Laboration 4: Intervallskattning och hypotesprövning

Transkript

1 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIKCENTRUM MATEMATISK STATISTIK LABORATION 4 MATEMATISK STATISTIK AK FÖR CDI, FMS012, HT10 Laboration 4: Intervallskattning och hypotesprövning Syftet med den här laborationen är att du skall bli mer förtrogen med följande viktiga områden Intervallskattning Hypotesprövning Normalapproximation Dessutom får du möjlighet att arbeta igenom ett något större verkligt problem. Vi kommer att ägna oss åt statistisk analys av radonmätningar i bostadshus och försöka bedöma om gällande gränsvärden kan anses vara över- eller underskridna. 1 Förberedelseuppgifter Som förberedelse till laborationen bör du läsa igenom Kapitel 12 och 13 i kursboken samt hela laborationshandledningen. Till laborationens start har du med dig lösningar till förberedelseuppgifterna 1. a) Ett intervall I θ som med sannolikheten 1 täcker över θ kallas ett konfidensintervall för θ med konfidensgraden 1. Ge en frekvenstolkning av begreppet, dvs ungefär hur stor andel av intervallen kommer att täcka θ om man gör många konfidensintervall med konfidensgraden t.ex 1 = 0.95? b) Redogör för de viktigaste begreppen inom teorin för hypotesprövning; nollhypotes, mothypotes, signifikansnivå och P-värde (direktmetoden). c) Redogör för sambandet mellan intervallskattning och hypotesprövning. Om jag vill testa H 0 : Ñ = Ñ0 mot H 1 : Ñ > Ñ0 med hjälp av motsvarande intervall. Hur skall detta intervall konstrueras, tvåsidigt, uppåt begränsat eller nedåt begränsat? d) Om X Po(Ñ), vad är då väntevärdet E(X ) och vad är då variansen V (X )? e) Om X 1 Po(Ñ1) och X 2 Po(Ñ2), X 1 och X 2 oberoende, vilken fördelning har då X 1 + X 2? Är 2X 1 poissonfördelad? Motivera. f) När kan den Poissonfördelade variabeln X approximeras med en normalfördelning? Hur ser den normalfördelningen ut? g) Antag nu att du har ett stickprov x 1,..., x n som är observationer av X 1,..., X n som alla är Poissonfördelade Po(Ñ). Härled maximum-likelihood-skattningen av Ñ. h) Beräkna väntevärde och varians för denna skattning, dvs beräkna E(Ñ ) och V (Ñ ). 1 OBS! Fler förberedelseuppgifter på nästa sida.

2 2 Laboration 4, Matstat AK för CDI, HT10 i) Antag att du vill ha ett numeriskt värde på V (Ñ ) hur gör du då? Dvs hur beräknas medelfelet d(ñ )? j) Nu vill du göra ett konfidensintervall för Ñ, hur ska detta se ut om du kan använda principen för konfidensintervall baserade på normalapproximation? k) I labben kommer Ñ att t.ex. vara av formen K där K är en känd konstant och du är intresserad av. Tänk efter hur resultaten i (g)-(j) kommer att förändras när du vill göra skattningar och intervall för. l) Vi har två stora, oberoende stickprov x 1,..., x n1 med E(X i ) = Ñ1 och V(X i ) = 2 samt y 1,..., y n2 med E(Y i ) = Ñ2 och V(Y i ) = 2 där Ñ1, Ñ2 och är okända. Hur kan du med ett konfidensintervall undersöka om Ñ1 < Ñ2? 2 Radon 2.1 Något om radonmätningar Radon är en ädelgas som är radioaktiv. Den vanligast förekommande isotopen har en halveringstid på 3,8 dygn. Radonisotopen sönderfaller till nya ämnen, s k radondöttrar, som i sin tur är radioaktiva med mycket kort halveringstid. Vid sönderfallen bildas alfa-partiklar, som, när de far fram, kan orsaka skada i sin allra närmaste omgivning. Om gasen eller någon av döttrarna har inandats utgör lungvävnaden den närmaste omgivningen. Radon och dess döttrar är delar av en lång s k sönderfallskedja som startar med uran och slutar med bly. Ett sätt att mäta radonkoncentrationen i inomhusluften är att hänga upp en alfa-känslig film. När den träffas av en alfa-partikel uppstår en skada i filmen i träffpunkten. Denna skada förstärks vid framkallning av filmen så att det blir ett hål i filmen. Bilden nedan visar hur ett hål kan se ut efter framkallning då man tittar på filmen i mikroskop. Hålen har maximalt diametern 7 Ñm. Antalet hål på en yta är ett mått på radonkoncentrationen. Figur 1: Framkallad alfa-känslig film. Bilden såväl som delar av texten har tillhandahållits av Gilbert Jönsson vid Atomfysik, LTH 2.2 Statistisk modell För att kunna göra en ordentlig statistisk analys av ett mätmaterial behöver vi mer statistisk kunskap om radioaktivt sönderfall. Det visar sig att tidpunkterna och platserna (rumskoordinaterna) för sönderfallen bildar en s k poisson-process (efter den franske matematikern Poisson). Poisson-processen

3 Laboration 4, Matstat AK för CDI, HT10 3 behandlas utförligt i fortsättningskursen i stokastiska processer. Enkelt kan man säga att sannolikheten för att en given radonatom skall sönderfalla i ett givet tidsintervall är fix, och oberoende av vad som har hänt tidigare. Bl a innebär detta att antalet hål på en given yta av en film är poissonfördelat med ett väntevärde som är proportionellt mot radonkoncentrationen, exponeringstiden och ytans storlek. Vidare är antalet hål på olika disjunkta (ej överlappande) ytor på en film oberoende stokastiska variabler. Detta är vad som visar sig väsentligt i den fortsatta analysen. Det datamaterial som vi skall arbeta med har uppmätts genom att ett antal rum i en bostad har försetts med var sin film. Dessa filmer har efter framkallning avlästs på tio olika icke överlappande ytor, med fix storlek, var. Vi inför följande beteckningar: n = antalet upphängda filmer, dvs antalet rum, i = radonkoncentrationen i rum i, mätt i Bq/m 3, X ij = antalet hål i film i på yta j, i = 1,..., n, j = 1,..., 10. Enligt ovan gäller då X ij Po(K i), där proportionalitetskonstanten K, som nämnts, beror på avläsningsytornas storlek och exponeringstiden, men också på bl a förstoringen vid avläsningen av filmerna. 3 Arbete med data Datamaterialet är uppmätt i en nybyggd bostad den 24/3 25/ Detta skall tolkas så att filmerna hängdes upp vid en viss tidpunkt den första dagen och togs ned vid samma tidpunkt den sista dagen. i Rum X ij 1 Vardagsrum Sovrum Mikaels rum Datamaterialet finns i radon200.dat och läses in på vanligt sätt. Kolonn 1 innehåller mätvärdena för vardagsrummet, kolonn 2 sovrummet och kolonn 3 Mikaels rum. Konstanten K är för en yta vid 30 dagars exponering. Eftersom den aktuella exponeringstiden är längre måste en kompensation för detta göras. Enligt resonemanget i förra stycket skall detta helt enkelt göras linjärt, eftersom väntevärdena för X -variablerna är proportionella mot exponeringstiden. Eftersom våra filmer exponerats 32 dagar bör vårt värde på K vara /30 = Syftet med analysen av datamaterialet är att utreda om gränsvärdet på 200 Bq/m 3 överskrids. Vi kommer att beräkna punktskattningar av radonkoncentrationen dels för rummen var för sig, dels för hela huset. Punktskattningarna kommer att kompletteras med motsvarande intervallskattningar. 3.1 Punktskattningar Uppgift: Vi startar med att studera de tre rummen var för sig. Tänk igenom att en väntevärdesriktig punktskattning i av i, i = 1, 2, 3, ges av i = 1 10K X ij. Beräkna skattningarna för datamaterialet ovan:

4 4 Laboration 4, Matstat AK för CDI, HT10 För att gå vidare i vår statistiska analys och (så småningom) beräkna konfidensintervall behöver vi ta reda på statistiska egenskaper hos punktskattningarna. Uppgift: Här beräknas V( i ). V( i ) = V 1 10K X ij = 1 (10K ) 2 V V (X ij ) = 1 (10K ) 2 10K i = i 10K Använd detta till att beräkna medelfelen d( i ) för var och en av de tre rummen. Uppgift: Vi studerar nu medelvärdet av radonkoncentrationen över de tre rummen, vilken ges av = i. i=1 En skattning av denna storhet ges av = i=1 i, med i som tidigare i texten. Variansen för skattningen blir (återigen egenskaper hos Poissonfördelning) ( 1 V( ) = V 30K ( X 1j + 10 X 2j + ) X 3j ) = 1 (30K ) 2 10K ( ). och du inser nog själv hur motsvarande medelfel erhålles. Beräkna detta medelfel. Den skattning av du får fram skall jämföras med gränsvärdet för nybyggda hus som är 200 Bq/m 3. Om gränsvärdet överstigs måste kostsamma åtgärder vidtagas. Punktskattningen kompletteras nedan med ett approximativt konfidensintervall och vi behöver då de beräknade medelfelen. 3.2 Intervallskattning För att på ett bättre sätt kunna uttala oss om huruvida radonkoncentrationen överstiger gränsvärdet eller ej, vill vi göra konfidensintervall för i, i = 1, 2, 3 (varje enskilt rum) samt (medelvärde över alla rum). Uppgift: För att kunna göra konfidensintervall för de punktskattningar som du tog fram ovan, måste vi känna till dessa skattningars fördelningar, åtminstone approximativt. Bestäm lämpliga approximationer av skattningarnas fördelningar.

5 Laboration 4, Matstat AK för CDI, HT10 5 Uppgift: Konfidensintervall kan vara tvåsidiga eller ensidiga, ensidiga intervall kan dessutom vara uppåt begränsade eller nedåt begränsade. Vilken typ av intervall för radonkoncentrationen är intressant för invånarna i huset att studera? Uppgift: Beräkna konfidensintervall (den typ som ni bestämt) för i, i = 1, 2, 3 och. Använd en approximativ konfidensgrad på Kan man för något rum med fog påstå att radonkoncentrationen ligger under eller över gränsvärdet? Vad gäller för medelvärdet över huset? 3.3 Hypotesprövning Man kan också välja att utföra analysen som ett hypotesprövningsproblem. Vi vill testa H 0 : = 200 Bq/m 3, H 1 : < 200 Bq/m 3. Uppgift: Testa H 0 mot H 1. Kan vi förkasta H 0, dvs vågar vi påstå att radonhalten för huset ligger under gällande gränsvärde? Använd resultaten i föregående avsnitt. 3.4 Hypotesprövning med direktmetoden Tidigare gjorde vi punkt- och intervallskattingar av i och vilket ger kvantitativ information om var de sanna värdena kan tänkas ligga. För att göra hypotestest är konfidensmetoden som vi använde i föregående avsnitt användbar. Problemet i det här fallet är dock att det baseras på normalapproximation och testet blir därmed inte exakt. För att göra testen utan approximation kan vi i det här fallet i stället använda direktmetoden, dvs vi räknar ut ett P-värde som P = P(Få det vi fått eller värre om H 0 är sann) och förkasta H 0 om P <. För att räkna utan normalapproximation kan vi räkna direkt med observationerna X ij Po(K i) och framförallt utnyttja att summan av observationerna i ett rum även är Poissonfördelad, 10 X ij Po(10K i). Uppgift: Beräkna P-värdena för vart och ett av rummen och avgör om nollhypotesen skall förkastas eller ej enligt direktmetoden.

6 6 Laboration 4, Matstat AK för CDI, HT10 Uppgift: Summan av samtliga observationer i alla rummen är även poissonfördelad. Räkna ut ett P-värde som gäller för hela huset och avgör med direktmetoden om H 0 skall förkastas. 3.5 Data från äldre hus Nu kan du jobba mer självständigt med ett annat datamaterial av liknande typ. Har ni ont om tid på laborationen så kan ni göra nästa avsnitt först och göra detta efteråt i mån av tid. Data är uppmätt i ett äldre hus den 6/ / Rum X ij Sovrum Sovrum Gillestuga Datamaterialet finns i radon400.dat och läses in på vanligt sätt. Konstanten K är (för en yta) vid 30 dagars exponering, dvs. med tanke på den aktuella perioden skall vi räkna med korrigerat K = /30 = Uppgift: Utför analysen även för detta material, koncentrera dig på ett rum (exempelvis Sovrum 1 ) om tiden är knapp. Gränsvärdet för den här typen av bostäder är 400 Bq/m 3. Om detta överskrids kan fastighetsägaren åläggas att vidtaga åtgärder. Hur ser analysen ut om ni gör den från fastighetsägarens perspektiv? Skiljer det sig från de inneboendes perspektiv? Använd resultat och kommandon från den tidigare delen av laborationen.

7 Laboration 4, Matstat AK för CDI, HT Mottagarkänslighet Under laboration 1 och i datamaterialet sensitivity.mat studerade vi mottagarkänslighet för 76 telefoner för en radiokanal kring MHz (mitt på GSMs mottagarfrekvensband), kolonn 2, och för en radiokanal kring 935 (en kanal längst ner på frekvensbandet), kolonn 1. Ett högre värde på mottagarkänsligheten motsvarar att det behövs en högre mottagen signaleffekt för att nå något visst resultat i mottagaren. Under laboration 1 studerade vi histogrammen nedan och ställde frågan om det var någon skillnad mellan väntevärdena. >> load sensitivity >> slc=sensitivity(:,1); >> smc=sensitivity(:,2); >> x= -109:0.3:-104; >> subplot(2,1,1) >> hist(slc,x) >> grid >> subplot(2,1,2) >> hist(smc,x) >> axis([ ]) >> grid I histogrammen ser man en tydlig skillnad men är den signifikant? ( statistiskt säkerställd )? 4.1 Skillnad mellan väntevärden Uppgift: Antag att förutsättningarna i förberedelseuppgift l (l) är uppfyllda och beräkna medelvärde (mean) och standardavvikelse (std) förslc ochsmc samt testa med ett approximativt test om Ñsmc är signifikant mindre än Ñ slc (använd resultatet i förberedelseuppgift l (l)). H 0 : Ñsmc = Ñslc, H 1 : Ñsmc < Ñslc. Svar: Anm. Egentligen är mätningarna i de två dataserierna tagna på samma telefoner (första elementet i de två serierna från en telefon osv) så egentligen är modellen stickprov i par lämpligare i detta fall. Prova även att basera testet på denna modell om du hunnit gå igenom det. Tack! Tack till Gilbert Jönsson vid Atomfysik, LTH som gett oss datamaterial och hjälpt till med bakgrundsbeskrivningen av radonmätningarna.