Probability 21-9-24 SOS HT1 Slumpvariabler Slumpvariabler Ett slumpmässigt försök ger ofta upphov till ett tal som bestäms av utfallet av försöket. Talet är alltså inte känt före försöket; det bestäms av vilket utfall som kommer att uppstå, alltså av slumpen. Man kallar det en stokastisk variabel eller Blom, s. 4 slumpvariabel (s.v.). Exempel för slumpvariabler: X: antalet prickor vid tärningskast X: summan av prickorna när två tärningar kastas X: antalet ess när någon drar kort X: vikt eller BMI av en slumpmässigt vald person X: antal impulser per minut som registreras av en geigermätare X: antalet kunder som ringer till telefonsupport under en viss dag X: livslängd av en glödlampa X: antalet tärningskast tills den 1:a femman kommer upp uwe.menzel@math.uu.se 3.6. Diskreta slumpvariabler 3.6.1. Tvåpunkts- och Bernoulli-fördelning 3.6.2. Diskret likformig fördelning 3.6.3. Binomialfördelning 3.6.4. Hypergeometrisk fördelning 3.6.. Poisson-fördelning 3.6.6. ffg - fördelning 3.6.3. Binomialfördelning http://www.math.uu.se/~uwe/homepage/ Slumpförsök A := röd A c := blå A) p.3 c A ) 1 p q.7,2,1 Sannolikhetsfunktion Binomial; n=2; p=,,1 Tar en boll, registrerar dess färg Lägger den tillbaka n gånger, X : antalet röda bollar om jag upprepar försöket n gånger, med återläggning 1 1 2 1
Probability F Probability Probability 21-9-24 Sannolikhetsfunktion Sannolikhetsfunktion Binomial; n=2; p=,8 Binomial; n=2; p=,2,2,2,2,2,1,1,1,1,, 1 1 2 1 1 2 Sannolikhetsfunktion Fördelningsfunktion Fördelningsfunktion Bin(7,.),1 Binomial; n=7; p=, 1,,8,8,6,6,4,4,2,2 2 2 3 3 4 4, 19 29 39 49 9 69 2
21-9-24..1.1.2.2.3.4...1.1.2.2.3.4...1.1.2.2.3.4. 3
21-9-24..1.1.2.2.3.4. Problem Ett visst försök lyckas med sannolikheten.8. Man utför en serie om 12 försök vilkas utfall anses oberoende. a) Vilken fördelning har X = antalet lyckade försök? b) Vilken fördelning har Y = antalet misslyckade försök? c) Bestäm 2 Y 4) Akta tecknet! d) Bestäm sannolikheten att antalet lyckade försök överstigar 7 men ej 1 utfall A A c slh. p 1 - p antal k n - k X Y n Sammanfattning A och A X Bin ( n, p) Y Bin ( n,1 p) X a) Y n a) c X Bin ( n, p) n k px ( k) p 1 p k n n! k k! ( n k)! n k Sammanfattning Slumpförsök II 3.6.4. Hypergeometrisk fördelning X~Hyp(N, n, m) A := röd A c := blå A) p.3 c A ) 1 p q.7 Tar en boll, registrerar dess färg Lägger den inte tillbaka n gånger X : antalet röda bollar om jag upprepar försöket n gånger, utan återläggning 4
21-9-24 Slumpförsök II - Exempel Hypergeometrisk fördelning Exempel: Någon drar bollar. Vad är slh. att 2 av de dragna är röda? 1 bollar totalt 3 är röda dras N = 1 ; n = ; m = 3 Slumpvariabel X: antalet röda bland de dragna. X~Hyp(N, n, m) 3 7 2 3 P X 2 1 Drar utav 1, söker sannolikhet att få 2 av de 3 röda, och därmed 3 av de 7 blåa. Hypergeometrisk fördelning m N m k n k P X k N n N totala antalet objekt i båda kategorier m antalet okjekt i kategori 1 N m = antalet kategori 2 n antalet objekt som dras 3.6. Poisson-fördelning X = k) slh. att det dras k stycken av kategori 1 Exempel för Poisson-fördelning Till en kassa kommer genomsnittlig 1 kunder per timme (som man vet från många års erfarenhet) Kunderna kommer oberoende av varandra (dvs. en kund kommer alltid med samma sannolikhet, oberoende om en kund just har varit där eller inte) Söker: sannolikheten att det kommer, 1, 2, 3,. kunder per timme Exempel för Poisson-fördelning Geiger-mätare
Probability Probability 21-9-24 Exempel för Poisson-fördelning Sannolikhetsfunktion för Poissonfördelningen I en viss typ av ylle förekommer i medeltal 2.3 vävfel per meter Vävfel är oberoende av varandra Vad är sannolikheten att det blir, 1, 2, 3.. vävfel per meter?,,4 Poisson; Mean=,8,3 =.8,2,1, 1 2 3 4 Sannolikhetsfunktion för Poissonfördelningen Sannolikhetsfunktion för Poissonfördelningen Poisson; Mean=3,2,2,1 = 3 = 1,1, 2 4 6 8 1 6
Probability 21-9-24 3.6.6. Geometrisk fördelning ffg - fördelning: förekomst,1,8,6,4,2 1 Geometric; p=,1 2 3 4 Ett försök kan utfalla på två sätt: lyckad ( sannolikhet p ) misslyckad ( sannolikhet q = 1 p) detta försök upprepas tills man lyckas för första gången s.v. X: antal försök man behöver försöken måste vara oberoende Exempel: Singlar en slant tills första krona kommer, p = 1/2 Kasta en tärning tills första sexan kommer, p = 1 6 Spela lotto tills jag har rätt, p = 3.8411e 6 X X = total number of trials. Sannolikhetsfunktion för ffg(p) Sannolikhetsfunktion för ffg(p) p =.2 p =. 7
21-9-24 Sannolikhetsfunktion för ffg(p) p =.7 8