KOMPLETTERANDE FORMELSAMLING FÖR FASTA TILLSTÅNDET I (reviderad version) Nedanstående är en minneslista över väsentliga formler och detaljer i den inledande kursen i fasta tillståndets fysik. Observera att listan inte täcker allt man skall kunna, och att förklaringar av hur och när formlerna används saknas eller är ofullständiga. 1. GITTER. RECIPROKT GITTER. KRISTALLPLAN. Gittervektor (direkta gittret) och fundamentala gittervektorer: Periodicitet: R = n 1 a 1 + n 2 a 2 + n 3 a 3 f (r + R) = f (r) Viktiga strukturer: sc, bcc, fcc, hcp, diamant, zinksulfid, cesiumklorid, natriumklorid. Reciprok gittervektor och fundamentala reciproka gittervektorer: G = hb 1 + kb 2 + lb 3 där Samband mellan gittervektorer och reciproka gittervektorer: a 2 a 3 b 1 = 2π a 1 (a 2 a 3 ) a 3 a 1 b 2 = 2π a 1 (a 2 a 3 ) a 1 a 2 b 3 = 2π a 1 (a 2 a 3 ) exp (ig R) = 1 Den endimensionella kristallen: gitterpunkter R = n a, reciprokt gitter G = j 2π/a, 1:a Brillouinzonen π/a < k < π/a. Fourierutveckling i tre dimensioner: Fourierkoefficient: Allmän formel för planavstånd: Kubiska gitter: f (r) = f G exp (ig r) G f G = 1 f (r) exp ( ig r)dv V cell cell d(hkl) = d(hkl) = 2π G(hkl) a h2 + k 2 + l 2 1
2. DIFFRAKTION I KRISTALLER Braggs lag: 2d sin θ = nλ Spridningsamplitud: α = där Villkor för Braggreflexion: eller k på zongräns. Vid Braggreflexion fås där strukturfaktorn ges av S G = och den atomära formfaktorn av f j = V f (r) exp ( i k r)dv k = k k k = G α = N cell S G cell f (r) exp ( ig r)dv = f j exp ( ig d j ) j = S hkl = f j exp [ 2πi(hx j + ky j + lz j )] j atom( j) f (r) exp ( ig r)dv Enkel bcc: S hkl = 2 f om h + k + l =jämnt tal, S hkl = 0 annars. Enkel fcc: S hkl = 4 f om (hkl) alla är udda eller alla jämna; eljest är S hkl = 0. 3. GITTERVIBRATIONER: DISPERSION. Vandrande våg i monoatomär kristall: Periodiska randvillkor i kub med sidan L: u j (t) = u e A exp [i(k R j ωt)] k x = n x 2π L k y = n y 2π L k z = n z 2π L (n x, n y, n z = 0, ±1, ±2, ±3,...) 2
Stående våg (en dimension): Rörelseekvation monoatomärt endimensionellt gitter: u j (t) = A sin(k ja) sin ωt M d2 2 u j(t) = C n (u j+n (t) u j (t)) Dispersionrelation monoatomärt endimensionellt gitter, växelverkan endast mellan närmaste grannar: n ω 2 = (2C 1 /M)(1 cos (ka)) Rörelseekvationer tvåatomärt endimensionellt gitter, växelverkan endast mellan närmaste grannar; två olika massor, alla fjäderkonstanter lika: M 1 d 2 2 u j(t) = C (v j (t) + v j 1 (t) 2u j (t)) M 2 d 2 2 v j(t) = C (u j+1 (t) + u j (t) 2v j (t)) Antal grenar med p atomer i primitiva cellen: 3p varav 3 akustiska. Grupphastighet: v g = ( ω(k) k x, ω(k) k y, ω(k) ) = k ω(k) k z Bose-Einstein-fördelningen: 4. GITTERVIBRATIONER: KRISTALLENS VÄRMEKAPACITET. Total termisk gittervibrationsenergi hos en kristall: U = Kristallens värmekapacitet pga gittervibrationer: per volymsenhet: Dulong-Petits lag: Einstein-modellen: Debye-modellen: U = f BE (T, E) = 0 1 e E/k BT 1 ω f BE (T, ω)g(ω)dω C V = ( ) U T V c V = C V V C V = 3Nk B U = 3N ω f BE (T, ω) ωd 0 ω e ω/k BT 1 3L3 ω 2 2π 2 v dω 3 ω D = k B Θ C V = 9Nk B (T/Θ) 3 Θ/T 0 x 4 e x (e x 1) 2 dx 5. GITTERVIBRATIONER: FONONVÄXELVERKAN, VÄRMELEDNING. Växelverkan med fonon f (inelastisk diffraktion): p 2 = p 1 ± k f + G 3
Ficks lag (diffusion): Diffusivitet: Värmeledning (fononbidrag): där E 2 = E 1 ± ω f J = D n(r) D = 1 3 < v > λ W = K dt dx K = 1 3 < v > λ c V 6. FRI ELEKTRONGAS. 2 2m 2 Ψ(r) = EΨ(r) Ψ k (r) = 1 V exp(ik r) Periodiska randvillkor i kub med sidan L: k x = n x 2π L k y = n y 2π L k z = n z 2π L (n x, n y, n z = 0, ±1, ±2, ±3,...) Fermivågvektor, Fermienergi, Fermitemperatur och Fermihastighet: Fermi-Dirac-fördelningen: k F = (3π 2 n) 1/3 E F = 2 k 2 F 2m = 2 2m (3π2 n) 2/3 T F = E F /k B v F = k F /m = m (3π2 n) 1/3 f FD (T, E) = Elektroner per volymsenhet och energienhet vid energin E: Tillståndstäthet (per volymsenhet): Värmekapacitet per volymsenhet: Samband transportmedelväglängd λ och relaxationstid τ: 1 e (E µ)/k BT + 1 n(e)de = f FD (T, E) g(e)de g(e) = 1 2π 2 (2m/ 2 ) 3/2 E 1/2 c V = π2 2 nk 2 B T E F λ = v F τ 4
Rörelseekvation för individuell elektron under tid << τ: dk = e(e + v B) Ekvation för drifthastigheten: Strömtäthet: Konduktivitet: Mathiessens regel : Metallers värmekapacitet vid låg temperatur: Cyklotronfrekvens: dv d = v d τ e m (E + v d B) j = nev d σ = ne2 τ m = ne2 λ mv F 1 τ = 1 τ g + 1 τ d C V = AT 3 + γt ω c = eb m Hallkoefficient, definition: Magnetoresistans, definition: Hallkoefficient, formel (1 typ laddningsbärare, laddning q): R H = E y j x B ρ = E x j x R H = 1 nq Hallvinkel: tan φ = E y /E x = ω c τ Termisk strömtäthet W och värmeledningsförmåga K hos elektrongasen: W = K dt dx K = 1 3 v2 F τc V Wiedemann-Franz lag: Lorenz-talet för fri elektrongas: K σ = L T L = π2 3 k 2 B e 2 7. BANDTEORI. ELEKTRONER I BLOCHTILLSTÅND. Blochs teorem, en dimension: Ψ(x + a) = e iδ Ψ(x) Ψ(x) = e ikx u k (x) Ψ(x) = e ikx G C G e igx 5
Blochtillstånd betecknas Ψ k (x). I tre dimensioner t.ex. Periodiska randvillkor ger Bandstruktur: Tomma gittrets approximation: Ψ k (r) = e ik r u k (r) k x = j x (2π/L), k y = j y (2π/L), k z = j z (2π/L) E = E(k) E = 2 (k + G)2 2m Antal tillstånd per band = 2 (antal primitiva enhetsceller). Grupphastighet: v g = 1 ( E(k) k x Rörelseekvation för individuell elektron under tid << τ:, E(k) k y, E(k) ) = 1 k z ke(k) dk = e(e + v g B) I lokalt paraboliskt band (dvs med isotrop eller skalär effektiv massa): Med negativ effektiv massa: m dv g = e(e + v g B) dv g m h = e(e + v g B) Rörelseekvation med t.ex. skalär eff. massa, inkluderande relaxation: där v d =< v g > är drifthastigheten. dv d + v d τ = e m (E + v d B) Effektiv massa i en dimension: Effektiv masstensor: m = ( d2 E(k) d( k) 2 ) 1 ( 1 m ) µν = 1 2 E(k) 2 k µ k ν 1/m 11 1/m 12 1/m 13 M 1 = 1/m 21 1/m 22 1/m 23 1/m 31 1/m 32 1/m 33 a = M 1 ( ee) M a = ee 8. HALVLEDARE: LADDNINGSBÄRARKONCENTRATION Bandkanter och bandgap: Störnivåer (impurity levels):e c E d, E v + E a. E c E v = E g Approximativa tillståndstätheter vid bandkanterna: g c (E) = 1 2π 2 (2m e/ 2 ) 3/2 (E E c ) 1/2 6
Population av lednings- och valensband: g v (E) = 1 2π 2 (2m h/ 2 ) 3/2 (E v E) 1/2 n = A c N c e (E c µ)/k B T p = A v N v e (µ E v)/k B T där A c och A v är antal bandkanter av respektive typ i Brillouinzonen. De effektiva tillståndstätheterna i en bandkant (c respektive v) ges av N c = 2 ( m ek B T 2π 2 )3/2 dvs numeriskt N v = 2 ( m hk B T 2π 2 )3/2 N c (m 3 ) = 4.83 10 21 (m e /m) 3/2 T 3/2 N v (m 3 ) = 4.83 10 21 (m h /m) 3/2 T 3/2 Population av störnivåer (degenerationsfaktorer negligerade): N d + = N d 1 + e (E c E d µ)/k B T Na N a = 1 + e (E v+e a µ)/k B T Neutralitet: n + Na = p + N d + (Obs lämpliga approximationer i olika temperaturområden. Jämför med k B T.) Massverkans lag: p n = p i n i = n 2 i 9. HALVLEDARE: LADDNINGSBÄRARNAS RÖRELSE Kinetisk medelenergi och termisk hastighet: < m e v 2 /2 >= 3 2 k BT < m h v 2 /2 >= 3 2 k BT Transportmedelväglängd: < v > T 1/2 λ e =< v e > τ e Strömtäthet i ett elektriskt fält: Drifthastigheter, mobiliteter: Mobilitetens temperaturberoende, mycket approximativt: µ T 1.5 för lägre temperaturer µ T 1.5 för högre temperaturer λ h =< v h > τ h j = nev e + pev h v e = (eτ e /m e )E = µ e E v h = +(eτ h /m h )E = +µ h E Konduktivitet: σ = neµ e + peµ h Kontinuitetsekvationer för partikelströmtätheter och partikelkoncentrationer (endimensionell geometri): p t = g r J h x n t = g r J e x 7
Diffusionsbidrag och driftbidrag till partikelströmtätheter: J h = D h p x + pµ he J e = D e n x nµ ee Einsteins relation mellan diffusivitet och mobilitet: D = k BTµ e Transportekvationer uttryckta i avvikelserna från termisk jämvikt p = p p 0 och n = n n 0 : p t = g r + D h 2 p x 2 pµ E h x µ he p x Gauss lag (endimensionell geometri): n t = g r + D e 2 n x 2 E x = e(p n ) ɛ r ɛ 0 + nµ E e x + µ ee n x Exempelvis n 0 >> p 0 ger att (p n ) är försumbart. För minoritetsbärarna fås då (g är extern excitation) p t där τ n är rekombinationslivstiden i den n-dopade halvledaren. = g p 2 p + D h τ n x µ he p 2 x Diffusionslängd (ex. hål) Ambipolär mobilitet: µ amb = L h = (D h τ n ) 1/2 n 0 p 0 (n 0 /µ h ) + (p 0 /µ e ) 10. HALVLEDARE: pn-övergången. Kontaktpotential (utan pålagd spänning): Samband spänning-ström: där Φ 0 = k BT e ln( N an d ) n 2 i I = I 0 (e ev/k BT 1) V = Φ 0 Φ DL -98, AR -12 8