Modul: Vuxendidaktiska perspektiv på matematiklärande Del 2: Matematikkulturer Matematikkulturer Lars Gustafsson, NCM De tre frågorna: vad är matematik? varför matematik? och vad räknas som matematik? är några av de mest diskuterade och studerade frågorna inom området vuxnas matematiklärande under de senaste 20 åren. En viktig mötesplats för praktiker och forskare för denna diskussion har varit den internationella organisationen Adults Learning Mathematics (ALM) som bildades 1994. I spåren av bl.a. denna diskussion har det etablerats både undervisningspraktiker och forskningsfält som utgår från olika svar på de tre grundläggande frågorna ovan. Eftersom svaren på frågorna formas i olika mänskliga verksamheter så är det rimligt att tala om matematikkulturer. Den engelske sociologen Paul Dowling (Dowling, 1998), som intresserat sig för olika matematikpraktiker, refererar en episod från en tillverkare Lucas Aerospace International av avancerad flygplansutrustning där fyra disputerade matematiker engagerats för att utveckla en efterbrännare till en jetmotor. Dessa försökte, med hjälp av avancerade matematiska modeller, under två år att komma fram till hur en sådan skulle kunna se ut utan att hitta en tillfredställande lösning. Företaget vände sig då till företagets verkstad där två erfarna medarbetare engagerades, en metallarbetare och en ritare. Efter en tid lyckades dessa hitta en lösning på problemet och också att tillverka en fungerande efterbrännare. En av de disputerade matematikerna kommenterade detta på följande sätt: Dom kanske lyckades lösa problemet men dom förstod inte vad dom gjorde. (sid. 4; min översättning) Denna berättelse reser angelägna frågor om matematikkulturer, hur olika kunskapsformer värderas och innebörden av begreppet förståelse i och utanför skola. Under senare år har det internationellt förts en intensiv diskussion kring vuxnas matematikanvändning i skola, vardags- och yrkesliv. Denna diskussion har sina rötter framför allt i undervisningspraktik och i forskning men även i policytexter kring vuxnas lärande. Kunskapen om det informella lärandet i vardags- och yrkesliv, har ökat. Parallellt med detta förs det idag, bl.a. utifrån begreppet livslångt lärande, en diskussion på policynivå om individens formella och informella kunnande och hur detta skall synliggöras och erkännas. En konsekvens är att vuxnas samlade kunnande tillmäts ett allt större värde. Att rätten till validering inom vuxenutbildningen numera är inskriven i skollagen är en markering av detta. Begreppet matematikkulturer som används här är inte ett etablerat begrepp inom matematikdidaktiken. Det används här, främst av praktiska skäl, som ett samlingsnamn för matematikpraktiker i såväl formella som informella miljöer. Att det finns ett behov av en term för att beskriva annan matematik än skolmatematik visar sig genom att det i litteraturen (se t.ex. Knijnik, 2012) allt oftare dyker upp ord som: out-of-school mathematics, workplace mathematics, http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (11)
other mathematics, i motsatsställning till the mathematics som betecknar akademisk matematik och skolmatematik och etnomatematik för att nämna några exempel. Även termen multimathemacy (Pinxten & François, 2011) har använts som ett samlingsnamn för att beteckna mångfalden av matematikpraktiker. I detta avsnitt skall vi bekanta oss med några av dessa matematikkulturer. Syftet är att ge en översiktlig orientering om några av dessa. Matematik som vetenskaplig disciplin Den speciella praktik som utövas av professionella matematiker beskrivs ofta som sinnebilden eller idealbilden för vad sann matematik är. Begrepp som abstraktion, generalitet lyfts ofta fram när man skall karakterisera denna matematik. Den förknippas även med en speciell, och för den oinvigde svårgenomtränglig, symbolisk notation. I Nationalencyklopedin ges följande definition: matemati k en abstrakt och generell vetenskap för problemlösning och metodutveckling. Matematiken är abstrakt: den har frigjort sig från det konkreta ursprunget hos problemen, vilket är en förutsättning för att den skall kunna vara generell, dvs. tillämpbar i en mångfald situationer, men också för att den logiska giltigheten hos resonemangen skall kunna klarläggas. I en föreläsning 2012, under rubriken Vad är det för särskilt med matte?, karakteriserar matematikfilosofen Christian Bennet matematisk kunskap på följande sätt: Matematisk kunskap är: säker, tidlös, a priori, icke empirisk, dvs. rationell och baseras ej på våra sinnen, abstrakt, Berättigandet av matematiska påståenden görs internt inom matematiken. Och hans kollega matematikern och statistikern Olle Häggström uttrycker sig på följande sätt (Häggström, 2006): matematiken har en universell giltighet och existens som är oberoende av oss människor. Bland matematiker av facket och inom matematikfilosofin har det sedan lång tid pågått en diskussion om vad matematik är och om de matematiska objektens natur. Bland fackmatematiker är den syn som företräds ovan nog ganska vanlig men långtifrån alla skulle hålla med. En viktig skiljelinje går, som nämnts, mellan de som företräds av t.ex. Häggström ovan och de som ser matematiken som en mänsklig konstruktion nära kopplad till mänsklig http://matematiklyftet.skolverket.se 2 (11)
aktivitet och handling. För den som vill fördjupa sig i vad denna diskussion handlar om rekommenderas NCM-skriften Matematiken var finns den? (Helenius & Mouwitz, 2009) samt boken The Mathematical Experience (Davis, Hersh, & Marchisotto, 2012). En företrädare för synen på matematik som nära kopplat till mänsklig aktivitet är Alan Bishop (Bishop, 1988) som studerat matematikens socio-kulturella grund historiskt och i olika kulturer. Han menar att matematiken har sin grund i följande mänskliga aktiviteter: räkna och beräkna, lokalisera, mäta, konstruera/designa, leka samt förklara. Denna kategorisering har använts som utgångspunkt för kursplanearbete och lärarutbildning specifikt riktat mot vuxna i vårt grannland Danmark och är därför relevant att nämna i detta sammanhang. Med en sådan utgångspunkt synliggörs kopplingar mellan matematik och de vuxenstuderandes erfarenheter och livsvärld på ett mycket påtagligt sätt. I detta sammanhang är en intressant fråga hur relationen mellan matematik som vetenskaplig disciplin och skolmatematik kan beskrivas. Skall skolmatematiken hämta sitt innehåll och sina ideal från den akademiska matematiken eller skall den som Alan Bishop föreslår kopplas till aktiviteter utanför akademi och skola? Frågan är inte enkel att besvara och olika aktörer ger olika svar. Skolmatematik Vilken relation har skolmatematiken till den akademiska matematiken? Utan tvekan är det så att skolmatematiken hämtar en del av sitt innehåll och ideal från den akademiska matematiken. Jan Wyndhamn (Wyndhamn, 1997, sid. 10-11) menar dock att skolmatematiken inte bör eller skall härledas ur och organiseras som den vetenskapliga disciplinen matematik. Han pekar också på att i undervisningsämnet matematik finns avvägningar mellan vardagskunskap och vetenskaplig kunskap samt mellan den enskilde individens behov och samhällets intressen och behov. Wyndhamns slutsats blir att: Matematik är det barnen möter och ägnar sig åt inom ramen för en institutionell uppfattning av vad matematik är. När det gäller skolämnen som fenomen finns för varje tidsålder föreställningar om vad som utgör skolans ämneskanon. Det vill säga att under varje tidsepok materialiseras epokens föreställningar om bildning i skolans ämnen och därmed dess övertygelser om vad det är för kunskap, av all samlad kunskap, som bäst kan förmedla denna bildning till den unga generationen. I rapporten Vuxna och matematik ett livsviktigt ämne (Gustafsson & Mouwitz, 2003) beskrivs skolämnet matematik som: en politisk konstruktion genomsyrad av en människosyn, en värdegrund och vissa ideologiskt betingade föreställningar. (sid. 65) Här finns med andra ord en arena för alla som engagerar sig i att påverka hur matematikämnet kan och bör se ut. I ett historiskt perspektiv kan vi se att tyngdpunkten i de motiv http://matematiklyftet.skolverket.se 3 (11)
som anges för skolämnet matematik förändras över tid, bl.a. beroende på faktorer i omvärlden men också av vilka aktörer som för tillfället har de största möjligheterna att påverka. Ett mycket aktuellt exempel på detta är det förslag till strategi inom utbildningsområdet som presenterats under namnet En ny syn på utbildning (Europeiska kommissionen, 2012) och där kunskaper i matematik utpekas som en nyckelfaktor. I detta dokument konstateras att: Bland utbildningens uppgifter i bred bemärkelse finns sådana mål som aktivt medborgarskap, personlig utveckling och välbefinnande. Även om dessa går hand i hand med behovet att uppgradera färdigheter som bidrar till anställbarhet i en situation där den ekonomiska tillväxten är långsam och arbetskraften åldras och minskar, är de mest angelägna utmaningarna för medlemsstaterna att ta itu med ekonomins behov (sid. 2) Matematiken och matematiskt kunniga medborgare får i detta perspektiv en instrumentell roll, ett medel att nå mål inom andra politikområden än enbart utbildningsområdet. EUs strategi gäller för alla EU-länder, alltså även Sverige. I vuxenutbildningens styrdokument anges olika motiv för matematikämnets existens, bland annat att vuxna skall bli bättre rustade att hantera situationer i vardags- och arbetsliv. Vardagsmatematik I slutet av 1980-talet presenterades resultaten av ett stort forskningsprojekt The Adult Math Project (AMP) (Lave, 1988). Syftet med projektet var att studera matematikanvändning i verkliga vardagssituationer. Intresset för empiriska studier i autentiska miljöer och situationer hade sin grund i att mycket av den tidigare forskningen gjorts experimentellt i laboratorier. Ett av resultaten från AMP-projektet var att det är stor skillnad att lösa matematiska problem i skolan och att lösa problem i vardagslivet. Ett viktigt resultat, vilket också bekräftas i flera andra studier, är att lösningsstrategier i vardagsliv och i skola skiljer sig åt på avgörande punkter. Man kunde inte heller påvisa någon korrelation mellan framgång i skoltester och förmåga att lösa uppgifter i miljöer utanför skola. Ett annat resultat var att en individs kunnande inte är isolerat utan oskiljbart från det sammanhang som individen befinner sig och intimt integrerat med de redskap och resurser som individen har till sitt förfogande. Låt oss titta på ett konkret exempel från Laves studie som illustrerar detta. Det handlar om en medlem i en viktväktargrupp som skall bereda en lunch enligt vissa specifikationer. I denna ingår att en viss mängd Keso skall användas. I receptet, som var beräknat för fyra personer, var två-tredjedels kopp den mängd som skulle användas och den aktuella lunchen skulle beräknas för tre personer. Personen i fråga muttrade för sig själv att han en gång i tiden gått en matematikkurs där detta ingått men uppenbarligen var detta glömt (eller kanske inte ens inlärt). I skolmatematiken finns en given algoritm som består i multiplikation av de två bråktalen 2/3 och 3/4 vilket ger svaret 1/2 kopp (andra strategier är givetvis möjliga). Plötsligt utbrister han: Jag har det! och sade sig vara säker på att ha en korrekt lösning redan innan denna ens demonstrerats. Den metod han därefter uppvisade var följande: http://matematiklyftet.skolverket.se 4 (11)
Koppen fylldes till två tredjedelar med Keso som lades upp på en skärbräda. Med ett bestick plattade han ut Keson och formade den som en cirkel. Två kors som delade cirkeln i fyra lika delar skars. Därefter tog han bort en av dessa delar och använde resterande mängd till receptet. (sid. 165) Exemplet är intressant av flera anledningar. Notera t.ex. att skolsvaret 1/2 kopp inte ens är uppenbart i denna lösning. Vi överlåter till läsaren att fundera vidare över skillnader mellan matematikanvändning i skola och livet utanför skola utifrån detta exempel: Vilka principiella skillnader kan vi se i lösningsstrategierna? Är båda lösningarna korrekta? Är de lika högt värderade i skolans värld? Vilket skulle svaret på föregående fråga vara om vi följer kunskapskraven i kursplanen? Vilka för- och nackdelar kan vi se i de två lösningsstrategierna? När är denna lösning OK och när är den det inte? Vilka är förutsättningarna för att personen i fråga skall ha möjlighet att visa sitt kunnande? Är det sätt personen löser uppgiften på ett exempel på matematisk aktivitet eller är det något annat? Visar personen prov på några matematiska förmågor? etc. Vi kan återkomma till detta exempel i del 5 där frågan om bedömning och validering är aktuell. En frågeställning som var aktuell i AMP-projektet var frågan om kunskaper förvärvade i en miljö, t.ex. skolmiljön, kunde överföras till andra miljöer och situationer. Denna problematik går under beteckningen transfer. Transfer handlar om att förmågan att känna igen, identifiera eller associera matematisk kunskap och färdighet i ett sammanhang och att sedan ha förmågan att använda eller omforma kunskapen och färdigheten i ett annat sammanhang. I skolans värld är en utbredd tanke att de studerande tillägnar sig generella kunskaper och färdigheter som de sedan kan tillämpa i en mängd olika situationer i vardags-, samhälls- och yrkesliv. I verkligheten, vilket också bekräftats i en mängd studier, har det visat sig att denna process är långt mer komplex än vad som vanligtvis antas. Frågan om transfer är en av de frågor som har diskuterats och forskats mest kring inom området vuxnas matematiklärande (Evans, 2000). Som titeln på Evans artikel anger, The Transfer of Mathematics Learning from School to Work not Straightforward but not Impossible Either!, så är transfer potentiellt möjlig men den följer inte automatisk av undervisning. Förmågan att överföra kunskap från skola till situationer utanför skola, och skillnader mellan dessa praktiker, måste särskilt uppmärksammas i undervisningen. Studien av Lave är en av de mest centrala och mest diskuterade och refererade inom området. En annan lika klassisk studie om matematikanvändning i vardagslivet är den som redovisas i boken Street mathematics and school mathematics (Nunes, Schliemann, & Carraher, 1993). Studien bekräftar många av slutsatserna från Laves studie. Den visar bl.a. att vuxna arbetare lyckas lösa matematikuppgifter bättre än studenter med lika eller mer formell skolbakgrund. Den visar också att de informella strategier som vuxna använder fundamentalt skiljer sig från de strategier som används och är norm i skola: vuxna använde huvudsakligen muntliga metoder så som retorisk matematik, där kontext och mening bibehålls under beräkningarna. Detta kontrasterar mot skolans metoder där tal och operationer frigörs från sammanhanget då beräkningar utförs. Först därefter relateras svaren till det ursprungliga problemet eller sammanhanget. Nunes m.fl. visar i sin studie att vuxna som använder dessa informella stra- http://matematiklyftet.skolverket.se 5 (11)
tegier gjorde långt färre misstag bl.a. beroende på att en högre grad av mening bibehålls under beräkningarna. I tabellen nedan sammanfattas några av studiens slutsatser: Street mathematics (informell matematik) muntlig och resonerande mening bibehålls manipulation av kvantiteter situationsbunden konkret School mathematics (formell matematik) skriven mening bibehålls inte under uträkningens gång manipulation av symboler generell abstrakt En kritik som riktats mot dessa situationsbundna strategier är att de är så starkt bundna till specifika situationer att kunnandet och strategierna inte kan föras över till eller användas i andra situationer, den så kallade transfer-problematiken. Samma studie (Nunes m.fl, 1993) visar dock att den informella kunskapen/strategierna kan användas i andra situationer än där strategierna ursprungligen utvecklats och att transfer därför är fullt möjlig men under vissa speciella villkor. En intressant fråga att fundera på i sammanhanget är den om överförbarheten av kunskap från den speciella kontext som klassrummet är till situationer utanför skolan? Här har vi egentligen inte samma problematik här? En mycket intressant studie som föregår och ligger nära både Laves och Nunes m.fl. studier handlar om hur studerande på komvux behärskar procentbegreppet (Alexandersson, 1985). En grupp komvuxelever fick tre traditionella procent-uppgifter (se nedan) innan studierna påbörjades. Efter ett års matematikstudier där undervisning om procentbegreppet ingick fick de lösa samma uppgifter. De uppgifter som studien baseras på var följande: Fråga 1: Eva fick när skatten var dragen 2 800 kr i månadslön. Hur stor är hennes lön före skatt (bruttolönen), om hon betalade 30 % i skatt? Hur räknar du ut det? Fråga 2: Du har en vara som 1978 kostar 100 kronor. 1978 var sedan prisökningen 10 %, 1979 var prisökningen 12 % och 1980 var den 14 %. Vad kostar 31/12 1980 den vara som 1/1 1978 kostade 100 kronor? Hur räknade du ut det? Fråga 3: En vara höjs i september med 10 % men visar sig sedan vara svårsåld och man sänker priset i oktober med 10 %. Hur blir då priset i förhållande till det ursprungliga? Alexandersson redovisar en försämring av vuxnas förmåga att lösa dessa uppgifter efter ett års studier på komvux! Hur kan en sådan försämring av förmåga efter studier förklaras? Alexandersson menar att innan undervisningen ligger fokus på att få ett korrekt svar i den konkreta situationen och att de studerande tillåter sig stor frihet i tillvägagångssätt. Svarsbilden blir variationsrik med långa resonemang som präglas av en sökande och prövande http://matematiklyftet.skolverket.se 6 (11)
attityd och efter utbildningen har tonvikten i svaren förskjutits så att tillvägagångssättet hamnat i förgrunden och att svaren formaliserats. Alexandersson benämner detta fenomen med begreppet algoritmisering. Skolmatematik blir att tillämpa ett specifikt beräkningssätt och de studerande tenderar att se på frågorna som räkneuppgifter snarare än som autentiska vardagsproblem. Alexandersson talar om en avtagande känslighet och att algoritmiseringen inbjuder till en mekanisk bearbetning av stoffet samt att känsligheten för variationer i problemet avtar. Det finns således kvaliteter i vuxnas vardagskunnande som inte tas tillvara i undervisningen. Följden blir, som sagt, en funktionell försämring. Internationellt finns, i vuxenutbildning, undervisningspraktiker som tagit intryck av och delvis formats av de studier som presenterats ovan. Ett exempel på ett sådan är numeracytraditionen som kort presenteras i nästa avsnitt. Numeracy Numeracy-traditionen har ett starkt fäste inom vuxenutbildningen fr.a. i anglosaxiska länder, varifrån begreppet ursprungligen kommer, men det förekommer även i länder som Holland och Danmark. Det finns ingen etablerad svensk översättning av termen numeracy, även om numeracitet har lanserats som ett möjligt alternativ. Enkelt uttryckt kan man säga att det omfattar den matematik som alla samhällsmedborgare behöver för att klara sig i vardags-, samhälls- och yrkesliv, dvs. det vi skulle kalla grundläggande bas- eller vardagskunskaper. Som undervisningspraktik så utmärks den av att deltagaren är i centrum och att matematiken sätts in i relevanta och autentiska sammanhang så långt det är möjligt. Undervisningen inriktas mot att eleverna ska kunna tillämpa sina kunskaper i sammanhang som de har erfarenheter av. I svenska styrdokument uttrycks skolmatematikens relation till den vuxnes erfarenheter och till tillämpningar i vardag och yrkesliv tämligen vagt. I läroplanen för vuxenutbildningen (SKOLFS 2012:101) står det att läraren skall utgå från den enskilda elevens behov, förutsättningar, erfarenheter och tänkande samt att i undervisningen utnyttja kunskaper och erfarenheter från arbets- och samhällsliv som eleverna redan har. I kursplanen för grundläggande vuxenutbildning nämns i syftestexten att Undervisningen i ämnet matematik ska syfta till att eleverna utvecklar kunskaper om matematikens användning i vardagen bidra till att eleverna utvecklar sin förmåga att använda matematik i olika sammanhang. I Danmark finns det en särskild vuxenutbildning Förberedande vuxenutbildning (FVU) med egen kursplan som bygger på numeracy-begreppet. I styrdokumenten för denna (Undervisningsministeriet, 2007) finns, som stöd för lärarna, en beskrivning som är betydligt mer detaljerad och konkret: http://matematiklyftet.skolverket.se 7 (11)
Undervisning anpassas till de olika sammanhang, i vilka matematiken ingår och används (kontexter). Mål och innehåll konkretiseras med deltagarna i centrum. I dialog med deltagarna kartläggs deras bakgrund, förutsättningar och perspektiv. I undervisningen arbetar man med problemställningar och metoder som, så gott det låter sig göras, är autentiska i förhållande till de valda kontexterna. Relevansen i undervisningens innehåll tydliggörs genom tydliga kopplingar till aktiviteter utanför undervisningssituationen. Då nya begrepp införs och används utnyttjas olika samarbetsformer, materiel och uttrycksmedier i undervisningen på ett sådant sätt att man respekterar deltagarnas olika sätt att lära på. Deltagarnas egna korrekta metoder vid beräkning av konkreta uppgifter används och synliggörs i undervisningen. (bilaga 3; min översättning) Dessutom stöds lärarna i sin tolkning av styrdokumenten av ett utförligt kommentarmateriel (Undervisningsministeriet, 2002) som utvecklar, fördjupar och ger mycket konkreta exempel ner på uppgiftsnivå på hur man kan arbeta med FVU-matematiken. Det finns även en särskild lärarutbildning för lärare som arbetar med FVU-matematik inom den danska vuxenutbildningen. En anledning till att numeracy tas upp i detta sammanhang är att numeracy-begreppet ligger till grund för den stora internationella PIAAC-studien av vuxnas matematikkunnande där även Sverige medverkar. PIAAC, som står för Programme for the International Assessment of Adult Competencies, använder en följande definitioner på numeracy-begreppet på vad ett numerat förhållningssätt innebär: Numeracy är förmågan att tillägna sig, tolka, och kommunicerar matematisk information och idéer, i syfte att engagera sig i och hantera matematiska utmaningar i olika situationer i vuxenlivet. Ett numerat förhållningssätt omfattar förmågan att hantera en situation eller att lösa problem i autentiska sammanhang genom att reagera på ett matematiskt innehåll/information/idéer som representeras på olika sätt. (PIAAC Numeracy Expert Group, 2009, sid. 21; min översättning) Etnomatematik Under de senaste 25 åren har den riktning som går under namnet etnomatematik vuxit sig allt starkare inom det matematikdidaktiska fältet. Denna inriktning berör i hög grad området vuxnas matematiklärande. Etnomatematik är dels en forskningsinriktning, dels en undervisningspraktik som bygger på etnomatematiska perspektiv. Av namnet att döma så skulle man kunna tro att det relaterar till begreppet etnicitet och den matematik som utövas av olika etniska grupper, minoriteter eller folkgrupper i tredje världen. Ibland är det också så men vanligare är att det omfattar betydligt fler grupper. Etnomatematik definieras ofta som studiet av relationen mellan matematik och kultur eller den matematik som utvecklas och används inom olika kulturella grupper. Kulturbegreppet definieras då brett och exempel på sådana grupper framgår av följande definition från den brasilianske matematikern Ubiratan D Ambrosio (D'Ambrosio, 2006) som anses vara etnomatematikens fader : http://matematiklyftet.skolverket.se 8 (11)
Etnomatematik är den matematik som utövas av olika kulturella grupper i urban- och landsbygdsmiljö, grupper av arbetare, olika yrkesgrupper, barn av en viss åldersgrupp, ursprungsbefolkningar, och många andra grupper som kan beskrivas utifrån de mål och traditioner som förenar dessa grupper. (sid. 1; min översättning) Detta betyder att såväl de studier som tidigare redovisats av Jean Lave (t.ex. matematikanvändning i en viktväktargrupp) och den brasilianske forskargruppen med Nunes m.fl. studier av matematikanvändning hos gatuförsäljare kan räknas in i en etnomatematisk tradition. Flera studier av matematikanvändning i yrkeslivet har också gjorts inom detta fält. Då kan de kulturella grupperna avgränsas så snävt som snickare och sjuksköterskor, var och en som egna kulturella grupper med egna matematiska traditioner, strategier, redskap etc. Sociologerna Pinxten och Francois (Pinxten & François, 2011) har till och med föreslagit att etnomatematik används som överordnat begrepp för all matematik även den akademiska matematik som utövas av professionella matematiker. Vi föreslår att etnomatematik kan utgöra ett samlingsnamn för alla matematikpraktiker, med akademisk matematik som ett specialfall. (sid 4; min översättning) Ett återkommande tema hos många som företräder någon av de etnomatematiska traditionerna är maktperspektivet och med ovanstående exempel är det lätt att se att ett sådant perspektiv står i centrum. Etnomatematik, både dess forskningsanknytning och som undervisningspraktik, är i Sverige inte något särskilt utbrett eller känt fenomen. På forskningssidan finns ett par avhandlingar där etnomatematik är den teoretiska utgångspunkten (Andersson, 2011; Nutti, 2007). Det finns också exempel på utvecklingsprojekt som inspirerats av etnomatematik och konkret undervisningspraktik som påverkats av denna riktning (Gustafsson, 1998; Rönnberg & Rönnberg, 2006). Sammanfattningsvis kan sägas att etnomatematik även inom svensk vuxenutbildning har potential att vara användbart med tanke dels på att ett grundläggande perspektiv i etnomatematik är det subjektiva perspektivet, dvs. att undervisningen tar sin utgångspunkt i och bygger på individens erfarenhet och livsvärld vilket är så starkt framskrivet i styrdokumenten och därmed är en del av uppdraget inom vuxenutbildningen, dels med tanke på den kulturella heterogenitet som kännetecknar vuxenutbildning. Etnomatematiska perspektiv skulle kunna öka lärarnas medvetenhet inom områden som kultur, språk och identitet men även vidga perspektiven på relationen mellan skolmatematik och den matematik som deltagarna bär med sig in i klassrummet. Litteratur Alexandersson, C. (1985). Stabilitet och förändring. En empirisk studie av förhållandet mellan skolkunskap och vardagsvetande. Göteborgs Universitet, Göteborg. http://matematiklyftet.skolverket.se 9 (11)
Andersson, A. (2011). Engagement in Education: Identity Narratives and Agency in the Contexts of Mathematics Education. Hämtad från http://ncm.gu.se/media/ncm/forskning/a_andersson_avhandling.pdf Bishop, A. J. (1988). Mathematical Enculturation. A Cultural Perspective on Mathematics Education. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. D'Ambrosio, U. (2006). Ethnomathematics. Link between Traditions and Modernity. Rotterdam: Sense Publishers. Davis, P., Hersh, R., & Marchisotto, E.A. (2012). The Mathematical Experience, Study Edition. New York: Birkhäuser. Dowling, P. (1998). The sociology of mathematics education: mathematical myths/pedagogic texts. London: Falmer Press. Europeiska kommissionen. (2012). En ny syn på utbildning: att investera i färdigheter för att uppnå bättre socioekonomiska resultat. Evans, J. (2000). The Transfer of Mathematics Learning from School to Work not Straightforward but not Impossible Either! I Annie Bessot & Jim Ridgway (Red.), Education for Mathematics in the Workplace (s. 5-15). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Evans, J., & Wedege, T. (2004). Motivation and resistance to learning mathematics in a lifelong perspective. Hämtad från http://mmf.ruc.dk/~tiw/papersweb/evansj.wedeget.pdf Evans, J., Wedege, T., & Yasukawa, K. (2013). Critical perspectives on adults mathematics education. I M. A. Clements, A. J. Bishop, C. Keitel, J. Kilpatrick & F. K. S. Leung (Red.), Third International Handbook of Mathematics Education (Vol. 27, sid. 203-242). New York: Springer. Gustafsson, L. (1998). En matematik i folkbildningens tjänst. Rapport från ett lokalt pedagogiskt utvecklingsarbete i matematik. Ytterby. Gustafsson, L., & Mouwitz, L. (2003). Vuxna och matematik - ett livsviktigt ämne. (NCMrapport 2002:3). NCM, Göteborgs universitet. Helenius, O., & Mouwitz, L. (2009). Matematiken - var finns den?. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning, Göteborgs universitet. Häggström, O. (2006). Mouwitz och matematiken. Svenska matematikersamfundets medlemsutskick (15 oktober). Kan laddas ner från http://www.math.chalmers.se/~olleh/mouwitz.pdf. http://matematiklyftet.skolverket.se 10 (11)
Knijnik, G. (2012). Differentially positioned language games: ethnomathematics from a philosophical perspective. Educational Studies in Mathematics, 80(1-2), 87-100. doi: 10.1007/s10649-012-9396-8 Lave, J. (1988). Cognition in Practice. Mind, mathematics and culture in everyday life. Cambridge: Cambridge University Press. Niss, M. (1994). Mathematics in Society. I R. Biehler, R. W. Scholz, R. Sträßer & B. Winkelmann (Red.), Didactics of Mathematics as a Scientific Discipline (s. 367-378). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Niss, M. (1996). Goals of Mathematics Teaching. I A. J. Bishop, K. Clements, C. Keitel, J. Kilpatrick & C. Laborde (Red.), International Handbook of Mathematics Education (s. 11-47). Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Nunes, T., Schliemann, A.D., & Carraher, D.W. (1993). Street mathematics and school mathematics. New York: Cambridge University Press. Nutti, Y.J. (2007). Matematiskt tankesätt inom den samiska kulturen. Utifrån samiska slöjdares och renskötares berättelser. Luleå tekniska universitet, Luleå. Hämtad från http://epubl.ltu.se/1402-1757/2007/03/ PIAAC Numeracy Expert Group. (2009). PIAAC Numeracy: A Conceptual Framework, OECD Education Working Papers, No. 35,. doi: 10.1787/220337421165 Pinxten, R., & François, K. (2011). Politics in an Indian canyon? Some thoughts on the implications of ethnomathematics. Educational Studies in Mathematics, 78(2), 261-273. Powell, A. B., & Frankenstein, M. (Red.). (1997). Ethnomathematics: challenging Eurocentrism in Mathematics Education. Albany, NY: SUNY Press. Rönnberg, I., & Rönnberg, L. (2006). Etnomatematik. Perspektiv för ökad förståelse i matematiklärandet. Stockholm: Stockholms stad Kompetensfonden. SKOLFS 2012:101. Förordning om läroplan för vuxenutbildningen. Undervisningsministeriet. (2002). Undervisningsvejledning FVU-matematik. Hämtad från http://www.uvm.dk/uddannelser-og-dagtilbud/uddannelser-til-voksne/overblik-overvoksenuddannelser/forberedendevoksenundervisning/~/media/uvm/filer/udd/voksne/pdf08/l/laes.pdf Undervisningsministeriet. (2007). BEK nr 973 af 19/07/2007 Gældende FVU-bekendtgørrelsen. Hämtad från https://www.retsinformation.dk/forms/r0710.aspx?id=25454 Wyndhamn, J. (1997). Från räkning till matematik. Om matematik och matematikämnet i de senaste läroplanerna. Linköping, Institutionen för tillämpad lärarkunskap. http://matematiklyftet.skolverket.se 11 (11)