Laboration 5: Intervallskattning och hypotesprövning

Transkript

1 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 10, HT-01 Laboration 5: Intervallskattning och hypotesprövning Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden Intervallskattning Hypotesprövning Normalapproximation Dessutom får du möjlighet att arbeta igenom några större verkliga problem. Vi kommer att ägna oss åt statistisk analys av radonmätningar i bostadshus och försöka bedöma om gällande gränsvärden kan anses vara över- eller underskridna. 1 Förberedelseuppgifter Som förberedelse till laborationen bör du läsa igenom Kapitel 1 och, Blom: Bok B (0 och 1 i gamla upplagan), samt hela laborationshandledningen. Fräscha också upp minnet av mottagarkänslighet hos mobiltelefoner i Laboration. Till laborationens start har du med dig lösningar till uppgift (a) (f): (a) Ett intervall I j som med sannolikheten 1 a täcker över j kallas ett konfidensintervall för j med konfidensgraden 1 a. Ge en frekvenstolkning av begreppet konfidensgrad. (b) Redogör för sambandet mellan intervallskattning och hypotesprövning. Om du vill testa H 0 : m = m 0 mot H 1 : m < m 0 med hjälp av ett intervall, hur skall detta intervall konstrueras: tvåsidigt, uppåt begränsat eller nedåt begränsat? (c) Vi har ett stickprov x 1,..., x n från N(m, s ) där m och s är okända. Hur bildas ett tvåsidigt 95% konfidensintervall för m? Hur bildas ett tvåsidigt 95% konfidensintervall för s? (d) Vi har två stora, oberoende stickprov x 1,..., x n1 med E(X i ) = m 1 och V(X i ) = s samt y 1,..., y n med E(Y i ) = m och V(Y i ) = s där m 1, m och s är okända. Hur testar man H 0 : m 1 = m mot H 1 : m 1 < m på den approximativa signifikansnivån 5 %? (e) Vi har två stickprov x 1,..., x n med E(X i ) = m i +D och V(X i ) = s 1 samt y 1,..., y n med E(Y i ) = m i och V(Y i ) = s där m i, D, s 1 och s är okända. Vi vet också att X i Y i är normalfördelade. Hur testar man H 0 : D = 0 mot H 1 : D < 0 på signifikansnivån 5 %? Hur ser styrkefunktionen för testet ut? (f) Lös inlämningsuppgift 3(e). Vilka approximativa normalfördelningar har g 1, g, g Hur ser ensidiga, uppåt begränsade 95 % konfidensintervall för g 1, g, g 3 och g 3 och g? ut?

2 Tolkning av konfidensintervall Vi utgår från en normalfördelning N(3, ). Antag att väntevärdet 3 och standardavvikelsen är okända för oss och att vi vill skatta dem genom att ta stickprov, x 1,..., x n, om n observationer och bilda m = x respektive s = s och göra konfidensintervall på vanligt sätt, se förberedelseuppgift (c). För att räkna ut konfidensintervallen behövs kvantilerna t a /(n 1), q a / (n 1) och q 1 a /(n 1). De fås i MATLAB med tinv(1-alfa/,n-1), chiinv(1-alfa/,n-1) respektive chiinv(alfa/,n-1). Observera att definitionen är omvänd mot boken. Uppgift 1: Simulera 1000 stickprov om 5 värden från N(3, ) och skatta m och s i varje stickprov. (a) Beräkna 95 %-iga konfidensintervall för m och för s och plotta övre och undre gränserna i konfidensintervallen för några stickprov (förslagsvis ett 50-tal). Om skattningarna ligger i radvektorn hatt, de undre gränserna i low och de övre i high kan vi rita ut de 50 första intervallen med v = 1:50; plot([v;v;v],[low(v);hatt(v);high(v)], -* ) Kommentar: (b) Hur många av intervallen för m ligger för högt, dvs har en undre gräns som är större än m = 3? Hur många ligger för lågt? Ska det vara någon skillnad? Hur många intervall ska enligt teorin i genomsnitt missa m? (c) Hur många av intervallen för s ligger för högt, dvs har en undre gräns som är större än s =? Hur många ligger för lågt? Ska det vara någon skillnad? Hur många intervall ska enligt teorin i genomsnitt missa s? Uppgift : Simulera 1000 nya stickprov om 5 värden istället och gör om beräkningarna. Hur påverkar stickprovsstorleken konfidensintervallens bredd? Hur många missar nu? Skall det vara någon skillnad mot tidigare? 3 Mottagarkänslighet Under laboration och datamaterialet sensitivity.mat studerade vi mottagarkänslighet för 76 telefoner för en radiokanal kring MHz (mitt på GSMs mottagarfrekvensband), kolonn, och för en radiokanal kring 935 (en kanal längst ner på frekvensbandet), kolonn 1. Under laboration 1 studerade vi histogrammen nedan och ställde frågan om det var någon skillnad mellan väntevärdena. >> addpath g:/matstat/ikurs >> load sensitivity >> slc=sensitivity(:,1); >> smc=sensitivity(:,);

3 >> x=-109:0.3:-104; >> subplot(,1,1) >> hist(slc,x) >> axis([ ]) >> grid >> subplot(,1,) >> hist(smc,x) >> axis([ ]) >> grid I histogrammen ser man en tydlig skillnad men är den signifikant? 3.1 Test av skillnad mellan väntevärden Uppgift 3: Beräkna medelvärde och standardavvikelse för de två kolonnerna, anta att standardavvikelserna är lika, samt testa på nivån a om det finns någon skillnad mellan väntevärdena m smc och m slc ; se förberedelseuppgift (d). H 0 : m smc = m slc, H 1 : m smc < m slc. Om du vill får du gärna konstruera motsvarande ensidiga konfidensintervall i stället och på så sätt avgöra om data styrker vår uppfattning om att känsligheten är sämre för kanaler nära frekvensbandets ändpunkter. 3. Stickprov i par I själva verket hör mätningarna ihop parvis. Den första mätningen av SMC och SLC är gjord på samma telefon och är knappast oberoende; en dålig telefon är antagligen dålig över hela frekvensbandet. Plotta SMC mot SLC för att se att så är fallet. De s -skattningar vi gjorde ovan innefattar alltså även variationen mellan telefoner och ger en kraftig överskattning av variationen i skillnad mellan de två frekvensbanden för en enskild telefon. Uppgift 4: Beräkna de parvisa skillnaderna mellan SMC och SLC och gör ett histogram. Skatta väntevärdet (D = m smc m slc ) och standardavvikelsen för skillnaderna och testa H 0 : D = 0, H 1 : D < 0. Hur blir det nu med signifikansen? 3.3 Styrkefunktion Antag att du har observationer från N(D, s ) och vill testa om H 0 : D = 0 mot H 1 : D < 0 genom att, som ovan, göra n försök på signifikansnivån a. Hur bra är detta test? Om den sanna skillnaden inte är 0 utan 0.5, med vilken sannolikhet kommer jag då att, med detta test, upptäcka att H 0 är falsk? 3

4 Hur många mätningar måste jag göra för att med sannolikhet 0.90 upptäcka att H 0 är falsk då D själva verket är 0.1? i Dessa frågor kan besvaras med hjälp av styrkefunktionen som definieras som h(d ) = P(H 0 förkastas om det sanna värdet är d ) Z = P( s/ n < t a (n 1) om Z N(d, s / n)) = P( Z d s/ n < t a (n 1) d s/ n ) ( ) = F T t a (n 1) d s/ n där F T (x) är fördelningsfunktionen för en t(n 1)-fördelad stokastisk variabel (tcdf(x,n-1) i MATLAB). Styrkefunktionen beror alltså på signifikansnivån a (som vi kan välja själva), stickprovsstorleken n (som beror på budgeten) och standardavvikelsen s (som vi får gissa med hjälp av skattningen). Uppgift 5: Använd den specialskrivna funktionen styrka.m för att se hur styrkefunktionen beter sig. Gör först help styrka för att se vilka parametrar den vill ha. a s d d (a) Rita upp styrkefunktionen då = 0.05, = 0.4 och n = 5. Är du nöjd med funktionen? Hur stor är sannolikheten att förkasta H 0 om är 0.5? Om är 0.1? (b) Hur bör styrkefunktionen ändra sig om vi ändrar stickprovsstorleken? Om vi ändrar signifikansnivån? Om vi ändrar standardavvikelsen? Vilken strategi är bäst för att uppnå en idealisk styrkefunktion? (c) Rita upp styrkefunktionen då n = 76, s = 0.4 och a = Hur små kan avvikelserna från H 0 vara om vi fortfarande skall ha minst 90 % chans att upptäcka att H 0 är falsk? (Du kan behöva välja delta-värden själv och utnyttja grid och zoom.) (d) Hur ändrar sig styrkefunktionen om vi gör ett tvåsidigt test istället? Blir det lättare eller svårare att upptäcka att H 0 är felaktig när d är 0.5? Experimentera lite med styrka och se vad som händer när du ändrar parametrarna. 4 Radon För den som har tid över och undrar vad inlämningsuppgift 3(e) var bra för. 4.1 Något om radonmätningar Radon är en ädelgas som är radioaktiv. Den vanligast förekommande isotopen har en halveringstid på 3.8 dygn. Radonisotopen sönderfaller till nya ämnen, s.k. radondöttrar, som i sin tur är radioaktiva med mycket kort halveringstid. Vid sönderfallen bildas alfa-partiklar, som, när de far fram, kan orsaka skada 4

5 i sin allra närmaste omgivning. Om gasen eller någon av döttrarna har inandats utgör lungvävnaden den närmaste omgivningen. Radon och dess döttrar är delar av en lång s.k. sönderfallskedja som startar med uran och slutar med bly. Ett sätt att mäta radonkoncentrationen i inomhusluften är att hänga upp en alfa-känslig film. När den träffas av en alfa-partikel uppstår en skada i filmen i träffpunkten. Denna skada förstärks vid framkallning av filmen så att det blir ett hål i filmen. Bilden nedan visar hur ett hål kan se ut efter framkallning då man tittar på filmen i mikroskop. Hålen har maximalt diametern 7 m m. Antalet hål på en yta är ett mått på radonkoncentrationen. Figur 1: Framkallad alfa-känslig film. Bilden såväl som delar av texten har tillhandahållits av Gilbert Jönsson vid Atomfysik, LTH 4. Statistisk modell För att kunna göra en ordentlig statistisk analys av ett mätmaterial behöver vi mer statistisk kunskap om radioaktivt sönderfall. Det visar sig att tidpunkterna och platserna (rumskoordinaterna) för sönderfallen bildar en s.k. poisson-process (efter den franske matematikern Poisson). Poisson-processen behandlas utförligt i fortsättningskursen i stokastiska processer. Enkelt kan man säga att sannolikheten för att en given radonatom skall sönderfalla i ett givet tidsintervall är fix, och oberoende av vad som har hänt tidigare. Bl.a. innebär detta att antalet hål på en given yta av en film är poisson-fördelat med ett väntevärde som är proportionellt mot radonkoncentrationen, exponeringstiden och ytans storlek. Vidare är antalet hål på olika disjunkta (ej överlappande) ytor på en film oberoende stokastiska variabler. Detta är vad som visar sig väsentligt i den fortsatta analysen. Det datamaterial som vi skall arbeta med har uppmätts genom att ett antal rum i en bostad har försetts med var sin film. Dessa filmer har efter framkallning avlästs på tio olika icke överlappande ytor, med fix storlek, var. Vi inför följande beteckningar: n = antalet upphängda filmer, dvs antalet rum, g i = radonkoncentrationen i rum i, mätt i Bq/m 3, X ij = antalet hål i film i på yta j, i = 1,..., n, j = 1,..., 10. Enligt ovan gäller då att X ij Po(K g i) där proportionalitetskonstanten K, som nämnts, beror på avläsningsytornas storlek och exponeringstiden, men också på bl.a. förstoringen vid avläsningen av filmerna. 5

6 g 4.3 Punktskattning Datamaterialet är uppmätt i en nybyggd bostad den 4/3 5/ Detta skall tolkas så att filmerna hängdes upp vid en viss tidpunkt den första dagen och togs ned vid samma tidpunkt den sista dagen. i Rum X ij 1 Vardagsrum Sovrum Mikaels rum Datamaterialet finns i radon00.dat och läses in på vanligt sätt. (Kolonn 1 innehåller mätvärdena för vardagsrummet, kolonn sovrummet och kolonn 3 Mikaels rum.) >> load radon00.dat Konstanten K är (för en yta) vid 30 dagars exponering. Eftersom den aktuella exponeringstiden är längre måste en kompensation för detta göras. Enligt resonemanget i förra stycket skall detta helt enkelt göras linjärt, eftersom väntevärdena för X -variablerna är proportionella mot exponeringstiden. Eftersom våra filmer exponerats 3 dagar bör vårt värde på K vara /30 = i av g i, i = 1,, 3 och beräkna skatt- Uppgift 6: (a) Beräkna väntevärdesriktiga punktskattningar g ningarnas medelfel. (b) Vi är också intresserade av g = 1 3 i, dvs medelvärdet av radonkoncentrationen över de 3 i=1 tre rummen. Beräkna en skattning av denna storhet och ange dess medelfel. Den skattning av g du får fram skall jämföras med gränsvärdet för nybyggda hus som är 00 Bq/m 3. Om gränsvärdet understigs slipper vi vidtaga kostsamma åtgärder. 4.4 Intervallskattning och hypotesprövning g g g g För att på ett bättre sätt kunna uttala oss om huruvida radonkoncentrationen understiger gränsvärdet eller ej, dvs testa H 0 : = 00 Bq/m 3 mot H 1 : < 00 Bq/m 3, vill vi göra konfidensintervall för i, i = 1,, 3 och. Uppgift 7: Beräkna ensidiga, uppåt begränsade, approximativt 95 %-iga konfidensintervall för g i, i = 1,, 3 och g för datamaterialet ovan. Kan man för något rum med fog påstå att radonkoncentrationen ligger under gränsvärdet? Vad gäller för medelvärdet över huset? 6