NYBÖRJARSTUDENTER OCH MATEMATIK MATEMATIKUNDER VISNINGEN UNDER FÖRSTA ÅRET PÅ TEKNISKA OCH NATURVETENSKAPLIGA UTBILDNINGAR

NYBÖRJARSTUDENTER OCH MATEMATIK MATEMATIKUNDER VISNINGEN UNDER FÖRSTA ÅRET PÅ TEKNISKA OCH NATURVETENSKAPLIGA UTBILDNINGAR Högskoleverkets rapportserie 2005:36 R

NYBÖRJARSTUDENTER OCH MATEMATIK MATEMATIKUNDER VISNINGEN UNDER FÖRSTA ÅRET PÅ TEKNISKA OCH NATURVETENSKAPLIGA UTBILDNINGAR Högskoleverket 2005

Högskoleverket Luntmakargatan 13 Box 7851, 103 99 Stockholm tfn 08-563 085 00 fax 08-563 085 50 e-post hsv@hsv.se www.hsv.se Nybörjarstudenter och matematik. Matematikundervisningen under första året på tekniska och naturvetenskapliga utbildningar Utgiven av Högskoleverket augusti 2005 Högskoleverkets rapportserie 2005:36 R ISSN 1633-0632 Författare: Ola Helenius och Anders Tengstrand Kontaktperson på Högskoleverket: Håkan Forsberg Formgivning: Högskoleverkets informationsavdelning

Innehåll Förord 5 Sammanfattning 6 Högskoleverkets reflektioner och förslag 8 Förkunskaper 8 Behörighet 9 Samverkan och kunskapsutveckling 10 Matematik och tillämpningar 11 Inledning 13 Uppdrag, avgränsningar och metod 15 Uppdraget 15 Tolkning och avgränsningar 15 Metod 15 Tidigare utredningar 17 Matek 1973 17 Universitetskanslerns utredning 1993 17 Räcker kunskaperna i matematik? 1999 18 Högskoleverkets utredning 2002 19 Högskoleverkets utvärdering av högskoleingenjörsutbildningar 2003 20 Matematikdelegationen 2004 21 Kommentarer 23 Diagnoser av nybörjarstudenternas kunskaper 25 Kommentarer 26 Några undersökningar av matematikutbildningen i grundskolan 27 Kommentarer 28 Attityder till matematik och matematikundervisning hos högskolestudenter 29 Attityder till matematiken 30 Attityder till matematikundervisningen 31 Matematiken i relation till programmets profi l 32 Studenternas självuppfattning 33 Studenternas arbetsvanor 34 Kommentarer 35 Beskrivning av nuläget genom intervjuer 37 Matematikens roll 37 Formell behörighet 38 Kontakter med gymnasieskolan 40

Matematiken i utbildningarna 41 Undervisning och examination 44 Förkunskaperna 47 Anknytning till tillämpningarna 49 Datorer och miniräknare 52 Lärarna 54 Pedagogisk utveckling 55 Förslag till åtgärder 57 Studenternas kunskaper om, förståelse för och färdigheter i elementär matematik 57 Matematikens anknytning till tillämpningarna och användning av datorer 61 Matematikdidaktikens betydelse 62 Avslutning 65 Referenser 67 Bilaga 1 referensgrupp 69 Bilaga 2 SCB:s enkät 71

Förord Högskoleverket fick i regleringsbrevet för år 2005 regeringens uppdrag att utreda matematikundervisningen för nybörjare vid högskolan i ingenjörsämnen och naturvetenskap. För att genomföra uppdraget har vi engagerat de två experterna prof. em. Anders Tengstrand samt fil. dr. Ola Helenius. Matematikundervisningen är ett område som påtagligt har påverkats av expansionen av högre utbildning och av högre konkurrens till olika utbildningar. Med sänkta förkunskapskrav och med en större bredd i förkunskaperna bland studenterna kan man konstatera att kunskapsnivån bland nybörjarna i matematik har sjunkit genom åren. Detta måste förändras genom riktade initiativ inom både den högre utbildningen, gymnasieskolan och grundskolan. Rapporten har utarbetats av de två experterna. Under arbetet har de knutit till sig en referensgrupp som bestått av en student samt lärare som undervisar i matematik, matematikens tillämpningar och pedagogik. Utredarna har också genomfört en hearing kring slutsatser och förslag. Genomförande, analyser och slutsatser som presenteras i rapporten står utredarna för själva. Högskoleverket lämnar inledningsvis sina reflektioner och förslag till åtgärder. Det är vår förhoppning att denna rapport som en i raden av utredningar av matematikämnet ska bidra till förbättringar av kunskaperna i matematik samt stärka ämnets roll inom högre utbildning. Vi vill avslutningsvis rikta ett stor tack till utredarna och till alla andra som i olika egenskaper har deltagit i utredningsarbetet. Sigbrit Franke Håkan Forsberg 5

Sammanfattning Högskoleverket har haft regeringens uppdrag att kartlägga hur undervisningen för högskolenybörjare organiseras och genomförs, speciellt med avseende på matematikinslagen, vid lärosäten med utbildningar inom matematik, teknik eller naturvetenskap. I uppdraget ingick även att utarbeta förslag på hur lärosätena bättre ska kunna möta studenter vid undervisning och lärande i matematik. Utredningen omfattar civilingenjörs- och högskoleingenjörsprogrammen samt de naturvetenskapliga program som innehåller mer än 5 poäng matematik under första året. Kartläggningen har gjorts genom platsbesök, telefonintervjuer med företrädare för lärosätena, samt via en enkätundersökning om studenternas attityder till matematik och matematikundervisning. Under årens lopp har det gjorts ett antal utredningar om nybörjarstudenters matematikkunskaper förutom den här. I samtliga fall konstateras att många studenter har svaga förkunskaper. Vid flera universitet och högskolor har nybörjarna under en rad år genomgått ett diagnostiskt prov. Samtliga undersökningar visar att kunskapsnivån sjunkit och att många studenter har allvarliga brister i mycket grundläggande moment i matematik A från gymnasieskolan. Särskilt alarmerande är att många studenter har stora brister när det gäller aritmetik och algebra. Flera utredningar pekar på att matematiklärarna ofta tar de pedagogiska problemen på allvar och är engagerade i sitt arbete. Vikten av att stärka kopplingen mellan matematikkurserna och de tekniska kurserna framhålls också. I utredningarna från 2000-talet pekar man på att moderna hjälpmedel som datorer i allt för liten utsträckning tas upp i undervisningen. En majoritet av studenterna är positivt inställda till matematikämnet. Men även om den övervägande bilden är positiv så finns det en inte obetydlig minoritet som är negativt inställd trots att de valt en teknisk eller naturvetenskaplig utbildning. Attityderna till matematikundervisningen följer i stort sett samma mönster. En tolkning av studenternas självuppfattning är att studenterna har en högre uppfattning om sina kunskaper och färdigheter än vad deras lärare har om dem. Knappt hälften av studenterna på termin 2 anser att de, i hög grad eller i mycket hög grad, haft användning för sina matematikkunskaper i andra ämnen. Cirka 15 procent av studenterna på termin 6 inom högskoleingenjörsprogrammen tycker att de haft liten eller ingen användning av matematiken. Studenterna anser också i regel att det saknas eller finns en svag anknytning av matematikutbildningen till utbildningsprogrammets profi l. Många anser att den borde vara starkare än vad som nu är fallet. I intervjuer och platsbesök konstateras bl.a. att matematiken får allt större betydelse samtidigt som studenternas intresse för ämnet avtar. Den formella behörigheten till civil- och högskoleingenjörsutbildningarna har på de flesta 6

lärosätena sänkts, eller kommer att sänkas, till matematik D. På vissa ingenjörsutbildningar är behörigheten matematik C. De grundläggande obligatoriska kurserna har i regel traditionellt innehåll. Det domineras av elementär algebra, analys och linjär algebra. Det har visat sig svårt att i praktiken anknyta matematikinnehållet till utbildningsprofilen. Allt större uppmärksamhet ägnas åt att repetera och befästa gymnasiekunskaperna. Introduktionskurser av olika omfattning och långsamma studiegångar har prövats för att möta studenternas bristande kunskaper i elementär matematik. Många lärare anser att de har sänkt nivån för godkänt betyg. Det har ofta skett genom att stoffet fragmentiserats men också genom att slutproven har förenklats. Efter tre tentamenstillfällen är andelen godkända någonstans mellan 60 och 80 procent. Miniräknare tillåts i regel inte på tentamina på de första kurserna, och datorer är normalt sett inte en integrerad del av matematikundervisningen. De pedagogiska frågorna blir allt viktigare och lärarna gör ett engagerat arbete för att lösa dem. En förändrad studentpopulation och förändrade förkunskaper har medfört att de matematiska institutionerna lagt ner ett omfattande arbete på att utveckla nya metoder när det gäller undervisning och examination. Pedagogiskt utvecklingsarbete bedrivs för närvarande med mycket små eller inga resurser. Matematikinstitutionerna lägger stor vikt vid samverkan med gymnasieskolan. Intentionerna att skapa kontakter med gymnasieskolan är många gånger höga. Verksamheten dör emellertid ofta ut, eftersom det varken inom högskolan eller inom gymnasieskolan har avsatts medel för den. 7

Högskoleverkets refl ektioner och förslag Den här rapporten är den sjunde i raden av nationellt omfattande studier av matematikämnet som gjorts sedan år 1973, inklusive Matematikdelegationens betänkande. I samtliga fall pekas på blivande studenters bristande förkunskaper i matematik inför högre studier samt på behovet av förändrade undervisningsmetoder. Trots tidigare lagda förslag till åtgärder har inte tillräckligt genomgripande förändringar genomförts för att åtgärda bristerna. Tvärtom kan vi konstatera att utvecklingen i flera fall har gått i motsatt riktning. Den internationella undersökningen publicerad år 2004, TIMMS, som granskade matematikkunskaperna hos elever i skolår 8 i 50 länder, visar att Sverige är ett av få länder där resultaten försämrats sedan motsvarande undersökning tio år tidigare. Svenska elever presterar nu under genomsnittet. En annan internationell undersökning, PISA, samt en omfattande nationell undersökning genomförd av Skolverket, bekräftar båda den nedåtgående trenden i matematikkunskaperna. Utvecklingen är mycket oroande. För att bryta denna negativa trend krävs kraftfulla åtgärder. I praktiken måste ett långsiktigt och seriöst arbete med att höja matematikkunskaperna påbörjas redan i grundskolan och byggas vidare på inom gymnasieskolan och den högre utbildningen. Högskoleverket vill i samband med överlämnandet av föreliggande utredning göra följande reflektioner samt rikta några förslag till regeringen och lärosätena. Högskoleverket instämmer i huvudsak i utredningens problembeskrivning och bedömning av de områden som anses viktiga. En skillnad mellan verkets förslag och utredningens förslag är att verket i första hand riktar sig till regeringen. Dessutom är verkets förslag som gäller förkunskaper, kunskapsutveckling och kunskapsspridning mer generellt formulerade jämfört med utredningen. Förslag om kunskapsspridning tar sikte på Nätuniversitetet i dess nya roll. Utvecklingen av regler för behörighet till högre utbildning förfogar Högskoleverket över. Därför lämnar verket här inga förslag inom det området. Förkunskaper I rapport efter rapport lyfts problemen med förändrade förkunskaper fram. I Högskoleverkets utvärdering av högskoleingenjörsprogrammen 1 konstaterades att förkunskaperna dels har blivit sämre, dels blivit mer varierande. Även i verkets matematikutvärdering 2 konstaterades att studenterna har stora brister 1. Utvärdering av högskoleingenjörsutbildningar, ingenjörsutbildningar samt brandingenjörsutbildningar vid svenska universitet och högskolor. Högskoleverkets rapportserie 2003:20 R. 2. Utvärdering av matematikutbildningar vid svenska universitet och högskolor. Högskoleverkets rapportserie 2002:5 R. 8

i sina matematikkunskaper då de antas till utbildningarna. Men enligt utvärderingen av högskoleingenjörsutbildningarna har studenterna också nya och andra slag av förkunskaper. De har t.ex. större träning i datoranvändning, vilket bör uppmärksammas och tas tillvara i högskolornas matematikundervisning. I gymnasieskolan läser eleverna ofta matematik D under andra året. Matematik E ges ofta under det tredje året. De elever som inte läser matematik E kommer således att gå minst ett år i gymnasieskolan utan att öva sina färdigheter i matematik. Den breddade rekryteringen ses som en sannolik bidragande orsak till problemet med brister i studenternas förkunskaper. Dessutom är åldern på nybörjare i högskolan generellt högre i Sverige och direktövergången från gymnasieskolan mindre jämfört med andra länder. Förkunskaperna skulle sannolikt bli bättre med en annan fördelning av matematikundervisningen inom gymnasieskolan så att matematik studeras under gymnasieskolans samtliga årskurser. Ett annat sätt är att tydliggöra matematikinnehållet i andra kurser i gymnasieskolan som eleverna läser, t.ex. i kemi, fysik, konstruktion osv. Det hjälper dock inte för de studenter som antas efter studieuppehåll och kompletteringar då lång tid kan ha förflutit mellan gymnasiestudier eller eventuella kompletteringar och studiestart i högskolan. Detta för i sin tur med sig ett behov av en differentierad matematikutbildning och olika sätt att lösa undervisningen på inom högskolan. Bland annat aktualiseras behovet av basår eller collegeutbildningar. Högskoleverket vill peka på betydelsen av att lärosäten och institutioner ges ekonomiska förutsättningar att ge en utbildning av hög kvalitet med hänsyn tagen till faktiska och formella skillnader i förkunskaper bland nybörjare vid högskolan inom matematik. Sett mot bakgrund av målet om att 50 procent av en gymnasiekull ska gå vidare till högskolestudier kommer särskilda åtgärder att bli än viktigare. Högskoleverket föreslår att regeringen överväger att satsa riktade ekonomiska resurser till lärosätena så att dessa får förbättrade möjligheter att hantera studenternas förändrade och varierade förkunskaper. En sådan satsning bör vara tidsbegränsad och den bör utvärderas. Behörighet Högskoleverket kommer enligt regeringens proposition Ny värld ny högskola att få uppdraget att utarbeta föreskrifter för särskilda behörighetskrav som ska gälla för utbildningar som vänder sig till nybörjare och som leder till yrkesexamen. Behörighetskraven ska huvudsakligen ställas i form av kunskaper från kurser eller ämnen i gymnasieskolan eller motsvarande kunskaper. Dessa krav får inte ställas högre än vad som är nödvändigt för att studenten ska kunna tillgodogöra sig utbildningen i fråga. 9

Högskoleverket ska även utarbeta så kallade ramar för behörighet till övriga utbildningar som vänder sig till nybörjare. Inom dessa ramar ska universitet och högskolor själva besluta om vilka krav som ska gälla. Regeringen vill avskaffa de nu gällande standardbehörigheterna. Regeringen föreslår även att meritvärderingen förändras så att studier i matematik och moderna språk ges extra värde vid antagning till högre utbildning. Detta torde ge en positiv signal om värdet av goda kunskaper i matematik. Det framförs ofta anspråk på att behörighetskraven till civilingenjörsutbildningen ska innehålla matematik E. Men samtidigt har flera lärosäten sänkt kraven på förkunskaper från nuvarande standardbehörighet till matematik D. Trots att nybörjarna i civilingenjörsutbildningarna fyller de formella behörighetskraven saknar en majoritet av dem grundläggande kunskaper i matematik inför sina studier enligt de diagnostiska prov som lärosätena använder. Det kan enligt resonemanget ovan bero på avståndet i tid mellan matematikstudier i olika utbildningsnivåer och former. Det kan också finnas ett avstånd mellan vilken kunskapsnivå lärarna vid högskolan förväntar sig att nybörjare har och hur lärarna i gymnasieskolan väljer att tillämpa gymnasieskolans kursplaner både när det gäller stoff och bedömning av förvärvad kunskap. I det nuvarande skolsystemet lämnas urvalet av stoff samt bedömningen av prestationen till läraren. Därmed får lärarens utbildning och kunskaper ett avgörande inflytande över elevernas kunskapsnivå. I samband med Högskoleverkets arbete med särskilda behörighetskrav för utbildningar som leder till yrkesexamen för framförallt ingenjörsutbildningarna kommer vi att noga pröva de resultat och erfarenheter kring formella förkunskapskrav i matematik som framkommit i den här och andra utredningar. Samverkan och kunskapsutveckling Utredningen konstaterar att undervisningen i matematik är traditionell, men att institutionerna för matematik har lagt ner ett omfattande arbete på att utveckla nya metoder. Detta gäller såväl undervisning som examination. Även i de utvärderingar som Högskoleverket genomfört både av matematik- och högskoleingenjörsutbildningar har det framkommit många goda exempel på hur olika universitet och högskolor arbetar med att förändra och förbättra undervisningen i matematik i syfte att anpassa den till studenternas förkunskaper och behov. Utredningen innehåller resultat från en enkätstudie om studenternas attityder till matematik och matematikundervisning. Enkätstudien visar att nära nio av tio studenter uppfattar lärarna i matematik som både kunniga och engagerade, och med en oftast positiv inställning till studenterna. Däremot tycker två av fem studenter att lärarna inte är pedagogiska. Pedagogiska kurser ges, enligt utredningen, vid samtliga i utredningen ingående lärosäten och många 10

matematiklärare har en lärarbakgrund. Det förefaller därför vara angeläget att söka orsaken till att dessa ansträngningar inte syns mer i enkätsvaren. För att ge universitet och högskolor möjlighet att få en överblick över de insatser som görs och har gjorts är det nödvändigt att sammanställa dessa, utvärdera dem och dra slutsatser. Goda exempel kan lyftas fram för att spridas och vara till inspiration och vägledning för andra. Det är viktigt att betona att samverkan och erfarenhetsutbyte måste etableras i skilda dimensioner. Det är uppenbart att samverkan behöver byggas ut mellan lärare i gymnasieskolan och högskolan. Utredningen betonar att det finns ett stort pedagogiskt intresse hos lärarna och att det är viktigt att detta intresse tas tillvara och utvecklas. Därför är det angeläget att den didaktiska forskningen stöds på olika sätt. Högskoleverket instämmer i att denna forskning är en viktig bas för fortsatt förbättring av matematikundervisningen. Understrykas bör att forskningsresultaten måste spridas och komma undervisande lärare till del. Enligt regeringens proposition Ny värld ny högskola ska Nätuniversitetet få nya uppdrag. Regeringen menar att den nya myndigheten bland annat ska arbeta med pedagogiska frågor. Högskoleverket föreslår att regeringen ger det nya Nätuniversitetet i uppdrag att samla och sprida erfarenheter från utvecklingsarbete inom matematikundervisningen i återkommande konferenser och seminarier. Dessa bör vara gemensamma för lärare inom gymnasieskolan och högskolan, fokusera positiva erfarenheter och innovationer inom matematikens didaktik, samt medverka till nätverksbyggande mellan gymnasielärare och högskolelärare. Behovet av kunskaper i matematik ökar i samhället samtidigt som en lång rad utredningar och studier konstaterar att kunskapsnivån bland nybörjare vid högskolan minskar. För att öka nivån på kunskaperna i matematik hos elever som går ut gymnasier ställs höga krav på kunskaper i matematik och matematisk didaktik bland lärarna inom gymnasieskolan. Högskoleverket vill därför lyfta fram utredningens och Matematikdelegationens förslag på förändringar i examensordningen för gymnasielärare inom matematik. Högskoleverket föreslår att regeringen ändrar examensordningen så att det för lärare i matematik i gymnasieskolan krävs minst 80 poäng i relevanta ämnesområden. Därmed likställs kraven på lärare i matematik i gymnasieskolan med gällande krav för lärare i svenska och samhällskunskap. Matematik och tillämpningar I utredningen framhålls att mycket av undervisningen i matematik på de berörda högskoleutbildningarna har en alltför stark betoning på teori på bekostnad av tillämpningar. Utredningen refererar till Högskoleverkets rapport Räcker kunskaperna i matematik? 3 som framhåller tre typer av matematisk kunskap: teori, metodkunskap och tillämpningar. Där betonas också att matematik inte är ett naturvetenskapligt ämne. Matematik har en annan veten- 11

skaplig bas och sägs handla om att oberoende av naturen bevisa om olika påståenden är sanna med utgångspunkt i ett fåtal postulat. Denna beskrivning kan sägas stämma bra in på matematik som en teoretisk kunskap för vilken god metodologisk färdighet är nödvändig. Den här utredningen behandlar framför allt naturvetenskapliga och tekniska utbildningar. För de flesta av dessa är det snarare matematisk kunskap i meningen tillämpningar och metodkunskap som ska ses som det främsta målet. Den betydelse som ett matematiskt angreppssätt har för utvecklingen av studenternas kreativitet och förmåga att närma sig och analysera ett problem får likväl inte glömmas bort. För att stärka intresset för matematik på de tekniska och naturvetenskapliga utbildningarna anser Högskoleverket att det är viktigt att stärka anknytningen till utbildningsprogrammets profil. Framförallt i utvärderingen av högskoleingenjörsutbildningarna visade sig behovet av differentiering av matematikinnehållet och behovet av att kunna tillämpa matematikkunskaperna vara stort. Det viktigaste syftet med matematikundervisning bör enligt Högskoleverkets utvärdering av matematikämnet vara att ge studenterna bra baskunskaper i anslutning till olika tillämpningsområden. Enligt utredningen verkar det främst handlar om att bryta upp en traditionell syn på hur matematik ska förmedlas. En väg för detta förslås vara att på ett effektivare sätt använda tillämpningar som en väg in i matematiken. Det kan ske genom att lärarna i matematik och lärarna inom de tillämpade ämnena samarbetar i lärarlag. Det samarbete som enligt utredningen förekommer på forskningsnivå mellan matematiker och företrädare för de tillämpade ämnena bör kunna vara en viktig utgångspunkt för ett sådant utvecklingsarbete. Högskoleverket anser att det är viktigt att lärosätena underlättar för en sådan samverkan. Högskoleverket har i sina utvärderingar sett exempel där sådant samarbete sker på ett för studenterna föredömligt sätt. Dessa exempel bör spridas. De kraftfulla datortillämpningar som finns på matematikens område utnyttjas ännu så länge i alltför liten utsträckning i undervisningen enligt utredningen. Det framförs dock exempel på matematikundervisning som inte bara tar sin utgångspunkt i de tillämpade ämnenas problem utan som också utnyttjar just beräkningsprogram som en väg in i matematiken. Högskoleverket föreslår regeringen att ge det nya Nätuniversitetet i uppgift att samordna erfarenheter av detta slag så att de får en större spridning. 3. Räcker kunskaperna i matematik? Högskoleverket februari 1999. ISBN 88874-20-6. 12

Inledning Slår man upp matematik i Nationalencyklopedin får man förklaringen: en abstrakt och generell vetenskap för problemlösning och metodutveckling. Även om denna beskrivning inte kan användas som en definition av vad matematik är så är den intressant för matematikundervisningen. Matematiken är ett ämne som fokuserar på att lösa problem och utvecklar metoder för detta. Problemen kan vara hämtade från vardagen, från andra vetenskaper eller från matematiken själv. Bara fantasin sätter gränser. Matematiken är generell eftersom de metoder och strukturer som utvecklas för att lösa ett visst problem inte är kontextbundna. De kan också komma att användas i andra sammanhang. Matematiken är därför till sin natur abstrakt och skall inte vara låst till den konkreta problemställning som för tillfället studeras. Att se matematiken på detta sätt får konsekvenser för matematikutbildningen. Matematikens roll som problemlösningsvetenskap måste framhävas. Matematiken skall hjälpa oss att lösa problem och skapa större förståelse för olika fenomen runt omkring oss. Den skall hjälpa oss att skapa ordning och att se sammanhang i en komplicerad verklighet. Matematikens styrka är att den är generell och abstrakt. Samma matematiska teori kan beskriva vitt skilda fenomen både i världen omkring oss och inom matematiken själv. Samtidigt som matematiken kan öka vår förståelse för omvärlden kan exempel från olika tillämpningar inom t.ex. naturvetenskap och teknik ge de abstrakta begreppen en mer konkret innebörd och därmed fördjupa förståelsen för dem. Matematiken har tusenåriga traditioner. Från början bestod den huvudsakligen av aritmetik och geometri men är nu en rikt förgrenad vetenskap som är under stark utveckling. Samhället är i dag mer beroende av matematik än någonsin tidigare. Datorerna, som själva bygger på matematik, har gjort det möjligt att tillämpa matematiska teorier som tidigare endast hade inomvetenskapligt intresse. Till skillnad från många andra vetenskaper är den matematik som skapades för flera tusen år sedan av betydelse än i dag. Resultaten i matematik har ingen bäst före -stämpel. Kunskaper om, och förståelse för, den elementära matematiken är i själva verket en förutsättning för att tillägna sig den mer avancerade matematik, som nu är ett viktigt redskap för problemlösning och metodutveckling. Vi har betonat matematikens roll som ett generellt och abstrakt verktyg för problemlösning. Men det finns andra aspekter av ämnet. Den matematiska stringensen garanterar olika matematiska påståendens absoluta tillförlitlighet. Professor Lars Gårding uttrycker detta i en filosofisk dialog, Metaforer, på följande sätt: Matematiken utgör en sträng ram som inte släpper igenom lösa förmodanden. Sådana kan bara mycket sällan ge upphov till meningsfull matematik. 13

(L. Gårding, Metaforer. I: G. Berg, Det matematiska kulturarvet. Dialoger 71-72. 2005.) Det är viktigt att studenten också kommer i kontakt med denna något kärvare sida av matematiken. Men det är genom sin tillämpbarhet som matematiken har fått en särställning i skolsystemet. Det är viktigt att framhålla det, och studenter på olika utbildningsprogram måste därför tidigt i sin utbildning se relevanta tillämpningar av avancerad matematik. Genom att arbeta med både de stringenta och kreativa sidorna av matematiken kan studenten utveckla både sin matematiska mognad och sin förmåga att skapa matematiska modeller av omvärlden. Professor Bengt Gustafsson har i ett föredrag i Malmö den 6 maj 2003 beskrivit hur han ser på matematiklärarens uppdrag. Han tillmäter matematiken och matematikundervisningen stor betydelse men är samtidigt kritisk matematiken får inte isoleras från omvärlden. Vi belyser det med följande citat, som också kan vara en utgångspunkt för några av tankegångarna i denna rapport: I thus suggest mathematics as a common ground in the study of all aspects of the world around us. The teachers should not mainly exercise routine methodology in problem solving, but also strive continuously to develop every student s understanding of concepts and principles; in this sense the interests are common with those of pure mathematicians. But note that this understanding may be a most noble fruit from the growing garden of well cultivated and examined examples and applications, not only from the unique crystal tree of abstract reasoning.(gustafsson, B. 2004). 14

Uppdrag, avgränsningar och metod Uppdraget Högskoleverket fick i sitt regleringsbrev för 2005 följande uppdrag av regeringen: Högskoleverket skall, som ett led i satsningen på att stärka matematikämnet och matematikundervisningen i hela utbildningssystemet, kartlägga hur undervisningen för högskolenybörjare organiseras och genomförs, speciellt med avseende på matematikinslagen, vid lärosäten med utbildningar inom matematik, teknik eller naturvetenskap. Högskoleverket skall också utarbeta förslag på hur lärosätena bättre skall kunna möta studenter vid undervisningen och lärande i matematik. Ola Helenius och Anders Tengstrand fick i uppdrag av Högskoleverket att göra ovanstående kartläggning och utarbeta förslag. Tolkning och avgränsningar Utredningen har begränsats till civilingenjörs- och högskoleingenjörsprogrammen, samt till naturvetenskapliga program som innehåller mer än fem poäng matematik under första året. De naturvetenskapliga programmen är till sin karaktär mer löst sammanhållna och studenterna kan ofta välja fritt bland en rad kurser. Det kan därför ibland vara svårt att skilja på om en student följer ett program eller om hon eller han läser en fristående kurs. Vissa kurser ges samtidigt i program på naturvetenskapliga utbildningar, på lärarutbildningar och som fristående kurs. I den lägesbeskrivning som följer måste hänsyn tas till dessa förhållanden. Vi har i arbetet begränsat oss till studierna under första året och fokuserat på matematikstudierna, men har också studerat matematikämnet i relation till programmet som helhet. Metod Kartläggningen har gjorts på följande sätt: Besök har genomförts på sex universitet och högskolor där samtal förts med lärare i både matematik och tekniska ämnen samt med studenter. I vissa fall har diskussioner också förts med högskoleledning och fakultetsledning. På övriga 23 lärosäten med utbildningsprogram inom det tekniska och naturvetenskapliga området har ansvariga för grundutbildningen i matematik intervjuats per telefon. 15

En undersökning av nybörjarstudenternas attityder till matematikämnet och matematikundervisningen har gjorts. För genomförandet ansvarade SCB. Till utredningen knöts en referensgrupp vars sammansättning framgår av bilaga 1. Referensgruppen hade ett sammanträde och kommenterade ett utkast till denna rapport. En utfrågning arrangerades den 11 maj 2005. Till den inbjöds representanter för landets samtliga matematikinstitutioner, referensgruppen samt ett antal representanter för tekniska och naturvetenskapliga ämnen. De inbjudna fick möjligheter att studera en preliminär version av denna rapport. Antalet deltagare var 25. Preliminära resultat och förslag presenterades också på den årliga konferensen för studierektorer i matematik vid några av landets universitet och högskolor. Konferensen arrangerades i år av Mälardalens högskola och ägde rum den 25 26 maj. En liknande presentation gjordes också den 27 maj för matematiklärare vid Uppsala universitet. Diskussioner har förts med representanter från Skolverkets arbetsgrupp för nya kursplaner. 16

Tidigare utredningar Det har under åren gjorts ett antal utredningar om nybörjarstudenters matematikkunskaper, och de har varit ett viktigt underlag för vår undersökning och de förslag vi lägger fram. Matematikdelegationen, som lämnade sitt betänkande i september 2004, har också studerat matematikundervisningen på universitet och högskolor. Delegationens rapport, och rapporten från den arbetsgrupp inom delegationen som ansvarade för gymnasieskola och högskola, har varit viktiga utgångspunkter för vårt arbete. Matek 1973 Universitetskanslersämbetet tillsatte 1971 en utredning, Matek, för översyn av den grundläggande utbildningen i matematik. I slutrapporten Den grundläggande utbildningen i matematik vid teknisk fakultet (Universitetskanslersämbetet, april 1973) konstateras bl.a. att många av de väsentliga problem, som finns och kan förutses, i ständigt ökande utsträckning kommer att ställa krav på matematiska kunskaper att många elever vid studiernas början har otillräckliga förkunskaper för högre tekniska studier i deras nuvarande omfattning att man inom de tekniska högskolorna har lagt ned ett stort arbete på att försöka anpassa studierna till en förändrad studiesituation att många förändringar av matematikundervisningen har prövats. I utredningen citeras en artikel i Teknisk tidskrift där författaren, gymnasieinspektör Hans Blomqvist, hävdar följande: Detta innebär alltså att av dessa elever, som antagits till spärrad högre teknisk utbildning, saknade var femte elev grundskolans kunskaper. Universitetskanslerns utredning 1993 År 1993 beslöt universitetskanslern att genomföra en utvärdering av matematikutbildningen vid universiteten, Kungl. Tekniska högskolan, Chalmers tekniska högskola samt Högskolan i Luleå. I rapporten Nationell utvärdering av grundutbildning i matematik. Universitetskanslern. (Kanslersämbetets rapport 1995:5) ges bl.a. följande rekommendationer: Det är angeläget att institutionerna startar en intern målsättningsdiskussion i vilken hela matematikundervisningen från de stora linjerna till de enskilda detaljerna fokuseras. 17

I undervisningen bör exempel från andra ämnen i studenternas utbildning inkluderas. För att detta skall kunna ske fordras att matematiklärarna har god orientering i den undervisning som sker i näraliggande ämnen. Interdisciplinära lärarlag bör organiseras för att uppdatera lämpliga exempel. Sambandet med numerisk analys, matematisk statistik, datalogi etc. bör stärkas. I sitt slutord säger man bl.a. följande: Det svenska utbildningssystemet gör stora investeringar i matematikutbildning vid universitet och högskolor. En stor och mycket kvalificerad lärarkår bedriver ett oftast engagerat undervisningsarbete. De yttre resurserna lokaler, bibliotek, utrustning är ofta av mycket hög klass. Ambitionerna är mycket högt ställda på flera plan: utbildningen skall vara effektiv, genomströmning är ett nyckelord för bedömning av resultat och prestationer; studenterna skall ges goda sociala förutsättningar - att studenterna trivs återkommer ofta i diskussionerna som ett mål för verksamheten. Trots alla goda ambitioner och goda yttre förutsättningar har det för oss varit svårt att upptäcka ytterligare en dimension i verksamheten: studentens glädje över lärandet och nyfi kenheten på ämnets möjligheter. Räcker kunskaperna i matematik? 1999 Högskoleverket fick 1998 i uppdrag av regeringen att efter samråd med Statens skolverk utreda och analysera de krav på förkunskaper i matematik som ställs inför högskolestudier i matematik. Högskoleverket tillsatte då en bedömningsgrupp som 1999 lämnade sin slutrapport: Räcker kunskaperna i matematik? (Högskoleverket, februari 1999). Gruppen var allsidigt sammansatt med representanter för högskola, gymnasium och grundskola. Rapporten vidgar perspektiven och diskuterar matematik och matematikkunskaper, beskriver matematikutbildningen i Sverige från förskola till högskola och analyserar mål och metoder för matematikundervisningen. I en bilaga ges en översikt över den matematikdidaktiska forskningen relaterad till övergången mellan gymnasieskola och högskola. Rapporten är försedd med referenser till olika undersökningar. Man konstaterar bl.a. att förkunskapsnivån i matematik hos dem som börjar studier inom naturvetenskap och teknik är starkt varierande att det hos många studenter finns tydliga brister, inte bara när det gäller räknefärdighet i snäv mening utan också beträffande det som kan kallas matematisk mognad. att undervisningen i matematik vid högskolor inte alltid är anpassad till den nuvarande situationen vad gäller förkunskaperna i matematik. 18

att åtskilliga studenter har så svaga förkunskaper att det kan bli svårt för dem att tillgodogöra sig den undervisning i matematik som ges vid universitet och högskolor så som den är utformad i dag att dagens utbildning i matematik i Sverige ger både goda och mindre goda resultat jämfört med andra länder. I sammanfattningen ges ett antal rekommendationer angående matematikutbildningen på gymnasiet. För högskolans matematikutbildning föreslår man bl.a. följande: Högskolorna bör överväga att differentiera studenterna inom ett och samma utbildningsalternativ på grupper med olika utbildningstakt. Utformningen och innehållet i de grundläggande kurserna i matematik på olika högskoleutbildningar bör ses över. Varje matematikkurs som den sökande läst bör vid urvalet till högskolestudier ges en vikt som svarar mot dels den betydelse kursen har för den utbildningen man söker, dels kursens svårighetsgrad. På lång sikt bör högskolorna få pröva andra urvalsmetoder till utbildningarna, antingen som komplement till eller som ersättning för de nuvarande metoderna (betyg och högskoleprov). Reglerna för att erhålla studiemedel måste utformas så att de inte utgör hinder för studenter med otillräckliga förkunskaper att följa en långsammare studiegång. Den matematikdidaktiska forskningen i Sverige bör utvecklas så att vi kommer minst i nivå med andra jämförbara länder. Högskoleverkets utredning 2002 I den utvärdering av matematikundervisningen som gjordes 2001 konstaterar bedömargruppen i rapporten Utvärdering av matematikutbildningen vid svenska universitet och högskolor (Högskoleverkets rapportserie 2002:5 R) bl.a. följande: De lärare som arbetar med framför allt de grundläggande kurserna är hängivna sin uppgift och lägger ner ett stort arbete på att lösa de pedagogiska problem som bl.a. den stora spridningen i förkunskaper hos studenterna medför. Kontakterna mellan studenter och lärare är på de flesta lärosäten mycket god. Ett av de allvarligaste problemen är enligt många universitetslärare den stora spridningen i kunskaps- och färdighetsnivån hos nybörjarna. Det är viktigt att studenter med både goda och mindre goda förutsättningar ges tillräckliga utvecklingsmöjligheter och att det ställs relevanta krav på nybörjarna. Gymnasiet har under senare år reformerats både när det gäller organisation, innehåll och betygssystem. För en bättre samverkan mellan gymnasieskolan och högskolan är det nödvändigt att lärarna på de båda 19

nivåerna blir bättre medvetna om varandras förutsättningar och problem och lär av varandra. Samarbetet mellan gymnasieskola och högskola bör därför intensifieras. Gymnasiereformerna bör följas upp med hänsyn till nybörjarnas kunskaper i matematik. De undersökningar som gjorts under senare år kan användas som underlag i sådana uppföljningar. Om statsmakternas krav på en öppen högskola skall kunna realiseras utan att kvaliteten äventyras måste mer resurser ställas till förfogande. Matematik är ett ämne som många studenter läser i början av sina högskolestudier och om de skall tas emot på den nivå de befinner sig måste individualiseringen öka, vilket i sin tur kräver större lärarinsatser. Det visar sig att de flesta nybörjarstudenter har bristande kunskaper i elementär algebra. Kunskaper och färdigheter inom detta område är en absolut förutsättning för högre studier i matematik. Det är inte acceptabelt att studenter som har de formella förkunskaperna för att studera matematik är osäkra på centrala moment som hör hemma på grundskolans högstadium. Moderna hjälpmedel skapar ett laboratorium för forskning och utveckling inom matematik och dess tillämpningar. Datorernas ökade kapacitet möjliggör utnyttjande av mer och mer avancerade program och leder till nya problemställningar, som förutsätter studenternas förmåga att använda dessa. Många utbildningar satsar i dag i alltför liten utsträckning på datoranvändning. Det är angeläget att matematikutbildningen reformeras i detta avseende och att pedagogisk försöksverksamhet beträffande datoranvändning stöds ytterligare. Högskoleverkets utvärdering av högskoleingenjörsutbildningar 2003 I utvärderingen av högskoleingenjörsutbildningen ägnas i rapporten Utvärdering av högskoleingenjörsutbildningar samt brandingenjörsutbildning vid svenska universitet och högskolor (Högskoleverkets rapportserie 2003:20R) ett avsnitt åt matematikämnet (sid. 125 132). Också i denna utvärdering konstateras att lärarna gör ett ambitiöst arbete och att de försöker att utveckla pedagogiken så att man på ett bättre sätt kan möta studenterna på den nivå de befinner sig. De flesta studenter intygar också detta. Man betonar särskilt matematikens koppling till tillämpningarna, och i rekommendationerna säger man bl.a. att lärosätena skall verka för att stärka kopplingen mellan matematikkurserna och de tekniska kurserna verka för att stärka samverkan med gymnasiets matematiklärare överväga om tillgängliga resurser kan omfördelas så att matematiken får förbättrade möjligheter att hantera studenternas förändrade och varierande förkunskaper 20

överväga om tillgängliga resurser kan omfördelas för att minska eventuell samläsning. Matematikdelegationen 2004 Våren 2003 tillsatte regeringen en Matematikdelegation med uppdraget att utarbeta en handlingsplan med förslag till åtgärder för att förändra attityder och öka intresset för matematikämnet samt utveckla matematikundervisningen. Den skulle också syfta till att öka intresset för fortsatta studier inom områden som matematik, naturvetenskap och teknik. I delegationen fanns representanter med erfarenheter från samtliga skolformer inklusive högskolan. I gruppen fanns också företrädare för forskning i matematik, teknik och naturvetenskap samt från näringslivet. Matematikdelegationen utsåg sju arbetsgrupper vars rapporter utgjorde stommen i delegationens arbete. En av dessa arbetsgrupper, som betecknades skolår 11 högskola (kallas hädanefter för 11 H ), täckte området gymnasiet (med speciellt fokus på elever som senare kan tänkas studera på högskolan) och högskolan. Andra grupper studerade följande områden: förskola till skolår 2, skolåren 1 8, skolåren 7 12, vuxenutbildning och folkbildning, lärarutbildning och kompetensutveckling samt arbetsliv, samhälle, bildning och demokrati. Matematikdelegationens betänkande SOU 2004:97, Att lyfta matematiken intresse, lärande, kompetens, lämnades till regeringen den 27 september 2004. Matematikdelegationen bygger i betänkandet sina förslag på ett antal ställningstaganden, som de utifrån en bakgrundsbeskrivning argumenterar för. Rubrikerna på dessa ställningstaganden är följande: Beakta barns tidiga möte med matematik, Erbjud meningsfull matematik för alla, Satsa på lärarna, Uppmuntra variation, Stärk samarbete mellan utbildningsaktörerna, Uppmärksamma matematikens roll och betydelse och Stöd och samordna alla goda krafter. Matematikdelegationens fyra huvudförslag är: 1. Stödja och utveckla aktiviteter som ökar intresset för och insikterna om matematikens värde, roll och betydelse i vardag, yrkesliv, vetenskap och samhälle. 2. Utbilda kvalificerade lärare i matematik för alla barn, ungdomar och vuxna. 3. Stödja och samordna alla goda krafter som verkar för bättre lärande och undervisning i matematik. 4. Tydliggöra och utveckla syfte, mål, innehåll och bedömning i matematik för hela utbildningssystemet. Under dessa allmänna rubriker specificeras olika förslag, och exempel på åtgärder ges. I diskussionen runt huvudförslag 2 påpekar delegationen att målet att minst hälften av en årskull skall påbörja högskolestudier före 25 års ålder inte får leda 21

till sänkta kravnivåer. De nya studenterna måste mötas med bättre utbildning. Delegationen anser att det skall ställas krav på pedagogiskt och didaktiskt kunnande hos de lärare som anställs. Delegationen påpekar också att det är av stor vikt att lärare i matematik på bland annat civil- och högskoleingenjörsutbildningarna har goda kunskaper om matematikens tillämpningar. Den menar också att det för dessa utbildningar är viktigt att bättre integrera matematiken, beräkningsvetenskapen och de tekniska ämnena i undervisningen. Det är önskvärt med projekt där lärare i olika ämnen samarbetar för att få till stånd kurser med tydligare relation mellan den rena matematiken och de tekniska tillämpningarna. I diskussionen runt huvudförslag 3 konstaterar Matematikdelegationen att nybörjarstudenternas förkunskaper och studievanor i genomsnitt har blivit sämre, vilket kräver en utveckling av undervisningsmetoderna. Delegationen menar att speciella, högre kostnadsramar bör tillämpas för att lärosätena på allvar skall kunna möta dessa studentgrupper. Delegationen föreslår också att utvecklingsprojekt som prövar nya former för bedömning av (högskole-)lärarnas insatser skall initieras. I diskussionen runt huvudförslag 4 ger Matematikdelegationen följande bild av utbildningar inom teknik och naturvetenskap: studenterna möter först de abstrakta matematiska begreppen, sedan tillämpningar av dessa inom t.ex. numeriska metoder och först därefter kommer användningen inom de tekniska ämnena. Den menar att detta inte är ett optimalt sätt att närma sig dessa kulturer. Inlärningen blir bättre och motivationen ökar om en samverkan kan åstadkommas. Delegationen förslår ett utvecklingsprojekt där lärare i matematik, beräkningsvetenskap och tekniska ämnen samarbetar. Den arbetsgrupp (11 H) som hade ansvaret för matematikutbildningen på gymnasieskolan och i högskolan gav bl.a. följande förslag till åtgärder: Fler studenter måste intresseras för och erbjudas möjligheter att läsa mer matematik på högskolan. Kvinnorna utgör den största potentialen för ökad rekrytering. Inför matematikerprogram vid naturvetenskapliga och tekniska fakulteter. Inslag av modellering, tillämpningar och beräkningsvetenskap bör vara starka och Bolognamodellen bör följas. Utvecklingen av innehåll och didaktik i kurser och program med matematik inom högskolan måste göras fortlöpande i enlighet med nya krav/ behov/möjligheter. Lärarna bör uppmuntras att dokumentera och publicera sitt utvecklingsarbete. Modellerings- och hjälpmedelskompetensen måste ges större utrymme i utbildningen. Ledningen vid institutionerna bör finna modeller för att premiera didaktisk kompetens och strategiskt arbete med undervisningsfrågor och för att rekrytera skickliga lärare. 22

Förnyat system för behörighet och antagning till högskolan som uppmuntrar eleverna att skaffa sig god matematisk kompetens innan de söker till högskolan. Flexibla övergångsprogram i matematik vid högskolan för studenter som behöver stärka sin kompetens från gymnasiet, även riktade till NV-studenter 4. Universitet och högskolor bör i samverkan med Nätverksuniversitetet utveckla ett utbud av distanskurser av överbyggnadskaraktär. Ökad samverkan mellan gymnasieskolan och högskolorna för ökat kunskapsutbyte och samarbetsprojekt inom matematikutbildningen. Utveckla användningen av miniräknare och datorer på ett didaktiskt motiverat och effektivt sätt i högskolans grundkurser och på gymnasiet. Miniräknare (och dator) måste användas på ett sätt som inte leder till försämrad begreppsförståelse. Arbetsgruppen gav också ett genomgripande förslag till en ny struktur för gymnasieskolans kurser som tog sin utgångspunkt i att anknyta matematiken till respektive programs profi l. Matematiken i de olika gymnasieprogrammen skulle kunna anpassas till vidare studier i matematik, till utbildningar som inte innehåller matematik men kräver matematikkunskaper eller till kraven på matematik i yrkesverksamhet direkt efter avslutad gymnasieutbildning. Matematikdelegationen valde att inte föra fram detta förslag i sin helhet, men menar att matematikens roll i såväl teknik och naturvetenskap som samhällsvetenskap, konst och humaniora måste framhävas i gymnasiets matematik. De menar också att det ger en alltför snäv bild av matematiken att enbart ha en stege av matematikkurser, där de senare bara läses på NV-programmet. Kommentarer Man kan konstatera att i samtliga utredningar framhålls att många studenter har svaga förkunskaper. Det styrks av de diagnostiska prov som kommenteras i nästa avsnitt, där det också kan konstateras att problemen förvärrats. Vidare anser man att matematiklärarna i de allra flesta fall tar de pedagogiska problemen på allvar och att de gör ett engagerat arbete. I utredningarna från 2000-talet pekar man på att moderna hjälpmedel som datorer i allt för liten utsträckning tas upp i undervisningen. I rapporterna från 1993 och 1999, i utvärderingen av högskoleingenjörsutbildningarna samt i Matematikdelegationens betänkande framhåller man vikten av att stärka kopplingen mellan matematikkurserna och de tekniska kurserna. I Matek från 1973 framhålls nybörjarstudenternas bristande kunskaper i elementär algebra. Dessa synpunkter återkommer i utvärderingarna från 2000-4. Studenter på naturvetenskapligt program. 23

talet. Det finns vissa likheter mellan samhällsklimatet under 1970-talet och 2000-talet. Under 1970-talet fanns en stor skepsis mot teknik och därmed också mot naturvetenskap. Det återspeglades i ett radikalt minskat intresse för högre studier inom dessa områden och söktrycket till t.ex. civilingenjörsutbildningarna var lågt. Detta var antagligen en orsak till att många studenter hade bristande kunskaper i elementär matematik när de började på högskolan. Även under 2000-talet har söktrycket till naturvetenskapliga och tekniska utbildningar minskat. Det beror kanske inte på en skepsis mot tekniken som sådan utan snarare på ett bristande intresse. Tekniken tas för given. Många ingenjörsutbildningar har nu svårt att fylla sina platser och konkurrensen om platserna på prestigefyllda tekniska utbildningar är inte längre så stor. Antalet nybörjare på högskoleingenjörsutbildningarna har enligt vår statistik minskat med över 30 procent från 2001 till 2004. Det kan noteras att Kanslersämbetets utvärdering från 1993 inte nämnde något om nybörjarnas bristande matematikkunskaper utan att det är först i utredningen från 1999 som denna fråga på nytt uppmärksammas. I de flesta av utredningarna konstateras att lärarna gör ett engagerat arbete och att de prövar olika undervisnings- och examinationsformer för att lösa de pedagogiska problem de ställs inför. I utredningen från 1999 pekar man på vikten av att använda resultaten av matematikdidaktisk forskning för att förbättra undervisningen på högskolenivå speciellt för nybörjare. De tankegångarna har en än mer framträdande roll hos Matematikdelegationen. Redan i 1993 års utvärdering påpekades att kopplingen mellan matematiken och de tekniska tillämpningarna borde stärkas. Det är en intressant fråga varför detta ännu inte har skett. En rimlig aspekt av svaret på denna fråga är att det är svårt att skapa en koppling i den praktiska undervisningen. Det handlar inte bara om innehållet i matematikkurserna och hur de undervisas, utan också om hur de grundläggande kurserna i övriga ämnen använder matematiska modeller för att beskriva olika fenomen. Ramfaktorer som fysiskt avstånd mellan institutioner, tid och utformning av existerande läromedel spelar antagligen också en stor roll. För att få till stånd en verklig diskussion om hur kopplingen mellan matematiken och tekniska ämnen skall framställas i undervisningen behövs något mer än bara en uppmaning. Diskussioner om den här frågan förs även internationellt, se till exempel Brad Osgoods artikel Mathematics in Engineering: Notes from a Foreign Correspondent (www.wiley.com/college/cch/newsletters/calculus_14/osgood. html) och Garfunkel & Young, The sky is falling, Notices of the AMS 45, No 2, 256 257. De menar att matematikinstitutionernas överlevnad beror på hur väl de kan anpassa sin undervisning till de krav som ställs av studenter och av andra ämnen. Det finns mycket som pekar på att andra institutioner tar över delar av matematikundervisningen. 24