4. Laplacetransformmetoder

4. Laplacetransformmetoder 4. Laplacetransformmetoder 4.1 Differentialekvationer Differentialekvationer utgör grunden för en matematisk beskrivning av dynamiska system i kontinuerlig tid beskriver hur en viss variabel, utsignalen, beror av en eller flera andra variabler, insignaler Eftersom insignaler är oberoende av varandra kan vi för ett system med flera insignaler normalt betrakta en insignal i taget. Ett system med koncentrerade parametrar kan då allmänt beskrivas med en ordinär differentialekvation av formen n n1 m m1 d y d y dy d u d u du g,,,, y,,,,, u 0 n n1 m m1 (4.1) dt dt dt dt dt dt där u = insignal, y = utsignal, g() = godtycklig analytisk funktion. Storheten n = ordningen på högsta utsignalderivatan = systemets ordningstal. Normalt är n m. Ett sådant system är propert; motsatsen är ett icke-propert system. Reglerteknik I Grundkurs (419300) 4 1

4.1 Differentialekvationer Om funktionen g() är linjär, kan DE:n skrivas på formen n n1 m m1 d y d y dy d u d u du a0 a1 a 1 n 1 an y b n n 0 b m 1 b m 1 m 1 bmu dt dt dt dt dt dt (4.2), b m är systemparametrar som karakteriserar egen- Koefficienterna a 0, a 1,, a n, b 0, skaperna hos det linjära systemet. Parametrarna kan (om så önskas) omskalas med en godtycklig faktor olik noll: a0 1 alltid möjligt eftersom n:te ordningens DE har a0 0 an 1 möjligt om an 0 Om icke-propra system uteslutes, kan man alltid välja m n; icke-förekommande insignalderivator får då en b-koefficient = noll. I praktiken gäller ofta b 0 0, vilket är ett strikt propert system. Om man väljer skalning så att a0 1, kan DE:n då skrivas n n1 n1 d y d y dy d u du a1 a 1 n 1 an y b n n 1 b n 1 n 1 bnu dt dt dt dt dt (4.3) Obs. hur koefficienternas nedre index är förknippade med derivatornas ordningstal. 4. Laplacetransformmetoder 4 2

4.1 Differentialekvationer För linjära system gäller superpositionsprincipen: Om funktionsparen u1( t), y1( t ) och u2( t), y2( t ) är lösningar till (4.2) så är även funktionsparet u( t), y( t ) en lösning, som fås genom en godtycklig linjär kombination u( t) a u ( t) b u ( t) y( t) a y ( t) b y ( t) 1 2, 1 2 Grundläggande matematik gör det möjligt att lösa den linjära DE:n (4.2) eller (4.3) om systemparametrarna är konstanta och insignalen ut () har en någorlunda enkel form. Lösningen, dvs utsignalen yt, () erhålles då som summan av en partikulärlösning och den allmänna lösningen till motsvarande autonoma system, som fås när DE:ns högerled sätter = 0 (dvs ett system utan insignal!). 4. Laplacetransformmetoder 4 3

4.1 Differentialekvationer Att lösa linjära DE:r med denna metod är dock komplicerat: Det matematiska arbetet blir besvärligt vid system av högre ordningstal. Metoden erbjuder inga bekväma genvägar för att behandla sammansatta system, uppbyggda av enklare linjära delsystem. För praktisk hantering av system baserade på linjära DE:r kommer vi att utnyttja Laplacetransformen Den har en central roll i grundläggande analys- och syntesmetoder för linjära system. Den är speciellt lämplig för system med en insignal och en utsignal (SISO-system). Metoder baserade på tillståndsbegreppet är ofta lämpligare för system med flera insignaler och flera utsignaler (MIMO-system). Tillståndsmetoder behandlas närmare i kursen Reglerteknik II. 4. Laplacetransformmetoder 4 4

4.1 Differentialekvationer För att motivera användningen av Laplacetransformmetoder skall vi först studera ett system beskrivet av en enkel linjär DE med hjälp av traditionella lösningsmetoder. Exempel 4.1. Stegsvaret för en kvicksilvertermometer. Dynamiken för en kvicksilvertermometer beskrivs av differentialekvationen d2 T 2 1 (1) dt där 2 = kvicksilvrets temperatur och 1 = omgivningens temperatur. Antag att termometern finns utomhus och att jämviktsläge råder. Då är 2 1 1, där 1 betecknar den konstanta utetemperaturen.. Antag nu att termometern förs inomhus, där temperaturen är lika med 1 1 Hur förändras kvicksilvrets temperatur i termometern som funktion av tiden? 4. Laplacetransformmetoder 4 5

4.1 Differentialekvationer Det förefaller rimligt att anta att temperaturen förändras exponentiellt från 2 1 till 2 1 1 enligt figur 4.1. Vi kan kontrollera detta antagande samt bestämma hur snabbt förändringen av 2 sker genom att lösa DE:n (1). Enligt vår hypotes skulle förändringen ha formen 2 ( t ) a e bt c, b 0 (2) där villkoret b 0 förhindrar att 2 när t. Kan differentialekvationen ge upphov till en lösning av denna typ? + 1 1 2 1 0 t Figur 4.1. Stegsvar för Hg-termometer. 4. Laplacetransformmetoder 4 6

4.1 Differentialekvationer Vi kontrollerar genom att derivera ovanstående uttryck, vilket ger d2 bt abe (3) dt Insättning i differentialekvationen ger bt bt Tabe a e c (4) 1 1 1 Eftersom högra ledet är en konstant, måste också vänstra ledet vara lika med samma konstant för alla t. Detta är endast möjligt om dvs om Insättning i (2) ger då bt bt bt Tabe a e (1 Tb) a e 0 (5) b 1/ T, c 1 1 (6) / 2( t) ae t T 1 1 (7) 4. Laplacetransformmetoder 4 7

4.1 Differentialekvationer (0) (0) a, dvs Ytterligare vet vi att 2 1. Detta ger 2 1 1 1 a 1 (8) Vi får då att 2 förändras exponentiellt enligt / 2( t) 1e t T 1 (9) ( t) ( t). där 2 2 1 Obs. att (9) inte är en allmän modell för termometern utan en lösning som gäller för en specifik förändring av insignalen. 4. Laplacetransformmetoder 4 8

4. Laplacetransformmetoder 4.2 Laplacetransformen 4.2.1 Definition De signaler som uppträder i dynamiska system är funktioner av tiden. Betrakta en tämligen godtycklig signal f() t med den egenskapen att f( t) 0 för t 0, integrerbar för t 0 Laplacetransformen F( s) f ( t) för tidsfunktionen f() t definieras då av integraluttrycket F( s) f ( t) e f ( t)dt Reglerteknik I Grundkurs (419300) 4 9 0 st (4.4) där s är en komplex variabel, vars realdel är (minst) så stor att integralen konvergerar. Man säger att Fs () är definierad i Laplaceplanet eller s-planet medan f() t är definierad i tidsplanet. Rekommenderas att man betecknar tidsfunktioner med små bokstäver (gemena) och deras Laplacetransformer med motsvarande stora bokstäver (versaler).

4.2.1 Definition För att Laplacetransformen skall kunna utnyttjas praktiskt krävs att man också kan beräkna den tidsfunktion f() t som motsvarar Laplacetransformuttrycket Fs (). Denna operation, dvs övergången från Fs () till f() t, kallas inverstransformering. 1 Inverstransformen f ( t) F( s) ges av uttrycket j 1 1 st f ( t) F( s) e F( s)ds 2 j (4.5) j där j 1 är den imaginära enheten och är ett reellt tal, som bör vara så stort att Fs () saknar singulariteter (dvs är begränsad) för alla s med större realdel än. Vid praktisk räkning med Laplacetransformen klarar man sig utan ekvation (4.5) behöver man sällan använda definitionen (4.4) 4.2 Laplacetransformen 4 10

4.2.1 Definition I stället utnyttjar man formelsamlingar (t.ex. T. Gustafssons Ingenjörsmatematisk formelsamling ) där vanligen förekommande tidsfunktioner och deras Laplacetransformer finns tabellerade. Med hjälp av en sådan tabell kan man transformera båda vägarna. Funktioner, som inte finns tabellerade, kan så gott som alltid erhållas som någon kombination av tabellerade funktioner. Eftersom Laplacetransformuttrycken är algebraiska uttryck, medför dylika kombinationer och motsvarande uppdelningar inga större beräkningsmässiga problem. Laplacetransformen kan användas för lösning av differentialekvationer. Avancerade metoder för analys av modeller uttryckta med hjälp av Laplacetransformen existerar (stabilitetsanalys, frekvensanalys). Design av reglersystem med frekvensplansmetoder. 4.2 Laplacetransformen 4 11

4.2 Laplacetransformen 4.2.2 Beräkning av Laplacetransformen för några enkla funktioner Pulsfunktionen En ideal puls som startar vid t 0 karakteriseras av en konstant amplitud a och en varaktighet (pulslängd) T, se figur 4.2. Med hjälp av f(t) Laplacetransformens definition (4.4) fås a T T st st 1 st 1 e F( s) e a dt a e a s 0 0 s (4.6) T t Figur 4.2. Pulsfunktion. 4. Laplacetransformmetoder 4 12

4.2.2 Beräkning av Laplacetransformen för några enkla funktioner Enhetsimpulsen (t) Diracs deltafunktion Vi kan definiera en impuls som en puls vars varaktighet T går mot noll, amplitud a går mot oändligheten pulsarea at har ett ändligt värde olika noll För enhetsimpulsen () t gäller att at 1 (uttryckt i någon lämplig enhet). Laplacetransformen för en enhetsimpuls vid t 0 kan erhållas genom Taylorserieutveckling och gränsvärdesberäkning med a 1/ i ekvation (4.6). Vi får st 1 1 e st ( st ) 2 F( s) ( t) lim lim 1 (4.7) T0 st T0 st Räknande med impulser har praktisk innebörd på många områden, såsom elektriska, mekaniska och processtekniska områden. Alla kortvariga insignaler kan normalt behandlas som impulser karakteriserade enbart av pulsarean oberoende av pulsens exakta form. Typiska exempel är spännings- och strömpulser i elektriska system stötkrafter i mekaniska system injicering av spårämnen i medicinska och processtekniska tillämpningar 4.2 Laplacetransformen 4 13 T 2

4.2.2 Beräkning av Laplacetransformen för några enkla funktioner Enhetssteget (t) En stegfunktion kan betraktas som en puls med oändlig varaktighet T. Laplacetransformen för enhetssteget () t, som har a 1, fås genom en gränsvärdesbetraktelse: Enhetsrampen (t) st 1 e 1 F( s) ( t) lim (4.8) T s s En ramp är en funktion vars värde förändras linjärt med tiden. Enhetsrampen () t är en ramp med lutningskoefficienten 1, dvs () t t, t 0. Med hjälp av partiell integration fås st e st e 1 st e 1 F( s) ( t) te dt t 1 dt 0 s s s s s st 2 0 0 0 0 (4.9) 4.2 Laplacetransformen 4 14

4.2.2 Beräkning av Laplacetransformen för några enkla funktioner Ett samband mellan de enkla enhetsfunktionerna Figur 4.3 illustrerar utseendet hos enhetsimpulsen, enhetssteget och enhetsrampen. impulsen kan betraktas som derivatan av steget steget är derivatan av rampen Omvänt gäller att steget är integralen av impulsen rampen är integralen av steget Notera de tre funktionernas Laplacetransformer, dvs 1, 1/ s resp. 2 1/ s. () t () t () t t t t Figur 4.3. Enhetsimpulsen () t, enhetssteget () t och enhetsrampen () t. 4.2 Laplacetransformen 4 15

4.2.2 Beräkning av Laplacetransformen för några enkla funktioner Exponentiellt avklingande funktion En exponentiellt avklingande funktion definieras f( t) e at, t 0 0 0. Laplacetransformen: at st at ( sa) t 1 ( sa) t 1 F( s) e e e dt e dt e s a s a Sinus- och cosinusfunktioner (4.10) För härledning av Laplacetransformer för sinus- och cosinusfunktioner behövs superpositionssatsen (4.13), som ges i nästa avsnitt. Därutöver kan vi utnyttja (4.10) genom att låta parametern a vara imaginär. Vi utnyttjar Eulers identitet för sinbt, som ger sinbt där j 1 betecknar den imaginära enheten. e jbt e 2j jbt 0 4.2 Laplacetransformen 4 16

4.2.2 Beräkning av Laplacetransformen för några enkla funktioner Tillämpning av ekvation (4.10) ger 1 j 1 j 1 1 1 F( s) sinbt e e 2j 2j 2j s jb s jb s b För cosbt gäller enligt Eulers identitet bt bt b 2 2 cosbt och analogt med härledningen av (4.11) fås 1 j 1 j 1 1 1 F( s) cosbt e e 2 2 2 s jb s jb s b e jbt e 2 jbt bt bt s 2 2 (4.11) (4.12) 4.2 Laplacetransformen 4 17

4.2 Laplacetransformen 4.2.3 Räkneregler för Laplacetransformer Superpositionssatsen F s och F 2 () s är Laplacetransformerna för tidsfunktionerna f 1 () t och f 2 () Om 1 () gäller för en linjär kombination av dessa där A och B är godtyckliga konstanter. Bevis: 1 2 1 2 t så A f ( t) B f ( t) AF ( s) B F ( s) (4.13) st A f ( t) B f ( t) e A f ( t) B f ( t) dt 1 2 1 2 0 st st 1 2 1 2 0 0 A e f ( t)dt B e f ( t)d t A F ( s) B F ( s) Inverstransformen uppfyller samma egenskap, dvs 1 AF ( s) BF ( s) A f ( t) B f ( t) (4.14) 1 2 1 2 4. Laplacetransformmetoder 4 18

4.2.3 Räkneregler för Laplacetransformer Deriveringssatsen Om Fs () är -transformen för f() t så ges -transformen för derivatan f d f / dt av där f (0 ) f ( t) sf( s) f (0 ) (4.15) är tidsfunktionen f() t :s värde när man närmar sig t 0 från negativa sidan. Bevis: Med partiell integration fås st st st 0 f ( t) e f ( t)dt e f ( t) ( s)e f ( t)d t sf( s) f (0 ) 0 0 Ett successivt utnyttjande av deriveringssatsen ger följande uttryck för Laplacetransformen för n:te derivatan f n d n f / dt n av funktionen f() t ( ) : ( n) n n1 n2 ( n2) ( n1) 4.2 Laplacetransformen 4 19 f s F( s) s f (0 ) s f (0 ) s f (0 ) f (0 ) (4.16) Bortsett från begynnelsevärdena f (0 ), (0 ) f, etc., så motsvaras en derivering av en tidsfunktion av en multiplikation med Laplacevariabeln s i Laplaceplanet. Laplacevariabeln s har således stora likheter med differentialoperatorn p d /t d.

4.2.3 Räkneregler för Laplacetransformer Integrationssatsen Om Fs () är -transformen för f() t så ges -transformen för tidsfunktionens integral av t 1 f ( )d F( s) s (4.17) 0 Bevis: Vi utnyttjar beteckningen t g( t) f ( )d som ger g( t) f ( t) 0. Tillämpning av deriveringssatsen (4.15) på funktionen gt () ger då t F( s) f ( t) g( t) s g( t) g(0 ) s g( t) s f ( )d 0 där g(0 ) 0 följer av definitionen på gt. () Genom successiv tillämpning av (4.17) fås Laplacetransformen för en n-faldig integral: t t t n 1 f ( )d F( s) n s 0 0 0 (4.18) 4.2 Laplacetransformen 4 20

4.2.3 Räkneregler för Laplacetransformer Dämpningssatsen Om Fs () är Laplacetransformen för f() t så ges Laplacetransformen för den exponentiellt dämpade tidsfunktion e at f( t) av e at f ( t) F( s a) (4.19) Bevis: at st at s a t ( ) e f ( t) e e f ( t)dt e f ( t)d t F( s a) 0 0 4.2 Laplacetransformen 4 21

4.2.3 Räkneregler för Laplacetransformer Förskjutningssatsen Om Fs () är Laplacetransformen för f() t så ges Laplacetransformen för funktionen f ( t L), dvs funktionen f() t fördröjd med L tidsenheter, se figur 4.4, av sl f ( t L) e F( s) (4.20) Bevis: Med variabelsubstitutionen t L samt genom att f( t) 0 för t 0 fås f() t f ( t L) t Figur 4.4. Ofördröjd och fördröjd tidsfunktion f() t. st s( L) sl s sl f ( t L) e f ( t L)dt e f ( )d e e f ( )d e F( s) 0 L 0 4.2 Laplacetransformen 4 22 L t

4.2.3 Räkneregler för Laplacetransformer Gränsvärdessatser För en tidsfunktion f() t och dess Laplacetransform Fs () gäller att små värden på tiden t motsvaras av stora värden på Laplacevariabeln s, och vice versa. De s.k. gränsvärdessatserna ger konkreta uttryck för detta samband. Begynnelsevärdessatsen För en tidsfunktion f() t och dess Laplacetransform Fs () gäller, under förutsättning att Fs () är strikt proper, f t (4.21) lim ( ) lim sf( s) t0 s Slutvärdessatsen För en tidsfunktion f() t och dess Laplacetransform Fs () gäller, under förutsättning att sf() s saknar singulariteter (dvs är begränsad) för alla s med icke-negativ realdel lim f ( t) lim sf( s) t (4.22) s0 4.2 Laplacetransformen 4 23

4.2.3 Räkneregler för Laplacetransformer Övning 4.1. Beräkna Laplacetransformen för tidsfunktionen f t resultatet med begynnelse- och slutvärdessatserna. t 2t ( ) 6 8e 5e. Kontrollera Övning 4.2. Bestäm den tidsfunktion som har Laplacetransformen 0,8s 2,4e 2s 3,6. Övning 4.3. Härled Laplacetransformen för en fördröjd sågtandspuls enligt figuren. 3 f() t 3 5 t Figur 4.5. Sågtandspuls. 4.2 Laplacetransformen 4 24

Laplacetransformtabell 4.2 Laplacetransformen 4 25

Laplacetransformtabell 4.2 Laplacetransformen 4 26

Laplacetransformtabell 4.2 Laplacetransformen 4 27

Laplacetransformtabell 4.2 Laplacetransformen 4 28

4. Laplacetransformmetoder 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4.3.1 Överföringsfunktionen Antag att DE:n (4.2) satisfieras av variabelvärdena dvs detta är en lösning till DE:n. ( n) ( n1) ( m) ( m1) y, y,, y, y, u, u,, u, u Om detta tillstånd är av speciell betydelse kan vi kalla det för ett referenstillstånd eller en arbetspunkt. Ofta är denna punkt ett stationärtillstånd, även kallat fortfarighetstillstånd eller jämviktsläge, där alla derivator är noll (men detta behöver inte alltid vara fallet). ( n) ( n1) ( m) ( m1) Ett tillstånd y, y,, y, y, u, u,, u, u, som satisfierar DE:n, kan relateras till ett referenstillstånd enligt ( n) ( n) ( n) y y y, ( m) ( m) ( m) u u u, ( n1) ( n1) ( n1) Reglerteknik I Grundkurs (419300) 4 29 y y y,, y y y, y y y ( m1) ( m1) ( m1) u u u,, u u u, u u u där Δ-variablerna anger avvikelser från referenstillståndet.

4.3.1 Överföringsfunktionen Insättning av dessa variabler i DE:n (4.2) ger efter bortförkortning av referenstillståndet och valet a0 1 n n1 m m1 d y d y dy d u d u du a1 a n n 1 n1 any b0 b m 1 b m m1 bm u dt dt dt dt dt dt (4.23) Laplacetransformering av (4.23) ger, med beaktande av att alla begynnelsevärden för Δ- variablerna är noll, n n1 1 n1 s Y ( s) a s Y ( s) a sy ( s) a Y ( s) m m1 0 1 m1 b s U ( s) b s U ( s) b s U ( s) b U ( s) där Ys () och Us () är Laplacetransformerna av yt () resp. ut (). En n:te derivata ger således vid Laplacetransformering upphov till en faktor begynnelsetillståndet är noll. n m n s när (4.24) 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4 30

4.3.1 Överföringsfunktionen Ekvation (4.24) kan även skrivas ( ) ( ) n n1 m m1 1 n1 n 0 1 m1 m s a s a s a Y ( s) b s b s b s b U ( s) (4.25) eller kompaktare där Gs () är systemets överföringsfunktion. Y ( s) G( s) U( s) (4.26) m m1 0 1 m1 n n1 1 n1 b s b s b s bm Bs () s a s a s a As () Ibland talas även om överföringsoperator, men denna benämning är missvisande eftersom både s och Gs () är variabler. G (p), där p d / dt, är en överföringsoperator. n (4.27) Vi ser att vid beräkningar i Laplaceplanet fås systemets utsignal genom multiplicering av dess insignal med systemets överföringsfunktion. 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4 31

4.3.1 Överföringsfunktionen I ekvation (4.27) betecknar As () överföringsfunktionens nämnare och Bs () dess täljare. Ekvationen As ( ) 0 är systemets karakteristiska ekvation; rötterna till As ( ) 0 kallas systemets poler; rötterna till Bs ( ) 0 kallas systemets nollställen. Betydelsen av poler och nollställen behandlas närmare i kapitlen 5 och 6. Ifall systemet innehåller en ren tidsfördröjning, även kallad dödtid (se kapitel 5), så att det tar en tid L innan en insignal börjar påverka systemet, kan i ekvation (4.24) göras substitutionen u( t) v( t L), där v är den verkliga insignalen. Användning av -variabler samt Laplacetransformering ger Ls U ( s)=e V ( s) (4.28) där V() s är Laplacetransformen av vt (). Överföringsfunktionen från V() s till Ys () är då Gs ( )e Ls. Vid Laplacetransformering av ett system med dödtid kan vi således först transformera systemet utan dödtid, och därefter beakta dödtiden enligt (4.28). 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4 32

4.3.1 Överföringsfunktionen Exempel 4.2. Härledning av överföringsfunktionen för en kvicksilvertermometer. Enligt exempel 4.1 kan en kvicksilvertermometer beskrivas med DE:n d2 T 2 1 (1) d t där 1 är omgivningens temperatur och 2 är kvicksilvrets temperatur. Vi inför Δ-variabler, som avvikelser från ett jämviktsläge 1 1 och 2 2, dvs 1 1 1, 2 2 2 (2) där 1 och 2 anger avvikelsernas storlek. Insättning i ekvation (1) ger d( 2 2) T 2 2 1 1 (3) dt Eftersom 2 1 och d 2 / dt 0 är en konstant, fås, då 2 d 2 ( t) T 2( t) 1( t) (4) dt där vi för tydlighets skull infört tidsargumentet t. 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4 33

4.3.1 Överföringsfunktionen Laplacetransformering av denna modell ger 2 2 2 1 T s ( s) (0 ) ( s) ( s) (5). där 1 () s och 2 () s är Laplacetransformerna av 1 () t resp. 2 () t Eftersom vi använder Δ-variabler, som anger avvikelser från begynnelsetillståndet, är 2 (0 ) 0. Vi får då eller där är systemets överföringsfunktion. Ts ( s) ( s) ( s) (6) 2 2 1 ( s) G( s) ( s) (7) 2 1 1 Gs () Ts 1 (8) 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4 34

4.3.1 Överföringsfunktionen Övning 4.4. Ett system beskrivs av differentialekvationen 2 d y dy 5 6y u 2 dt dt där u och y anger avvikelser från ett jämviktsläge. Bestäm systemets överföringsfunktion. 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4 35

4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4.3.2 Några konventioner rörande in- och utsignaler Såsom tidigare konstaterats fås vid beräkningar i Laplaceplanet systemets utsignal genom multiplicering av dess insignal med systemets överföringsfunktion inga andra termer kan ingå i uttrycket (om man har en insignal). Vid Laplacetransformering erhålles ett sådant linjärt uttryck endast om signalernas begynnelsevärden, dvs deras värden vid t 0, är noll. Detta villkor uppfylls automatiskt när man använder Δ-variabler, vilka anger avvikelser från ett referenstillstånd som gäller vid tidpunkten t 0, dvs när man närmar sig noll från negativa sidan. 0 har betydelse ifall funktionen är diskontinuerlig vid t 0. Eftersom det är ett ofrånkomligt krav vid beräkningar med överföringsfunktioner att signalerna har ovannämnda egenskap, anses det vara underförstått att så är fallet även om det inte skulle omnämnas. Därmed kan man, som i övning 4.4, utelämna symbolen Δ för att förenkla beteckningarna. Om Δ-variabler med symbolen Δ används, är det ofta för att betona signalernas fysikaliska anknytning. I sådana fall är symbolen utan Δ ofta upptagen för att beteckna verkliga fysikaliska variabler, t.ex. mätvärden i processen. 4. Laplacetransformmetoder 4 36

4.3.2 Några konventioner rörande inoch utsignaler Det rekommenderas att man betecknar tidsfunktioner med små bokstäver (gemena) och deras Laplacetransformer med motsvarande stora bokstäver (versaler). I brist på lediga symboler är det dock inte ovanligt att man slarvar med detta och använder samma symbol både för tidsfunktionen och dess Laplacetransform. Detta är möjligt för att det vanligtvis är klart av sammanhanget vilken funktionstyp det är frågan om. Till exempel vid beräkningar med överföringsfunktioner är det klart att signalernas Laplacetransformer används. Om risk för missförstånd föreligger, kan man inkludera argumentet t eller s för att ange funktionstypen. När man t.ex. gör en Laplacetransformering kan denna distinktion behövas om man använder samma symbol för tidsfunktionen och dess Laplacetransform. Det bör även observeras att både signalernas tidsfunktioner och deras Laplacetransformer i allmänhet har en enhet. Operationer både i tids- och Laplaceplanet bör därmed vara dimensionsriktiga. Speciellt bör observeras att förstärkningen för ett system inte är dimensionslös om in- och utsignalen har olika enheter. 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4 37

4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4.3.3 Blockscheman Vi har redan kommit i kontakt med reglertekniska blockscheman i kapitel 2. I detta avsnitt ges en utförligare behandling av typiska blockschemakomponenter och - konfigurationer samt vilka räkneoperationer de motsvarar i Laplaceplanet. Ett linjärt dynamiskt system med insignalen ut, () utsignalen yt () och överföringsfunktionen Gs () kan representeras grafiskt med hjälp av ett blockschema enligt figur 4.6. Figur 4.6. Blockscheman för dynamiskt system. Om man namnger signalerna i blockschemat kan man använda signalernas tidsplanssymboler, såsom till vänster i figuren, eller symboler för signalernas Laplacetransformer, såsom till höger i figuren. Oberoende av vilken form som används, gäller sambandet Y( s) G( s) U( s) (4.29) dvs överföringsfunktionen opererar på signalernas Laplacetransformer, inte på deras tidsfunktioner (såsom överföringsoperatorn G (p)). 4. Laplacetransformmetoder 4 38

4.3.3 Blockscheman Man kan med ett blockschema åskådligt visa hur ett dynamiskt system byggs upp av mindre delsystem. Viktiga element i sådana blockscheman är konstruktioner som beskriver summation, jämförelse och förgrening av signaler. Såsom framgår innebär en jämförelse en subtraktion. Obs. att en förgrening endast flerfaldigar en signal, den förändrar inte signalen. Figur 4.7. Tre olika sätt att beteckna summation. Figur 4.8. Tre olika sätt att beteckna jämförelse. I figurerna används signalernas tidsfunktioner, men samma räkneregler gäller för signalernas Laplacetransformer. Konstruktionerna kan givetvis generaliseras så att fler än två signaler beaktas. Figur 4.9. Förgrening. 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4 39

4.3.3 Blockscheman Seriekoppling Ett ofta förekommande arrangemang av delsystem är seriekoppling eller kaskadkoppling, som illustreras i figur 4.10. Av ekvation (4.29) följer dvs Y( s) G ( s) X ( s) G ( s) G ( s) U( s) 2 2 1 G( s) G ( s) G ( s) (4.30) 2 1 som är överföringsfunktionen för det sammansatta systemet inom den streckade konturen i figur 4.10. Figur 4.10. Seriekoppling. 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4 40

4.3.3 Blockscheman Parallellkoppling En annan systemstruktur är parallellkoppling, som illustreras i figur 4.11. Denna innehåller både en förgrening och en summation. Elementär algebra ger dvs Y( s) Y ( s) Y ( s) G ( s) U( s) G ( s) U( s) G ( s) G ( s) U( s) 1 2 1 2 1 2 1 2 som är överföringsfunktionen för en parallellkoppling. G( s) G ( s) G ( s) (4.31) Figur 4.11. Parallellkoppling. 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4 41

4.3.3 Blockscheman Återkoppling Den mest fundamentala systemstrukturen inom en är (negativ) återkoppling, som illustreras i figur 4.12. När överföringsfunktionen i framriktningen betecknas Gs () och överföringsfunktionen i återkopplingen betecknas Hs () fås dvs Gs () Y( s) G( s) E( s) G( s) R( s) H( s) Y( s) R( s) 1 G ( s ) H ( s ) som är det slutna systemets överföringsfunktion. Produkten G( s) H( s ) kallas systemets kretsöverföring. Ekvationen 1 G( s) H( s) 0 är systemets karakteristiska ekvation. Gs () Gs () s (4.32) 1 G( s) H ( s) Figur 4.12. Återkoppling. 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4 42

4.3.3 Blockscheman Övning 4.5. Härled överföringsfunktionen från u till y i nedanstående blockschema. Figur 4.13. Blockschema för sammansatt system. 4.3 Beskrivning av dynamiska system i Laplaceplanet 4 43

4. Laplacetransformmetoder 4.4 Lösning av differentialekvationer Ett behändigt sätt att lösa linjära ordinära differentialekvationer är att använda Laplacetransformmetoder. När differentialekvationen Laplacetransformerats term för term, med beaktande av initialtillstånd, kan Laplacetransformen för den beroende variabeln, dvs utsignalen, enkelt lösas ut med rent algebraiska metoder. Om differentialekvationen beskriver ett dynamiskt system, har den en insignal som också transformeras. Tidsfunktionen för den beroende variabeln kan sedan erhållas genom inverstransformering av dess Laplacetransform. Figur 4.14. Arbetsgång vid lösning av differentialekvationer via Laplacetransformering. Reglerteknik I Grundkurs (419300) 4 44

4.4 Lösning av differentialekvationer Tabeller över Laplacetransformer och motsvarande tidsfunktioner kan utnyttjas såväl vid själva Laplacetransformeringen som vid inverstransformeringen. Ifall tabellen inte upptar Laplacetransformen ifråga, kan man genom partialbråksuppdelning vanligtvis skriva den som en summa av enklare transformer vars tidsfunktioner finns i tabellen. Enligt superpositionssatsen (se avsnitt 4.2.3) fås den sökta tidsfunktionen då som summan av de enklare Laplacetransformernas tidsfunktioner. 4. Laplacetransformmetoder 4 45

4.4 Lösning av differentialekvationer 4.4.1 Begynnelsevärdesproblem Eftersom Laplacetransformen av en tidsfunktion innehåller tidsfunktionens begynnelsevärde, är Laplacetransformen speciellt lämpad för lösning av begynnelsevärdesproblem (initialvärdesproblem). Exempel 4.3. Lösning av linjär differentialekvation med begynnelsevillkor. Lös differentialekvationen y 5y 6y 1 med begynnelsevillkoren y(0 ) 0, y(0 ) 1. Laplacetransformering ger med uttnyttjande av deriveringssatserna (4.15) och (4.16) 2 1 s Y( s) sy(0 ) y(0 ) 5 sy ( s) y(0 ) 6 Y( s) (1) s Insättning av begynnelsevillkoren ger efter hyfsning Ys () s1 s1 2 s ( s 5s 6) s ( s 2)( s 3) (2) 4. Laplacetransformmetoder 4 46

4.4.1 Begynnelsevärdesproblem Detta uttryck finns inte i kompendiets Laplacetransformtabell, men vi kan separera täljarens termer och efter hyfsning skriva Ys () 1 1 ( s 2)( s 3) s ( s 2)( s 3) (3) Dessa termer finns som punkt 17 och 18 i tabellen med a 2 och b 3. I enlighet med superpositionssatsen kan vi inverstransformera termerna var för sig och summera resultatet för att få tidsfunktionen yt. () Resultatet blir 1 2t 3t 1 1 2t 1 3t 1 2t 2 3t 1 yt ( ) e e e e e e 3 2 2 3 2(2 3) 3(2 3) 2 3 6 (4) Kontroll genom derivering och insättning i differentialekvationen och begynnelsevillkoren visar att lösningen är korrekt. 4.4 Lösning av differentialekvationer 4 47

4.4 Lösning av differentialekvationer 4.4.2 Tidssvaret för ett dynamiskt system Tidssvaret för ett dynamiskt system kan bestämmas genom inverstransformering när systemets överföringsfunktion och insignalens Laplacetransform är kända. Exempel 4.4. Stegsvaret för ett första ordningens system. Ett linjärt första ordningens system med insignalen u och utsignalen y kan beskrivas med differentialekvationen dy T y Ku dt (1) där K är systemets (statiska) förstärkning och T dess tidskonstant. Om u 0 så är y 0 en lösning till DE:n. Vi kan anta att detta tillstånd råder vid t 0. Laplacetransformering ger då Y( s) G( s) U( s) (2) där Gs () är systemets överföringsfunktion. K Ts1 (3) 4. Laplacetransformmetoder 4 48

4.4.2 Tidssvaret för ett dynamiskt system Om insignalen förändras stegformigt från 0 till steg u vid t 0, dvs om u( t) 0, t 0; u( t) usteg, t 0 (4) så är detta steg u steg gånger så stort som ett enhetssteg och har enligt avsnitt 4.2.2 (eller punkt 1 i kompendiets Laplacetransformtabell) Laplacetransformen U() s Insättning av Gs () och Us () i ekvation (2) ger Ys () u steg (5) s Kusteg Kusteg / T s ( T s 1) s ( s 1/ T) Enligt punkt 9 eller 26 i Laplacetransformtabellen är motsvarande tidsfunktion / y( t) Ku steg 1 e t T (6) (7) Det härledda stegsvaret har givetvis samma form som stegsvaret för kvicksilvertermometern som härleddes genom direkt lösning av differentialekvationen i exempel 4.1. 4.4 Lösning av differentialekvationer 4 49

4.4.2 Tidssvaret för ett dynamiskt system Övning 4.6. Bestäm enhetsstegsvaret (dvs svaret när insignalen är en stegförändring av storleken 1) för systemet i övning 4.4. 4.4 Lösning av differentialekvationer 4 50

Reglerteknik I/ KEH 4.4 Lösning av differentialekvationer 4.4.3 Partialbråksuppdelning Laplacetransformen för en tidsfunktion f() t, t.ex. den beroende variabeln i en differentialekvation med given insignal och givna begynnelsevärden, kan vanligtvis skrivas i formen m m1 b0s b1 s bm1s bm Bs () Fs () n n1 s a s a s a As () 1 n1 Ys innehållande en dödtid L, så att Y( s) F( s)e Ls För en Laplacetransform (), kan man först bestämma f() t från Fs () och därefter y( t) f ( t L) enligt förskjutningssatsen. n (4.33) Den mot Laplacetransformen Fs () svarande tidsfunktionen f() t kan man ofta finna direkt i tabellverk eller, som i exempel 4.3, efter en enkel separering av täljarens termer i enlighet med superpositionsprincipen. Om detta inte hjälper, kan man göra en partialbråksuppdelning. 4. Laplacetransformmetoder 4 51

4.4.3 Partialbråksuppdelning Vid partialbråksuppdelning av ekvation (4.33) gör man på följande sätt: Först undersöks om täljarens gradtal m är mindre än nämnarens gradtal n. I praktiken gäller så gott som alltid att m n, dvs att systemet är strikt propert. Skulle så inte vara fallet divideras täljarpolynomet med nämnarpolynomet så att ett nytt täljarpolynom erhålles med lägre gradtal än nämnarens. Genom en sådan polynomdivision kan Laplacetransformen skrivas B0 () s F( s) F0 ( s) (4.34) As () där As () är samma nämnarpolynom som i ekvation (4.33) och B 0 () s är ett polynom med lägre gradtal än As (). I fortsättningen antas därför m0 n. Enligt superpositionssatsen kan polynomet 0 () den resulterande tidsfunktionen f 0 () t adderas till resten av lösningen. Eftersom F 0 () s saknar nämnare, kommer f 0 () t att bestå av en eller flera termer motsvarande en impuls och tidsderivator av impulser. Speciellt det senare är ovanligt i praktiken. F s inverstransformeras skilt för sig och 4.4 Lösning av differentialekvationer 4 52

4.4.3 Partialbråksuppdelning Exempel 4.5. Polynomdivision. Betraka den rationella funktionen s Fs () 3 2 2s 4 s 3. (1) Den kan med hjälp av polynomdivision skrivas på formen (4.34). Om vi använder den klassiska divisionsuppställningen (andra uppställningar är liggande stolen och trappan ) ser proceduren ut på följande sätt. 3 2 B( s) s 2s 4 s 3 A( s) 3 2 2 s 3s s s 3 F ( s) s s 2 2 4 3s 3s 4 3s 9 5 B ( s) 4.4 Lösning av differentialekvationer 4 53 0 0

4.4.3 Partialbråksuppdelning Resultatet är således 2 5 F( s) s s 3 (2) s 3 Ekvationerna (4.15) och (4.16) samt punkterna 6 och 8 i Laplacetransformtabellen ger tidsfunktionen 2 d ( t) d ( t) 3t f ( t) 3 ( t) 5e (3) 2 dt dt där () t är enhetsimpulsen. 4.4 Lösning av differentialekvationer 4 54

4.4.3 Partialbråksuppdelning Faktorisering Nästa steg är att faktorisera polynomet As () enligt A s s p1 s p2 s p n ( ) ( )( ) ( ) (4.35) där p k, k 1,2,, n, är de n stycken reella och komplexa rötterna till den karakteristiska ekvationen As ( ) 0. Om rötterna p k är distinkta (alla rötter är olika stora) och reella kan Fs () skrivas som n Ck F( s) F0 ( s) (4.36) s p där C k, k 1,2,, n, är konstanter som bör bestämmas. Ifall karakteristiska ekvationen har multipla (lika stora) reella rötter kan Fs () skrivas 0 k 1 F( s) F ( s) k r n Ck Ck k k1 ( s pr ) kr1 s p (4.37) k där pr pk, k 1,2,, r, är r stycken lika stora rötter. I praktiken förekommer dock sällan multipla rötter. 4.4 Lösning av differentialekvationer 4 55

4.4.3 Partialbråksuppdelning Ifall komplexa rötter förekommer uppträder dessa som komplexkonjugerade rotpar j, där j 1 är den imaginära enheten. Vid faktoriseringen av As () kan p ett sådant rotpar sammanslås till faktorn C s C 2 2 2 2 2 ( s ) s 2 s. En term 1 2 2 2 ( s ) bör då inkluderas i partialbråksuppdelningen av Fs (). Ifall pn 1 och p n är ett komplexkonjugerat rotpar och rötterna p k, k 1,, r, är multipla och reella ( ) samt resten av rötterna är distinkta och reella, fås p r r n2 Ck Ck Cn1s Cn 0 k 2 2 k1 ( s pr ) kr1 s pk ( s ) (4.38) F( s) F ( s) Multipla komplexa rötter kan även hanteras, men kommer inte att behandlas. Alla termer i partialbråksuppdelningen (4.38) är sådana att deras inverstransformer enkelt hittas i kursens Laplacetransformtabell. Enligt superpositionssatsen är den sökta funktionen f() t summan av de enskilda inverstransformerna. 4.4 Lösning av differentialekvationer 4 56

4.4.3 Partialbråksuppdelning Bestämning av konstanterna Konstanterna C k C k kan bestämmas på flera olika sätt. Eftersom partialbråksuppdelningen bör gälla för godtyckliga värden på variabeln s, kan man substituera n stycken lämpligt valda olika värden på s i partialbråksuppdelningen och bestämma C, k 1,2,, n, ur de n ekvationer som uppstår. k En annan mera allmän metod är att förlänga partialbråksuppdelningen (dvs multiplicera båda leden) med As () och därefter förkorta bort nämnaruttrycken. Det så erhållna uttrycket skall vara lika med B 0 () s. Konstanterna C k kan då bestämmas ur de n ekvationer som uppstår när man kräver att partialbråksuppdelningen skall gälla skilt för varje potens av s. Ifall rötterna är distinkta och reella bestäms C k enklast enligt B0 lim ( ) () s Ck s pk (4.39) s p As () k Observera att faktorn ( s p k ) kan förkortas bort mot motsvarande faktor i As (). 4.4 Lösning av differentialekvationer 4 57

4.4.3 Partialbråksuppdelning Exempel 4.6. Rampsvaret för ett första ordningens system. Vi skall bestämma det så kallade rampsvaret för ett första ordningens system. Insignalen u är en ramp, vilket innebär att den förändras linjärt med tiden enligt sambandet u() t bt, där b är en konstant. Enligt exempel 4.4 har ett första ordningens system överföringsfunktionen Gs () K (1) Ts 1 För en ramp med lutningskoefficienten b gäller i enlighet med ekvation (4.9) att den har Laplacetransformen b U() s (2) 2 s Utsignalen ges då av Y( s) G( s) U( s) Kb ( Ts 1) s 2 (3) 4.4 Lösning av differentialekvationer 4 58

4.4.3 Partialbråksuppdelning Denna Laplacetransform finns i kursens Laplacetransformtabell, men vi skall här illustrera hur vi kan finna lösningen genom partialbråksuppdelning och inverstransformering av redan kända Laplacetransformer. Nämnaren i ekvation (3) är färdigt faktoriserad; vi har en enkel rot 1/ T och en dubbelrot s 0. I enlighet med ekvation (4.37) gör vi då partialbråksuppdelningen Kb C1 C2 C3 2 2 ( Ts 1) s s s Ts 1 Förlängning med ( Ts 1) s 2 ger Kb C ( Ts 1) s C ( Ts 1) C s (5) 1 2 3 Detta uttryck måste gälla skilt för varje potens av s, vilket ger 0 s : Kb C2 C2 Kb 1 s : 0 C1 C2T C1 KbT 2 0 2 s : C1T C3 C3 KbT 2 s (4) (6) 4.4 Lösning av differentialekvationer 4 59

4.4.3 Partialbråksuppdelning Insättning i ekvation (4) och vidare insättning i ekvation (3) ger Ys () KbT Kb KbT 2 s s Ts 1 Men hjälp av punkterna 1, 2 och 25 i Laplacetransformtabellen fås då t / T t / T y( t) KbT Kbt KbTe Kb( t T Te ) (8) Efter att initialeffekterna dött ut, närmar sig utsignalen en ramp med lutningskoefficienten Kb. 2 (7) Direkt tillämpning av punkt 27 i Laplacetransformtabellen ger givetvis samma svar. Övning 4.7. Inverstransformera följande funktioner med hjälp av partialbråksuppdelning: F () s s 3 a) a 2 2 ss ( 4) F () s, b) b 2 3s 5 s( s 6s 25). 4.4 Lösning av differentialekvationer 4 60