CHALMERS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för signaler och system Reglerteknik, automation och mekatronik ERE Reglerteknik D Tentamen 5--3 8.3.3 M Examinator: Bo Egardt, tel 37. Tillåtna hjälpmedel: Typgodkänd räknare Mathematics Handbook (Beta) Physics Handbook Formelblad (bilagd tentatesen) Poängberäkning: Tentamen består av 5 uppgifter om totalt 3 poäng. Nominella betygsgränser är (3), 8 (4) respektive 4 (5) poäng. Lösningarna skall vara tydliga och väl motiverade! Tentamensresultat: Granskning av rättningen erbjuds den 7 januari kl.. i Oskar Wigströms rum på plan 5. Kommer du senare mottages endast skriftliga klagomål mot rättningen. Sådana skriftliga klagomål måste lämnas in senast två veckor efter ordinarie granskning. LYCKA TILL!
Uppgift. a. Figuren nedan visar stegsvar och pol-konfigurationer för tre olika system. Para ihop de figurer som hör ihop, dvs beskriver samma system och glöm inte att motivera ditt svar! ( p) Stegsvar A Stegsvar B Stegsvar C.5.5.5 Amplitude.5 Amplitude.5 Amplitude.5 5 Time (seconds) 5 Time (seconds) 5 Time (seconds) Pol konfiguration Pol konfiguration Pol konfiguration 3 Imaginary Axis (seconds ) Imaginary Axis (seconds ) Imaginary Axis (seconds ) Real Axis (seconds ) Real Axis (seconds ) Real Axis (seconds ) b. En process med överföringsfunktionen G(s) = s + s + s + återkopplas med en P-regulator enligt nedan. r + e u + + F (s) v G(s) y Stegstörningen v ger ett bidrag till processens utsignal y. Hur mycket dämpas detta bidrag stationärt (jämfört med open loop) då återkopplingskretsen sluts med F (s) = K =? ( p)
c. Hur stor är fasförskjutningen för mycket höga frekvenser (ω ) för systemet med överföringsfunktionen G(s) nedan? ( p) G(s) = s + s + s + s + d. En frekvensanalys har genomförts på en process med resultatet nedan. I figuren visas insignalen u(t) och utsignalen y(t), den senare uppmätt med mätbrus. Anta att processen kan beskrivas som ett första ordningens system utan dödtid. Bestäm förstärkning och tidskonstant (approximativt). ( p) 5 4 3 - - -3-4 5 5 5 3 e. Ett andra ordningens system beskrivet av ÿ(t) + ẏ(t) y(t) = u(t) återkopplas med en P-regulator u(t) = K(r(t) y(t)), där r(t) är börvärdet. För vilka värden på K kommer y(t) alltid att vara begränsad då r(t) är begränsad? ( p)
ØÖ Ø Ø Ø Ö ÓÔÔÐ Ý Ø Ñ Ø Ò Òº r + L(s) y Uppgift. Ett enkelt återkopplat system har en kretsöverföring L(s) med två poler, varav en ligger ËØ Ð Ø Ø Ò strikt Ö Ø i höger Ø Ö ÓÔÔÐ halvplan. Ý Ø Ñ Ø Man Ú Ö º vet också L(s) Ö att ÒL(s) ÔÓÐ ØÖ Ø har minst ett Ö ÐÚÔÐ Ò Ò ÔÓÐ ÓÖ Ó ÑØ ØØ ÒÓÐÐ ØÐÐ ØÖ Ø ÚÒ Ø Ö ÐÚÔÐ Òº Á nollställe och att detta ligger strikt i vänster halvplan. Figuren nedan visar ÙÖ Ò Ò Ò Ø ÐÐ ÚÒ Ø Ö ÆÝÕÙ Ø ÓÒØÙÖ ÓÑ ÓÑ ÐÙØ Ö Ö ÐÚÔÐ Ò Ø till vänster Nyquists R Ó kontur, r º Ì ÐÐ som Ö omsluter Ò Ú Ð Ò Ò högerl(s) halvplan ÓÑ Ö ÐÐ då R s och r. Till ÒÓÑÐ Ô Ö höger ses ÆÝÕÙ Ø avbildningen ÓÒØÙÖ Ñ ÙÖ L(s) Ö ØÒ Ò º då s följer Nyquists kontur medurs. ÁÑ Á ω = + ÁÎ R ÁÁ L(s) ω = r Ê ÁÁÁ a. Figuren Ú Ö till Ñ höger ÐÔ Úär Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò förenklad. ÓÚ Ò I själva ÓÑ Ø verket Ø Ö ÓÔÔÐ börjar Ý Ø Ñ Ø själva Ö Nyquistkurvan Ò Ò Ð¹ÙØ Ò Ð (kurvdel Ø Ðغ I) i oändligheten med argumentet 3 π. Visa hur man kan sluta sig till att kretsöverföringen ges av L(s) = s + b s(s a) Ó ÂÙÐ a >, b > Ôµ (3 p) b. Avgör om det slutna systemet är stabilt. ( p) Uppgift 3. En process har överföringsfunktionen G(s) = ( s) s( + s) a. Skissa systemets frekvenskurva G(iω), ω [, ) i ett Nyquistdiagram och motivera speciellt hur du kommer fram till beteendet för mycket låga resp. höga frekvenser. (3 p) b. Bestäm parametrarna för en PD-regulator + sτ d F P D (s) = K p + sτ d /b som ger en fasmarginal på 6 vid en skärfrekvens (överkorsningsfrekvens) ω c =.4 rad/s. (3 p) 3
Uppgift 4. Ett system beskrivs av differentialekvationerna ẋ (t) = x (t) ẋ (t) = x (t) + u(t), där som vanligt u(t) är styrsignalen och utsignalen ges av y(t) = x (t). Systemet skall regleras med tillståndsåterkoppling enligt u(t) = Lx(t) + K r r(t), där x(t) = [x (t) x (t)] T och r(t) är en referenssignal. a. Visa att alla återkopplingsvektorer L med positiva element ger ett stabilt slutet system. ( p) b. Anta att man vill att det slutna systemets dynamik skall bestämmas av den relativa dämpningen ζ och den naturliga (odämpade) egenfrekvensen ω n. Beräkna L som funktion av ζ och ω n. ( p) c. Bestäm för det L som bestämdes i (b) förstärkningen K r så att utsignalen stationärt är lika med referenssignalen. ( p) Ð Ò ÙÔÔ Ø Ò Ð Ö ÓÑ ØØ Ö Ò Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú Ð Ò Ö ÑÓ ÐÐ Ñ ÐÔ Ú ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐ Ø º ÌÖ Ø ÓÒ ÐÐ ÙÐÐ Ö Ò Ö ØØÖ ÒÓÑ ØØ Uppgift 5. ÓÑ Ò Ö Ñ Ò Ø Ñ Ó Ö Ð ÖØ Ò º ÒÓÑ ØØ ØÝÖ Ñ Ò Ø ÐØ Ø ÖÙÒØ Traditionella kullager kan förbättras genom att kombinera magnetism och Ò ÖÓØ Ö Ò Ü Ð Ö Ø Ò Ñ Ò Ø ÐÐ ØØ Ü ÐÒ Ð Ö Ú Ö Ö Ñ Ò Ø ÖÒ reglerteknik. Genom att styra magnetfältet runt en roterande axel, så kan Ô ØØ ØØ Ð Ö Ü Ð Ö Ø ÓÒ Ò ÐØ Ö ÙÑ Öº Î Ø ØØ Ô Ò Ö Ò Ð man se till att axeln aldrig vidrör magnetlagret, och på detta sätt blir axelfriktionen försumbar. I denna uppgift skall vi studera en förenklad variant Ú Ö ÒØ Ú ØØ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ø ÐÐ Ö ØØ Ò Ñ Ø ÐÐ ÙÐ ØØ ÚÚ Ô Ò Ú ÒÓÑ ØØ Ö Ð Ö Ñ Ò Ø ÐØ Ø ÓÑ ÔÚ Ö Ö ÙÐ Òº Ò Ö Ò Ð av detta problem, där det går ut på att få en metallkula att sväva på en viss ÑÓ ÐÐ Ò Ú ÙÖ Ò Ò Òº höjd genom att reglera magnetfältet som påverkar kulan, se figuren nedan. i x ÃÙÐ Ò Ö Ö Ð Ö Ú Ñ ÐÔ Ú 4Æ ÛØÓÒ³ Ð mẍ = f m (x, i) mg Ö Ö Ø Ò f m Ö ÓÖ Ú Ø Ð ØÖÓÑ Ò Ø ÐØ Ø Ú Ð Ø Ò ØÙÖ ØÑ Ú ØÖ ÑÑ Ò i Ó Ú ØÒ Ø Ø ÐÐ ÙÐ Ò xº ÃÖ Ø Ò f m Ö ÒØ Ò Ð ØØ ØÑÑ Ø ÓÖ Ø Ø Ñ Ò Ö Ö Ð Ø ÚØ Ò ÐØ ØØ ÑØ ÜÔ Ö Ñ ÒØ ÐÐغ
Kulans rörelse beskrivs med hjälp av Newton s kraftlag enligt mẍ = f m (x, i) mg, där kraften f m orsakas av magnetfältet, som i sin tur bestäms av strömmen i och luftgapet x mellan kula och magnet. I figuren nedan visas resultatet från experiment med denna uppställning. Man Á ÙÖ Ò ser hur Ò Ò kraften Ú f m beror ÙÖ Ö Ø Ò på avståndet f m ÖÓÖ x för Ôtre Ú ØÒ Ø olika strömmar x Ö ØÖ i ÓÐ, i och ØÖ ÑÑ Ö i 3. i, i Ó i 3 º f m ( 3 N) 6 8 i = 7 ma i = 6 ma i 3 = 5 ma 4 3 4 5 6 7 x (mm) Med hjälp av de uppmätta kurvorna kan man bestämma en approximativ, Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú Ð Ò Ö ÑÓ ÐÐ ÖÙÒØ Ò Ö Ø ÔÙÒ Ø x, i µ Ö ÙÖ Ö Ø Ò linjär modell runt en arbetspunkt (x, i ) för hur kraften f m beror av avståndet x = x + x och strömmen i = i + i: f m ÖÓÖ Ô Ú ØÒ Ø x = x + δx Ó ØÖ ÑÑ Ò i = i + δi Ú f m f(x m (x+ x, + δx, i i+ + i) δi) f m (x (x,, i i )) + cc xx x δx + c i i δi a. Beräkna en jämviktspunkt för kulan för fallet i = 6 ma, då kulan Î väger Ö Ò 8.4 Ò 3 ÑÚ Ø ÔÙÒ Ø kg. Ö ÙÐ Òº ÒØ ØØ ØÖ ÑÑ Ò Ö ( ¼¼ p) Ñ Ó ÙÐ Ò Ú Ö 8.4 3 º ØÑ Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú Ð Ò Ö ÑÓ ÐÐ ÖÙÒØ b. Bestäm Ö Ø ÔÙÒ Ø Ò en approximativ Ú ØÑ linjär ÓÒ Ø ÒØ ÖÒ modell runt c x Ó jämviktspunkten. c i Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø Ú Är modellen Ð Ò Ö ÑÓ ÐÐ Ò stabil? ÓÚ Òº (3 p) OBS! Numeriska värden behöver bara vara ungefärliga, men räkningarna skall Ôµ vara tydliga och väl motiverade! SLUT! 5
Lösningsförslag. (a) Två reella poler ger ett väldämpat stegsvar, dvs B-. Stegsvaren A och C har samma dämpning, men det snabbare C har poler längre från origo, alltså A-3, C-. (b) I open loop gäller Y (s) = G(s)V (s) och i closed-loop Y (s) = G(s)/(+F (s)g(s))v (s), dvs i stationaritet dämpas bidraget med faktorn /( + F ()G()) = /5. (c) Gör först liknämnigt för att få G(s) som en rationell funktion: G(s) = (s + )(s + s + ) För höga frekvenser uppför sig denna som /ω 3 med fasförskjutningen 3 9 = 7. (d) Följande kan utläsas av registreringen (ungefärliga siffror): Periodtid c:a 5 s, vilket svarar mot ω π/5 =.4π rad/s. Tidsförskjutning på c:a s, vilket svarar mot en fasförskjutning ϕ π =.4π rad. 5 Förstärkning på c:a 3. För ett första ordningens system G(s) = K/( + st ) ges förstärkning och fasförskjutning vid frekvensen ω av: G(iω) = K + (ωt ), Då kan K och T bestämmas: arg G(iω) = arctan ωt arg G(iω) = arctan ωt.4π T = tan(.4π)/(.4π).4 K G(iω) = 3 K 3 + (tan.4π) 9.7 + (ωt ), dvs det återkopplade syste- (e) Kretsöverföringen blir L(s) = met har överföringsfunktionen T (s) = K s +s L(s) + L(s) = K s + s + K Polerna ges av den karakteristiska ekvationen s + s + K =, som har lösningar i vänstra halvplanet då alla koefficienter är positiva (alternativt: lös ut rötterna!). Det sökta stabilitetsvillkoret är alltså K >. 6
. (a) Av figuren framgår att L(iω), ω, vilket säger att antalet nollställen är mindre än antalet poler, dvs det finns bara ett (stabilt) nollställe. Dessutom framgår av uppgiften att L(iω), ω, dvs L(s) måste ha en integrator. Alltså ges L(s) av L(s) = s + b s(s + a), a >, b > (b) Enligt det fullständiga Nyquistkriteriet ges antalet instabila poler för det slutna systemet, Z, av Z = P + N, där P är antalet instabila poler för det öppna systemet, här P =, och N är antalet varv kurvan till höger i figuren omsluter -, räknat medurs. I detta fallet omsluts - ett varv moturs, dvs N =. Alltså fås Z = = och det slutna systemet är stabilt. 3. (a) Belopp och fas ges av G(iω) = + ω ω( + ω ) = ω + ω arg G(iω) = arctan ω π/ arctan ω = π/ 3 arctan ω Nyquistkurvan börjar alltså i oändligheten med fasen π/. Därefter avtar såväl belopp som fas monotont, så att kurvan för höga frekvenser närmar sig origo med en fas på π/ 3 π/ = π. (b) Vid den önskade skärfrekvensen gäller att arg G(iω c ) = π/ 3 arctan.4 = 55, så att fasen måste lyftas 35. Om max faslyft ϕ max = 35 görs vid ω = ω c, så följer enl formelbladet att b kan väljas som b = + sin ϕ max sin ϕ max 3.7 Max faslyft sker vid mittfrekvensen b/t, som skall vara lika med ω c, vilket ger T 4.8. Kvar återstår att bestämma K p, som bestäms ur villkoret att kretsöverföringen skall ha förstärkning vid ω = ω c : G(i.4) K p + i b + i/ b = vilket ger K p.. Regulatorn blir alltså: F P D (s) =. + 4.8s +.3s 7
4. (a) Med vektor/matris-notation är tillståndsmodellen [ ] [ ] ẋ(t) = x(t) + u(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = [ ] x(t) = Cx(t) Med tillståndsåterkoppling ges systemmatrisen får det återkopplade systemet av [ ] [ ] [ ] [l ] A BL = l = l l vilket ger det karakteristiska polynomet det(si (A BL)) = s(s + + l ) + l = s + ( + l )s + l För stabilitet krävs att koefficienterna i det karakteristiska polynomet är positiva, vilket är uppfyllt för l > och l >, och därmed för alla positiva l, l. (b) Identifiering av koefficienter för den karakteristiska ekvationen s + ( + l )s + l = s + ζω n s + ω n ger l = ω n och l = ζω n. (c) Det slutna systemets överföringsfunktion är G ry = K r C(sI (A BL)) B [ ] [ ] K r [ ] s + + l = = s + ( + l )s + l l s K r s + ( + l )s + l Villkoret i stationaritet uppfylls genom att sätta G ry () =, vilket ger K r = l = ω n. 5. (a) I jämvikt gäller f m (x, i ) = mg 8 3 N vilket enligt kurvan för i svarar mot x 3 mm. (b) Ur diagrammet kan linjäriseringen fås approximativt enligt följande. Tangenten till i -kurvan har lutningen c x, som kan bestämmas ur två punkter, t ex c x = f m x ( 5) 3 5 3 = 8
Konstanten c i bestäms av hur f m varierar med i för x = x : c i = f m i Den linjäriserade modellen är alltså 4 3 =.4 3 m x = x +.4 i Modellens karakteristiska ekvation är ms = med en positiv och en negativ reell rot, dvs modellen är instabil. 9