Att köra fortare än 320 km/h

Att köra fortare än 320 km/h Ett konstruktivistiskt sätt att undervisa i matematik har Magnus Engdahl, matematiker vid Göteborgs universitet, intresserat sig för. I den här artikeln ger han idéer till hur man kan introducera normalfördelningen på SE-linjerna. Denna artikel gäller främst för SE-linjerna. Elevernas deltagande maximeras medan framställningen av matematisk text minimeras. Nyckelordet är inlevelse med förståelse som resultat. Uppenbarligen är val av exempel mycket betydelsefullt. Många läroböckers framställningar ger intrycket att normalfördelningen tillämpad på problem utgör en absolut sanning. Val av uppgifter gör det ofta svårt att falsifiera detta. Betrakta följande, tyvärr, mycket vanliga framställning: Den standardiserade normalfördelningsfunktionen Φ ges av Φ(x) = x ϕ(u)du där ϕ är den normala frekvensfunktionen, vars graf benämnes Gauss klockkurva, uppkallad efter den berömde matematikern. Man kan visa att integralen av ϕ över R blir exakt ett och att det är omöjligt att finna en primitiv funktion till ϕ. Den allmänna normalfördelningen fås sedan som F (a) = Φ ((a - µ)/σ) osv. Detta används idag för betygssättning etc. För en matematiker är detta naturligtvis inget märkvärdigt men hur många blivande matematiker finns det i en SE-klass? I en klass där förekomsten av variabeln x tolkas som: svårt, otäckt, jobbigt... och ett uttryck av formen leder tankarna till: omöjligt, går ej att lösa, det här kan/vill jag inte förstå. Detta anser jag vara en fullständigt onödig kunskapsblockering. Låt oss därför se på ett alternativt sätt att introducera samma område (och lite till). Och det utan ett spår av π och exponentialfunktioner. Dessutom är min intention att eleverna själva skall producera det som behövs för normalfördelningen. Min uppgift är bara att strukturera det hela och eventuellt komplettera med vissa delar. Men målet är att eleverna skall känna igen sig, det måste kännas begripligt och trovärdigt. Detta skall nu ske utifrån tre exempel från elevernas erfarenhetsvärld: falska tärningar körkort betyg Frekvensfunktioner Förutsättning: Viss kännedom om frekvensfunktioner L: Om vi har en vanlig tärning med sex sidor... kan Maria beskriva hur frekvensfunktionen för denna tärning ser ut? Marias förklaring leder fram till följande figur. Detta är samtliga elever med på. 1/6 ϕ(x) = Rel frekvens 1 2π 2 e x /2 1 2 3 4 5 6 Antal ögon 39

L: Hur får man sannolikheten för att tärningen visar en etta eller trea? E: Man lägger ihop 1/6 och 1/6. Eftersom det nu är fråga om diskreta utfall går detta bra men jag vill så fort som möjligt införa sambandet mellan area och sannolikhet. L: Vad händer då om man preparerar tärningen med en blyvikt? Tillsammans får vi snabbt fram det principiella utseendet men eleverna vill också veta de exakta sannolikheterna... så jag säger då att P(sexa) = 70%. Hur får vi då fram a? Vi kan nu utnyttja att totala arean är ett, vilket också någon föreslår. Detta leder till 0.7. 1+ a. 5 = 1. L: Låt oss nu titta på betyg. Hur gör en lärare när hon skall sätta betyg? E: Kastar tärning... E: Nej, använder en preparerad tärning där trean har en blyvikt. Det senare svaret är ju lysande. Utmärkt förståelse. Betyget tre har ensamt högst frekvens. Tillsammans får vi också fram utseendet för övriga betyg. Kurvan kompletterar jag själv utan några protester. L: Den här kurvan som vi nu har fått fram kan också användas i andra sammanhang, men för att få en mer praktisk utgångspunkt så vill jag förskjuta kurvan i sidled.var tycker ni att man borde placera toppen av kurvan? E: Över origo. L: Den här funktionen, som har sitt maximum för x = 0 och är symmetrisk kring y-axeln, kallas för normala frekvensfunktionen. Vi betecknar den med ϕ. Kom ihåg att den totala arean alltid är ett. Vi slutar för idag och i morgon skall vi gå vidare och titta på stora FI. Observera nu att klassen på egen hand har åstadkommit vad Gauss publicerade i Bestimmung der Genauigkeit der Beobachtungen, utgiven 1816, dock bakvägen, men det behöver vi ju inte tala om för dem. Det väsentliga är att det är de som har gjort det, utan att egentligen använda matematik. Standardiserad normalfunktion Misstaget som många läroböcker nu gör är att dränka eleverna i uppgifter utan konkret anknytning av typen: Beräkna a) P(u < 1,3), b) P(u > 2,1),... g) P(u < 1,7),...ö) P( 2,1 < u < 0,7). Det förekommer sällan exempel med N(0,1), normalfördelning med väntevärdet 0 och standardavvikelsen 1. Inte förrän man kommer till N(m,µ) ges det några exempel och mycket populärt är då normalfördelade skruvar och muttrar etc. Låt oss därför konstruera ett konststruktivistiskt exempel (som även kan användas senare). Dessförinnan bör man då givetvis introducera beteckningen Φ(x) som betyder arean till vänster om x. 40

Exempel 10 km/h Fartövervakning på en motorväg med högsta tilllåtna fart 110 km/h. Variabeln x mäter avvikelsen från 110. Då motsvarar x = 1 en fart på 120 km/h. Här finns många aspekter att ta upp. Men framför allt vill jag använda detta för att inge förståelse för Φ(x). Fördelen är då att eleverna kan se det hela framför sig. Φ(2) betyder verkligen något. L: Var någonstans i figuren hittar vi de bilister som kör fortare än tillåtet? E: Den högra delen. L: Vilken typ av bilister finner vi då i området till vänster om origo? E: De som kryper fram "gamla gubbar i hatt"... L: Om vi nu använder Φ-funktionen för att beskriva P(långsammare än 110)... E: Alla negativa x, dvs Φ(0). L: Kan du också tala om vad det blir utan att använda din tabell. Att detta borde vara 50% inser de flesta mycket snabbt. Vi kontrollerar också att det stämmer med tabellen. Svårigheten uppstår när vi kommer till P(x > a)... L: Om vi är ute efter de bilister som mister körkortet, var skall vi då titta? E: Biten längst till höger... Detta kan skrivas som Φ(x > 3), dvs mer än 30 km/h för fort, är något som vi enas om. Eftersom jag tidigare talat om att hela arean är ett, dröjer det inte länge förrän Peter säger att den skuggade arean tillsammans med den vita arean blir ett. Vi formulerar detta som Φ(x > 3) = 1 Φ(x 3) och kan sedan gå vidare med Φ(x). L: De flesta bilister kör ju trots allt någorlunda lagligt. Låt oss titta på hur många det är som ligger mellan 100 km/h och 130 km/h. Rimligtvis borde detta utgöra majoriteten på en svensk motorväg. Man kan här välja att bara skugga det aktuella området i figuren. Väljer man att även beräkna sannolikheten (82%) har man ju faktiskt täckt så gott som samtliga fall som kan uppträda. Hela tiden med en verklighetsanknyning som eleverna kan föreställa sig. Det kan nu vara berättigat att ge uppgifter av den typen som nämndes på föregående sida, då med hänvisning till det just genomgångna exemplet. Samtliga deluppgifter får en konkret betydelse. T ex kan uppgiften P(-2,1<u <-0,7) tolkas som sannolikheten att en bilist har en fart mellan 89 och 103 km/h. Eleven kan t o m själv sätta sig in i situationen. Att be eleverna beräkna abstrakta sannolikheter på abstrakta normalfördelade utfall vilket många läromedel gör anser jag var helt oförsvarbart. Det utplånar både intresse och förståelse. Allmän normalfördelning Att nu påstå att P(x < a) = Φ((a µ)/σ) kan skapa en kortvarig kunskapsblockering men jag tror att eleverna känner sig så pass förtrogna med ämnet att de köper detta. Det tråkiga är att det kan vara svårt att motivera uppkomsten av µ och σ. Det lättaste är förskjutningen i sidled. Tänk tillbaka på betygsfördelningen. Man kan se σ som en möjlighet att påverka modellen. Någonstans bör man också ta upp förekomsten och betydelsen av standardavvikelse. Här sker det tillsammans med klassen i dialogform. L: De flesta här har fyllt 18 år, men hur många är det som fortfarande är 17 och skall fylla 18 i år? Handuppräckning ger att 19 stycken är 18 år och övriga 8, är alla 17 år. Tillsammans 41

skissar vi ett stapeldiagram som visar resultatet. L: Utan att använda formeln för standardavvikelse, kan ni försöka uppskatta storleksordningen. Tänk på standardavvikelse som avvikelse från standard. E: Det måste åtminstone vara mindre än ett år, kanske ett halvt år,... Jiin Lih som ger detta svar får också förklara hur hon resonerat, så att alla förstår. L: Om jag nu skulle gå bort till lärarrummet och ställa samma fråga. Hur skulle då stapeldiagrammet se ut? Här råder delade meningar men vi lyckas i alla fall skissera motsvarande stapeldiagram som klart illustrerar den större variationen. Standardavvikelsen uppskattar vi till mellan 10 och 20 år. Jag kan nu mycket enkelt belysa två viktiga aspekter. Den ena är behovet av en parameter σ som beror på vilket statistiskt underlag vi har. Den andra, innebörden av litet σ kontra stort σ. Detta återigen framställt med hjälp av elevernas deltagande. L: Vi skall nu återvända till motorvägen, där vi följer polisens insatser i fartövervakningen. Tidigare mätte vi avvikelsen från medelfarten 110 km/h. Skulle vi kunna göra detta på något annat sätt? Utan problem kommer klassen fram till att medelfarten 110 km/h innebär att vi sätter µ = 110 km/h. Att σ = 10 km/h är det litet svårare att förklara. Således har vi nått fram till följande figur. 110 140 km/h Observera att vi nu får en lämpligare skala på abskissan. På samma sätt som tidigare tar vi upp några problemställningar: P(mister körkortet) = P(x > 140) = 1 P(x 140) = 1 Φ((140 110)/10) =1 Φ(3) = 1,3 L: Vad säger ni om resultatet? E: Det är betydligt fler som blir av med körkortet. L: Vad kan det då bero på att vår modell ger ett så litet antal? E: Medelfarten är inte 110 km/h utan betydligt högre... 120 eller 130. Detta är faktiskt något som flera elever inser direkt och även följden av det. Det är fantastiskt att de tänker på saker som rimlighet, att kunna kr2itisera en modell av verkligheten och att kunna förklara vad som är fel med modellen. Hur många läroböcker stimulerar detta tänkande? Det är ju faktiskt SE-elever som blir politiker, ekonomer och journalister, typiska yrken där det används statistiska modeller som alltför ofta missbrukas. Beror detta på att förståelse inte finns? Betrakta betygsmodellen i exempel 2 på nästa sida. Den modellen ger som resultat att en liten del av eleverna faktiskt går ut gymnasiet med ett medelbetyg större än 5,0. Detta är då ett utmärkt exempel för att illustrera bristen i en modell. Försök att illustrera motsvarande orimlighet med en typisk normalfördelad mutteruppgift! Avslutning I början av artikeln betonade jag att artikeln främst avsåg SE-linjen. En skillnad jämfört med NT-kursen är att där har man behandlat både derivator och integraler, innan detta moment tas upp. Min personliga uppfattning är därför att det matematiska innehållet borde vara något mer omfattande på NT-linjen då man går igenom sannolikhetslära. Exemplen som använts har haft stor betydelse. Samtliga har den fördelen att ungdomarna själva kan leva sig in i den aktuella situationen. Följden blir att de 42

reflekterar över problemen och i flera fall också kommenterar rimligheten i svaren. Det viktigaste anser jag vara dialogen med eleverna; att man verkligen utnyttjar den kunskap de faktiskt besitter. Kan man kombinera denna kunskap med deras intressen är lyckan gjord! Här nedan följer några problem på normalfördelning. Dessa uppgifter om man jämför med dagens läromedel av något "udda" karaktär har gett upphov till många kommentarer från eleverna. De reflekterar över problemen, ifrågasätter modellerna och till och med bedömer rimligheten i svaren! Detta helt och hållet på eget initiativ utan att jag har bett dem göra det! Notera att alla uppgifter illustrerar aspekter som normalt inte tas upp i läromedlen. Använd fantasin! Några problem 1. Svenska kvinnor är inte kända bara för att vara vackra utan också för att vara relativt långa. 1991 var medellängden för kvinnor (äldre än 17 år) 167 cm. Standardavvikelsen beräknades till 6,0 cm. a) För att bli modell krävs ofta en minimilängd på 174 cm. Hur många procent av svenskorna uppfyller inte detta? b) Vad händer om σ ändras till 10,0 cm? c) Hur många tänkbara modeller finns det i din klass? 2. Förra året hade Samhällsvetenskaplig linje 3,34 i medelbetyg. Betygssättningen sker utgående från en standardavvikelse på exakt ett. a) Vad säger du om chansen att komma in på juristlinjen om denna kräver ett medelbetyg på minst 4,8? b) Försök hitta brister i modellen. 3. Svenska kvinnor blir inte bara långa utan också gamla. Enligt SCB var den förväntade livslängden 1991 inte mindre än 80,22 år! Antag att σ = 10,0 år. a) Hur stor är sannolikheten att en nyfödd flicka får uppleva sin 100-års dag? b) Är det någon som blir äldre än 116 år? c) Vad kan man säga om dem som lever mellan 60 och 65 år? 4. Att ta körkort har bara blivit dyrare och dyrare med åren. Det totala priset beror givetvis också på hur många körlektioner som behövs. Idag kör genomsnitteleven 24 lektioner före uppkörning. Antalet varierar kraftigt beroende på eleven, så vi får en ganska hög standardavvikelse, nämligen 10 lektioner. a) Hur många procent av blivande körkortsinnehavare kan klara sig med mellan 15 och 30 lektioner? b) Bestäm andelen som klarar sig med 24 lektioner eller färre. c) Hur många procent av eleverna får en utgift på 6 000 kr eller mer om man inte räknar in upp- och halkkörning? 43