Ex. Kasta en tärning. 1. Vad är sannolikheten att få en 6:a? 2. Vad är sannolikheten att inte få en 6:a? 3. Vad är sannolikheten att få en 5:a eller 6:a?
4. Om vi kastar två gånger, vad är då sannolikheten att båda kasten blir 6:a? A = händelsen 6:a, B = händelsen 5:a A = inte A A B = A och/eller B A B = A och B P(A B) = P(A) + P(B) om A och B är disjunkta P(A B) = P(A) P(B) om A och B är oberoende
Ex. Kasta en tärning. 5. Om vi kastar tre gånger, vad är sannolikheten att exakt 2 av kasten blir 6:a? Låt X = antal 6:or vid tre kast. Innan försöket är utfört kallas X för en slumpvariabel (s.v.).
f(k) = P(X=k) betecknar sannolikheten att få exakt k st 6:or vid tre kast, k = 0, 1, 2, 3. f(2) = P(X = 2) = 3(1/6)(1/6)(5/6) = 15/216 = 0.0694 f(k) kallas för sannolikhetsfunktionen till X
Ex Kasta en tärning. 6. Om vi gör 10 kast med en tärning, vad är sannolikheten att exakt 2 av kasten blir en 6:a? På hur många sätt kan vi placera ut två st 6:or på tio platser? _ 6 6 _, 6 6, osv Det här kan man uttrycka med hjälp av en formel Men Att placera tio olika kast på 10 platser kan man göra på 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 10! sätt.
Ex Kasta en tärning forts. Nu tänker vi oss att vi bara är intresserade av två olika utfall sexa eller inte sexa. Det betyder att vi har inte 10! olika utfall som kan hända utan vi måste reducera ner antalet. Dvs _ 6 6 _ 6 6 ger samma resultat, dvs 2 st sexor på 10 kast.
Ex Kasta en tärning forts. Dom två sexornas ordning på dom två platserna spelar ingen roll, det ger samma resultat, dvs 2 sexor. På hur många sätt kan vi ordna dom två sexorna? Jo på, 2 1 sätt Dom åtta övriga platserna där vi har inte sexa, där spelar ju ordningen ingen roll heller; det ger åtta inte sexa vilken ordning vi än får. På hur många sätt kan vi ordna dom två inte sexor? Jo på 8! sätt. Vi ska alltså reducera ner antalet sätt att placera ut 10 kast på 10 platser.
Ex Kasta en tärning forts. Den inbördes ordningen på sexa och inte sexa spelade ingen roll. Det ger oss att antalet sätt att få 2 sexa på 10 kast är 10! 2! 8! = 10 9 2 1 = 45 Sannolikheten att få 6 _ 6 _ = 1 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 1 6 5 6 5 6 5 6 = 1 2 6 5 6 8
Ex Kasta en tärning forts. Totalt hade vi då 45 olika sätt som det kunde ske på så P(två sexa på 10 kast med tärning)= 45 1 2 6 5 6 8 Generell formel: Låt A beteckna en händelse vid ett slumpmässigt försök. Upprepa försöket n gånger (oberoende upprepningar). Vid varje upprepning inträffar A med sannolikheten p. Låt X = antal gånger händelse A inträffar.
)!!(!, ) ( ) ( ) ( k n k n k n p p k n k X P k f k n k = = = = 1 Vi säger att vi har en binomialfördelning med parametrar n och p. X är bin(n, p)-fördelad. I vårt exempel är n=10 och p=1/6
Ex. Kasta en tärning. 7. Hur många 6:or förväntar vi oss att få vid 10 kast? Med väntevärdet för en slumpvariabel X menar vi det genomsnittliga värdet av många försök. Låt µ = E(X) beteckna väntevärdet för X. För binomialfördelningen gäller att µ = np.
Ett mått på hur resultatet varierar ges av σ 2 = E X E X 2 = E[ X μ 2 ] Den kallas för variansen av X. Variansen är kvadratisk avvikelse. Vanligen brukar man prata om standardavvikelsen som då är roten ur variansen dvs SD = σ = σ 2. (SD= Standard Deviation) För binomialfördelningen gäller att σ 2 = nn(1 p) I vårt exempel med n=10 och p=1/6 då är E[X] = 10 1/6 = 10/6 = 1.67 V[X] = σ 2 = 10 1/6 (1 1/6) = 50/36 = 1.39 σ = 1.18
4.2.2 Poissonfördelning Poissonfördelningen kan användas när man räknar antalet händelser som inträffar slumpmässigt i tiden. Ex 1. Antal partiklar som emitteras från ett radioaktivt preparat under 10 sekunder. Ex 2. Antal defekter längs en optisk fiber eller elektrisk kabel Ex 3. Antal defekta pixlar hos en högupplöst skärm (telefon, dator, tv). Ex 4. Antal bilar som passerar en viss väg under en viss tid. En slumpvariabel X som är Poissonfördelad kan anta alla icke negativa heltal.
4.2.2 Poissonfördelning Poissonfördelningen har sannolikhetsfunktion f k = P X = k = e λ λ k k! E[X] = λ= det förväntade antalet händelser. Det visar sig också att V[X] = σ 2 = λ och följaktligen är då SD = σ = λ
4.2.2 Poissonfördelning Ex 2. Anta att antalet defekter längs en optisk kabel är Poissonfördelat med väntevärde 3 st per 100 meter kabel. Vad är sannolikheten att en kabel som är 100 m har precis 5 defekter? Låt X = antalet defekter per 100 meter f(5) = P(X=5) = e 3 3 5 5! = 0.101
4.2.2 Poissonfördelning Vad är sannolikheten att en kabel som är 100 m har 5 eller färre defekter? X = antalet defekter per 100 m Bestäm P(X 5) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5). F(5) = P(X 5) = f(0) + f(1) + + f(5) = 0.916 F(k) kallas fördelningsfunktionen till X F(k) = P(X k) (Minitab)