Kosmologins postulat Föreläsning 25/5 Ett expanderande universum Ulf Torkelsson När man bygger upp en kosmologisk modell antar man att universum är homogent, det vill säga att det ser likadant ut överallt, och att det är isotropt, det vill säga att det ser likadant ut i alla riktningar. Dessa antaganden leder tillsammans till den kosmologiska principen att universum är likadant överallt. Man kan i princip tänka sig kosmologier som är anisotropa men homogena, till exempel modeller i vilka hela universum roterar, men sådana modeller blir betydligt mer komplicerade. Det går också att tänka sig ett inhomogent universum, men sådana modeller blir än mer komplicerade, och enligt vad vi kan bedöma idag så är en modell med ett homogent och isotropt universum helt tillräckligt för att beskriva det universum som vi observerar. En konsekvens av den kosmologiska principen är att naturlagarna är desamma överallt i universum. Speciellt så betyder det att de naturlagar vi har studerat i våra laboratorier på Jorden är tillämpbara överallt i kosmos. 2 Olbers paradox Varför är det mörkt på natten? Det enklaste svaret på denna fråga är att det beror på att vi då befinner oss på den sidan av jorden som är vänd bort från solen, men detta svar är otillräckligt. Antag att vi har ett oändligt stort universum, som är fyllt av stjärnor. Det betyder att var vi än tittar på himlen så borde vår synlinje nå fram till en stjärnas yta, och därmed borde hela himlen vara lika ljusstark som ytan på en stjärna, vilket den uppenbarligen inte är. Detta är Olbers paradox. Universums geometri Vi har tidigare konstaterat att den lokala energidensiteten bestämmer rumtidens krökning. Denna krökning kan vara negativ, noll eller positiv beroende på hur hög energidensiteten i universum är. Om energidensiteten är liten så blir krökningen negativ. Universum är då format som en tredimensionell motsvarighet till en sadel och har i det enklaste fallet en oändlig utsträckning. Om vi på en sadel ritar upp en triangel och mäter summan av triangelns vinklar så blir den mindre än 80 grader. Å andra sidan så kommer omkretsen på en cirkel att bli större än 2πr. Om universums täthet är precis lika med den så kallade kritiska tätheten så saknar universum krökning. Man brukar då säga att det är platt, vilket betyder att all vår gamla vanliga geometri som vi har lärt oss för en platt yta stämmer, summan av vinklarna i en triangel är 80 grader, och cirkelns omkrets är 2πr. Också ett sådant universum har i det enklaste fallet en oändlig utsträckning. Om universum har en positiv krökning så är det format som den tredimensionella motsvarigheten till ytan på ett klot. I så fall är summan av vinklarna i en triangel större än 80 grader och cirkelns omkrets är mindre än 2πr. Ett sådant universum har en begränsad storlek, men det saknar ändå en kant. Det finns en möjlighet att universum kan vara ändligt stort även om krökningen inte är positiv om universum har en icke-trivial topologi. Universum kan till exempel vara format som en torus. I så fall kommer vi att kunna se samma del av universum i flera riktningar på himlen. Än så länge har man inte kunnat upptäcka någon sådan effekt.
4 Ett expanderande universum Alla galaxer utanför vår lokala galaxhop rör sig bort från oss enligt Hubbles lag v = Hr. () Om vi nu antar att en galax på avståndet r alltid har rört sig med hastigheten v, så kan vi beräkna den tid det tar för galaxen att komma dit ur sambandet r = vt, (2) som ger oss T = r v = r Hr = H. () Denna tid skulle vi naivt kunna tolka som universums ålder. Vårt moderna värde på H är 70 ± 0 km s Mpc. Vi får då att universums ålder är T =, 086 09 = = 4, 4 0 7 s =, 4 0 0 år. (4) H 70 Det faktum att universum har en ändlig ålder ger oss en lösning till Olbers paradox. Det är helt enkelt så att ljuset bara har hunnit gå 4 miljarder ljusår under universums existens, och även om det finns stjärnor längre bort, så har ljuset från dessa stjärnor inte nått fram till oss ännu. Det är dock inte så att vi skall tolka galaxernas rödförskjutningar som Doppler-effekter orsakade av galaxernas hastigheter, och framförallt skall vi inte tro att universum har sitt ursprung i en gigantisk explosion precis här, där vi befinner oss idag. Universum expanderar endast i betydelsen att alla avstånd i universum växer med tiden. Låt oss anta att jag med en magisk apparat kan förstora vårt klassrum. Säg att alla avstånd i klassrummet på en sekund blir dubbelt så stora. Det betyder att två bänkgrannar som tidigare satt på ett avstånd av m från varandra, efter en sekund sitter på ett avstånd av 2 m, det vill säga de tycker båda två att bänkgrannen har avlägsnat sig med hastigheten m s. Personen som sitter i nästa bänk, 2 m bort, har efter en sekund ökat sitt avstånd till 4 m, och har alltså rört sig bort med hastigheten 2 m s. Den här typen av uppförstoring av klassrummet leder alltså till Hubbles lag. Universum fungerar på samma sätt, rumtiden har en sådan struktur att alla avstånd i universum förstoras upp med tiden enligt en tidsberoende skalfaktor R(t), och därför växer avstånden mellan galaxerna trots att galaxerna själva sitter praktiskt taget stilla, i den meningen att de behåller samma koordinater i universum. Om vi kommer ner på enskilda galaxer och galaxhopar gäller dock inte denna expansionslag. På korta skalor i kosmos är gravitationen tillräckligt stark för att hålla emot expansionen och hindra galaxerna och galaxhoparna från att expandera. På vår vanliga vardagsskala expanderar inte heller vi själva eller föremålen i vår omgivning. Vi hålls nämligen ihop av starka kemiska bindningar, vilka är elektromagnetiska krafter. Vi kan nu också förstå den kosmologiska rödförskjutningen. Medan en ljusvåg går från en avlägsen galax till oss deltar den också i den kosmiska expansionen och ljusets våglängd ökar i proportion till hur mycket avståndet mellan oss och galaxen har ökat medan ljusstrålen har varit på väg. Vi betraktar en ljuskälla som sänder ut två ljuspulser tätt efter varandra vid tiden t, och som vi sedan tar emot vid jorden vid den nuvarande tidpunkten t 0. När ljuspulserna sänds ut är avståndet mellan dem våglängden λ 0 = R(t )dr, och när vi tar emot dem är avståndet mellan dem våglängden λ = R(t 0 )dr, där dr är en fix koordinatdifferens mellan vågtopparnas koordinater. Alltså kan vi skriva λ = R (t 0) λ 0 R (t ). (5) Vi ser här att förändringen av ljusets våglängd endast beror på skalfaktorn R(t) som beskriver universums expansion. λ 0 ovan är den våglängd vid vilken en atom sänder ut strålning. Denna förändras inte över tiden, utan den har alltid varit densamma, så vi kan mäta upp den i laboratoriet idag. Vanligen definierar vi rödförskjutningen som z = λ λ 0 λ 0 = λ λ 0, (6) 2
vilket ger oss + z = λ λ 0 = R (t 0) R (t ). (7) Om vi observerar en galaxhop med rödskiftet z betyder detta att medelavståndet mellan atomer eller galaxer var R (t ) /R (t 0 ) = (+z) gånger mindre när ljuset sändes ut än idag. Följdaktligen var gasdensiteten eller galaxdensiteten (R (t 0 ) /R (t )) = ( + z) gånger större när ljuset sändes ut än idag. Ju längre ut i universum som vi tittar, det vill säga ju längre bakåt i tiden vi ser, desto mindre är skalfaktorn. Det betyder naturligtvis att universum tidigare hade en betydligt högre täthet än idag. Om vi följer utvecklingen tillräckligt långt bakåt kommer vi att se att tätheten från början var oändligt stor. Vi har kommit tillbaka till det singulära tillstånd ur vilket universum uppstod. Låt oss istället betrakta fotonerna i universum. Deras densitet (antal fotoner per volymsenhet) minskar som /R (t) i samband med att universum utvidgas. Varje foton har en energi hc/λ, där våglängden λ också påverkas av universums expansion, så de enskilda fotonernas energier minskar som /R(t). Det betyder att energidensiteten för en gas som består av fotoner minskar som /R 4 (t). Alltså minskar strålningens energidensitet snabbare i universum än densiteten av vanlig materia, eller tvärtom kan vi säga att strålningen tidigare utgjorde en större andel av universums energidensitet, och en gång i tiden till och med måste ha dominerat i universum. Låt oss nu betrakta en gas av svartkroppsstrålning. Dess energidensitet är proportionell mot T 4, men vi har redan sagt att energidensiteten för strålningen i universum är proportionell mot /R 4 (t). Alltså måste temperaturen för den här strålningen vara T /R(t), och vi ser att inte bara densiteten utan också temperaturen blir oändlig när vi följer universums utveckling baklänges till big bang. 5 Universums expansion Vi har tidigare på kursen konstaterat att universum expanderar i den meningen att avstånden mellan galaxerna växer med tiden medan galaxerna egentligen ligger stilla. Strängt taget behöver man använda allmän relativitetsteori för att beskriva universums expansion matematiskt, men det är möjligt att fuska och använda newtonsk mekanik för att få fram rätt resultat efter en välvillig tolkning. Eftersom universum ser likadant ut överallt kan vi välja vilken punkt som helst i universum som dess centrum. Låt oss sedan studera en galax som idag ligger på avståndet r från denna punkt. Galaxens avstånd till centrumet har varierat över tiden, vilket vi uttrycker genom att skriva avståndet som rr(t), där R(t) är den tidsberoende skalfaktorn som idag har värdet. Galaxen påverkas av gravitationen från all materia som ligger innanför koordinaten r, men inte från materien utanför r enligt Gauss lag. Därför kan vi skriva galaxens potentiella energi som V = GM rm rr = Gm rr 4πr R ρ = 4πGmρr2 R 2. (8) Förändringen per tidsenhet av galaxens avstånd till centrum, dess hastighet, är rṙ(t). Därför kan vi skriva dess kinetiska energi som 2 mr2 Ṙ 2. (9) Alltså är galaxens totala energi E = 2 mr2 Ṙ 2 4πGmρr2 R 2, (0) vilket vi skriver om som k = E 2mr 2 = Ṙ2 8πGρR2. () I newtonsk mekanik gäller att för att galaxen skall kunna fortsätta att avlägsna sig i all evighet så måste E > 0, och tvärtom så gäller att om E < 0 så är galaxen bunden till universums centrum,
och den nuvarande expansionen kommer en dag att ersättas av en kontraktion. Det innebär att det finns en kritisk densitet ) 2 (Ṙ ρ crit =, (2) 8πG R som avgör huruvida universums expansion kommer att fortsätta i all evighet eller inte. Ṙ/R är inte något annat än Hubbles konstant, så med det nuvarande värdet på Hubbles konstant, så kan vi uppskatta att den kritiska densiteten idag är ρ crit = ( ) 2 70 8π 6.67 0.086 0 9 = 9 0 27 kg m. () Enligt newtonsk mekanik så skulle universum alltså fortsätta att expandera i all evighet om ρ < ρ crit och tvärtom skulle expansionen stoppa någon gång i framtiden om ρ > ρ crit. I allmän relativitetsteori har ρ crit och k en något annan betydelse. k mäter universums krökning. Om k är negativ så har universum en negativ krökning, det är sadelformat eller som man vanligen säger öppet, och om k är positiv så har det en positiv krökning, det är sfäriskt eller slutet. Speciellt så betyder det att om universums densitet är ρ crit, så saknar universum krökning, det är platt. Ofta är det bekvämt att mäta densiteten som bråkdelen av den kritiska densiteten. Vi definierar alltså Ω = ρ/ρ crit. De båda frågorna om universums geometriska form och dess framtida expansion är kopplade till varandra, men det är egentligen två separata frågor. För att avgöra vad som kommer att hända med universums expansion i framtiden kan man studera hur expansionshastigheten har varierat med tiden. Genom att mäta både rödförskjutning och avstånd till avlägsna galaxer, vilka vi ser såsom de såg ut vid den tiden då de sände ut det ljus som vi tar emot nu, så kan man spåra avvikelser från Hubbles lag. Dessa avvikelser är resultatet av hur gravitationen har påverkat expansionshastigheten. I praktiken är det svårt att mäta avståndet till avlägsna galaxer, och man väljer att istället studera en typ av supernovor, Ia, vilka alla har samma luminositet. Man kan då istället studera har ljusflödet från supernovan beror på dess kosmologiska rödförskjutning. Sådana studier under de sista tio åren har lett till den oväntade och märkliga slutsatsen att universums expansionshastighet idag inte avtar som man skulle kunna förvänta sig utan istället så accelererar universums expansion. Detta kan tolkas som att gravitationen blir repulsiv över stora avstånd i kosmos, vilket kan förstås som effekten av den så kallade kosmologiska konstanten, vilken Einstein en gång i tiden lade till i ekvationerna för den allmänna relativitetsteorin för att han skulle få en lösning som gav ett statiskt universum, vilket var hur de tyska astronomerna på 90-talet trodde att universum betedde sig. En annan möjlighet att tolka den accelererande expansionen är att i allmän relativitetsteori så är gravitationen inte bara ett resultat av energitätheten, e, i universum utan den beror också på trycket, så att gravitationen genereras av kvantiteten e + p. Energitätheten e måste alltid vara positiv, men det finns exempel på energifält som har negativt tryck. Man talar till exempel ibland om en vakuumenergi, för vilken e = p. En sådan vakuumenergi skulle alltså ge upphov till en repulsiv gravitation medan till exempel vanlig materia, för vilken trycket är praktiskt taget 0 ger en attraktiv gravitation. Mer allmänt har man infört beteckningen kvintessens eller mörk energi för ett energifält sådant att det gör gravitationen repulsiv. 6 Big bang, grundämnenas uppkomst och den kosmiska bakgrundsstrålningen Från det faktum att universum expanderar följer det att universum tidigare har varit tätare och hetare. Om vi extrapolerar expansion baklänges finner vi att universum har sitt ursprung i ett oändligt tätt och hett urtillstånd. Detta tillstånd kan vi inte beskriva med hjälp av de fysikaliska lagar som vi känner idag, men ungefär 0 6 s efter big bang så har temperaturen sjunkit så mycket att det kan bildas protoner och neutroner. Genom att protonen är lättare än neutronen så uppstår 4
det ett litet överskott av protoner, som växer medan universum expanderar så att vi till slut har sex protoner för varje neutron. Ungefär 0 s efter big bang har temperaturen sjunkit så mycket att protonerna och neutronerna i sin tur kan förenas i deuteriumkärnor. Sedan fortsätter kärnreaktionerna och bygger upp mer komplexa atomkärnor, i synnerhet 4 He, som är en mycket stabil atomkärna. Slutresultatet några minuter efter big bang är att praktiskt taget alla neutronerna är uppbundna i heliumkärnor. För att bilda en 4 He-kärna krävs det 2 st. neutroner och 2 st. protoner. De övriga 0 protonerna kommer att bilda vätekärnor. Alltså får vi att andelen heliumkärnor i kosmos blir = 9, %, (4) + 0 vilket stämmer väl med den nuvarande halten av helium i universum. Detta är ett starkt skäl till att big bang-modellen är den allmänt accepterade modellen för universums uppkomst. Samtidigt bildas det också små mängder av 2 H, He, 7 Li. Ymnigheterna för dessa isotoper beror på hur tätt universum är vid tiden för nukleosyntesen. Därför kan vi använda bestämningarna av ymnigheterna av dessa isotoper för att väga universum. 2 H är speciellt bra eftersom det inte kan bildas i stjärnorna utan bara förstöras. Sådana studier visar på att densiteten för vanlig materia i universum är bara 4% av den kritiska tätheten för universum. Medan universum sedan fortsätter att svalna av händer ingenting förrän ungefär 00 000 år efter big bang, då temperaturen har sjunkit till ca 000 K, vilket är tillräckligt lågt för att atomkärnorna skall kunna fånga in de fria elektroner som finns i universum och bilda neutrala atomer. Denna händelse kallas för universums rekombination. Medan elektronerna rörde sig fritt så blockerade de vägen för de fotoner som finns i universum, men när elektronerna fångas in så blir universum praktiskt taget genomskinligt, och fotonerna kan färdas tvärs genom universum utan att absorberas eller spridas. Det innebär att den första händelsen i universum som vi kan se är rekombinationen. Genom att universum expanderar så har den här strålningen blivit rödförskjuten med en faktor 000 sedan dess, eller med andra ord så har universum blivit 000 gånger kallare sedan strålningen bildades. Därför ser vi numera den här strålningen som en isotrop svartkroppsstrålning med temperaturen 2,7 K. Denna strålning upptäcktes på 960-talet av Penzias och Wilson och är ett viktigt observationellt stöd för big bang-modellen. 7 Universums sammansättning Det faktum att universums expansion accelererar indikerar alltså att universum delvis måste bestå av ett medium med negativt tryck, men accelerationen i sig räcker inte till för att bestämma hur mycket energi som finns i ett sådant medium. För att göra detta behövs det mer information. Sådan information kan vi få genom att studera mikrovågsbakgrunden. 992 upptäckte man genom observationer från den amerikanska satelliten COBE att det finns små fluktuationer i mikrovågsbakgrundens temperatur. Dessa fluktuationer är små variationer i densiteten i universum vid tiden för rekombinationen. Det är ur dessa densitetsfluktuationer som galaxer och galaxhopar senare bildas. Storleksfördelningen av dessa fluktuationer beror delvis på universums krökning, och genom mer detaljerade studier av mikrovågsbakgrunden från nya experiment har man nu sett att den pekar på att universum är platt. Detta betyder att universums totala energidensitet måste vara den kritiska densiteten (Ω 0 = ). Genom att kombinera studierna av mikrovågsbakgrunden och av typ Ia supernovorna, får man att kvintessensen ger Ω Λ = 0.7, medan materien i universum ger Ω m = 0.27, men vi har redan sett att densiteten av vanlig materia, så kallad baryonisk materia, som består av protoner, neutroner och elektroner ger bara Ω B = 0.04. Resten av universum består av någon form av mörk materia, som inte är uppbyggd av atomer, och denna mörka materia har Ω DM = 0.2. 5