Självstudieövning 1: Grundläggande PID-reglering Mikael Johansson och Magnus Gäfvert Institutionen för Reglerteknik Lunds Tekniska Högskola Målsättning och förkunskaper Målsättningen med den här övningen är att ge en enkel och överskådlig introduktion till ämnet reglerteknik. Några grundläggande frågeställningar illustreras med ett problem där vi justerar vätsketillflödet till ett system av två tankar, så att vätskenivån i den ena tanken hålls konstant, även då tanksystemet utsätts för störningar. Vi visar på fördelarna med att låta regulatorn använda återkopplad mätinformation. Steg för steg ger vi en intuitiv motivering till den så kallade PID-regulatorn. Vi visar hur man med enkel matematik kan förklara många av de fenomen som uppstår. Övningen kräver inga speciella förkunskaper. Däremot har den många likheter med den första laborationen i Reglerteknik AK. Om du redan har genomfört den laborationen kan det vara bra att ha laborationshäftet tillgängligt så att du kan jämföra de slutsatser du drar av den här övningen med dina observationer från labben. Du kan också ha nytta av anteckningar från första föreläsningen, samt introduktionskapitlet i kursboken av Glad/Ljung.
Programvara Till övningen hör ett specialskrivet program som illustrerar PID-reglering av nivån i en vätsketank. Om du arbetar på EFD:s Unix-system måste du skriva initregler innan du startar matlab. Övningsprogrammet startas i Matlab-5 med kommandot >> ictools Programmet gör det möjligt att betrakta reglersystemet från två olika vyer: processvyn och regulatorvyn. Du kan byta vy via menyn View. Processvyn: illustration av fysikaliska förlopp Processvyn visar en animering av tanksystemet. I schematisk form visas även hur nivågivare, pump och regulator är sammankopplade med tanksystemet. Genom menyvalet Adjust Controller kan du välja om du vill att regulatorn skall ha tillgång till mätningar av tanknivån ( Closed Loop,) eller inte ( Open loop ). Genom menyvalet Adjust Process kan du välja att utsätta processen för laststörningar samt variationer i tankgeometrierna. Till höger i bild visas tidsplottar av nivån i den undre tanken samt av vätskeflödet till den övre tanken. Den streckade vertikala linjen i plottarna är en tidsmarkör. Tankbilden illustrerar tankens tillstånd vid den tid som markerats med tidsmarkören. Genom att gripa tag i tidsmarkören och svepa över tidsaxeln fås en animering av hur tankens tillstånd förändras under ett experiment. Detta ger en koppling mellan plottar och förlopp i tanken. tidsmarkör referensmarkör Figur 1 Processvyn: animering av tanken samt tidsplottar.
Regulatorvyn: schematisk illustration av reglersystemet Regulatorvyn visar en abstrakt vy av reglersystemet. Till vänster i bild visas ett blockschema av reglersystemet. Under kursens gång kommer vi ofta att analysera reglersystem genom att manipulera blockscheman. Det är därför viktigt att du förstår kopplingen mellan blockschemat och det verkliga systemet. Byt gärna mellan de två vyerna, och verifiera att de illustrerar samma system. Om du har valt Adjust Controller Closed Loop visas samma blockschema som i bilden nedan. Du kan byta struktur på regulatorn med popup-menyn Controller Structure. Med hjälp av reglagen nederst i bild kan du sedan ställa in regulatorns parametrar. Plottarna visar verklig tanknivå, reglerfel (skillnad mellan önskad och uppmätt tanknivå) samt styrsignal. Styrsignalen är summan av tre signaler, (P, I och D-delarna), vilka samtliga visas i den nedersta plotten. Färgerna överrensstämmer med de färger som använts i blockschemat. Figur 2 Regulatorvyn: blockschema, regulatorval samt tidsplottar.
1. Dubbeltankprocessen Processen vi vill reglera består av två vätsketankar. En övre tank till vilken vi direkt kan styra tillflödet av vätska, och en nedre tank, till vilken vätska rinner ifrån den övre tanken. Den övre tanken har tvärsnittsarean A 1 och utloppshålsarea a 1. Vätskenivån i den övre tanken betecknas med h 1. För den undre tanken är motsvarande beteckningar A 2, a 2 och h 2. Inflödet av vätska till den övre tanken betecknas med u, som är styrsignalen till systemet. Vår uppgift är att reglera nivån h 2 med styrsignalen u. I räkneövning 1.4 härledde vi följande dynamiska modell för dubbeltanksystemet: h 1 (t) k c u(t) a 1 2gh1 (t) A 1 A 1 h 2 (t) a 1 2gh1 (t) a 2 2gh2 (t) A 2 A 2 Modellen består av en ekvation för övre tanken, där variationer i h 1 (t) beror av inflödet till tanken och utflödet från tanken, vilket beskrivs av de två respektive termerna i högerledet. Motsvarande gäller för den nedre tankens nivå h 2 (t), där inflödet är lika med utflödet från den övre tanken. Konstanten k c är en omvandlingskonstant som beskriver pumpens förstärkning från spänning till alstrat vätskeflöde. 2. Öppen styrning Den enklaste formen av styrning är att utnyttja en förberäknad styrsignal. Med detta menas att vi utnyttjar den matematiska modell vi har av processen vi ska styra, för att bestämma den styrsignal som ger den önskade utsignalen. Däremot utnyttjar vi inte möjligheten att använda uppmätta processignaler för att beräkna styrsignalen. UPPGIFT 2.1 BERÄKNING AV EN ÖPPEN STYRNING FÖR TANKNIVÅN Hur stor styrsignal behövs för att få tanknivån h 2 (t) r 0 idennedretankeni stationäritet? Använd modellen ovan. UPPGIFT 2.2 ÖPPEN STYRNING UNDER IDEALA VILLKOR För tanken i programmet gäller a 1 a 2 7 10 6, A 1 A 2 2.7 10 3, samt k c 2.7 10 6. Bestäm utifrån dessa parametervärden vilken styrsignal som behövs för att uppnå tanknivån h 2 (t) 0.1 i stationäritet. Välj Adjust Process Nominal Conditions samt Adjust Controller Open Loop. Skriv in det värde du tagit fram i fältet under Manual Control i processvyn. Simulera styrningens inverkan på tanken genom att välja Evaluate Simulate. Öppen styrning verkar fungera relativt bra. Varför bryr man då sig om att göra mer än detta? Som svar på den frågan skall vi göra två enkla experiment. Båda belyser situationer där den ideala tankmodellen blir ogiltig. I den första övningen skall vi låta vatten från en annan källa läcka in i den övre tanken. UPPGIFT 2.3 ÖPPEN STYRNING VID LASTSTÖRNINGAR Gör menyvalet Adjust Process Load Disturbance. Simulera åter din förberäknade styrning genom att välja Evaluate Simulate.
Eftersom störningen inte finns med i den matematiska modellen, kommer vår förberäknade styrning att ge en felaktig tanknivå. Ett annat fall då vår förberäknade styrsignal inte stämmer är då parametrarna i modellen inte stämmer överens med det verkliga systemet. Vi skall nu se hur den öppna styrningen påverkas då den verkliga utloppsarean i den nedre tanken är hälften så stor som den area man antagit i modellen. UPPGIFT 2.4 ÖPPEN STYRNING VID PROCESSVARIATIONER Välj Adjust Process Process Variations. Simulera din förberäknade styrsignal genom menyvalet Evaluate Simulate. Öppen styrning är uppenbarligen inte lämpligt i de fall då vår processmodell stämmer dåligt överrens med processens verkliga uppförande. Det är viktigt att poängtera att det i allmänhet är svårt och tidskrävande att ta fram dynamiska modeller med hög noggrannhet. Även om en ytterst noggrann modell av processen är tillgänglig, kan det vara intressant att kunna tillåta variationer i processparametrar. Om vi kan använda komponenter med stora individuella variationer i en serietillverkning (av t.ex. CD-spelare) kan vi pressa tillverkningskostnaderna. Vidare ändras det dynamiska beteendet hos många komponenter över tiden på grund av åldrande eller slitage. De flesta processer utsätts för laststörningar. Att kompensera för dessa är ett av de viktigaste målen för ett styrsystem. 3. Reglering baserad på återkoppling Karaktäristiskt för den öppna styrningen är att regulatorn inte utnyttjar någon som helst information om mätbara processvariabler. Genom att mäta viktiga processvariabler och använda denna information i beräkningen av styråtgärd kommer vi att i många fall kunna minska inverkan av laststörningar och processvariationer. Vi kommer också se hur vi kan förändra det dynamiska beteendet för processen genom att återkoppla mätningar av processvariabler till beräkningen av styråtgärder. Genom att låta inflödet till tanksystemet bero på mätningar av nivån kommer vi att kunna göra insvängningen mot en ny nivå snabb och väldämpad. Återkoppling är en enkel och kraftfull princip. Med dubbeltanksystemet som exempel kan vi förklara återkopplingsparadgimen. Lägg märke till att dubbeltanken har egenskapen att en ökning av styrsignalen medför att utsignalen ökar, i stationäritet. Följande reglerstrategi är då naturlig att använda: Öka styrsignalen då utsignalen är mindre än referensvärdet, och minska styrsignalen då utsignalen är större än referensvärdet. Denna typ av återkoppling kallas negativ återkoppling, eftersom styrsignalen rör sig i motsatt riktning till utsignalen. Det verkar naturligt att basera beräkningen av styråtgärd på skillnaden mellan referensvärde och utsignal. Vi får då en regulatorstruktur enligt figur 3. Vi betecknar referensvärdet med r(t), och det uppmätta verkliga värdet på utsignalen h 2 (t) med y(t). Reglerfelet e(t) är skillnaden mellan de båda, e(t) r(t) y(t) Vi kommer i den här övningen undersöka ett antal olika sätt att utnyttja reglerfelet för beräkning av styråtgärd.
referens + r reglerfel e=r-y Regulator styrsignal u Process utsignal y -1 Figur 3 Reglering baserad på skillnaden mellan önskad och uppmätt utsignal. 4. Enkel återkoppling: P-reglering En enkel första ansats är att låta styrsignalen vara proportionell mot reglerfelet u(t) Ke(t) (1) Denna styrstrategi kallas P-reglering. Som vi kommer att se ger denna enkla återkopplade styrlag drastiskt förbättrade prestanda i jämförelse med den öppna styrningen. UPPGIFT 4.1 P-REGLERING Återgå till normala arbetsvillkor genom menyvalet Adjust Process Nominal Conditions. Välj återkopplad styrning genom menyvalet Adjust Controller Closed Loop. Undersök hur det reglerade systemet svarar på ändringar i önskad tanknivå genom att välja Evaluate Simulate. Öka förstärkningen K succesivt, och undersök hur insvängningsförloppet förändras. Notera hur snabbare tidssvar kräver allt större styråtgärder. Finns det någon inställning av förstärkningen K så att reglerfelet försvinner i stationäritet? Vad händer med det stationära reglerfelet då du ökar K? UPPGIFT 4.2 P-REGLERING: UNDERTRYCKNING AV LASTSTÖRNINGAR Inför en laststörning med menyvalet Adjust Process Load Disturbance. Simulera P-regulatorn genom att välja Evaluate Simulate. Hur klarar P-regulatorn av laststörningar? Jämför med den öppna styrningen. UPPGIFT 4.3 P-REGLERING: ÖKAD ROBUSTHET MOT PROCESSVARIATIONER Låt tanksystemets geometri skilja sig från den som vi antagit i vår processmodell genom menyvalet Adjust Process Process Variations. Simulera P-regulatorn och jämför det kvarstående reglerfelet med det fel som uppstår vid öppen styrning med processvariationer. Vi kan observera hur vi får ett kvarstående fel vid reglering med en P-regulator. Denna observation kan förklaras genom att analysera tanksystemet i stationäritet. UPPGIFT 4.4 STATISK ANALYS AV P-REGLERING Använd styrlagen u(t) K(r(t) h 2 (t)) där r(t) r 0 är en konstant referenssignal. Verifiera att det alltid blir ett kvarstående reglerfel, men att detta minskar då vi ökar K.
5. Integralverkan eliminerar stationära fel: PI-reglering Vi har sett hur P-reglering i allmänhet inte förmår att få systemets utsignal att överrensstämma med referensvärdet. Det blir ett kvarstående reglerfel såväl vid referensändningar som då systemet utsätts för laststörningar. En naturlig sätt att hantera detta problem är att tillföra en term som automatiskt justerar den styrsignal som behövs för att eliminera reglerfelet i stationäritet. Låt därför styrsignalen vara u(t) Ke(t)+u I (t). En enkel injusteringsregel är att öka u I (t) då utsignalen är för liten samt minska u I (t) då utsignalen är för stor. Vi låter därför injusteringen av u I ges av d dt u I(t) k i e(t). I vanliga fall skriver vi detta samband som t u I (t) k i e(τ)dτ K t e(τ)dτ, (2) T i så att styrsignalen ges av sambandet t ) u(t) K (e(t)+ 1Ti e(τ)dτ. 0 En PI-regulator beräknar alltså en styråtgärd proportionell mot reglerfelet och dess integral. Effekterna av PI-reglering kan illustreras med nivåreglering av tanksystemet. UPPGIFT 5.1 PI-REGLERING: ELIMINERING AV STATIONÄRA FEL Återgå till det nominella systemet genom att välja Adjust Process Nominal Conditions. Välj PI i regulatormenyn. Simulera en referensvärdesändring och verifiera att integralverkan i regulatorn eliminerar stationära fel via automatisk injustering av u I. (välj ett litet K och ett stort T i för bästa resultat). En enkel stationär analys av tanksystemet reglerat med en PI-regulator kan förklara varför det kvarstående reglerfelet elimineras. UPPGIFT 5.2 PI-REGLERING: STATISK ANALYS AV INTEGRALVERKAN Betrakta dubbeltanksystemet reglerat med en PI-regulator, och med en konstant referenssignal r(t) r 0. Visa att det stationära reglerfelet e(t) r(t) h 2 (t) elimineras (om en stationär lösning existerar). (Ledning: derivera styrsignalen u.) 0 0 UPPGIFT 5.3 AVVÄGANDE MELLAN REFERENSSVAR OCH LASTUNDERTRYCKNING Den regulatorinställning du tagit fram ovan är framtagen för att ge ett bra svar på ändringar i referensvärde. Utvärdera hur regulatorn klarar av laststörningar genom att välja Adjust Controller Load Disturbance och simulera. Verifiera att andra parametrar kan ge bättre undertryckning av laststörningen, men att dessa parametrar tenderar till att ge ett svängigt svar vid referensändringar.
UPPGIFT 5.4 PI-REGLERING: INVERKAN AV PROCESSVARIATIONER Behåll de parametrar du tog fram i föregående övning. Introducera en parametervariation genom att välja Process Variations i menyn Process. Är din regulator robust mot modellfel? I vår statiska analys av integralverkan har vi dragit slutsatser om vad som måste gälla i stationäritet. Däremot har vi inte visat att systemet når stationäritet. Ett fundamentalt problem med återkoppling är att vi kan göra ett stabilt system instabilt. Med vissa parameterval kan PI-reglering av undre tanken ge ett instabilt system. UPPGIFT 5.5 INSTABILITET OCH BEHOVET AV DYNAMISK ANALYS Återgå till nominella arbetsvillkor. Välj parametrarna K 10, T i 100. Simulera. Verifiera att systemet blir instabilt för T i mindre än 29. Uppenbarligen kan vissa val av förstärkningar (vissa val av parametrarna K och T i ) ge ett instabilt system. I dessa fall gör minsta påverkan av systemet att utsignalen börjar svänga med allt större amplitud. En intuitiv förståelse för instabilitet i reglersystem kan fås genom följande resonemang. På grund av processens dynamiska natur kommer det ta en tid innan förändringar i styrsignalen märks i utsignalen. De styråtgärder vi vidtagit kan visserligen vara korrekta, men det tar en viss tid innan deras gynsamma effekt på utsignalen är fullt märkbar. Om vi fortsätter att basera styrsignalen på reglerfelet blir effekten lätt att vi överkompenserar för felet. När signalen så småningom slår helt igenom i utsignalen blir reglerfelet ännu större, fast med ombytt tecken, och en svängning med växande amplitud erhålls. 6. Deriverande verkan och prediktion: PID-reglering Ett sätt att dämpa det svängiga beteende som kan erhållas med en PI-regulator med hög förstärkning, är att införa en term som är proportionell mot reglerfelets derivata i styrsignalen. Genom att införa deriverande verkan i PI-regulatorn får vi en PID-regulator, vars styrsignal ges av sambandet u(t) K ( e(t)+t d d dt e(t)+ 1 T i t 0 ) e(τ)dτ Kombinationen av proportionell och deriverande reglering kan tolkas som en styråtgärd proportionell mot reglerfelets predikterade värde. En enkel prediktion av felets framtida värde kan baseras på en linjär extrapolation av felet T d tidsenheter framåt, se figur 4. En Taylorutveckling av reglerfelet vid t + T d ger d e(t + T d ) e(t)+t d e(t) (3) dt vilket är precis de två första termerna i PID-regulatorn ovan. En intuitiv förståelse för varför det kan vara bra att basera styrsignalen på det predikterade framtida reglerfelet ges av resonemanget om instabilitet ovan. Instabilitet kan enligt resonemanget sägas uppstå då vi baserar regleringen på mätsignaler, som först efter en stund avspeglar våra regleråtgärder. Genom det predikterade reglerfelet ser vi snabbare effekten av våra regleråtgärder.
reglerfel, e e(t) e(t+td) tid, t Figur 4 PD-reglering tolkat som reglering baserad på predikterat reglerfel. UPPGIFT 6.1 PID-REGLERING: MÖJLIGHETER TILL ÖKAD PRESTANDA Den prestanda vi kunde åstadkomma med en PI-regulator för reglering av nivån i undre tanken var starkt begränsad. Genom att introducera derivataverkan kan vi få ett snabbt och väldämpat stegsvar. Verifiera detta med simuleringar. Ovan har vi sett hur proportionell-deriverande verkan kan tolkas som en reglering baserad på det predikterade reglerfelet. För att få ett gott resultat är det viktigt att prediktionshorisonten är lämpligt vald. Detta illustreras av följande övning. UPPGIFT 6.2 PID-REGLERING: INVERKAN AV DERIVATATID Välj K 10, T i 60 och T d 2. Verifiera att prestandan hos reglersystemet blir bättre då T d är kring 10, för att sedan åter försämras då prediktionshorisonten är för lång. 7. PID-regulatorn i sammanfattning I den här övningen har vi, steg för steg, kommit fram till en regulator vars styrsignal ges av t ) u(t) K (e(t)+ 1Ti d e(τ)dτ +T d dt e(t) 0 Styrsignalen består alltså summan av tre termer: P-delen (som är proportionell mot reglerfelet), I-delen (som är proportionell mot integralen av reglerfelet) samt D-delen (som är proportionell mot derivatan av reglerfelet). Parametrar i regleralgoritmen är förstärkningen K, integraltiden T i, samt derivatatiden T d. Vi har analyserat och diskuterat de olika delarna av PID-regulatorn. Först visade vi att en proportionell återkoppling av reglerfelet gör systemet robustare mot modellfel och störningar, än vad som är fallet med öppen styrning. Högre återkopplingsförstärkning gör systemet snabbare, men kan leda till instabilitet. Dessutom ger P-regulatorn ett stationärt reglerfel. För att eliminera detta införes integrerande verkan i regulatorn, och vi får en PI-regulator. Integralverkan inverkar dock negativt på systemets stabilitet, och för att motverka detta införde vi även en deriverande verkan i regulatorn, och erhöll på så sett en PID-regulator. Vi har också sett följande tumregler för hur parametrarna för en PID-regulator inverkar på det reglerade systemets egenskaper.
Parameter Snabbhet Stabilitet K ökar ökar minskar T i ökar minskar ökar T d ökar ökar ökar 8. En blick framåt: Behovet av kvantitativa metoder Övningen har visat att det reglerade systemets egenskaper varierar med regulatorparametrarna. Att manuellt ställa in en regulator så att ett önskat beteende uppnås hos det reglerade systemet kan vara både tidsödande och svårt. Det vore förstås värdefullt att med hjälp av processmodellen, kunna beräkna de regulatorparametrar som ger det önskade beteendet. Vi kommer under kursens gång att presentera ett antal metoder för detta. Gemensamt för dessa metoder är att de baseras på linjära modeller av processen som skall regleras. Som vi har sett i övningen kan vissa val av regulatorparametrar leda till instabilitet. En mycket viktig del av analysen av reglersystem är att undersöka huruvida system är stabila. Matematiska verktyg för sådan analys kommer också senare i kursen. Vi har också sett hur modellfel och processvariationer påverkar det reglerade systemets uppförande. Det finns formella kvantitativa metoder för att beskriva hur mycket ett systems beteende varierar i dessa fall. Detta är viktigt för att kunna avgöra om en given regulator ger ett tillräckligt robust system. Om så inte är fallet blir reglerprestanda snabbt dåliga även för små processvariationer, och systemet kan till och med bli instabilt. Varkanjagläsamer? Materialet är baserat på boken PID Control av K.J. Åström och T. Hägglund samt kurslitteraturen Reglerteknik, grundläggande teori av T. Glad och L. Ljung.
Lösningar till räkneuppgifter LÖSNING 8.1 I stationäritet är h 1 (t) h 2 (t) 0. Detta ger u(t) a 2 k c 2gr0 LÖSNING 8.2 I stationäritet är utflödet från den övre tanken lika med utflödet från den undre tanken. Om vi kombinerar detta med ekvationen för övre tanken i stationäritet, får vi k c A 1 u(t) a 2 A 1 2gh2 (t) Då styrlagen ges av u(t) K(r 0 h 2 )får vi Vi skriver detta som K(r 0 h 2 ) a 2 k c 2gh2 e r 0 h 2 1 K a 2 k c 2gh2 Reglerfelet ges av högerledet, som minskar med ökande K. LÖSNING 8.3 Den deriverade styrsignalen blir i stationäritet u(t) K ( ė(t)+ 1 ) e(t), T i dvs. 0 K ( 0 + 1 ) e(t), T i vilket ger e(t) 0.