Laboration 4: Intervallskattning och hypotesprövning
|
|
- Martin Hermansson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR I, FMS012, HT08 Laboration 4: Intervallskattning och hypotesprövning Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden Intervallskattning Hypotesprövning Normalapproximation Dessutom får du möjlighet att arbeta igenom ett något större verkligt problem. Vi kommer att ägna oss åt statistisk analys av radonmätningar i bostadshus och försöka bedöma om gällande gränsvärden kan anses vara över- eller underskridna. 1 Förberedelseuppgifter Som förberedelse till laborationen bör du läsa igenom Kapitel 12 och 13 i kursboken samt hela laborationshandledningen. Till laborationens start har du med dig lösningar till förberedelseuppgifterna Vi har observationer x 1, x 2,..., x n som är oberoende och exponentialfördelade med väntevärdet a. Härled ML- och MK-skattningarna av a. 2. Ett intervall I θ som med sannolikheten 1 täcker över θ kallas ett konfidensintervall för θ med konfidensgraden 1. Ge en frekvenstolkning av begreppet, dvs ungefär hur stor andel av intervallen kommer att täcka θ om man gör många konfidensintervall med konfidensgraden t.ex 1 = 0.95? 3. Redogör för de viktigaste begreppen inom teorin för hypotesprövning; nollhypotes, mothypotes, signifikansnivå och P-värde (direktmetoden). 4. Redogör för sambandet mellan intervallskattning och hypotesprövning. Om jag vill testa H 0 : Ñ = Ñ0 mot H 1 : Ñ > Ñ0 med hjälp av motsvarande intervall. Hur skall detta intervall konstrueras, tvåsidigt, uppåt begränsat eller nedåt begränsat? 5. Om X Po(Ñ), vad är då väntevärdet E(X ) och vad är då variansen V (X )? 6. Om X 1 Po(Ñ1) och X 2 Po(Ñ2), X 1 och X 2 oberoende, vilken fördelning har då X 1 + X 2? Är 2X 1 poissonfördelad? Motivera. 7. När kan den Poissonfördelade variabeln X approximeras med en normalfördelning? Hur ser den normalfördelningen ut? 1 OBS! Fler förberedelseuppgifter på nästa sida.
2 2 Laboration 4, Matstat AK för I, HT08 8. Antag nu att du har ett stickprov x 1,...,x n som är observationer av X 1,...,X n som alla är Poissonfördelade Po(Ñ). Härled maximum-likelihood-skattningen av Ñ. 9. Beräkna väntevärde och varians för denna skattning, dvs beräkna E(Ñ ) och V (Ñ ). 10. Antag att du vill ha ett numeriskt värde på V (Ñ ) hur gör du då? Dvs hur beräknas medelfelet d(ñ )? 11. Nu vill du göra ett konfidensintervall för Ñ, hur ska detta se ut om du kan använda principen för konfidensintervall baserade på normalapproximation? 12. I labben kommer Ñ att t.ex. vara av formen K där K är en känd konstant och du är intresserad av. Tänk efter hur resultaten i 8-11 kommer att förändras när du vill göra skattningar och intervall för. 13. Vi har två stora, oberoende stickprov x 1,..., x n1 med E(X i ) = Ñ1 och V(X i ) = 2 samt y 1,..., y n2 med E(Y i ) = Ñ2 och V(Y i ) = 2 där Ñ1, Ñ2 och är okända. Hur kan du med ett konfidensintervall undersöka om Ñ1 < Ñ2? 2 Punktskattningar 2.1 ML- och MK-skattning Vi skall i den här uppgiften titta lite närmare på två av de vanligaste skattningsmetoderna i statistiken, nämligen ML- och MK-skattning. Vi skall bl.a. se att ML-skattning är ett maximeringsproblem medan MK-skattning kan ses som ett minimeringsproblem. I filen matdata.dat (som finns på kursens hemsida) har vi 150 mätningar av livslängden (enhet: timmar) av en viss komponent i en bil. Livslängden hos varje komponent antages vara oberoende av alla andra komponenter. Ladda in data och gör en första undersökning av livslängderna. >> load matdata.dat >> plot(matdata, * ) >> hist(matdata) Vi är intresserade av att skatta medellivslängden för komponenten. En variant att göra detta på är att göra en ML-skattning av a. För att kunna göra en ML-skattning måste vi ha en uppfattning om vilken fördelning data har. Från liknande experiment som gjorts tidigare har det visat sig att livslängden hos en viss komponent är approximativt exponentialfördelad. Alltså, vi antar att livslängden är exponentialfördelad med väntevärde a och ställer upp log-likelihoodfunktionen. Hur ser den ut? Svar: l(a) = ln L(a) =... Det finns (på kursens hemsida) en specialskriven m-fil, ML_exp, som beräknar l(a). Studeram-filens MATLAB-kommandon och förvissa dig om att den verkligen ger rätt funktion! (type ML_exp) Rita upp l(a), då 30 a 150. Hur ser funktionen ut och vilket värde på a motsvarar MLskattningen? (Du kan använda kommandotzoom för att förstora delar av figuren.) >> a=[30:.5:150]; >> l=ml_exp(a,matdata); >> plot(a,l) >> grid
3 Laboration 4, Matstat AK för I, HT08 3 Nu går vi över och tittar på hur en MK-skattning av medellivslängden ser ut. Fördelen med MK jämfört med ML är att fördelningen för data ej behöver vara känd. Börja nu med att ställa upp förlustfunktionen, Q(a). Svar: Q(a) =... Programmet MK_exp (som du hittar på hemsidan) är specialskrivet för att beräkna Q(a). Titta på MATLAB-kommandona för att kolla att det stämmer! Rita ut Q(a). Vilket värde på a motsvarar MK-skattningen? >> Q=MK_exp(a,matdata); >> plot(a,q) >> grid Både ML- och MK-skattningen av a är enkel att beräkna, se förberedelseuppgift (1). Beräkna aml och amk och jämför med dina figurer. Här blev ML- och MK-skattningarna lika, det är inte alltid fallet. 2.2 Skattningen a är en stokastisk variabel! Om vi skulle ta 150 nya mätningar av livslängden hos ovanstående komponenter (dvs ett nytt stickprov) så skulle skattningen av medelvärdet med säkerhet bli annorlunda, dvs skattningen kan ses som en stokastisk variabel. För att illustrera detta tänker vi oss att vi tar 1000 stickprov med 150 mätningar i varje stickprov. Eftersom vi inte har 1000 riktiga stickprov så får vi nöja oss med att simulera data. Genom att utnyttja funktionenexprnd kan vi enkelt generera exponentialfördelade slumptal. Vi antar att det sanna medelvärdet är 100, dvs a = 100 >> help exprnd >> a=100; >> x=exprnd(a,150,1000); Kolonn nummer i i matrisen x motsvarar stickprov i. Nu skall vi skatta a för varje stickprov. Det kan göras enkelt enligt >> a_est=mean(x); Element i i vektorn a_est innehåller skattningen av medelvärdet för stickprov i. Plotta a_est! Hur ser det ut? Vilken ungefärlig fördelning har skattningen av medelvärdet? Använd dig av kommandona hist och normplot och dina nyförvärvade kunskaper om Stora talens lag och Centrala gränsvärdessatsen för att ta reda på detta. 3 Mottagarkänslighet Under laboration 1 och i datamaterialet sensitivity.mat studerade vi mottagarkänslighet för 76 telefoner för en radiokanal kring MHz (mitt på GSMs mottagarfrekvensband), kolonn 2, och
4 4 Laboration 4, Matstat AK för I, HT08 för en radiokanal kring 935 (en kanal längst ner på frekvensbandet), kolonn 1. Ett högre värde på mottagarkänsligheten motsvarar att det behövs en högre mottagen signaleffekt för att nå något visst resultat i mottagaren. Under laboration 1 studerade vi histogrammen nedan och ställde frågan om det var någon skillnad mellan väntevärdena. >> load sensitivity >> slc=sensitivity(:,1); >> smc=sensitivity(:,2); >> x= -109:0.3:-104; >> subplot(2,1,1) >> hist(slc,x) >> grid >> subplot(2,1,2) >> hist(smc,x) >> axis([ ]) >> grid I histogrammen ser man en tydlig skillnad men är den signifikant? ( statistiskt säkerställd )? 3.1 Skillnad mellan väntevärden Uppgift: Antag att förutsättningarna i förberedelseuppgift 13 är uppfyllda och beräkna medelvärde (mean) och standardavvikelse (std) förslc ochsmc samt testa med ett approximativt test om Ñsmc är signifikant mindre än Ñslc (använd resultatet i förberedelseuppgift 13). H 0 : Ñsmc = Ñslc, H 1 : Ñsmc < Ñslc. Svar: Anm. Egentligen är mätningarna i de två dataserierna tagna på samma telefoner (första elementet i de två serierna från en telefon osv) så egentligen är modellen stickprov i par lämpligare i detta fall. Prova även att basera testet på denna modell om du hunnit gå igenom det. 4 Radon 4.1 Något om radonmätningar Radon är en ädelgas som är radioaktiv. Den vanligast förekommande isotopen har en halveringstid på 3,8 dygn. Radonisotopen sönderfaller till nya ämnen, s k radondöttrar, som i sin tur är radioaktiva med mycket kort halveringstid. Vid sönderfallen bildas alfa-partiklar, som, när de far fram, kan orsaka skada i sin allra närmaste omgivning. Om gasen eller någon av döttrarna har inandats utgör lungvävnaden den närmaste omgivningen. Radon och dess döttrar är delar av en lång s k sönderfallskedja som startar med uran och slutar med bly. Ett sätt att mäta radonkoncentrationen i inomhusluften är att hänga upp en alfa-känslig film. När den träffas av en alfa-partikel uppstår en skada i filmen i träffpunkten. Denna skada förstärks vid framkallning av filmen så att det blir ett hål i filmen. Bilden nedan visar hur ett hål kan se ut efter
5 Laboration 4, Matstat AK för I, HT08 5 framkallning då man tittar på filmen i mikroskop. Hålen har maximalt diametern 7 Ñm. Antalet hål på en yta är ett mått på radonkoncentrationen. Figur 1: Framkallad alfa-känslig film. Bilden såväl som delar av texten har tillhandahållits av Gilbert Jönsson vid Atomfysik, LTH 4.2 Statistisk modell För att kunna göra en ordentlig statistisk analys av ett mätmaterial behöver vi mer statistisk kunskap om radioaktivt sönderfall. Det visar sig att tidpunkterna och platserna (rumskoordinaterna) för sönderfallen bildar en s k poisson-process (efter den franske matematikern Poisson). Poisson-processen behandlas utförligt i fortsättningskursen i stokastiska processer. Enkelt kan man säga att sannolikheten för att en given radonatom skall sönderfalla i ett givet tidsintervall är fix, och oberoende av vad som har hänt tidigare. Bl a innebär detta att antalet hål på en given yta av en film är poissonfördelat med ett väntevärde som är proportionellt mot radonkoncentrationen, exponeringstiden och ytans storlek. Vidare är antalet hål på olika disjunkta (ej överlappande) ytor på en film oberoende stokastiska variabler. Detta är vad som visar sig väsentligt i den fortsatta analysen. Det datamaterial som vi skall arbeta med har uppmätts genom att ett antal rum i en bostad har försetts med var sin film. Dessa filmer har efter framkallning avlästs på tio olika icke överlappande ytor, med fix storlek, var. Vi inför följande beteckningar: n = antalet upphängda filmer, dvs antalet rum, i = radonkoncentrationen i rum i, mätt i Bq/m 3, X ij = antalet hål i film i på yta j, i = 1,..., n, j = 1,..., 10. Enligt ovan gäller då X ij Po(K i), där proportionalitetskonstanten K, som nämnts, beror på avläsningsytornas storlek och exponeringstiden, men också på bl a förstoringen vid avläsningen av filmerna. 5 Arbete med data Datamaterialet är uppmätt i en nybyggd bostad den 24/3 25/ Detta skall tolkas så att filmerna hängdes upp vid en viss tidpunkt den första dagen och togs ned vid samma tidpunkt den sista dagen.
6 6 Laboration 4, Matstat AK för I, HT08 i Rum X ij 1 Vardagsrum Sovrum Mikaels rum Datamaterialet finns iradon200.dat och läses in på vanligt sätt. Kolonn 1 innehåller mätvärdena för vardagsrummet, kolonn 2 sovrummet och kolonn 3 Mikaels rum. Konstanten K är för en yta vid 30 dagars exponering. Eftersom den aktuella exponeringstiden är längre måste en kompensation för detta göras. Enligt resonemanget i förra stycket skall detta helt enkelt göras linjärt, eftersom väntevärdena för X -variablerna är proportionella mot exponeringstiden. Eftersom våra filmer exponerats 32 dagar bör vårt värde på K vara /30 = Syftet med analysen av datamaterialet är att utreda om gränsvärdet på 200 Bq/m 3 överskrids. Vi kommer att beräkna punktskattningar av radonkoncentrationen dels för rummen var för sig, dels för hela huset. Punktskattningarna kommer att kompletteras med motsvarande intervallskattningar. 5.1 Punktskattningar Uppgift: Vi startar med att studera de tre rummen var för sig. Tänk igenom att en väntevärdesriktig punktskattning i av i, i = 1, 2, 3, ges av i = 1 10K 10 X ij. Beräkna skattningarna för datamaterialet ovan: För att gå vidare i vår statistiska analys och (så småningom) beräkna konfidensintervall behöver vi ta reda på statistiska egenskaper hos punktskattningarna. Uppgift: Här beräknas V( i ). V( i ) = V K X ij = 1 (10K ) 2 V 10 V (X ij ) = 1 (10K ) 2 10K i = i 10K Använd detta till att beräkna medelfelen d( i ) för var och en av de tre rummen. Uppgift: Vi studerar nu medelvärdet av radonkoncentrationen över de tre rummen, vilken ges av = i. i=1 En skattning av denna storhet ges av = i=1 i,
7 Laboration 4, Matstat AK för I, HT08 7 med i som tidigare i texten. Variansen för skattningen blir (återigen egenskaper hos Poissonfördelning) ( 10 1 V( ) = V 30K ( ) X 1j + X 2j + X 3j ) = 1 (30K ) 2 10K ( ). och du inser nog själv hur motsvarande medelfel erhålles. Beräkna detta medelfel. Den skattning av du får fram skall jämföras med gränsvärdet för nybyggda hus som är 200 Bq/m 3. Om gränsvärdet överstigs måste kostsamma åtgärder vidtagas. Punktskattningen kompletteras nedan med ett approximativt konfidensintervall och vi behöver då de beräknade medelfelen. 5.2 Intervallskattning För att på ett bättre sätt kunna uttala oss om huruvida radonkoncentrationen överstiger gränsvärdet eller ej, vill vi göra konfidensintervall för i, i = 1, 2, 3 (varje enskilt rum) samt (medelvärde över alla rum). Uppgift: För att kunna göra konfidensintervall för de punktskattningar som du tog fram ovan, måste vi känna till dessa skattningars fördelningar, åtminstone approximativt. Bestäm lämpliga approximationer av skattningarnas fördelningar. Uppgift: Konfidensintervall kan vara tvåsidiga eller ensidiga, ensidiga intervall kan dessutom vara uppåt begränsade eller nedåt begränsade. Vilken typ av intervall för radonkoncentrationen är intressant för invånarna i huset att studera? Uppgift: Beräkna konfidensintervall (den typ som ni bestämt) för i, i = 1, 2, 3 och. Använd en approximativ konfidensgrad på Kan man för något rum med fog påstå att radonkoncentrationen ligger under eller över gränsvärdet? Vad gäller för medelvärdet över huset?
8 8 Laboration 4, Matstat AK för I, HT Hypotesprövning Man kan också välja att utföra analysen som ett hypotesprövningsproblem. Vi vill testa H 0 : = 200 Bq/m 3, H 1 : < 200 Bq/m 3. Uppgift: Testa H 0 mot H 1. Kan vi förkasta H 0, dvs vågar vi påstå att radonhalten för huset ligger under gällande gränsvärde? Använd resultaten i föregående avsnitt. 5.4 Hypotesprövning med direktmetoden Tidigare gjorde vi punkt- och intervallskattingar av i och vilket ger kvantitativ information om var de sanna värdena kan tänkas ligga. För att göra hypotestest är konfidensmetoden som vi använde i föregående avsnitt användbar. Problemet i det här fallet är dock att det baseras på normalapproximation och testet blir därmed inte exakt. För att göra testen utan approximation kan vi i det här fallet i stället använda direktmetoden, dvs vi räknar ut ett P-värde som P = P(Få det vi fått eller värre om H 0 är sann) och förkasta H 0 om P <. För att räkna utan normalapproximation kan vi räkna direkt med observationerna X ij Po(K i) och framförallt utnyttja att summan av observationerna i ett rum även är Poissonfördelad, 10 X ij Po(10K i). Uppgift: Beräkna P-värdena för vart och ett av rummen och avgör om nollhypotesen skall förkastas eller ej enligt direktmetoden. Uppgift: Summan av samtliga observationer i alla rummen är även poissonfördelad. Räkna ut ett P-värde som gäller för hela huset och avgör med direktmetoden om H 0 skall förkastas. Tack! Tack till Gilbert Jönsson vid Atomfysik, LTH som gett oss datamaterial och hjälpt till med bakgrundsbeskrivningen av radonmätningarna.
Laboration 4: Intervallskattning och hypotesprövning
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDI, FMS012, HT10 Laboration 4: Intervallskattning och hypotesprövning Syftet med den här laborationen
Läs merLaboration 4: Intervallskattning och. Hypotesprövning. 1 Förberedelseuppgifter LABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR ED, FMS022, VT02
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR ED, FMS022, VT02 Laboration 4: Intervallskattning och hypotesprövning Syftet med den här laborationen
Läs merLaboration 4: Intervallskattning och hypotesprövning
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 4 Matematisk statistik AK för CDIFysiker, FMS012/MASB03, HT14 Laboration 4: Intervallskattning och hypotesprövning Syftet med den
Läs merSF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2010
Avd. Matematisk statistik SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2010 0 Allmänna anvisningar Arbeta med handledningen, och skriv rapport, i grupper om två eller tre personer. Närvaro vid laborationstiden
Läs merLaboration 4: Intervallskattning och hypotesprövning
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 4: Intervallskattning och hypotesprövning Syftet med den
Läs merLaboration 5: Intervallskattning och hypotesprövning
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 10, HT-01 Laboration 5: Intervallskattning och hypotesprövning Syftet med den här laborationen
Läs merSyftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/200, HT-03 Laboration 5: Intervallskattning och hypotesprövning Syftet med den här
Läs mer1 Bakgrund DATORÖVNING 3 MATEMATISK STATISTIK FÖR E FMSF Något om Radon och Radonmätningar. 1.2 Statistisk modell
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORÖVNING 3 MATEMATISK STATISTIK FÖR E FMSF20 Syfte: Syftet med dagens laborationen är att du skall: få förståelse för punkt- och intervallskattningar.
Läs merDatorövning 3 Hypotesprövning och styrka
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS012/MASB03: MATEMATISK STATISTIK, 9 HP, HT-16 Datorövning 3 Hypotesprövning och styrka Syftet med den här laborationen är att du skall bli
Läs merSyftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden inom matematisk statistik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 01, HT-07 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen, enkla punktskattningar
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merLaboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 3 Matematisk statistik AK för CDIFysiker, FMS012/MASB03, HT15 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla
Läs merLaboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, FÖR I/PI, FMS 121/2, HT-3 Laboration 4: Stora talens lag, Centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
Läs merLaboration 3: Enkla punktskattningar, styrkefunktion och bootstrap
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 3, HT -06 MATEMATISK STATISTIK FÖR F, PI OCH NANO, FMS 012 MATEMATISK STATISTIK FÖR FYSIKER, MAS 233 Laboration 3: Enkla punktskattningar,
Läs merLaboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla punktskattningar
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDIFYSIKER, FMS012/MASB03, HT12 Laboration 3: Stora talens lag, centrala gränsvärdessatsen och enkla
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Punktskattningar
Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E, HT-15 Punktskattningar Anna Lindgren 25 november 2015 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/17 Matematisk statistik slumpens matematik
Läs merMatematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar
Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar Anna Lindgren (Stanislav Volkov) 31 oktober + 1 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F10: Punktskattning 1/18 Matematisk
Läs merFöreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar
Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F8: Statistikteori 1/20 Översikt Exempel Repetition Exempel Matematisk statistik
Läs merLaboration 5: Regressionsanalys. 1 Förberedelseuppgifter. 2 Enkel linjär regression DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK Laboration 5: Regressionsanalys DATORLABORATION 5 MATEMATISK STATISTIK FÖR I, FMS 012, HT-08 Syftet med den här laborationen är att du skall
Läs merbli bekant med summor av stokastiska variabler.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR E FMSF20 Syfte: Syftet med dagens laborationen är att du skall: få förståelse för diskreta, bivariate
Läs merLÖSNINGAR TILL. Matematisk statistik, Tentamen: kl FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp
LÖSNINGAR TILL Matematisk statistik, Tentamen: 011 10 1 kl 14 00 19 00 Matematikcentrum FMS 086, Matematisk statistik för K och B, 7.5 hp Lunds tekniska högskola MASB0, Matematisk statistik kemister, 7.5
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 28:E OKTOBER 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn Olof Skytt 08-790 86 49. Tillåtna
Läs merLaboration 4: Hypotesprövning och styrkefunktion
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR L, FMS 032, HT-07 Laboration 4: Hypotesprövning och styrkefunktion 1 Syfte I denna laboration
Läs merDATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR D, I, PI OCH FYSIKER; FMSF45 & MASB03. bli bekant med summor av stokastiska variabler.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORÖVNING 2 MATEMATISK STATISTIK FÖR D, I, PI OCH FYSIKER; FMSF45 & MASB03 Syfte: Syftet med dagens laborationen är att du skall: få förståelse
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 15 Johan Lindström 4 december 218 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB3 F15 1/28 Repetition Linjär regression Modell Parameterskattningar
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 10 STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA SLUTSATSER. INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 25 april 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Statistisk inferens oversikt
Läs merProvmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13
Matematisk Statistik 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13 Hjälpmedel: Miniräknare
Läs merFöreläsning 12: Repetition
Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse
Läs merFöreläsningsanteckningar till kapitel 8, del 2
Föreläsningsanteckningar till kapitel 8, del 2 Kasper K. S. Andersen 4 oktober 208 Jämförelse av två väntevärden Ofte vil man jämföra två eller fler) produkter, behandlingar, processer etc. med varandra.
Läs merFöreläsning 12, FMSF45 Hypotesprövning
Föreläsning 12, FMSF45 Hypotesprövning Stas Volkov 2017-11-14 Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF45 F12: Hypotestest 1/1 Konfidensintervall Ett konfidensintervall för en parameter θ täcker rätt
Läs merFöreläsning 12: Regression
Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är
Läs merSF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011
Avd. Matematisk statistik Tobias Rydén 2011-09-30 SF1905 Sannolikhetsteori och statistik: Lab 2 ht 2011 Förberedelser. Innan du går till laborationen, läs igenom den här handledningen. Repetera också i
Läs merb) Beräkna väntevärde och varians för produkten X 1 X 2 X 10 där alla X i :na är oberoende och R(0,2). (5 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF190 (f d 5B2501 ) SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR - ÅRIG MEDIA MÅNDAGEN DEN 1 AUGUSTI 2012 KL 08.00 1.00. Examinator: Gunnar Englund, tel. 07 21 7 45 Tillåtna
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 10 27 november 2017 1 / 28 Idag Mer om punktskattningar Minsta-kvadrat-metoden (Kap. 11.6) Intervallskattning (Kap. 12.2) Tillämpning på
Läs merMatematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formelsamling i matematisk statistik Vårterminen 2017 1 Kombinatorik ) n n! = k k! n k)!. Tolkning: mängd med n element. ) n = antalet delmängder av storlek k ur en k 2 Stokastiska
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF194 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAG 1 AUGUSTI 019 KL 8.00 13.00. Examinator: Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merSannolikheten för att barnet skall få blodgrupp A0 A0 1/2 AA 1 AB 1/2 Övriga 0
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF191, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 1:A JUNI 216 KL 8. 13.. Kursledare: Thomas Önskog, 8-79 84 55 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 4 oktober 2016
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 12 HYPOTESPRÖVNING. Tatjana Pavlenko 4 oktober 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Intervallskattning med normalfördelade data: två stickprov (rep.) Intervallskattning
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall)
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 9. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 21.02.2012 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.02.2012
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = c x. 1 om x 2.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF193 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH MÅNDAGEN DEN 16 AUGUSTI 1 KL 8. 13.. Examinator: Gunnar Englund, tel. 7974 16. Tillåtna hjälpmedel: Läroboken.
Läs merBinomialfördelning, två stickprov
Diskreta data Binomialfördelning, två stickprov Hypotesprövning måste inte grunda sig på normalfördelning 1948 visste man inte om streptomycin var effektivt mot tuberkulos, men man misstänkte det. För
Läs merBestäm med hjälp av en lämplig och välmotiverad approximation P (X > 50). (10 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 17:E AUGUSTI 2015 KL 8.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Tillåtna hjälpmedel: Formel-
Läs merrepetera begreppen sannolikhetsfunktion, frekvensfunktion och fördelningsfunktion
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF25: MATEMATISK STATISTIK KOMPLETTERANDE PROJEKT DATORLABORATION 1, 14 NOVEMBER 2017 Syfte Syftet med dagens laboration är att du ska träna
Läs merFORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02. Sannolikhetsteori. Beskrivning av data
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING HT-18 MATEMATISK STATISTIK FÖR B, K, N, BME OCH KEMISTER; FMSF70 & MASB02 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter:
Läs merMatematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3. Laboration 2. Fördelningar och simulering
Matematikcentrum 1(6) Matematisk Statistik Lunds Universitet MASB11 - Biostatistisk grundkurs VT2014, lp3 Laboration 2 Fördelningar och simulering Introduktion 2014-02-06 Syftet med laborationen är dels
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 10. Statistik: Intervallskattning (konfidensintervall) Jan Grandell & Timo Koski 18.02.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 18.02.2016
Läs merMatematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik
Matematisk statistik KTH Formel- och tabellsamling i matematisk statistik Varterminen 2005 . Kombinatorik n = k n! k!n k!. Tolkning: n k mängd med n element. 2. Stokastiska variabler V X = EX 2 EX 2 =
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 6 Johan Lindström 13 september 2017 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF70/MASB02 F6 1/22 : Rattonykterhet Johan Lindström - johanl@maths.lth.se
Läs merLaboration 4: Lineär regression
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 4: Lineär regression 1 Syfte Denna laboration handlar om regressionsanalys och
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1922/SF1923/SF1924 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAG 28 MAJ 2019 KL 8.00 13.00. Examinator för SF1922/SF1923: Tatjana Pavlekno, 08-790 86 44. Examinator för
Läs merMatematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laborationer
Lunds universitet Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik allmän kurs, MASA01:B, HT-14 Laborationer Information om laborationerna I andra halvan av MASA01 kursen ingår två laborationer.
Läs merDatorövning 2 Betingad fördelning och Centrala gränsvärdessatsen
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMS012/MASB03: MATEMATISK STATISTIK, 9 HP, HT-16 Datorövning 2 Betingad fördelning och Centrala gränsvärdessatsen Syftet med den här laborationen
Läs merb) antalet timmar Lukas måste arbeta för att sannolikheten att han ska hinna med alla 112 datorerna ska bli minst (3 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 27:E OKTOBER 2014 KL 08.00 13.00. Kursledare: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66, Björn-Olof Skytt, 08-790 86 49.
Läs merFöreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, ): Punktskattningar
Föreläsning 6 (kap 6.1, 6.3, 7.1-7.3): Punktskattningar Marina Axelson-Fisk 4 maj, 2016 Stickprov (sample) Idag: Stickprovsmedelvärde och varians Statistika (statistic) Punktskattning (point estimation)
Läs merDel I. Uppgift 1 För händelserna A och B gäller att P (A) = 1/4, P (B A) = 1/3 och P (B A ) = 1/2. Beräkna P (A B). Svar:...
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9/SF94/SF95/SF96 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 4:E OKTOBER 08 KL 8.00 3.00. Examinator för SF94/SF96: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator för
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 8:E JANUARI 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merLaboration 2: 1 Syfte. 2 Väntevärde och varians hos en s.v. X med fördelningen F X (x) MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 2: Om väntevärden och fördelningar 1 Syfte I denna laboration skall vi försöka
Läs merLaboration 3: Parameterskattning och Fördelningsanpassning
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 3 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR BYGG, FMS 601, HT-08 Laboration 3: Parameterskattning och Fördelningsanpassning 1 Syfte Syftet
Läs merSyftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med det i praktiken kanske viktigaste området inom kursen nämligen
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK DATORLABORATION 6 MATEMATISK STATISTIK, AK FÖR I, FMS 120, HT-00 Laboration 6: Regression Syftet med den här laborationen är att du skall bli
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF90 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, ONSDAGEN DEN 26:E OKTOBER 206 KL 8.00 3.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merBIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29)
LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29) Aktuella avsnitt i boken: Kap 61 65 Lektionens mål: Du ska
Läs merMatematisk statistik för D, I, Π och Fysiker
Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker Föreläsning 11 Johan Lindström 13 november 2018 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF45/MASB03 F11 1/25 Repetition Stickprov & Skattning Maximum likelihood
Läs mer9. Konfidensintervall vid normalfördelning
TNG006 F9 09-05-016 Konfidensintervall 9. Konfidensintervall vid normalfördelning Låt x 1, x,..., x n vara ett observerat stickprov av oberoende s.v. X 1, X,..., X n var och en med fördelning F. Antag
Läs merF14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10.2, , 11.5) Hypotesprövning för en proportion. Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva
Stat. teori gk, ht 006, JW F14 HYPOTESPRÖVNING (NCT 10., 10.4-10.5, 11.5) Hypotesprövning för en proportion Med hjälp av data från ett stickprov vill vi pröva H 0 : P = P 0 mot någon av H 1 : P P 0 ; H
Läs merTentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola.
Tentamen i TMA321 Matematisk Statistik, Chalmers Tekniska Högskola. Tid: Måndagen den 2015-06-01, 8.30-12.30. Examinator och Jour: Olle Nerman, tel. 7723565, rum 3056, MV, Chalmers. Hjälpmedel: Valfri
Läs merLaboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 1 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR ED, FMS021, VT01 Laboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys Syftet med
Läs merPROGRAMFÖRKLARING I. Statistik för modellval och prediktion. Ett exempel: vågriktning och våghöjd
Statistik för modellval och prediktion att beskriva, förklara och förutsäga Georg Lindgren PROGRAMFÖRKLARING I Matematisk statistik, Lunds universitet stik för modellval och prediktion p.1/4 Statistik
Läs mer(a) sannolikheten för att läkaren ställer rätt diagnos. (b) sannolikheten för att en person med diagnosen ej sjukdom S ändå har sjukdomen, dvs.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 31:E MAJ 2012 KL 08.00 13.00. Examinator: Tobias Rydén, tel 790 8469. Kursledare: Tatjana Pavlenko, tel 790 8466.
Läs mera) Beräkna sannolikheten att en följd avkodas fel, det vill säga en ursprungliga 1:a tolkas som en 0:a eller omvänt, i fallet N = 3.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TISDAGEN DEN 14:E MARS 017 KL 08.00 13.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merBIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 7 (2015-04-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (2015-05-04)
LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB ÖVNING 7 (25-4-29) OCH INFÖR ÖVNING 8 (25-5-4) Aktuella avsnitt i boken: 6.6 6.8. Lektionens mål: Du ska kunna sätta
Läs merFöreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall
Föreläsning 9, Matematisk statistik 7.5 hp för E Konfidensintervall Stas Volkov Stanislav Volkov s.volkov@maths.lth.se FMSF20 F9: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett stickprov, x 1, x 2,...,
Läs mer0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF9, SF95 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 2:E JANUARI 25 KL 4. 9.. Kursledare: Gunnar Englund, 73 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merTAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning
TAMS65 - Föreläsning 6 Hypotesprövning Martin Singull Matematisk statistik Matematiska institutionen Innehåll Exempel Allmän beskrivning P-värde Binomialfördelning Normalapproximation TAMS65 - Fö6 1/33
Läs mer, s a. , s b. personer från Alingsås och n b
Skillnader i medelvärden, väntevärden, mellan två populationer I kapitel 8 testades hypoteser typ : µ=µ 0 där µ 0 var något visst intresserant värde Då användes testfunktionen där µ hämtas från, s är populationsstandardavvikelsen
Läs mer(b) Bestäm sannolikheten att minst tre tåg är försenade under högst tre dagar en given vecka.
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901, SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 11 JANUARI 2016 KL 14.00 19.00. Kursledare för CINEK2: Thomas Önskog, tel: 08 790 84 55 Kursledare för
Läs merEXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIK- TEORIN (INFERENSTEORIN):
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik FMSF50: Matematisk statistik för L och V OH-bilder på föreläsning 7, 2017-11-20 EXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIK- TEORIN (INFERENSTEORIN):
Läs merLaboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Laboration 1 Matematisk statistik AK för CDIfysiker, FMS012/MASB03, HT15 Laboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys
Läs merSF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH INTERVALLSKATTNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 24 april 2018
SF1922/SF1923: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 11 INTERVALLSKATTNING. Tatjana Pavlenko 24 april 2018 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Vad är en intervallskattning? (rep.) Den allmänna metoden för
Läs merTentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1
Tentamentsskrivning: Matematisk Statistik med Metoder MVE490 1 Tentamentsskrivning i Matematisk Statistik med Metoder MVE490 Tid: den 22 december, 2016 Examinatorer: Kerstin Wiklander och Erik Broman.
Läs merLaboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 1 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR F OCH FYSIKER, FMS012/MASB03, VT15 Laboration 1: Grundläggande sannolikhetsteori, simulering och dataanalys
Läs merLufttorkat trä Ugnstorkat trä
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 och SF1905 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 18:E OKTOBER 2012 KL 14.00 19.00. Examinator: Tatjana Pavlenko, tel 790 8466. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merb) Beräkna sannolikheten för att en person med språkcentrum i vänster hjärnhalva är vänsterhänt. (5 p)
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1922/SF1923/SF1924 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, MÅNDAGEN DEN 13:E AUGUSTI 2018 KL 8.00 13.00. Examinator för SF1922/SF1923: Tatjana Pavlenko, 08-790 84 66 Examinator
Läs merFORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD Sannolikhetsteori. Beskrivning av data. Läges-, spridnings- och beroendemått
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK FORMELSAMLING MATEMATISK STATISTIK FÖR W; FMSF75 UPPDATERAD 208-08-26 Sannolikhetsteori Följande gäller för sannolikheter: 0 P(A P(Ω = P(A
Läs mer3 Maximum Likelihoodestimering
Lund Universitet med Lund Tekniska Högskola Finansiell Statistik Matematikcentrum, Matematisk Statistik VT 2006 Parameterestimation och linjär tidsserieanalys Denna laborationen ger en introduktion till
Läs merTentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M
Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (10 uppgifter) Tentamensdatum 2019-06-07 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 9.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson Jourhavande
Läs merEXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIKTE- ORIN (INFERENSTEORIN):
Lunds tekniska högskola Matematikcentrum Matematisk statistik Matematisk statistik AK för ekosystemteknik, FMSF75 OH-bilder 2018-09-19 EXEMPEL PÅ FRÅGESTÄLLNINGAR INOM STATISTIKTE- ORIN (INFERENSTEORIN):
Läs merFöreläsning 11, Matematisk statistik Π + E
Repetition Konfidensintervall I Fördelningar Konfidensintervall II Föreläsning 11, Matematisk statistik Π + E Johan Lindström 27 Januari, 2015 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS012 F11 1/19 Repetition
Läs merMatematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall
Matematisk statistik 9.5 hp, HT-16 Föreläsning 11: Konfidensintervall Anna Lindgren 7+8 november 2016 Anna Lindgren anna@maths.lth.se FMS012/MASB03 F11: Konfidensintervall 1/19 Stickprov & Skattning Ett
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 8 Johan Lindström 20 september 2017 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 1/20 : Poisson & Binomial för diskret data Johan
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 5 Johan Lindström 12 september 216 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS86/MASB2 F5 1/23 Repetition Gauss approximation Delta metoden
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 9 Joakim Lübeck (Johan Lindström 25 september 217 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMSF7/MASB2 F9 1/23 Repetition Inferens för diskret
Läs merTMS136. Föreläsning 4
TMS136 Föreläsning 4 Kontinuerliga stokastiska variabler Kontinuerliga stokastiska variabler är stokastiska variabler som tar värden i intervall av den reella axeln Det kan handla om längder, temperaturer,
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister
Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 8 Johan Lindström 21 september 2016 Johan Lindström - johanl@maths.lth.se FMS086/MASB02 F8 1/21 för diskret data : Poisson & Binomial för
Läs merFöreläsning 4. NDAB01 Statistik; teori och tillämpning i biologi
Föreläsning 4 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Dagens föreläsning o Icke-parametriska test Mann-Whitneys test (kap 8.10 8.11) Wilcoxons test (kap 9.5) o Transformationer (kap 13) o Ev. Andelar
Läs merUppgift 1. f(x) = 2x om 0 x 1
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I Matematisk statistik SF1907, SF1908 OCH SF1913 TORSDAGEN DEN 30 MAJ 2013 KL 14.00 19.00. Examinator: Gunnar Englund, 073 321 3745 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merSF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH HYPOTESPRÖVNING. STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 13 maj 2015
SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 13 HYPOTESPRÖVNING. Tatjana Pavlenko 13 maj 2015 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Begrepp inom hypotesprövning (rep.) Tre metoder för att avgöra om H 0 ska
Läs merAvd. Matematisk statistik
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF1901 SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK, TORSDAGEN DEN 5:E APRIL 2018 KL 14.00 19.00. Examinator: Thomas Önskog, 08 790 84 55. Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling
Läs merTMS136. Föreläsning 13
TMS136 Föreläsning 13 Jämförelser mellan två populationer Hittills har vi gjort konfidensintervall och tester kring parametrar i EN population I praktiska sammanhang är man ofta intresserad av att jämföra
Läs merMer om konfidensintervall + repetition
1/14 Mer om konfidensintervall + repetition Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 23/2 2011 2/14 Dagens föreläsning Skattningar som slumpvariabler Väntevärde Varians
Läs merKURSPROGRAM HT-18 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR D, I OCH PI, FMSF45 & MASB03
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK KURSPROGRAM HT-18 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR D, I OCH PI, FMSF45 & MASB03 Allmänt Kursen ger 9hp och omfattar 36 timmar föreläsning, 28 timmar
Läs mer