Tema Oändligheten Människan har alltid funderat över oändligheten. Vem har inte tänkt att om universum inte var oändligt så måste det ha en gräns och vad skulle i så fall finnas på andra sidan. Ett motargument skulle kunna vara att universum är som en sfär (klot). Sfärens yta är ändlig men har ändå inte någon gräns. Universum skulle alltså vara en tredimensionell yta i ett fyrdimensionellt rum. Detta är faktiskt många kosmologers åsikt. Oändligheten behöver nu inte bara vara stor. Vi kan även tänka oss att halvera något. Den ena halvan kan i sin tur halveras igen utan något slut på halverandet. Enligt filosofen Platon har talen evig existens i idévärlden. Eftersom man till varje naturligt tal, n, kan finna ett större tal, n + 1, så finns det en oändlig serie av naturliga tal. Platons akademi - mosaik från en villa nära Pompeii, Italien som skildrar en sammankomst av grekiska filosofer. Den tredje mannen från vänster tros föreställa Platon. Det finns, varken i aritmetiken eller geometrin något aktuellt oändligt. I stället är t ex de naturliga talen potentiellt oändliga. Till varje tal kan man bilda ett större tal genom att addera talet 1. Aristoteles tankar om så olika vetenskaper som logik, biologi, astronomi, fysik, psykologi, metafysik, etik, kom att påverka västerlandet långt in på 1700-talet. Det existerar icke någon mängd, som innehåller ett oändligt antal föremål. Oändligheten - 1
Aristoteles syn på oändligheten ifrågasattes dock tidigare av t ex Galileo. Om vi betraktar de naturliga talen och tar bort alla udda tal så att bara de jämna blir kvar så är dessa enligt Galileo lika många som de ursprungliga naturliga talen. Hur resonerade han? På samma sätt som ett barn som inte kan räkna till fem skulle kunna tänkas göra för att visa att bägge händerna har lika många fingrar hon sätter händerna mot varandra och upptäcker att inga fingrar blir över. Galileo parade ihop varje naturligt tal n med det jämna talet 2n och följden blir att inga tal blir över. Tyvärr fullföljer inte Galileo tankegången och denna tanke har därefter kallats Galileos paradox. Den engelske matematikern John Wallis var den förste som introducerade den liggande åttan,, som en symbol för oändligheten i sin avhandling Arithmetica infinitorum (1665). För att kunna bevisa gravitationslagen behövdes nya matematiska redskap. Newton använde sig av begreppet fluxioner i sin skrift Tract on Fluxions och Leibniz något som han kallade infinitesimalen dx. Detta var ett tal som inte var noll men samtidigt mindre än varje positivt tal. Under hela 1800-talet var dock Aristoteles doktrin om oändligheten den gemensamma referensramen för matematiker. Slutligen motsades dock Aristoteles teori om oändligheten av Georg Cantor (1845-1918), tysk matematiker, mest känd som skaparen av mängdteori. Utgående från sina undersökningar av trigonometriska serier skapade Cantor dels en stringent teori för de reella talen, dels en teori om att det finns oändliga mängder av olika storlek. Hans teorier mötte starkt motstånd från andra matematiker men hans tankar segrade eftersom de gav en ny plattform för matematiken. Cantors teori bygger på den ovan beskrivna idén om ihopparning. Du kanske inte vet hur många element två mängder har men du vet att de två mängderna har lika många element. Cantor (liksom Galileo) använder samma förfarande på oändliga mängder. Vi kan upptäcka om två mängder är lika stora genom att para ihop varje element i den ena mängden med ett i den andra och tvärtom. Den en-entydig tillordning mellan elementen i två mängder är för Cantor definitionen av att de är lika "stora" eller likmäktiga. Oändligheten - 2
1 2 3 4 5 6 n 2 4 6 8 10 12 2n Problemet med oändligheten är att vi inte kan räkna så långt. Cantors insikt var att att vi ändå kan säga att två mängder har samma storlek genom att hitta Definition En mängd är oändlig om vi kan ta bort en del av dess element utan att reducera dess storlek. Man säger att två mängder med samma storlek har samma kardinalitet. Dvs mängden av udda tal har samma kardinalitet som alla naturliga tal. Vi säger dessutom att alla mängder med samma kardinalitet som de naturliga talen är räknebara. Har alla oändliga mängder samma kardinalitet? Vi vet att de rationella talen ligger tätt. Vilka två rationella tal vi än tar så kan vi hitta oändligt många rationella tal mellan dessa. Vår intuition säger oss då att de rationella talen är många fler än de naturliga talen som inte ligger så tätt på tallinjen. Figuren nedan visar hur man kommer från det rationella talet 1/1 till alla andra sådana genom att följa den räta linjen dvs genom att räkna sig fram bland de naturliga talen. De reella talen har en kardinalitet större än de naturliga talen. Vi använder en bevismetod för slutsatsen som kallas indirekt. Vi antar att de reella Oändligheten - 3
talen är räknebara. Eftersom de reella talen kan representeras i decimalform så skulle en lista över de reella tal kunna se ut på följande sätt: 1 2, 3 9 7 2 0 4 8 1 7 2 14, 5 2 6 6 1 3 8 0 9 3 0, 4 9 8 3 1 0 1 2 3 4 292, 2 7 5 4 1 8 8 3 1 5 12, 0 0 2 2 0 0 0 2 5 6 1, 9 9 9 9 0 4 6 8 1........... Talen till vänster är de naturliga talen och talen till höger är de avräknade reella talen. Vi antar vidare, genom att gå tillräckligt långt ned på listan så hittar vi alla reella tal. Enligt Cantor finns det åtminstone ett tal som inte finns i den högra kolumnen. Han resonerade så här. Skapa ett nytt reellt tal som börjar med 0, och låt dess första decimal var olik det första reella talets första decimal (=3). Vi har t ex 0,6. Välj den andra decimalen genom att låta den vara olik det andra reella talets decimal (=2). Vi har t ex 0,68. Vi fortsätter på detta sätt med alla decimaler så att för alla n är den n:e decimalen i det n:e reella talet på listan är olik vårt konstruerade tal. Figuren nedan förtydligar vår process. 1 2, 3 9 7 2 0 4 8 1 7 2 14, 5 2 6 6 1 3 8 0 9 3 0, 4 9 8 3 1 0 1 2 3 4 292, 2 7 5 4 1 8 8 3 1 5 12, 0 0 2 2 0 0 0 2 5 6 1, 9 9 9 9 0 4 6 8 1........... 0, 6 8 3 1 7 5... Varför finns inte vårt konstruerade tal med på den numrerade listan? Vi antog att listan var komplett. Eftersom vi hittat ett reellt tal som inte fanns där måste vår hypotes vara falsk. De reella talen har alltså en högra Oändligheten - 4
0T א 0 א 1 ordning på sin oändlighet än de naturliga talen. De har en högre kardinalitet. Kardinaltal Vi har alltså två kardinaliteter, den räknebara kardinaliteten av naturliga tal och den oräknebara kardinaliteten av reella tal. Vi kallar dem för kardinaltal med symbolerna ω och k (kontinuum) för mängden av reella tal. Eftersom kardinaltal används för att bestämma storleken på mängder så kallas även de naturliga talen för kardinaltal, sk finita kardinaltal. ω och c kallas transfinita kardinaltal. Alltså gäller kardinaltalen = { 0, 1, 2, 3,, ω, c, } Finns det fler kardinaltal? Antag att X är en oändlig mängd: X = {a, b, c, d, e,... }. Med potensmängden till X menar vi mängden av alla delmängder till X. P(X) = {, {a }, { a, b }, { b, c, e }, { a, c }, { e }, } Cantors theorem säger att om vi har en godtycklig mängd X så har potensmängden till X en högre kardinalitet än X. Det finns oändligt många kardinaltal. Varför? 0TCantor införde speciella symboler, den hebreiska bokstaven א (alef), för denna hierarki av kardinaltal. är det första oändliga kardinaltalet och betecknar kardinaliteten hos א 0 de naturliga talen. Kardinaltal = {0, 1, 2, 3, 4, 5,, } 0TCantor trodde att 0Tc0T var א 1 dvs det kardinaltal som är närmast א 0 i storlek. Denna hypotes kallas kontinuumhypotesen. Kurt Gödel visade 1930 att hypotesen inte kan falsifieras och på 60-talet visade Paul Cohen att den inte heller kan verifieras. 0TI dag genomsyras matematiken av mängdteoretiska begreppsbildningar. De flesta matematiska teorier kan rekonstrueras inom mängdteorin, eller för att citera matematiker: "modern matematik kan nästan i sin helhet härledas från en enda källa, från mängdteorin". T ex kan de naturliga talen och för övrigt alla andra tal och de aritmetiska operationerna definieras inom mängdteorin. Oändligheten - 5
Bertrand Russell Bertrand Russell brukar få äran av att ha upptäckt "Russells paradox", som visar på en motsägelse i Cantors mängdbegrepp från 1870-talet. Den uppstår genom att man betraktar mängden M av alla mängder som inte innehåller sig själva. Frågan är om M tillhör sig själv? Bertrand Russell har även formulerat paradoxen i följande form: Barberaren i en liten by rakar folk enligt regeln: Han rakar alla dem som inte rakar sig själva. Rakar eller rakar han inte sig själv enligt denna regel? Russel och många andra matematiker har på olika sätt försökt komma undan motsägelsen i dessa paradoxer genom att ställa formella krav på mängder. För att förstå hur svårt det är att visa att ett antal axiom är konsistenta, dvs inte ger några motsägelser då de kombineras, kan man betänka att ingen hittills har kunnat visa motsägelsefrihet i Zermelo-Fraenkels axiomsystem, som är en modern kandidat till beteckningen mängdlära. "Russell, Bertrand" (1872-1970) var engelsk filosof, logiker, matematiker och pacifist. På äldre dagar var han både verksam vid Trinity College i Cambridge och lidelsefull samhällskritiker. Han var pionjär i arbetet mot atomvapen och en av initiativtagarna till Russell-tribunalen som undersökte USA:s krig i Vietnam. Han mottog Nobelpriset i litteratur 1950. Oändligheten - 6
Oändligheten - 7