi har mätt Sofias fingervirkning. Den är ungefär 14 m. Vi vill ha 100 m. Det fattas 86 m. I klass 2 M finns 17 elever. Om vi gör 10 m var blir den 170 m. Alltså om vi gör 5 m var dvs hälften blir det 85 m. Om alla gör lite mer än 5 meter får vi 100 tillsammans. Fingervirkningar är töjbara och det är naturligt att arbeta med begreppet ungefär. Vi mäter ut 5 m på golvet för att ha något att jämföra med. Efter ett tag tar vi bort märket för att se om vi kan göra uppskattningar. Vi lägger ormen i korridoren, uppskattar hur långt den når och mäter med mäthjulet. Hur långt når den om den är dubbelt så lång? Uppfattningarna går isär, vi prövar med ormen. Hur lång är korridoren? Eleverna uppskattar den till 69, 72, 74, 75, 65 och sen 85 m när vi tänkt efter hur långt ormen räcker. Vi mäter korridoren, 82 m, men då har vi inte fått med riktigt hela. På en toarulle står att papperet är 100 m. Vi rullar ut det i korridoren. Papperet är lite längre än avståndet tvärs genom skolan! 77
Taluppfattning och tals användning Avslutande reflektioner Matematikaktiviteter ska ha samband med elevers vardag utanför skolan, men också med tidigare arbeten i skolan. Det tycker vi är viktigt! Vi strävar efter sammanhang både i matematikinnehåll och kontext inom och mellan aktiviteterna. Betydelsen av detta kan inte betonas nog. Vi tror att detta framgår i valet av uppgifter och i hur vi sökt utmana elevers intresse och tänkande. De har arbetat i grupper eller enskilt, med frågor som kommit upp från dem själva eller från oss lärare under arbetets gång. Genom att ställa och pröva hypoteser har de kommit fram till olika lösningar som presenterats i bild, i diagram, muntligt och skriftligt. De har diskuterat resultat och fördelar med olika representationer. Vi har strävat efter att formulera och uppmärksamma aktiviteter där det inte finns enbart ett svar. Vi menar att eleverna fått inblick i matematikens roll och karaktär genom detta arbetssätt. Det är fascinerande att se förtjusningen hos elever som trevar sig fram, upptäcker ett mönster att laborera med och sedan hittar flera lösningar. Det är fantastiskt att få höra elevers övertygande beskrivningar av hur de arbetat sig framåt till fler lösningar. För att utveckla elevernas taluppfattning har vi lagt mycket arbete på att elever ska upptäcka relationer inom och mellan tal samt mellan tal och omvärld. Utanför gemensamma aktiviteter, som vi beskrivit, arbetar elever med individuell färdighetsträning, t ex tabeller i alla räknesätt. I undervisningen lyfter vi fram olika aspekter av addition och subtraktion, samband mellan operationer och inte minst likhetstecknets innebörd, som inte är självklar för alla. Vi vill ge elever upplevelser av att matematik är mycket mer än det som finns mellan pärmarna i en traditionell lärobok och skiljer mellan matematik och räkning. Vi menar att vi lärare ska ha höga förväntningar på alla elever och visa att vi tror att de vill och kan. Det är viktigt att få inte bara elever, utan också föräldrar att inse vad matematik kan vara. Lärare behöver då ett professionellt språk för att kunna beskriva och redogöra för varför vi har ett visst arbetssätt eller arbetar med ett visst innehåll och kunna motivera och hänvisa till utvecklingsarbeten, litteratur och forskning. Våra erfarenheter stämmer med forskning, som visar hur lärande sker i interaktion med andra när frågeställningarna är relevanta och utgår från barns tankar. Genom arbete med utmaningar där elever resonerar och diskuterar, utvecklas elevers lärande kognitivt, språkligt och socialt. Tillskott från hem och skola om hur vuxna och kamrater uppfattar och tänker annorlunda än eleven själv, ger inspiration i egna funderingar. Litteratur Bergius, B. & Emanuelsson, L. (2008). Hur många prickar har en gepard? Unga elever upptäcker matematik. Göteborg: NCM. Emanuelsson, L. & Bergius, B. (2001). Undringar om hundringar. Nämnaren 28(1), 9 15. Emanuelsson, L. & Bergius, B. (2001). Hundringar med undringar. Nämnaren 28(2), 10 16. McIntosh, A. (2008). Förstå och använda tal. Göteborg: NCM. McIntosh, A., Reys, B. & Reys, R. (1996). Uppslaget: Hur mycket är hundra knappar? Nämnaren 23(3), 24 25. Wigforss, F. (1950). Den grundläggande matematikundervisningen. Stockholm: Bergvalls förlag. 78