Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv dina svar direkt i provhäftet. 1) a) Bestäm ekvationen för den räta linjen i figuren. (1/0/0) b) Rita i koordinatsystemet en rät linje som har samma lutning som linjen figuren och går genom punkten (0, 3). (1/0/0) 2. Grafen för en andragradsfunktion är given i figuren nedan. Lös följande uppgifter med grafisk metod. a) Bestäm funktionens nollställen. (1/0/0) b) Avgör om funktionen har en maximi- eller minimipunkt. Ange punkten. (2/0/0) c) Bestäm ekvationen för symmetrilinjen.
3. Förenkla uttrycket x + 4 x 4 + 12 så långt som möjligt (1/0/0) 4. Lös ekvationerna a) x x 3 = 0 (1/0/0) b) lgx = 0 (1/0/0) c) 5! 5!! = 5!" 5. Vilka av följande ekvationer A- E har icke- reella lösningar? A. x! = 1 B. (x + 1)(x + 2) = 0 C. x! = 0 D. x(x 3) = 0 E. x! + 4 = 0 (1/0/0) 6. Kalle har köpt 20 stycken stearinljus som alla är 12 cm långa. På förpackningen står det att ljusen blir 3,0 cm kortare per timme när de brinner. a) Hur lång tid tar det innan ett sådant ljus brunnit upp? b) Teckna en funktion som anger hur långt ett sådant ljus är i y cm efter tiden x timmar. (1/0/0) 7. För en andragradsfunktion gäller följande: - Funktionen har ett nollställe för x = 1 - Funktionen har sitt minsta värde för x = 4 För vilket värde på x har funktionen sitt andra nollställe?
8. Förenkla uttrycken så långt som möjligt.!! a)!!!!! b)!!!!!!!!!!!!" (0/0/1) 9. I koordinatsystemet visas grafen till den linjära funktionen y = f(x) och andragradsfunktionen y = g(x). y = f(x) y = g(x) Avläs i figuren och besvara frågorna. a) Bestäm g(4) (1/0/0) b) För vilka världen på x gäller att g x < f(x)? (0/2/0) c) Ange ekvationen för en rät linje som inte skär någon av graferna till funktionerna (0/0/1)
10. I början av 2014 köper Ellen en begagnad bil för 100 000 kr. Bilens värde kan beskrivas med funktionen V t = 100 000 0,80! där V är bilens värde i kr och t är tiden i år efter inköpet. a) Med hur många procent minskar bilens värde varje år? (1/0/0) b) Bestäm i exakt form tidpunkten då bilens värde halverats. Obs! Inget närmevärde ska anges. 11. Omkretsen på en rektangulär parkering är 600 m. Ställ upp en formel som beskriver arean A (uttryckt i m 2 ) som en funktion av parkeringens ena sida uttryckt i x m. 12. Ett ekvationssystem består av två ekvationer där varje ekvation innehåller två variabler x och y. a) Den ena ekvationen är 3x + 2y = 16 Ge ett exempel på hur den andra ekvationen kan se ut så att ekvationssystemet får oändligt många lösningar. b) Den ena ekvationen är 3x + 2y = 16 Ge ett exempel på hur den andra ekvationen kan se ut så att ekvationssystemet endast får lösningen x = 4 y = 2 (0/0/1) (0/0/1)
Del II: Digitala verktyg är inte tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper. 13. Lös ekvationssystemet 3x + y = 1 med algebraisk metod. 5x + 2y = 0 (2/0/0) 14. Lös ekvationerna med algebraisk metod. a) x! 6x 16 = 0 (2/0/0) b) x 2! + (x 2) = 0 (0/2/0) 15. I figuren nedan gäller att sträckorna AB = 8,0 cm, BC = 15 cm och CE = 11 cm. Bestäm längden av sträckan DE exakt så att triangeln ABC blir likformig mot triangeln CDE. (0/2/0) 16. Bestäm med algebraisk metod för vilka värden på x som funktionerna f x = x! 6x + 11 och g x = 2x + 6 skär varandra. (0/3/0) 17. Andragradsfunktionen f x = 2x! 2kx + 2k där k är en konstant är given. Bestäm vilka värden k kan anta för att funktionens nollställen ska vara icke- reella. (0/0/3)
Del III: Digitala verktyg är tillåtna. Skriv dina lösningar på separat papper. 18. Sidorna i figuren som markerats med ett tvärgående streck är lika långa. Bestäm vinkeln A. Obs! Figuren är ej skalenlig. (0/2/0) 19. I ett land är bor 25 miljoner invånare år 2014. Antalet miljoner invånare N förväntas öka exponentiellt under de närmaste åren enligt sambandet: N t = 25 1,030! där t är tiden uttryckt i år efter år 2014. a) Kommer befolkningen att vara över 30 miljoner år 2020? (2/0/0) b) Vilket år har befolkningen blivit dubbelt så stor? (0/2/0) 20. Petter och Sara har tecknat varsitt mobilabonnemang hos samma operatör. Båda betalar en fast avgift varje månad och en rörlig avgift som är proportionell mot hur mycket de ringer. Under första månaden ringer Petter 300 min och får betala 159 kr. Under den andra månaden ringer han 330 min och får betala 168 kr. Sara ringer under 200 min under första månaden och får betala 135 kr. Har Petter och Sara tecknat samma abonnemang? Motivera ditt svar med beräkningar. (0/3/0)
21. Lena är mycket intresserad av gamla koppar. En butik säljer hennes favoritkoppar i två storlekar. Tabellen visar hennes inköp vid två olika tillfällen. Hur mycket kostar de små respektive stora kopparna per styck? (0/3/0)
22. Karin och Göran är konstintresserade och ska köpa en tavla till sitt hem. De har varsin modell över hur de tror att tavlans värde kommer att ändras. Karin använder modellen V t = 4,2 1,025! där V är värdet i miljoner kr och t är tiden i år efter inköpet av tavlan. a) Vad kostar tavlan vid tiden t = 0 enligt Karins modell? (1/0/0) b) Beräkna V(20) och tolka resultatet. (1/1/0) Göran använder modellen W t = 4,2 + 0,8t 0,03t! där W är värdet i miljoner kr och t är tiden i år efter inköpet av tavlan. c) Beskriv två likheter och en skillnad mellan Karins och Görans modeller. d) Ge en rimlig förklaring till hur Karin och Göran tänkt då de tagit fram sina modeller. Finns det några orimligheter i modellerna? (0/2/0) (0/2/1) 23. Ett företag tillverkar chips. På chipspåsarna står det att innehållet väger 310 g. Chipspåsarnas vikt är normalfördelade kring medelvärdet 330 gram med standardavvikelsen 10 g.
a) Hur många av påsarna kan förväntas innehålla mer än 310 g? (2/0/0) Företaget inser att de kan spara pengar genom att fylla påsarna lite mindre och ändå få nöjda kunder. De vill dock att minst 84,1 % av påsarna ska innehålla minst 310 g chips. Standardavvikelsen antas fortfarande vara 10 g. b) Beräkna det nya medelvärdet som motsvarar detta krav. (0/3/0) 24. När Stefans lärare meddelar klassen resultatet på ett glosförhör i engelska skriver läraren på tavlan: Maximal poäng: 40p Medelvärde: 25p Median: 21p Antal elever som deltog: 29 st Stefan fick 25 poäng på glosförhöret och påstår följande: Det är lika många i klassen som fick bättre resultat på glosförhöret än mig som det är personer som fick sämre resultat än mig. Avgör om Stefans påstående är sant eller falskt. Motivera varför. (0/2/0) 25. Arean A uttryckt i m 2 för ett rektangulärt område kan beskrivas med formeln: A x = 300x x! där x är sträckan uttryckt i meter för en av sidorna. a) Bestäm områdets maximala area. (2/1/0) b) Bestäm de mått på rektangeln som ger den största arean. (0/2/0) 26. För vinkelräta linjer gäller sambandet: k1 k2 = 1 där k1 och k2 är riktningskoefficienten för den första respektive den andra linjen. Utnyttja sambandet ovan och bestäm räta linjens ekvation för den linje som går genom punkten (1, 6) och är vinkelrät mot linjen y =!!! + 1. (0/0/3)