Subtraktionsmetoder under de tidiga skolåren

UPPSALA UNIVERSITET Institutionen för pedagogik, didaktik och utbildningsstudier Examensarbete i utbildningsvetenskap inom allmänt utbildningsområde, 15 hp Rapport 2011vt4862 Subtraktionsmetoder under de tidiga skolåren Hur förklaras de och hur framgångsrika är de? Författare Robin Fransson Camilla Okcu Handledare Bo Johansson Examinerande lärare Jörgen Mattlar

Förord Vi riktar ett stort tack till våra VFU skolor och alla våra handledare som har hjälpt oss med insamling av material och vägledning under resans gång. Det hade inte varit möjligt att genomföra detta utan er. Ett stort tack till våra familjer också som har stöttat oss på alla möjliga sätt medan skrivandet fick ta huvudrollen i familjelivet. 2

Sammanfattning Syftet med denna studie är att undersöka subtraktionsmetoder i läromedel och lärarhandledningar för att se vilka som introduceras och används mest frekvent i en utvald läromedelsserie. Vidare syftar denna studie till att undersöka vilka metoder som finns med i Ämnesprov matematik årskurs 5 åren 2007 och 2008 samt hur framgångsrikt eleverna använder sig av dessa metoder. Metodval för undersökningen var kvantitativ textanalys samt kvalitativ innehållsanalys. Det framkommer i resultaten att mellanledsmetoderna utfyllnad och räkna varje talsort för sig är förstahandsvalet i läromedlet och lärarhandledningarna. Mellanledsmetoden utfyllnad och lånemetoden introduceras samtidigt i vissa exempel i läromedlet trots att lärarna, enligt lärarhandledningen, får bestämma om lånemetoden introduceras eller inte. Resultat från ämnesprovet visar att fler elever använder lånemetoden oftare än mellanledsmetoderna utfyllnad och räkna varje talsort för sig samt att de använder lånemetoden med mer framgång än när de använder mellanledsmetoderna. Ämnesprovet visar även att ett stort antal elever använder fingrarna som vald metod (en av ämnesprovets föreslagna metoder) vid problemlösning och att denna metod används med minst framgångsrikt av eleverna. Nyckelord subtraktion, lånemetoden, mellanledsmetoden, skolår 5 3

Innehållsförteckning Förord...2 Sammanfattning...3 Nyckelord...3 Inledning...6 Syfte...7 Frågeställningar...8 Uppsatsens fördelning...8 Styrdokument...8 Uppnående mål i årskurs 3...8 Uppnåendemål i årskurs 5...9 Teoretisk bakgrund...9 Subtraktionsstrategier... 10 Vertikala algoritmer... 12 Subtraktion och huvudräkning... 13 Horisontella algoritmer... 15 Metod (gemensamt för båda delstudierna)... 17 Datainsamlingsmetoder... 17 Kvalitativ textanalys... 17 Kvantitativ innehållsanalys... 18 Urval... 18 Forskningsetiska principer... 19 Metod och resultat för läromedel och lärarhandledning (Camilla Okcu)... 21 Metodval vid lärarhandlednings- och läromedelsanalys... 21 Urval... 21 Resultat från lärarhandledningar... 22 Matte Direkt Borgen Lärarhandledning 4A... 22 Matte Direkt Borgen Lärarhandledning 4B... 24 Matte Direkt Borgen Lärarhandledning 5A... 25 Kvalitativ lärarhandledningsanalys... 25 Resultat från läromedel... 26 Matte Direkt Borgen 4A... 26 Matte Direkt Borgen 4B... 28 4

Matte Direkt Borgen 5A... 30 Kvantitativ innehållsanalys av läromedel... 30 Sammanfattning av kvalitativ och kvantitativ analys... 31 Metod och resultat för Ämnesprov matematik årskurs 5 delprov E (Robin Fransson)... 32 Metodval vid analys av Ämnesprov matematik årskurs 5... 32 Urval... 32 Resultat Ämnesprov matematik årskurs 5 2007/2008 delprov E... 33 Kvalitativ analys av provet... 33 Kvantitativ analys av elevsvar... 34 Diskussion... 38 Tillförlitlighet... 38 Diskussion av syfte utifrån frågeställningarna... 38 Camilla Okcus frågeställningar... 38 Robin Franssons frågeställningar... 40 Resultatens konsekvenser för vår blivande lärarroll... 41 Förslag på vidare forskning... 42 Litteraturförteckning... 43 Övriga källor... 43 Bilagor... 44 Bilagor... 45 Bilaga 1... 45 5

Inledning Under vår utbildning får vi lärarstudenter möjlighet att få träffa många elever i olika årskurser och skolor. Som blivande 1-6 lärare anser vi att det är viktigt att förstå elevernas situation och handla därefter för att förstärka deras självtillit och förbättra deras möjligheter att lyckas. Vi är bekymrade över hur ofta elever uppfattar subtraktion som svår och jobbig. Trots att dagens 7- åringar har goda matematiska förkunskaper innan de börjar skolan (Johansson, 2007:68), visar det sig att elevernas matematiska färdigheter i Sverige är sämre än genomsnittet i olika internationella studier. De svenska elevernas resultat på Programme for International Student Assessments matematikprov (PISA) har exempelvis försämrats varje år som provet har getts sedan 2003 (Skolverket, 2010a:8). PISA undersöker kunskaperna i matematik hos Sveriges 15-åringar. Resultaten delas in i 6 nivåer utifrån poäng där nivå 3 är genomsnittet för alla länder som deltar i studien. Tabell 1. Jämförelse mellan OECD:s nivå 3 och Sveriges resultat åren 2003-2009 Nivå 3 2003 2006 2009 OECD 500 497 499 Sverige 509 502 494 Av tabellen ovan framgår det att Sverige har försämrat sina resultat med 15 poäng, men även att Sveriges 15-åringar år 2009 hamnade under nivå 3, vilket är under genomsnittet med 5 poäng. Under våren 2011 har en del kritik riktats mot PISA:s rangordning av framförallt Svend Kreiner, professor i statistik vid Köpenhamns universitet. Han menar att det är lätt att rangordna länderna olika beroende på vad man vill uppnå med sin statisktik (Sveriges Radio, 2011). Denna kritik har enligt vår uppfattning dock ingenting att göra med svenska elevers kontinuerliga försämring av resultaten på PISA:s matematikprov. Oavsett hur Sverige rankas med övriga länder kan det konstateras att svenska elever presterar sämre i matematik vid varje PISA provtagning (OECD, 2010). Dåliga resultat kan dock reflektera mer på provet än deltagarna och det kan hända att provets syfte är annorlunda än det svenska skolväsendets. En närmare titt på PISA:s syfte visar att provet ämnar testa Mathematical literacy, dvs. att hjälpa individer att känna igen den roll matematiken spelar i världen och att göra välgrundade bedömningar och fatta beslut vilka är nödvändiga för konstruktiva, engagerade och reflekterande medborgare (Skolverket, 2010a). Är det bara på PISA där svenska elever har visat en nedgång? Svaret är tyvärr Nej. 6

En annan internationell studie är TIMSS (Trends in International Mathematics & Science Studies). I 2007:s resultat för elever i årskurs 4 visade det sig att svenska elevers matematiska färdigheter, i synnerhet subtraktion, ligger under EU/OECD genomsnittet (Skolverket, 2008a). Är det kanske endast de internationella studierna som är svåra för våra svenska elever? Svaret är återigen Nej. Skolverket har i Ämnesprov matematik årskurs 5 för år 2007 och 2008 ägnat Delprov E: Räkning till subtraktion. Skolverket (2007; 2008a) konstaterar att Delprov E: Räkning är svårast för eleverna att uppnå kraven för godkänt. År 2007 var det 17 % av de totalt 5484 elever, som slumpmässigt valts för Skolverkets (2007) studie, som inte nådde kravnivån. År 2008 var det 16 % av de totalt 5893 elever, även dessa slumpmässigt valda för Skolverkets (2008a) studie, som inte nådde kravnivån. Resultat från de internationella studier som gavs i årskurs 4 samt resultat från de ämnesprov i matematik som gavs i årskurs 5 kan signalera svårigheter i matematik. Eftersom många av de elever vi har träffat under utbildningens gång har nämnt räknesättet subtraktion som en särskild svårighet fokuseras denna studie på vad vi som blivande lärare hittar för metodförklaringar i lärarhandledningar och Ämnesprov matematik årskurs 5,samt hur ofta de upptäcks i elevarbete med eller utan framgång. Eftersom Skolverket (2008b) har som strävansmål i matematik att, [ ] eleven utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer (Skolverket, 2008b), är det viktigt att eleverna kan använda olika metoder i olika situationer och av den anledningen är det intressant att undersöka vilka subtraktionsmetoder som finns i läromedel samt Ämnesprov matematik årskurs 5. Vi har avgränsat studien till att endast fokusera på subtraktionsmetoder; hur dessa förklaras och används. Däremot hade vi inte möjlighet att studera alla möjliga subtraktionsmetoder och har fokuserat på de som förklaras i lärarhandledningar och Ämnesprov matematik årskurs 5. Det vi vill undersöka är de beräkningsmetoder eleverna får lära sig för att lösa subtraktionsuppgifter i läromedelserien Matte Direkt Borgen (Andersson, Picetti & Sundin, 2003; Falck & Picetti, 2004; Andersson & Picetti, 2004) med tillhörande lärarhandledningar, samt vilka metoder som används med eller utan framgång av eleverna under Ämnesprov matematik årskurs 5 2007/2008. Syfte Syftet med denna studie är att undersöka subtraktionsmetoder i läromedel och lärarhandledningar för att se vilka som introduceras och används mest frekvent. Vidare syftar denna studie till att undersöka om vilka metoder som eleverna använder sig av i Ämnesprov matematik årskurs 5 och hur framgångsrikt eleverna använder dem. 7

Frågeställningar Vilka subtraktionsmetoder introduceras i lärarhandledningarna? Vilka subtraktionsmetoder används i läromedelsexemplen och hur ofta förekommer de i läromedlet? Vilka subtraktionsmetoder använder eleverna för att lösa uppgifterna i Ämnesprov matematik årskurs 5? Hur framgångsrika är subtraktionsmetoderna för eleverna i Ämnesprov matematik årskurs 5? Uppsatsens fördelning Camilla Okcu ansvarar för läromedels- samt lärarhandledningsavsnitten med undersökning och svar på frågeställningarna; Vilka subtraktionsmetoder introduceras i lärarhandledningarna? och Vilka subtraktionsmetoderna används i läromedelsexemplen och hur ofta förekommer de i läromedlet? (se ovan). Robin Fransson ansvarar för Ämnesprov matematik årskurs 5avsnitten och frågeställningarna Vilka subtraktionsmetoder använder eleverna för att lösa uppgifterna i Ämnesprov matematik årskurs 5? Hur framgångsrika är subtraktionsmetoderna för eleverna i Ämnesprov matematik årskurs 5? (se ovan). Tillsammans ansvarar vi för frågeställningen Vad finns det för samband och/eller skillnader mellan läromedel och elevsvar? (se ovan) samt resterande avsnitt i uppsatsen. Uppsatsens disposition ser ut på följande sätt, Gemensam inledning med syfte och frågeställningar Lärhandlednings- och läromedelsanalys, först metod och sedan resultat Analys av Ämnesprov matematik årskurs 5, först metod och sedan resultat Gemensam diskussion Styrdokument Även om vi undersöker matematik i årskurs 5 är det av betydelse för denna studie att inkludera relevanta mål som skulle ha nåtts redan i årskurs 3. Uppnående mål i årskurs 3 Elever har uppnående mål i årskurs 3 för att kunna vidareutveckla de kunskaper de tillägnat sig i årskurs 3 i årskurs 4 och uppåt. Elever ska ha förvärvat sådana grundläggande kunskaper i matematik som behövs för att kunna [ ] pröva och välja lösningsmetoder och räknesätt samt uppskatta och reflektera över lösningar och deras rimlighet (Skolverket, 2008b:8). Dessutom ska 8

elever i årskurs 3 kunna räkna med de fyra räknesätten både skriftligt och i huvudet om svaren blir heltal mellan 0-20, och använda skriftliga metoder för talområden mellan 0-200. Dessa mål anses uttrycka den lägsta godtagbara kunskapsnivån enligt kursplanen (Skolverket, 2008b). Uppnåendemål i årskurs 5 Den röda tråden för uppnåendemål i årskurs 5 är att eleverna ska ha grundläggande färdigheter i matematik för att kunna hantera och lösa elevnära problem. Till detta är det värt att tillägga att de mål som eleverna ska ha uppnått i årskurs 5, enligt kursplanen i matematik, är att de ska förstå och kunna använda subtraktion samt att de ska kunna räkna med naturliga tal i huvudet och med hjälp av skriftliga räknemetoder (Skolverket, 2008b.) Teoretisk bakgrund Det finns många aktiva forskare idag, både inom landet och internationellt, som har bidragit med kunskaper om hur man bäst undervisar räknesättet subtraktion i de olika årskurserna. Valet för denna studie är baserad på svenska forskningsbidrag. Vi har valt Madeleine Löwing, lärarutbildningslärare i matematik och författare av studentlitteratur i matematik och didaktik samt det nya diagnosmaterialet Diamant ; Wiggo Kilborn, före detta lektor i matematikdidaktik som har arbetat med lärarutbildning och är författare av studentlitteratur i matematik och didaktik, samt Birgitta Rockström; pensionerad matematiklärare och upphovsman till mellanledsmetoden, ibland även kallad skriftlig huvudräkning. Madeleine Löwing (2008) talar om vad det innebär att behärska subtraktion och menar att eleverna lär sig de grundläggande strategierna för subtraktion under sina första skolår och med de naturliga talen inom talområdet 0-100. Eleverna bör, för att kunna generalisera sin kunskap om subtraktion, kunna följande; använda sig av subtraktion som en matematisk modell. Det betyder att eleven skall kunna avgöra när ett problem, eller del av ett problem, från en känd kontext kan tolkas som en subtraktion. identifiera olika strategier för att subtrahera, såsom lägga till, ta bort och jämföra, samt att förstå samspelet mellan subtraktion och addition. hantera de grundläggande subtraktionsoperationerna med automatik, så att de kan utföra dessa med flyt vid huvudräkning och algoritmräkning. med säkerhet utföra huvudräkning med hjälp av de grundläggande räknelagarna och subtraktionsstrategierna samt behärska en algoritm för att subtrahera åtminstone två godtyckliga tresiffriga tal som skriftlig metod. (Löwing, 2008:69) Men detta räcker inte, menar Löwing (2008), utan eleverna måste även förstå och kunna använda både de matematiska begreppen och metoderna. Vid subtraktion i huvudet krävs följande förkunskaper; talraden framåt och bakåt, tiotalsövergångar samt åtminstone lilla subtraktionstabellen, men gärna stora subtraktionstabellen också (Löwing & Kilborn, 2003; 9

Löwing, 2008). En viktig förkunskap är även att förstå subtraktion som inversen, dvs. det motsatta, till addition, särskilt för de elever som uppfattar subtraktion som enbart att ta bort eller minska. Eleverna kan kontrollera om deras svar är korrekta genom att använda sig av denna kunskap. Om eleven löser problemet 9-3=6 kan denne kontrollera om svaret 6 är korrekt genom addition, 6+3=9. Uppfattningen att subtraktion enbart är att ta bort eller minska leder ofta till räknefel då eleverna löser problemet genom att räkna bakåt i talraden utan att veta hur de ska räkna i talraden. När eleverna räknar ovanstående problem, 9-3, räknar de tre steg, 9,8,7, och får fram svaret 7. Genom att inte kontrollera svaret genom att utföra additionen 7+3=10 får eleven inte möjlighet att upptäcka och korrigera sitt misstag (Kilborn, 2007; Löwing, 2008). De menar även att det finns olika sätt att se på och lösa subtraktionsuppgifter beroende på om de lösas skriftligt eller enbart med huvudet. De förkunskaper som nämns ovan är vad eleverna förväntas kunna när de kommer upp i årskurs 4 (Skolverket, 2008b) så att de utifrån dessa förkunskaper har en möjlighet att generalisera sin kunskap om subtraktion (Löwing, 2008). De subtraktionsstrategier eleverna måste ha kunskap om beskrivs mer utförligt nedan. Subtraktionsstrategier Löwings (2008) och Kilborns (2007) beskrivning av subtraktionsstrategier vid skriftliga beräkningar förklaras nedan. 1. Komplettera (lägga till) Denna strategi bygger på uppfattningen att subtraktion är inversen till addition. Strategin för att lösa subtraktionen 8 5 blir därför att utgå från delen 5 och räkna uppåt från delen till 8. I början sker detta stegvis genom att räkna 6, 7, 8. Senare kan dock denna strategi utföras i större steg som när men exempelvis beräknar 35 16 genom att först räkna ut upp till 20 (16 + 4), därefter räkna från 20 till 30 (20 + 10) och sist räkna från 30 upp till 35 (30 + 5). Genom att räkna ihop delsummorna 4 + 10 + 5 kommer man därigenom fram till svaret 19. Genom att lägga två linjaler kant i kant kan subtraktionen 8 5 illustreras genom att den undre linjalen enbart räcker upp till 5 för att komma upp till 8 på den övre linjalen måste man komplettera (lägga till) tre steg (Löwing, 2008). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. Ta bort Nedräkning till återstoden 10

Subtraktionen 8 5 kan med utgångspunkt i uppfattningen ta bort, utföras genom att man räknar bakåt från 8 i fem steg till återstoden 3. Denna strategi kan sedan utvecklas vidare så att den som behärskar uppdelningen av tal i termer kan utföra en subtraktion som 13 8 i två steg genom att först ta tre steg ner från 13 och därefter räkna två steg ner till 8. Subtraktion 8 5 kan åter igen illustreras genom att lägga två linjaler under varandra. För att visa på att det är strategin ta bort som används läggs femman på den undre linjalen under åttan på den övre linjalen vilket då visar att det blir tre kvar när 5 tas bort från 8 (Löwing, 2008). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 Nedräkning till delen Den som behärskar tals uppdelning i termer har även en annan möjlighet att tänka kring ta bort och subtraktionen 8 5. 8 5 = 3 svarar mot additionen 3 + 5 = 8 vilket innebär att om man subtraherar 8 5 så får man 3 och subtraherar man 8 3 så får man 5. Alltså kan man istället för att räkna 5 steg bakåt för att få återstoden 3, så kan man räkna tre steg bakåt tills delen 5 nås. Med andra ord tar man bort den minsta delen. Strategin förklaras med följande illustration; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 Genom att lägga den undre linjalen till höger om delen 5 på den övre linjalen syns att återstoden blir 3 (Löwing, 2008). Dessa två strategier är användbara i olika situationer. Om man ska räkna ut 202 3 så är nedräkning till återstoden den mest användbara strategin då man räknar bakåt tre steg till återstoden. Däremot är nedräkning till delen att välja vid subtraktioner som t ex 144 142 då man istället för att räkna bakåt 142 väljer att räkna bakåt två steg från 144 till 142 (Löwing, 2008). 3. Jämföra Denna strategi används i första hand vid direkt jämförelse och kan illustreras med samma illustration som vid komplettera (lägga till). Strategin går ut på att man matchar eller parar ihop föremålen i de två mängderna så att man därefter kan bestämma hur många föremål (i det här fallet (6,7 och 8) som inte ingår i ett par. Strategin för jämförelse kan i ett senare skede se ut på två sätt. Vid subtraktionen 66-26 räcker det att jämföra tiotalen (60 20) för att komma fram till svaret 40 då entalen är lika. Vid en subtraktion som 53 48 kan man istället jämföra de båda talen med talet 50. 53 är 3 mer än 50 och 48 är 2 mindre. Därmed blir differensen 3 + 2 = 5. 11

Karaktäristiskt för Löwing (2008) och Kilborns (2007) syn på subtraktionsstrategierna komplettera (lägga till), ta bort (nedräkning till delen samt nedräkning till återstoden) och jämföra, är att de måste befästas hos eleverna som tre olika sätt att tänka på subtraktion innan de kan förstå och använda lämpliga metoder för att lösa problem korrekt. I denna uppsats har vi fokuserat på de subtraktionsmetoder som beskrivs i lärarhandledningar och vilka som tas upp i läromedlet samt de metoder som eleverna använder i Ämnesprov matematik årskurs 5 i årskurs 5. Vertikala algoritmer 1. Algoritm En algoritm är en lösningsmetod som alltid följer samma mönster, vilket gör att man under räkningens gång kan avlasta minnet genom att successivt skriva ner delresultaten utan att behöva tänka på hur nästkommande operation ska utföras. Detta kräver dock, enligt Löwing (2008), grundläggande kunskaper för att förstå varför man gör en uträkning på ett visst sätt. Algoritmräkning handlar inte om mekanisk utan om förståelse för vilka metoder som är bäst lämpade för ändamålet samt att kunna tillämpa dessa. Ju mer komplicerad beräkningen är desto mer måste minnet avlastas för att kunna utföra operationen och desto viktigare blir förståelsen för det man gör. Både huvudräkning och skriftliga räkningar behöver därför algoritmer för att lösa de flersiffriga eller/och talrika uppgifterna (Löwing, 2008). De vanligaste sätt att lösa algoritmer är lånemetoden, utfyllnadsmetoden samt likatilläggsmetoden (Löwing, 2008; Kilborn, 2007) och förklaras enligt följande; 2. Lånemetoden Lånemetoden är den vanligaste subtraktionsmetoden i Sverige. Den går ut på att räkna talsortsvist med talsortsväxlingar. Metoden bygger på idén att man växlar ett tiotal till tio ental (Löwing, 2008:136). Exempel: 123-45 I exemplet kan uträkningen 3-5 inte utföras utan ett tiotal måste lånas och växlas till tio ental. Därefter kan uträkningen 13 5 utföras, vilket blir 8. Eftersom vi nu har lånat ett tiotal har vi uträkningen 1 4. För att kunna utföra detta måste vi låna ett hundratal och växla det till tio tiotal. Nu är uträkningen 11 4 vilket blir 7. Då vi har lånat ett hundratal finns nu inga fler hundratal i uträkningen. Svaret på 123 45 blir 78. 3. Utfyllnadsmetoden Utfyllnadsmetoden bygger på att man istället för att växla ett tiotal till ental gör en kvittning, alltså tar tiokamraten till det tal som skall subtraheras (Löwing, 2008:137). I exemplet, som är 12

skrivet i vertikal uppställning, 324 147 (Löwing, 2008:137) stryker man 2:an och istället för att som i lånemetoden skriva om entalen till 14 räknar man 10 7 = 3 och sedan adderar man 3 med 4 för att få svaret 7. 4. Likatilläggsmetoden Likatilläggsmetoden utgår ifrån att förenkla uppgiften genom att runda av ett av talen och lägga till avrundningsantal på den andra termen. Differensen är det samma som original uppgiften, men lättare att beräkna (Löwing, 2008). I exemplet 91 59 läggs 1 till båda termerna så att uppgiften blir 92 60. Svaret 32 är detsamma för båda uppgifterna, men 92 60 är lättare att räkna ut då inget lån sker i uträkningen. Löwing (2002) skriver i sin avhandling att de lärare som inte lyckas att förklara subtraktionsalgoritmen blir glada när de får veta att deras problem kan lösas med hjälp av informella algoritmer eller miniräknare. Konsekvenserna för elevernas inlärning reflekterar de inte alltid över då deras problem har försvunnit för stunden. Löwing (2002) menar att det kan dröja några år innan dessa otillräckliga metodiska lösningar av ett problem leder till en intellektuell konflikt för eleverna (Löwing, 2002:61). Kilborn (2007) menar att om eleverna inte har förståelse för hur den vertikala algoritmen fungerar så kan man ifrågasätta undervisningen istället för algoritmen i sig. Subtraktion och huvudräkning Vid huvudräkning används förutom komplettera (lägga till), ta bort och jämföra även överslagräkning och runda tal samt att göra lika tillägg (Löwing 2008). Dessutom menar hon att en kombination av ett par av dessa strategier ofta används för att kunna lösa subtraktionsproblem i huvudet. Valet av strategi är oftast kopplat till uppgiftens utseende och det är därför angeläget att eleverna lär sig att behärska flera olika strategier. Strategierna som nämnts ovan beskrivs nu med exemplet 83 58 (Löwing, 2008:116). För att lösa uppgiften kan man först börja med att runda av talen till 80 60. Detta ger ett närmevärde på 20. 83 är 3 mer än 80 och 58 är 2 mindre än 60 vilket kommer att göra leda till att felen i avrundningen går åt olika håll. För att undvika detta menar Löwing (2008) att det är smartare om bara det ena talet avrundas. Om man då skulle avrunda 58 till 60 gör det att närmevärdet blir bättre, nämligen 83 60 = 23. Den korrekta differensen blir då 25 eftersom man dragit bort 2 för mycket. Denna operation blir i sin tur lättare att konkretisera. Om man ska köpa något för 58 kr och har 83 kr ger man 60 kr till kassörskan och får 2 kr tillbaka. Dessa 2 kr, tillsammans med de 23 kr vi har kvar, blir 25 kr (Löwing, 2008). Att komplettera (lägga till) kan enligt Löwing (2008) ske med tre strategier. Den första strategin innebär att man adderar 2 till 58 för att få det runda talet 60 och att man därefter lägger till 23 upp till 83, vilket är 2 + 23 = 25. Den andra strategin går ut på att man lägger till tiotalen först, 13

med andra ord 10 upp till 68 och sedan 10 till upp till 78. Därefter lägger man till 5 för att nå 83. Den tredje strategin innebär att man först kompletterar med ental tills man kommer upp i ett tal där entalet är detsamma som i 83. Alltså börjar man addera 5 upp från 58 till 62 och sedan två tiotal till 83. Detta kan konkretiseras för eleverna genom att man adderar 5 enkronor till 58 för att komma upp till 63 och sedan adderas 2 tiokronor för att komma upp till 83 (Löwing, 2008). Att använda strategin ta bort skulle inte fungera så bra i det här fallet menar Löwing (2008) då denna strategi går ut på att räkna bakåt från 83 till 58. Här skulle strategin jämföra fungera bättre då man med denna strategi kan jämföra båda talen med exempelvis 60. 83 är 23 mer än 60 och 58 är 2 mindre än 60 vilket gör att 23 + 2 = 25 (Löwing, 2008). Strategin lika tillägg kan förklaras med exemplet Om gammelmormor är 83 år och mormor 58 år, kan det vara svårt att beräkna åldersskillnaden direkt. Men åldersskillnaden är densamma om två år och då är de 85 år respektive 60 år gamla och 85 60 = 25 är en betydligt enklare subtraktion. (Löwing, 2008:117) En strategi som fungerar bra vid ett tillfälle kan [ ] fungera mindre bra vid ett annat tillfälle (Löwing, 2008:117). Detta kan exemplifieras med subtraktionerna 201 198 (Löwing, 2008:117) samt 201 3 (Löwing, 2008:117). Den först nämnda subtraktionen kan lösas med strategin lägga till, genom att räkna uppåt i 3 steg från 198 upp till 201. Däremot är strategin ta bort genom att räkna bakåt 198 steg från 201 för att få differensen 3 mindre lyckad. Att räkna bakåt 3 steg från 201 till 198 fungerar dock bra. Strategin jämföra är ett annat lyckat alternativ då 201 är 1 ifrån 200 och 198 är 2 ifrån 200. De två delsvaren adderas för att få fram differensen 3 (Löwing, 2008). Den andra subtraktionen löses lätt med strategin ta bort genom att räkna bakåt i tre steg från 201. Att räkna uppåt, strategin lägga till, blir dock svår eftersom man då räknar från 3 upp till 201. Att jämföra med ett lämpligt tal är inte heller lyckat menar Löwing (2008). Den kommutativa lagen för addition, a + b = b + a, samt den associativa lagen för addition, (a + b) + c = a + (b +c) gäller inte vid subtraktion. Den kommutativa lagen kan dock användas genom att man beräknar, t ex 57 19 27 som 57 27 19 = 30 19 = 11 (Löwing, 2008:118). Exemplet 19 + 57 27 (Löwing, 2008:118) kan räknas ut som om den associativa lagen gäller för subtraktion genom att beräkna det på följande sätt; 19 + (57 27) = 19 + 30 = 49 (Löwing, 2008:118). Detta kan förklaras genom att dessa två beräkningar kan skrivas som 57 + (-19) + (-27) (Löwing, 2008:118) samt 19 + 57 + (-27) (Löwing, 2008:118). Detta kallas för en algebraisk summa och eftersom det nu enbart handlar om addition så gäller den kommutativa och associativa lagen. Kilborn (2007) och Löwing (2008) menar dock att det är lämpligare att koppla dessa beräkningar till vardagshändelser när det gäller yngre barn för att de ska förstå bättre. Exempelvis kan barnen tänka att de har 57 kr och sedan handlar något för först 19 kr och 14

sedan 27 kr i första exemplet ovan samt att de har 19 kr och sedan få 57 kr varpå de handlar för 27 kr i andra exemplet ovan (Löwing, 2008). I vår studie kommer vi inte att titta närmare på just huvudräkning vid subtraktion utan den skriftliga huvudräkningen som Rockström (2000) använder som ett alternativ till subtraktionsalgoritmerna; lånemetoden, utfyllnadsmetoden och likatilläggsmetoden (Löwing, 2008; Kilborn, 2007). Nedan följer en beskrivning av de olika metoderna i den skriftliga huvudräkningen, från och med nu kallad mellanledsmetoden i vår studie. Horisontella algoritmer Birgitta Rockström (2000) skriver i sin bok, Skriftlig huvudräkning, att hon ville hitta en metod där eleverna skriver ner sina huvudräkningstankar i ett mellanled som förenklar uträkningen (Rockström, 2000:9). Anledningen till denna förändring i uträknandet var för att Rockström (2000) upptäckte att elevernas tankar kring huvudräkning inskränkte sig till tabellträning och att de traditionella algoritmerna (uppställning på olika sätt), vilken kan vara ett bra hjälpmedel ibland, visade sig bli mekaniskt räknande för många elever. Eleverna förutsätts kunna tabellerna, förstå reglerna för siffrornas placering samt hur man ska göra med minnesiffror, decimaltecknet och växlingar. Om dessa kunskaper är ytliga kunskaper som eleverna lärt sig att rabbla utan förståelse kommer de att glömmas om de inte kontinuerligt tränas. Vidare hämmas, enligt Rockström (2000), elevernas förmåga att tänka och förstå storleken av tiotal, hundratal, tiondelar osv. vid användning av algoritmer (den vertikala uppställningen) som enda uträkningsmetod. Eleverna kan uppleva att matematiken är enformig och mekanisk och därmed ointressant och tråkig om algoritmer i traditionell mening är den enda metoden de använder. Mellanledet är det viktigaste, men också det svåraste, momentet i skriftlig huvudräkning. Mellanledet möjliggör för läraren att se hur eleven tänker och eftersom ett felaktigt tänkande blir synligt på ett tydligare sätt än vid uppställning, kan läraren hjälpa eleven utifrån den kunskap denne har. Likhetstecknets betydelse framkommer på ett naturligt sätt då det måste väga lika i mellanledsuträkningen för att stämma (Rockström, 2000). Grundprincipen vid subtraktion är att räkna varje talsort för sig, först tiotalen och sedan entalen. I exemplet 87 32 = 50 + 5 = 55 (Rockström, 2000:26) räknar man först ut tiotalen och lägger sedan till entalen. Men vid exemplet 93 48 = 50 5 = 45 (Rockström, 2000:26) måste eleven tänka till vid uträkningen av entalen. Eftersom entalen är 3 8 måste eleven först dela upp 8 i 3 och 5 för att kunna förstå att om jag först tar bort 3 så måste jag sedan ta bort 5 till från tiotalen vilket resulterar i 5 i mellanledet. Öka båda termerna med samma tal gör att skillnaden fortfarande är densamma men uträkningen blir lättare. Detta förklaras med exemplet 93 48 = 95 50 = 45 (Rockström, 2000:27) där båda talen har ökats med 2. Vissa elever tycker det är enklare att tänka med utfyllnad där de tänker sig en tallinje och fyller ut som i exemplet 93 48 = 2 + 43 = 15

45 (Rockström, 2000:27) där 2 lagts till 48 för att komma upp till 50 och från 50 till 93 är det 43 varpå de båda delsummorna lagts ihop. Det viktigaste bör vara att lära eleverna hur man på olika sätt kan lösa uppgifter med huvudräkning. Dels därför att det är mest praktiskt och dels därför att det innebär ett aktivt och flexibelt tankearbete, som stärker och utvecklar elevens taluppfattning. (Rockström, 2000:46) Algoritmer är enligt Rockström (2000) ett av flera hjälpmedel och ska användas när en uppgift innebär en tidskrävande och komplicerad procedur som rent praktiskt skulle vara enklare genom att ställa upp talen under varandra (vertikal uppställning). Om algoritmräkning används som enda uträkningsmetod kan det bli ett hinder för elevens utveckling mot ökad talförståelse och ett självständigt logiskt och kreativt tänkande (Rockström, 2000:27). Hennes förklaring av algoritm är enligt vår mening en snäv definition som är synonymt med en specifik algoritm, det vill säga vertikal uppställning. För vår uppsats syfte har vi valt att följa Löwings (2008) definition av en algoritm. Vi anser att en algoritm alltid följer samma mönster för att avlasta minnet under räkningens gång och därigenom ge eleven möjlighet att koncentrera sig på hur nästa led i uträkningen ska utföras. Det är inte enbart skriftliga beräkningar, utan även huvudräkning, som behöver algoritmer vid lösning av flersiffriga och/eller talrika uppgifter. Detta innebär att även mellanledsmetoden är en form av algoritm vilket gör att vi väljer bort Rockströms (2000) definition av en algoritm som enbart en vertikal uppställning. Vi har valt denna teoretiska bakgrund eftersom dessa experter är högaktuella i dagens skola. Det är viktigt att förhålla sig till det dynamiska yrkessituation man har och följa med utvecklingen. För vår studie har vi valt att undersöka om vi kan finna de vertikala algoritmerna; lånemetoden, utfyllnadsmetoden och likatilläggsmetoden (Löwing, 2008; Kilborn, 2007), samt de horisontella algoritmerna; räkna varje talsort för sig, öka båda termerna med samma tal och utfyllnad (Rockström, 2000), i lärarhandledningar, läromedel samt Ämnesprov matematik årskurs 5. Med denna teoretiska bakgrund som bas för studien anser vi ha goda möjligheter att använda resultat från denna uppsats som användbart verktyg i vårt blivande yrkesval. 16

Metod (gemensamt för båda delstudierna) Datainsamlingsmetoder I forskningssammanhang finns det många användbara metoder för att underlätta framtagning, bearbetning och redovisning av forskararbetet. Vi har valt att kombinera flera av dessa för att bäst tillgodose våra specifika behov. De två delstudierna har i vissa fall använt samma metod men i vissa fall valt en metod som bäst passar just denna delstudie. De gemensamma metoderna, urval och forskningsetiska principerna finns nedan medan varje delstudie också har en metoddel som förklara specifika insamlingsmetoder för just denna delstudie. Esaiasson; Gilljam; Oscarsson & Wängnerud (2010:219) menar att det finns tre typer av tillvägagångssätt att samla in samhällsvetenskaplig material: fråga människor, observera människor och observera fysiska spår och resultat av mänskliga aktiviteter. Då vi inte hade möjlighet att intervjua eller observera de elever som tog Ämnesprov matematik årskurs 5 2007/2008 konkluderade vi att den sistnämnda insamlingsmetoden av material passade vår studie bäst. Vid insamlingen av data har vi varit i kontakt med respektive skolledare och de berörda lärarna på de utvalda skolorna. Vi har införskaffat lärarhandledningarna, läromedlet och provresultat med hjälp av skolpersonalen. Vi tog bort alla identifierbara markeringar på proven och numrerade dem med unika namn. För att bearbeta de kvantitativa data samlades källmaterialet i Excel. De kvalitativa data antecknades och analyserades i Word. Kvalitativ textanalys Esaiasson et al. (2010) menar att kvalitativ textanalys handlar om att ta fram det väsentliga genom noggrann läsning av textens helhet, delar och kontext. Det handlar om att läsa texten aktivt och se om texten kan besvara de frågor som man vill ha besvarade. Det finns två huvudtyper av textanalytiska frågeställningar: de som handlar om att kritiskt granska innehållet i texterna samt de som handlar om att systematisera innehållet i texterna. En textanalys börjar med en övergripande problemställning och lösningen på denna ska sökas i den kvalitativa textanalysen. För att kunna göra detta måste den allmänna problemställningen konkretiseras till preciserade frågor som sedan ställs till texten. Svaret på dessa frågor är lösningen på forskarproblemet. Analysredskapet som används vid textanalysen är frågorna och deras validitet måste ifrågasättas för att kunna konstatera om analysredskapet är bra genom att kontrollera om de specifika frågor som ställs är rimliga empiriska indikatorer på det fenomen man vill undersöka (Esaiasson et al., 2010:244). Båda delstudierna har använt sig av en kvalitativ innehållsanalys. Efter att vi analyserat läromedel, lärarhandledning samt Ämnesprov matematik årskurs 5 jämför vi dessa med varandra för att se 17

om vi kan hitta samband mellan det som ska undervisas och det som utövas. Eftersom elevernas provresultat har försämrats under de senaste åren (Skolverket, 2010a) kan en förklaring till varför detta händer finnas i en sådan jämförelse. Kvantitativ innehållsanalys Esaiasson et al. (2010) beskriver innehållsanalys som en undersökning av innehållet i någon form av skriftlig [ ] framställning (Esaiasson et al., 2010:223) och menar med kvantitativ att undersökningen baseras på likvärdiga och därmed jämförbara uppgifter om så pass många analysenheter att dessa uppgifter kan uttryckas och analyseras i siffror (Esaiasson et al., 2010:223). En kvantitativ innehållsanalys kan med fördel användas som ett verktyg när man vill ha svar på förekomsten av olika innehållsliga kategorier i ett material (Esaiasson et al., 2010:223). Det kan handla om hur ofta kategorierna förekommer i materialet, men även hur stort utrymme dessa kategorier får. Vid användandet av kvantitativ innehållsanalys förekommer en stor del mekaniskt räknande. Det handlar dock inte om att enbart räkna det antal gånger en viss enhet förekommer utan innan detta kan ske måste de innehållsliga enheterna tolkas så att de sedan kan kategoriseras och räknas. För att kunna utföra en kvantitativ innehållsanalys i praktiken ska det ske en datainsamling där man i en datamatris fyller i information om vad som ska vara undersökningens analysenheter, dvs. de undersökningsobjekt som ämnas undersökas. Vidare ska undersökningens variabler definieras, dvs. vilka egenskaper hos analysenheterna som är relevanta, samt de värden som variablerna kan tänkas anta (Esaiasson et al., 2010). Urval Enligt Dahmström (2005:279) finns det tre grundläggande orsaker till gruppurval: 1) ramproblem, 2) geografisk spridning och 3) kostnader. Eftersom vår studie utgår ifrån subtraktionsmetoder i ett visst läromedel och provresultat i Ämnesprov matematik årskurs 5 har våra val styrts av möjligheten att få tag på material under vår utbildning. Därför var vårt första urval att välja ett forskningsområde som hade näranknytning till vårens verksamhetsförlagda utbildning. Tiden för att samla data och bearbeta den är en faktor. Lärarhandledningarna anser vi är en betydande del av helheten i undervisningen och bör ej negligeras vid en läromedelsanalys. Istället för en innehållsanalys av olika läromedel utan att kunna hinna med lärarhandledningarna, valde vi därför att analysera samma läromedel, men från olika årskurser samt lärarhandledningarna till dessa. Samma läromedel användes på båda skolor under perioden årskurs 4 och ht årskurs 5 innan Ämnesprov matematik årskurs 5 2007/2008. De läromedel som ska undersökas är Matte Direkt Borgen 4A (Andersson, Picetti & Sundin, 2003), Matte Direkt Borgen 4B (Falck & Picetti, 2004) samt Matte Direkt Borgen 5A (Andersson & Picetti, 2004). Valet att inte undersöka matteboken för vårterminen årskurs 5 gjordes då eleverna inte hinner arbeta klart med denna lärobok innan de tar ämnesprovet i matematik. Utöver dessa läromedel kommer även den tre 18

tillhörande lärarhandledningarna att analyseras för att kunna göra en grundligare översikt av författarnas tankegång. Eftersom denna uppsats är fokuserad på elevers subtraktionsfärdigheter efter 4,5 års utbildning anses läromedel från årskurs 4 och ht 5 vara rimliga källor för analys. Att läromedel innan årskurs 4 valdes bort baserades på tesen att eleverna bör ha nått målen för årskurs 3. Om så inte var fallet, hade elever 1,5 års extra tid att nå målen för årskurs 3 i matematik. I vilkendera skulle analysen av de yngre barnens läromedel falla utanför vårt syfte. Ämnesprov matematik årskurs 5 består av fem delprov (A-E). Prov från 2009/2010 (Skolverket, 2011) och 2005/2006 (Skolverket, 2006) upplagor saknade subtraktionsuppgifter som delprov men inte 2007/2008s (Se bilaga 1) upplagor. Proven används två år i rad och av den anledningen har vi undersökt proven 2005/2006, 2007/2008 samt 2009/2010. Efter en granskning av 2005-2010:s olika provdelar, bestämdes det att 2007/2008 (Se bilaga 1) bäst passade studiens syfte. Samma prov användes båda år och delprov E gav bra möjligheter att undersöka elevernas metodval och svar. Urvalet av elevunderlag kom från behov av minst 100 elever där detta antal ansågs rimligt att studera enligt vår handledare. Geografin och möjlighet till källmaterial var också delvis begränsad. Datainsamling skedde endast i Uppland, men hämtades från två olika skolor i två olika kommuner från två olika län. Detta anser vi är en rimlig spridning för vår undersökning. Valet att använda läromedel och provresultat från skolor i vårt närområde gav oss möjlighet att forska på en budget som var rimlig för studien. Forskningsetiska principer Vetenskapsrådet (2002) menar att det både är nödvändigt och viktigt att det bedrivs forskning. Utan forskning skulle varken samhället eller dess medlemmar utvecklas. Av denna anledning finns forskningskrav, dvs. att forskning bedrivs, inriktat på väsentliga frågor samt högt kvalitet, och innebär att de kunskaper som finns utvecklas och fördjupas samt att metoder förbättras. Utgångspunkten för forskningsetiska överväganden ska dock börja med individskyddskravet, vilket innebär att ingen individ får utsättas för kränkning eller förödmjukelse, fysisk eller psykisk skada. Dessa två krav är dock inte absoluta och måste vägas mot varandra för att se om det värdet av kunskapstillskottet överväger de negativa konsekvenser mot deltagare eller tredje person som riskerar orsakas av den vetenskapliga undersökning som ämnas göras. Vidare menar Vetenskapsrådet (2002) att individskyddskravet ställer fyra etiska krav på forskningen; informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet. En närmare förklaring av vad dessa fyra krav innebär följer nedan; Informationskravet innebär att forskaren ska informera de som deltar i den vetenskapliga undersökningen vad syftet med undersökningen är samt villkoren för deras deltagande. Vidare ska deltagarna upplysas om att deltagande är frivilligt och de när som helst har rätt att avbryta sin medverkan. Den information som ges ska vara utförlig och omfatta alla inslag som kan tänkas påverka villigheten att delta i undersökningen. 19

Samtyckeskravet innebär att forskaren måste få samtycke från den som deltar eller lämnar uppgifter för undersökningen. Om den som undersöks är under 15 år, eller om det är en etiskt känslig undersökning, ska även förälders/vårdnadshavares samtycke inhämtas. Vidare har de som deltar rätt att själva bestämma om, hur länge och på vilka villkor de vill delta. De ska, utan negativa följder, kunna avsluta sitt deltagande i undersökningen. Deltagarna får inte utsättas för påtryckning eller påverkas i sitt val att delta eller avsluta sitt deltagande. Det ska heller inte finnas ett beroendeförhållande mellan undersökningsdeltagare eller uppgiftslämnare och forskare. Konfidentialitetskravet innebär att alla uppgifter om de personer som ingår i undersökningen är konfidentiella och ska förvaras så att obehöriga inte kan ta del av dem. Alla forskare som bedriver vetenskapliga undersökningar har tystnadsplikt. Personuppgifter får inte lämnas ut till utomstående och enskilda personer ska i avrapportering inte kunna identifieras av utomstående. Lagring av uppgifterna ska omöjliggöra för utomstående att komma åt dessa. Nyttjandekravet handlar om att det insamlade materialet om enskilda personer inte får användas i annat syfte än för forskningsändamål. Personuppgifter som samlats in i forskningsändamål får inte användas för åtgärder eller beslut som påverkar den berörda (t ex tvångsintagning) utan särskilt medgivande från denna. I vår studie undersöker vi opersonliga texter och anonyma provresultat. Vi anser därför att vi håller oss inom ramen för god forskningssed. Vi arbetar för att hålla hög kvalitet samt att med denna undersökning ämnar utveckla och fördjupa kunskaper om hur vi kan förbättra subtraktionsinlärning. 20