Föreläsning 5: Geometri

Föreläsning 5: Geometri Geometri i skolan Grundläggande begrepp Former i omvärlden Plangeometriska figurer Symmetri och tessellering Tredimensionell geometri och geometriska kroppar Omkrets, area, volym Längdskala (enheter och enhetsomvandlingar)

GEOMETRI från grekiska: geo = "jord", metria = "mäta") Varför undervisar vi i geometri? 3-K: Kommunikation Kultur Kreativitet

Geometri, kultur och kommunikation: Med vilka former konstruerar människan sin fysiska värld? Med vilka begrepp kan den fysiska världens former beskrivas? Vilka är relationerna mellan begreppen?

Bron mellan Replot och fastlandet

Bro över Zambezi-floden

Cameroon, västra Central-Afrika

Former i vardagen Rektangel Cirkel Rätblock Cylinder Kvadrat

Former i naturen?

A. Plangeometri (planimetri) Behandlar geometriska egenskaper hos figurer i två dimensioner dvs. i ett plan 1. Punkt, sträcka, linje, stråle, normal 2. Polygoner (månghörningar); Omkrets. Area. 3. Vinklar; Bisektris. Vinkelsumma i triangel och fyrhörning 4. Cirkeln; radie, diameter, omkrets (periferi), korda, medelpunkt, tangent, sekant, sektor

5. Kongruens. Avbildning. 6. Symmetri. Mönster. Tessellering. 7. Koordinatsystem. Koordinataxlar. Spegling i axlar. Koordinater. 8. Likformighet; Skala (längdskala) 9. Omkrets och area av oregelbundna figurer

5. Kongruens och avbildning I kongruenta figurer är sträckor, areor och vinklar lika stora. De har samma form (likformiga) och samma storlek. Avbildning (ändring) i skala 1:1 ger kongruenta figurer (symmetriska) - spegling i linje och i punkt - vridning - parallellförskjutning

Spegling i en linje (reflektion) Motsvarande punkters vinkelräta avstånd till linjen är lika Vridning (rotation) kring en punkt Spegling i en punkt då vridningen är 180 fixpunkt Alla punkter i figuren vrids lika mycket runt en fixpunkt

Parallellförskjutning (translation): Alla punkter i figuren flyttas lika långt i samma riktning

6. Symmetri. Mönster. Tessellering Mönster med symmetri är upprepning av kongruenta figurer, bilden kan inte urskiljas från originalet. Symmetrilinjer Höger och vänster halva är varandras spegelbilder (Jämför: Palindromiska tal ex. 1991; palindromiska ord och texter ex. oro) Tessellering När samma figur upprepas så att ett heltäckande mönster bildas. Figuren tessellerar.

Exempel på tesselleringar: 4* 90 = 360 6*60 =360 Vid plana tesselleringar 360 i mötespunkterna 3*120 =360

Tessellering med en sk pentominobit

Arabiskt mönster

Escher 1

Escher 2

Escher 3

8. Likformighet och skala Längdskala. Kartskalor Förstoring. Förminskning Rita i skala. Figurerna likformiga: har samma form

Skalan anges som förhållandet mellan bild och verklighet. 1 2 3 Orienteringskartans skala 1 : 15 000 Sträckan motsvarar 360 km i verkligheten Skalan? Kortaste avståndet Utsjoki Helsingfors? 1cm? 7 cm? i verkligheten? Hur lång är banan fågelvägen?

B. Rymdgeometri (stereometri) Behandlar geometriska egenskaper hos geometriska kroppar 10. Polyedrar (sidoytorna är månghörningar). Prisma. Rätblock. Kub. Pyramid. 11. De fem platonska kropparna (regelbundna polyedrar): Tetraeder. Kub (Hexader). Oktaeder. Dodekaeder. Ikosaeder. 12. Cylinder. Kon. Klot. 13. Avbildningar. Perspektivritning 14. Volym

10. Polyeder Är en geometrisk kropp som begränsas av ett ändligt antal månghörningar som kallas sidoytor. Hos rätblock, kub, prisma och pyramid brukar man skilja mellan basyta och sidoytor.

11. Platonska kropparna Är regelbundna polyedrar: sidoytorna är kongruenta regelbundna månghörningar Dodekaedern Kuben; Hexaedern Tetraedern Oktaedern Ikosaedern

Antal sidoytor: Sidoytorna begränsas av regelbundna: Liksidig pyramid; Tetraeder 4 trianglar Kub; Hexaeder 6 kvadrater Oktaeder 8 trianglar Dodekaeder 12 femhörningar Ikosaeder 20 trianglar

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/tetrahedron.gif http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/48/hexahedron.gif http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/octahedron.gif http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/73/dodecahedron. gif http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e2/icosahedron.gif Varför finns inte fler än dessa fem??

Några väsentliga lärandemål för längd, omkrets, area och volym Eleverna skall kunna: skilja mellan begreppen längd, omkrets, område, yta, area och volym uppskatta och mäta längd uppskatta och beräkna både omkrets och area av följande typer av områden: trianglar och fyrhörningar (kvadrat, romb, rektangel, parallellogram) uppskatta och beräkna både begränsningsarea och volym för rätblock och (specialfallet) kub skilja mellan längdenhet, areaenhet och volymenhet, klara av enhetsbyten med dessa enheter samt välja lämpliga enheter

Läraren bör begrunda Vilka är nödvändiga färdigheter och aritmetiska förkunskaper? Vad är relevanta tillämpningar? Vilken är relationen mellan skolgeometrin och elevernas vardag och kulturella miljö? Valet av arbetssätt

ENHETER SI-enheter (Système International d Unités). Totalt sju grundenheter varav meter, kilogram och sekund ingår i F-6. Storheter Längd: Enheter mil, km, (hm, dam), m, dm, cm, mm Area: km 2, ha, a, m 2, dm 2, cm 2, mm 2 Volym: m 3, dm 3, cm 3, mm 3 (kl), hl, (dal), l, dl, cl, ml Massa: Tid: t, kg, hg, (dag), g, (dg, cg), mg a, mån, d, h, min, s

Viktigt att kunna: mätredskap olika enheter samband mellan enheter; relationstal, enhetsbyten uppskattningar; tillämpningar Gamla enheter: Kroppsenheter; famn, fot, tum, aln, spann 1 famn = 3 alnar = 1,781 m 1 fot = 12 tum = 29,69 cm 1 tum = 2, 54 cm 1 spann = 1/4 aln = 148,4505 mm. 1 tunnland = 4936,5 m 2 Anglosaxiska enheter: inch, foot, mile, ounce, pound...