FK2004 Normalfördelningstabell Formelsamling Provtenta
Normalfördelningen
Korrelationstabellen
Formelsamling för FK2002 och FK2004
24 Betrakta ett experiment som består av n försök varav ν är lyckade försök. p=sannolikheten att få ett lyckat försök q=sannolikheten att vi inte får ett lyckat försök=1-p Sannolikheten att få ν lyckade försök i n försök. n! ν P(n, ν )=B n, p ( ν ) = p q ν!( n ν )! n ν
Provtenta 50% -korta och långa frågor (mvb) -4 x 3p + 3 x 4p = 24p 50% - långa frågor (föreläsningar för lärare) = 18p
A1 8 (a) = 10 1m 8 5 = 10 m=10 mm (b) v= (b) x d t ( v) ( d ) ( t) ( v) 2 2 2 1 2 d 2 2 = + t t 2 1 = t ( d ) 2 ( d ) 2 2 2 2 1 1 = 2 2 ( d ) = 2 v v t d v d = = 10 v = 10 3 10 = 3ms v d 1 1 σ 0.5kms, v 299789kms 8 8 8 1 299792.5 299789 3.5 Skillnaden = = 7σ 0.5 0.5
A2 (3p)
Uppgift A3 Ett experiment söker efter en ny partikel - Higgsbosonen. Experimentet observerar 15 kandidater. Det har också gjort en mätning som används för att förutsäga antalet bakgrundkandidater som inte har någonting med Higgsbosonen att göra. Denna mätning förutsäger 11± 1.9 bakgrundkandidater. Vi antar att felet i mätningen är slumpmässigt. Uppskatta sannolikheten att experimentet hade observerat fler än 15 kandidater. (3p)
σ =1.9 2 15 11 Antalet standardavvikelser: = 2 2 Från tabellen : sannolikheten 0.02.
A4 ( ) T T 1 1 2 2 2 2 2 ln 2 ln 2 1 = λ T 2 1 = λ 2 2 λ 2 λ 2 2 T1 T1 2 2 ln 2 ( ) λ = T = λ = λ λ T λ 1 2
Det viktade medelvärdet för labblag As resultat: 2 2 1 1 9.8 + 9.85 0.1 0.11 2 g B = = 9.823ms 2 2 1 1 + 0.1 0.11 1 Felet i medelvärdet= = 0.074ms 2 2 1 1 + 0.1 0.11 lag B : g=9.82 ± 0.07ms lag A : g=9.825 ± 0.075ms 9.83 ± 0.08ms g g A A g < g B B 2 2 2 - A ger ett bättre resultat. I praktiken är det omöjligt att skilja mellan mätningarna. En osäkerhet är bara en uppskattning! 2
(a) Den noggrannare vågens värde är 498.1 g. Felet i varje mätning=0.5g 2 det totala felet = 5 0.5 = 1.12g>felet från engångsvägningen. (b) Om vi skulle väga vikterna 2 och 2 på den noggrannare vågen + den resterande vikten skulle vi får tre värden 2 det totala felet = 3 0.5 = 0.87g.
B3 (4p)
C1) Vi betraktar ett experiment där man försöker bestämma om skolnärvaro kan höjas mha av pengar incitament till tonåringar. Forskaren studerar två grupper av 100 elever. I ena gruppen erbjuder hon 100 kronor för varje vecka av perfekt närvaro. I den andra gruppen får eleverna veta att de är med i experimentet, men kommer inte få ut några pengar. a) Vilken grupp är kontrollgruppen och vilken är testgruppen? b) Bestäm om experimentet är singel-blind, dubbel-blind eller inte alls blind, och förklara varför. c) Vad kan man förvänta sig om placebo effekten i det här fallet? d) Hur skulle man kunna uppskatta placeboeffekten? (4p) 16
a) Vilken grupp är kontrollgruppen och vilken är testgruppen? Kontrolgruppen är den som inte får någon särskild behandling i detta fall de som inte får extra veckopeng. Testgruppen är den som får behandlingen i det här fallet de som får extra pengar i utbyte mot perfekt närvaro. b) Bestäm om experimentet är singel-blind, dubbel-blind eller inte allas blind, och förklara varför. Experimentet är inte blind eftersom eleverna vet om det får behandlingen eller ej i förhand. För att vara dubbelblind, skulle forskaren inte veta vilka elever som får eller inte får extra pengar. Så experimentet är inte alls blind. c) Vad kan man förvänta sig om placebo effekten i det här fallet? Placeboeffekten är när man observera en positiv effekt pga en grupp tror sig få behandlingen. I det här fallet eftersom experimentet inte är blind så kan inte kontrollgruppen få någon placeboeffekt. I testgruppen skulle det kunna finnas en viss placeboeffekt dvs elever vars närvaro påverkas av att vara med i experimentet. d) Hur skulle man kunna uppskatta placeboeffekten? Man skulle kunna ha en tredje grupp kontroll grupp B som får extra veckopengar oavsett om de får perfekt närvaro eller inte. Genom att jämföra kontrollgruppen och kontrollgrupp B kan man se om det finns en viss effekt av att dela ut pengar oavsett närvarokravet, det skulle isåfall utgöra en placeboeffekt. Därefter kan man jämföra testgruppen med kontrollgrupp B. 17
C2) I följandestudier a) ochb) identifierapopulationen, stickprovet, stickprovs egenskap, rådata och populationsegenskap. a) Astronomer bestämmer avståndet till en fjärran galax genom att mäta avståndet till ett fåtal stjärnor inom galaxen och sedan räkna medelavståndet till dessa stjärnor. b) Medicin X används för att behandla allergisymptomer. I en undersökning behandlades374 barn mellan3 till 11 årmed 100 μgavmedicinx. 17% av dessa barn fick huvudvärk under experimentet. (4p) 18
1) I följande studier a) och b) identifiera populationen, stickprovet, stickprovs egenskap, rådata och populationsegenskap. a) Astronomer bestämmer avståndet till en fjäran galax genom att mäta avståndet till ett fåtal stjärnor inom galaxen och sedan räkna medelavståndet till dessa stjärnor. Populationen är alla stjärnor i galaxen som betraktas. Stickprovet är fåtalet stjärnor vars avstånd uppmätts. Stickprovsegenskapen är avståndet mellan oss och stjärnorna i stickprovet. Rådata är alla avstånd mellan oss och varje stjärna i stickprovet. Populationsegenskap är avståndet mellan oss och populationen, dvs alla stjärnor i galaxen. 19
1) I följande studier a) och b) identifiera populationen, stickprovet, stickprovs egenskap, rådata och populationsegenskap. b) Medicin X används för att behandla allergisymptomer. I en undersökning behandlades 374 barn mellan 3 till 11 år med 100 μg av medicin X. 17% av dessa barn fick huvudvärk under experimentet. Populationen är alla barn som har allergisymptomer. Stickprovet består av 374 barn som är med i undersökningen. Stickprovsegenskapen är andelen barn som får huvudvärk av medicinen. Rådata är listan på alla barn och resultatet för varje barn om de fick huvudvärk eller inte. Populationsegenskap är andelen barn med allergisymptomer som får huvudvärk av medicinen. 20
C3) På 1960-talet utfördes experiment för att undersöka om det verkligen gick för människor att hitta vattenkällor med en slagruta eller att känna av mycket små magnetfält. Det sägs att vissa har förmågan attdetekteramycketsmåmagnetfältochpådettasättskullekunnadetekteravattenkällor. Den första experimentserien utförs av professor Y på följande sätt: Professor Y närvarar hela tiden under experimentet, och för varje nytt försök kunde professor Y slå på elleravmagnetfältetsomhanville. En testpersonsitter isammarum ochförsökerkännaavom magnetfältet är av eller på. Testpersonen sitter mittemot professor Y, men professor Ys hand är gömd så att testpersonen inte kan se om professorn gör något med magnetknappen. Denna experimentserie visade på ett statistiskt signifikant sätt att testpersonen fick betydlig fler rätt än fel. En annan experimentserie anordnas av en annan professor Z: Professor Z medverkarintedirektiexperimentet. Detärnu tvåpersonermed iexperimentet: en testpersonsomförsökergissaommagnetfältetäravellerpåochen assistant somslårpåellerav magnetfältet. Assistenten vet inte om knappen han trycker på slår magnetfältet på eller av och måste följaen given tidtabellsåatthanslåommagnetenen gångiminutenmed ocksåschemalagdapauser. I detta experiment fick alltid testpersonen ungefär lika många rätt som fel svar. a) Varför ger experimenten olika resultat? b) Hur kallar man den experimentella metoden som används i den första mätserien? Är det samma metod i den andra mätserien? c) Blir det andra experimentet bättre eller sämre om professor Z ersätts av professor Y? d) Blir det första experimentet bättre eller sämre om professor Y ersätts av professor Z istället? e) Vilket/vilka experiment kan man lita på och varför? (6p) 21
a) Varför ger experimenten olika resultat? I båda experiment är det en person som slår på eller av magnetfältet. I det första experimentet vet personen (Professor Y) vad han gör, medan i det andra experimentet assistenten vet inte om det han gör slår på eller av magnetfältet. Det kan jämföras med medicinska undersökningar där patienten inte vet om han är med i kontroll eller testgruppen, men läkaren vet det och då kan det påverka attityder hos läkaren som kan avläsas av patienten. b) Hur kallar man den experimentella metoden som används i den första mätserien? Är det samma metod i den andra mätserien? Den första experimentserien är blind men inte dubbelblind, dvs professor Y vet om han slår på magnetfältet eller inte. I det andra experimentet använder man dubbelblind metoden, eftersom även assistenten inte vet om han slår magneten på eller av. 22
c) Blirdetandraexperimentetbättreellersämreomprofessor Z ersättsavprofessor Y? I det andra experimentet är professorns roll bara att anordna experimentet men det är inteprofessornsomslårpåelleravmagneten. Därförspelardetingenroll omdetär professor Z eller Y som anordnar experimentet. Experimentet är oberoende av det. d) Blirdetförstaexperimentetbättreellersämreomprofessor Y ersättsavprofessor Z istället? I det första experimentet är professorn direkt involverad och beroende på hans attityd går att avläsa av testpersonen kan testpersonen möjligtvis gissa om magneten slås på ellerinte. Men detkanberorpåprofessor somsitter där, hansattitydochsåvidare. Man kansägaattresultatetkommerattberopåvemsomutförexperimentet, och därför kan inte resultatet betraktas som allmänt giltigt. e) Vilket/vilka experiment kan man lita på och varför? I det första experimentet är resultatet inte allmänt gilltigt och kan bero på vem som utför det. Det andra experimentet är oberoende av vem som utför det. Därför kan man litatpådetandraexperimentet, men detäringengarantiattresulatetfråndet första experimentet kan upprepas. 23
C4) Vi försöker räkna sannolikheten för att en hockey spelare ska göra ett antal mål under matchen. Från tidigare matcher har man kartlagt att hans sannolikhet att göra mål per mål försök är 30%. a) Under en match gör spelaren 2 försök, vad är sannolkiheten att han gör ett eller två mål? b) Från tidigare matcher bestämmer man att sannolikheten att han gör noll försök är 10%, ett försök 70%, två försök 20%. Vad är nu sannolikheten att han gör 2 mål? (4p) 24
a) Under en match gör spelaren 2 försök, vad är sannolkiheten att han gör ett eller två mål? Från tidigare matcher har man kartlagt att hans sannolikhet att göra mål per mål försök är 30%, det betyder att sannolikehet för framgång per försök är p=0.3. Vi kan modellera antalet mål ett antal N=2 försök med en binomialfördelning. Sannolikheten att göra 0 mål bland 2 försök B(0,2)=(1-0.3) 2 =0.49 Sannolikheten att göra 1 mål bland 2 försök B(1,2)=0.3x(1-0.3) + (1-0.3)x0.3=0.42 Sannolikheten att göra 2 mål bland 2 försök B(2,2)=0.3 2 =0.09 25
b) Från tidigare matcher bestämmer man att sannolikheten att han gör noll försök är 10%, ett försök 70%, två försök 20%. Vad är nu sannolikheten att han gör 2 mål? I föregående fråga räknade vi sannolikeheten för att göra 0,1,2 mål om spelare försöker 2 ggr att göra mål. Om han försöker en enda gång: 0 mål B(0,1)=0.7 1 mål B(1,1)=0.3 Om han försöker noll gånger, då kan han inte göra mål! Sannolikhet (A OCH B) = (Sannolikhet A) X (Sanolikhet B) (om A och B är oberoende) 0 försök (0.1) 1 försök (0.7) 2 försök(0.2) 0 mål 1x0.1 0.7x0.7 0.49x0.2 1 mål 0.3x0.7 0.42x0.2 2 mål 0.09x0.2 Sannolikheten att göra 2 mål är sannolikheten att göra 2 försök och att göra 2 mål= 0.2 x 0.09 = 0.0018 dvs 0.18%. 26