Laboration 3: Parameterskattning och Fördelningsanpassning

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 3: Parameterskattning och Fördelningsanpassning 1 Syfte Syftet med denna datorlaboration är att undersöka i vilken mån några av de fördelningar som presenterats i kursen kan användas för att beskriva olika slumpmässigt varierande fenomen, som vi kan iaktta i vår omvärld. Vi skall främst presentera några enkla grafiska metoder som man kan använda för att undersöka vilka fördelningar som vårt datamaterial skulle kunna komma från. Vi skall främst studera normal- och exponentialfördelningen med hjälp av simuleringar men också med utgångspunkt i verkliga datamaterial. Analysen kommer huvudsakligen att vara grafisk, men vi kommer också att illustrera begreppet punktskattning. I kommande laborationer och på räkneövningarna kommer ni att träna olika metoder att beräkna s. k. parameterskattningar. Exempel på parametrar som ni kommmit i kontakt med är p i binomialfördelningen och m i normalfördelningen. Parameterskattningar behövs i denna laboration för att kunna anpassa den fördelning vi ansatt till det givna datamaterialet. I dessa sammanhang kan MATLAB-funktionerna mean, var och std ofta vara till nytta. Förberedelseuppgifter Du skall ha läst igenom hela denna handledning och löst förberedelseuppgifterna innan du kommer till laborationen. Hemuppgift 1: Antag att ni erhållit ett datamaterial, stickprovet x = (x 1, x 2, x 3,..., x n ) och att ni vill beskriva detta datamaterial med hjälp av MATLAB. Fyll i nedanstående tabell: a b c Aritmetiskt medelvärde för x Stickprovsstandardavvikelse för x Stickprovsvarians för x Beteckning i boken Kommando i MATLAB Antag att ni har anledning att tro att x kommer från en normalfördelning. Lämna förslag på hur man med hjälp av stickprovet x skulle kunna skatta väntevärdet, m, och standardavvikelsen, s, i denna fördelning. Hemuppgift 2: Med hjälp av ett stickprov, t.ex. x, från en stokastisk variabel, t. ex. X, kan man även skatta fördelningsfunktionen för X. Datapunkterna, x i sorteras från minsta till största. Andelen datapunkter som är mindre eller lika med x i plottas sedan mot x i. Det blir en växande trappstegsfunktion som tar ett skutt med höjd 1/n för varje datapunkt. Denna funktion kallas empirisk fördelningsfunktion och genom den kan bl. a. kvantilerna för X skattas. En exakt beskrivning av hur man gör en empirisk fördelningsfunktion följer nedan. Vid ett givet slumpmässigt stickprov x=(x 1, x 2,...,x n ) gör man på följande sätt: (a) Först sorteras stickprovet i växande ord-

ning, betecknas x (1), x (2),...,x (n). (b) Man skattar fördelningsfunktionen F(x) med det vi kallar för den empiriska fördelningsfunktionen F n (x). Den definieras som: F n (x) = 0, x < x (1), i/n, x (i) x < x (i+1), 1, x (n) x (c) Därefter plottas de n stycken talparen (x (i), i n ) så att ett hopp från (i 1)/n till i/n med höjd 1/n bildas för varje x (i). Rita den empirska fördelningsfunktionen för stickprovet x = ( 4.6, 1.6, 1.0, 0.8, 0.4, 0.9, 2.1, 2.7, 4.0, 4, 9) Vi ska snart se hur detta kan göras med hjälp av Matlab-kommandon. Skatta nu med hjälp av er figur medianen för den fördelning som x kommer ifrån. Vad anger y-axeln i er figur? Hemuppgift 3: Läs om normalfördelningspapper i boken, s 274 277. Hemuppgift 4: Repetera avsnitt 6.3 om centrala gränsvärdessatsen i kursboken, s. 165 170. 2 Fördelningspapper 2.1 Empirisk fördelningsfunktion och normalfördelningspapper I MATLAB kan den empiriska fördelningsfuntionen, F n (x), ritas med hjälp av funktionen stairs. Nedanstående kommandorader exemplifierar tekniken med hjälp av 100 observationer från en stokastisk variabel X N (2, 1). >> A = normrnd(2,1,100,1); >> B = sort(a); >> Fn = (1:1:length(B))/length(B); % övre hörn för F_n >> stairs(b,fn); >> grid on Istället för att skriva en egen m-fil som samlar ihop ovanstående kommandon kan man använda Matlabs inbyggda funktion cdfplot som automatiskt plockar fram den empiriska fördelningsfunktionen F n (x). Prova själv. Använd help för att komma underfund med funktionen. Plotta därefter den empiriska fördelningsfunktionen för stickprovet A. >> help(cdfplot) >> cdfplot(a); Uppgift 2.1: På y-axeln har vi F n (x). Använd denna för att skatta väntevärdet i den fördelning som vektorn A är en observation av. Uppgift 2.2: Eftersom vi känner m och s i det här fallet (se kommandot som användes för att generera A) kan vi komplettera figuren med den riktiga fördelningsfunktionen, F X (x). Gör det och glöm inte att använda hold on innan du plottar F X (x) ovanpå F n (x). Fördelningsfunktionen för en normalfördelning kallas i Matlab för normcdf(x,m, s) %generera först en x-vektor %med lämpliga ändpunkter >> x=min(b)-0.1:0.01:max(b)+0.1; >> hold on >> plot(x,normcdf(x,2,1)) >> hold off Om vi vet eller misstänker att stickprovet kommer från en normalfördelning kan vi istället plotta det ordnade stickprovet i ett normalfördelningspapper. Skalan på y-axeln i ett normalfördelningspapper är anpassad så att observationerna kommer att följa en rät linje om de är normalfördelade. Om vi får någon kurvatur indikerar detta alltså att observationerna inte är normalfördelade. I MATLAB kan man direkt plotta ett stickprov 2

i ett normalfördelningspapper med kommandot normplot. Använd help för att komma underfund med funktionen. Plotta därefter stickprovet A i ett normalfördelningspapper. >> help normplot >> normplot(a) Uppgift 2.3: Försök lista ut hur man skattar s i en normalfördelningsplott. Titta gärna i boken på sidan 277. Verifiera tekniken med er labhandledare. Skatta nu väntevärdet m och standardavvikelsen s i normalfördelningsplotten. Stämmer det med det använda stickprovet? 2.2 Validering av fördelning normalfördelningspapper Under kursens gång har du kommit i kontakt med ett antal olika fördelningar modeller för slumpvariation. Gemensamt för dessa fördelningar är att de innehåller en eller flera parametrar som påverkar fördelningens läge och spridning (och ibland även form). I praktiska sammanhang arbetar man ofta under antagande om att de mätningar man gör, observationer av slumpvariabler, kommer från en viss fördelning, men man känner inte värdena av de aktuella parametrarna för fördelningen. Ett naturligt tillvägagångssätt är då att använda det insamlade datamaterialet till att skatta dessa parametrar. Varje skattning som man åstadkommer på detta vis blir således en funktion av det insamlade datamaterialet. Stickprovsmedelvärdet, x, och stickprovsvariansen, s 2, är exempel på sådana funktioner. I det här laborationsmomentet skall du i första hand studera fördelningen hos ett stickprov och då speciellt i relation till normalfördelningen. För att få lite rutin på hur ett stickprov ser ut när det inte kommer från en normalfördelning, ska du plotta stickprov som kommer från andra fördelningar. Använd MATLABs inbyggda slumptalsfunktioner, normrnd, rand samt exprnd, för att generera slumptal från normal-, rektangel- och exponentialfördelningar. Uppgiften kan du lösa genom att simulera, till exempel, 100 slumptal från respektive fördelning. Skriv gärna era kommandon först i en m.fil, för smidig återanvändning >> N = normrnd(2,1,100,1); % slumptal från en normalfördelning >> R = 4*rand(100,1); % rektangelfördelade på (0, 4) >> E = exprnd(2,100,1); % Exponentialfördelade slumptal Uppgift 2.4: Undersök hur den empiriska fördelningsfunktionen, F n (x), ser ut för ett normalfördelat, rektangelfördelat respektive exponentialfördelat stickprov. För att kunna jämföra de tre fördelningarna är det bra att plotta dem med subplot-funktionen. Välj t. ex. >> figure subplot (311) för N, subplot (312) för R, subplot (313) för E % Exempel för normalfördelningen % >> subplot(311) >> cdfplot(n); >> grid on >> title( Empirisk fördelningsfunktion från normalfördelning ) Upprepa för N, R och E så att ni får alla tre fördelningarna i var sin subplot. Jämför de tre plottarna. Uppgift 2.5: Avgör därefter hur N, R, och E ser ut i ett normalfördelningspapper. Använd först kommandot (figure) så att ni får fram en ny figur. Gör sedan en ny figur med tre subplottar i samma ordning som de tidigare med kommandot (normplot). Märk på något sätt ut vilken subplot som hänger ihop med vilken fördelning (T. ex. med title). Beskriv resultatet: 3

Uppgift 2.6: Skatta väntevärde och varians för var och en av de tre fördelningarna med hjälp av MATLAB och de simulerade slumptalen från respektive fördelningar i N, R, samt E. Använd x för att skatta väntevärdet och s 2 för att skatta variansen, dvs kommandona mean och var i MATLAB. Jämför era parameterskattningar med respektive fördelnings riktiga parametrar E( ) och V( ). Dessa kan erhållas genom att studera era kommandon när ni simulerade stickproven. Använd formelsamlingen och kurslitteraturen för att identifiera parametrarna. Hur stämmer era skattningar med de riktiga parametrarna? Uppgift 2.7: Nu skall ni studera fördelningen för medelvärdet i de tre fördelningarna. Från varje fördelning kan man få 100 medelvärden genom att i stället simulera 100 stickprov med till exempel 1000 observationer och lagra slumptalen i en 1000 100 matris. När man i MATLAB bildar medelvärdet av en matris fås en vektor med medelvärdet för respektive kolonn. Studera först vad som händer när man tar medelvärdet av en 3x2-matris: >> Y=[3 30;5 25; 4 20] >> mean(y) >> NN = normrnd(2,1,1000,100); % slumptal från en normalfördelning >> RR = 4*rand(1000,100); % rektangelfördelade på (0, 4) >> EE = exprnd(2,1000,100); % Exponentialfördelade slumptal Beräkna medelvärdet av respektive kolonn i matriserna, NN, RR samt EE. Du får alltså 100 observationer av medelvärden från respektive fördelning. Plotta dessa i varsitt normalfördelningspapper. %Exempel för normalfördelningen >> DN = mean(nn); >> figure >> subplot(311) >> normplot(dn); >> title( Medelvärden av 1000 stickprov från en normalfördelning ) Komplettera med motsvarande figurer för de andra fördelningarna och jämför även med den tidigare bilden med normalfördelningsplottar för de tre fördelningarna. Uppgift 2.8: Vilken fördelning skall du approximativt få enligt teorin kring Centrala GränsvärdesSatsen (CGS) i vart och ett av de tre fallen? Stämmer resultatet med CGS? Uppgift 2.9: Vi vet att om X 1,..., X n är oberoende stokastiska variabler med E(X i ) = m och V (X i ) = s 2 för i = 1,..., n så är n i=1 E( X i ) = m n och n i=1 V ( X i ) = s2 n n. Beräkna med hjälp av dessa uttryck väntevärde och varians hos var och en av de tre stokastiska variabler som mean(nn), mean(rr) och mean(ee) är observationer av. Skatta sedan, med hjälp av MATLAB-kommandona mean och var, väntevärde och varians hos dessa tre stokastiska variabler. Hur stämmer skattningarna med de teoretiska värdena? 3 Återanknytning till Lab 1 (* frivillig uppgift) 3.1 Jordbävningar I laboration 1 studerade ni datamaterial över tidsavståndet mellan de stora jordbävningarna under 1900-talet. Om det är så att dessa jordbävningar förekommer slumpmässigt i tiden så kommer tidsavståndet mellan två efterföljande händelser att vara exponentialfördelad, s.v. Exp(l). Datamaterialet kommer ni åt med hjälp av kommandot load(quakeper). 4

Uppgift 3.1: Undersök ifall exponetialfördelningen eller normalfördelningen är en vettig modell för detta datamaterial. Plocka fram följande tre figurer med hjälp av Matlab. subplot (311) för Normerat histogram, subplot (312) för Empirisk fördelningsfunktion, subplot (313) för Koll av normalfördelningsantagandet Undersök nu om man kan anpassa en exponetialfördelning till datamaterialet. Uppgift 3.2: Hur skattar man väntevärdet E[x] i en exponentialfördelning?. >> figure % Quakeperiod % >> subplot(211) >> hist2(quakeper,20); >> title( Quakeperiod, normerat histogram ) >> grid on, hold on >> help(exppdf) >> ------- % Fixa en tidsaxel % >> ------- % Plotta täthetssfunktionen % >> subplot(212) >> cdfplot(quakeper); >> title( Empirisk fördelningsfunktion ) >> grid on, hold on >> help(expcdf) >> ------- % Fixa en tidsaxel % >> ------- % Plotta Fördelningsfunktionen % Uppgift 3.4: Vad får ni för skattning av 10 %-kvantilen? Uppgift 3.3: Hur använder man denna skattning för skatta värdet på parametern i exponentialfördelningen? Vad fick ni för värde? Plocka nu fram en ny figur och plotta en exponetialfördelning där ni som parametervärde använder er skattning. Täthetsfunktionen för en exponetialfördelad slumpvariabel heter i Matlab: exppdf och fördelningsfunktionen kallas för expcdf. 4 Avslutning Vi har i denna datorlaboration sett exempel på hur man med en kombination av teori och empiri kan hitta fördelningar som mer eller mindre väl beskriver den slumpmässiga variationen hos verkliga händelser. Kan vi hitta en sannolikhetsfördelning vars teoretiska egenskaper är väl kända och som dessutom passar väl till de observationer vi gjort i verkligheten, så ger detta oss en möjlighet att beräkna olika sannolikheter och på mera objektiv grund bedöma risker, med mera. 5

Användbara Matlab-kommandon help kommando ger en hjälptext till kommandot kommando load filnamn hämtar alla variabler från filen filnamn.mat och laddar in dem i Matlab whos ger en detaljerad lista över de variabler som finns definierade hist(x) ritar ett 10-intervalls histogram för elementen i vektorn x mean(x) beräknar aritmetiska medelvärdet av elementen i vektorn x mean(a) om A är en m n matris fås en 1 n matris innehållande aritmetiska medelvärdena för varje kolonn i A median(x) beräknar medianen av elementen i vektorn x std(x) beräknar standardavvikelsen av elementen i vektorn x var(x) beräknar variansen av elementen i vektorn x plot(x,y,str) plottar y mot x. Använder färg och form enligt strängen str plot(y,str) plottar de ordnade talparen (j, y j ). Använder färg och form enligt strängen str subplot(m,n,p) delar grafikfönstret i m n delfönster, aktuellt fönster blir fönster nr p, delfönstren numreras från vänster till höger, uppifrån och ner title(text) skriver ut strängen text överst i grafikfönstret hold on håller kvar aktuellt grafikfönster så att man kan rita flera figurer i samma fönster hold off avlutar kvarhållningen av grafikfönster axis([v1 v2 v3 v4]) sätter axlarnas skalor så att x min = v1, x max = v2, y min = v3 och y max = v4 sort(x) ger en vektor med elementen i vektorn x sorterade i växande ordning rand(m,n) ger en m n-matris med slumptal från en rektangelfördelning på (0,1) normrnd(m,s,i,j) ger en i j-matris med slumptal från en normalfördelning med väntevärde m och standardavvikelse s exprnd(m,i,j) ger en i j-matris med slumptal från exponentialfördelning med väntevärde m i:j:k ger en följd av värden från i till j i steg om j, dvs i,i+j,i+2j,...k figure öppnar ett nytt grafikfönster stairs(z, x) ritar trappstegsdiagram över värdena i x i positionerna givna av vektorn z grid on ritar ut ett rutnät i grafikfönstret grid off tar bort rutnätet från grafikfönstret cdfplot(x) plottar den empiriska fördelningsfunktionen mot värdena i x normplot(x) plottar data i x i ett normalfördelningspapper expcdf(x,m) ger fördelningsfunktionen för en exponentialfördelad stokastisk variablel med väntevärde m, beräknad i punkterna i x exppdf(x,m) ger täthetsfunktionen för en exponentialfördelad stokastisk variablel med väntevärde m, beräknad i punkterna i x 6