EULERS LIV OCH MATEMATIK NMAB09 MATEMATIKENS HISTORIA Februari 2006 Magnus Gustavsson Jörgen Olsson 751213 780823 magnus@gustavsson.se jorol608@student.liu.se
1 Uppväxten Leonhard Euler, son till Paul Euler och Marguerite Brucker, föddes 15 april 1707 i Basel, Schweiz. Han växte upp i Riechen utanför Basel och fick lära sig de matematiska grunderna från sin far, som var en lutheransk präst men tidigare hade studerat matematik för Jakob Bernoulli. När Euler vid 13 års ålder togs in vid universitetet i Basel studerade han teologi och antika språk, vilket 1724 ledde fram till en magisterexamen. Samtidigt utvecklade han dock även sin matematiska färdighet genom att få privatlektioner i matematik från Jakobs yngre bror, Johann Bernoulli. Fadern insisterade på att den unge Euler efter examen skulle ägna sin tid åt teologin, men föll till föga då han blev övertygad om vilken ovanlig matematisk begåvning som fanns i sonen. Vid den här tiden bedrevs den mest framstående forskningen inte vid universiteten, vilka främst ägnade sig åt undervisning, utan vid kungliga akademier runt om i Europa. Euler sökte en professur i matematik vid universitetet i Basel, men när han inte fick den fortsatte han sina studier i hopp om att kunna ansluta sig till två av Johanns söner, Nicolaus och Daniel Bernoulli, vid vetenskapsakademien i St. Petersburg. Bland annat studerade Euler medicin och fysiologi, eftersom den öppning som eventuellt kunde finnas i Ryssland fanns vid akademiens medicinska avdelning. Nicolaus dog dessvärre 1726, men Daniel hade 1725 fått en professorstjänst hos vetenskapsakademins matematiska avdelning, och han kunde tack vare sitt inflytande erbjuda Euler tjänsten. 1727, när Euler var 20 år gammal, lämnade han Basel och flyttade till St. Petersburg. 2 St. Petersburg Samma dag som Euler anlände till St. Petersburg dog Katarina I. Tack vare det allmänna kaos som rådde i landet efter hennes död lyckades Euler redan efter några år flytta över till den matematiska avdelningen. Under de sex år som följde arbetade han utan avbrott, inte minst eftersom det vid denna tid inte var ofarligt att vistas i sociala kretsar i staden. 1733 beslutade sig så Daniel Bernoulli för att lämna Ryssland och återvända till Schweiz. Euler tog då över dennes professorstjänst och ansvaret för akademiens matematiska avdelning. Året därpå gifte han sig även med sin första fru, Katharina Gsell, och med henne fick han med tiden tretton barn. 1735 slutförde Euler sin avhandling i mekanik och löste det så kallade Baselproblemet, formulerat 1644 av Pietro Mengoli. Resultatet, återgivet som följer, är känt och medförde en viss berömdhet för Eulers del: ζ(2) = n=1 1 n 2 = 1 1 2 + 1 2 2 + 1 3 2 + = π2 6 3
För att bevisa detta samband utgick Euler från Taylorutvecklingen av sinus: sin z = z z3 3! + z5 5! z7 7! + För ekvationen sin z = 0 blir en rot z = 0, och för övriga gäller enligt ovan: 1 z2 3! + z4 5! z6 7! + = 0 (1) Med variabelbytet w = z 2 får vi följande ekvation: 1 w 3! + w2 5! w3 7! + = 0 (2) De nollskilda lösningarna till sin z = 0 är z = ±π, ±2π, ±3π,... vilket ger w 1 = π 2, w 2 = (2π) 2, w 3 = (3π) 2,... som lösningar till ekvationen ovan. Detta kombinerade Euler nu med sambandet att om x 1, x 1,..., x n är rötter till ekvationen x n + a 1 x n 1 + a 2 x n 2 + + a n 1 x + a n = 0 gäller: 1 x 1 + 1 x 2 + + 1 x n = a n 1 a n Tillsammans med ekvation 2 får vi då (a n 1 = 1 6 och a n = 1): 1 π 2 + 1 (2π) 2 + 1 (3π) 2 + = 1 6 Genom att multiplicera detta med π 2 följer resultatet. (3) Bernhard Riemann, som var väl insatt i Eulers arbeten, generaliserade mer än hundra år senare detta resultat till vad som idag kallas Riemanns zetafunktion. Vidare definierade och beräknade Euler det som idag kallas Eulers konstant och som används inom talteori och för lösning av differentialekvationer: ( 1 γ = lim n 1 + 1 2 + 1 3 + + 1 ) n ln n = 0, 5772... 1735 var även året då Euler förlorade synen på sitt högra öga. Åsikterna går isär vad gäller om detta berodde på ett alltför långvarigt studium av solen, eller helt enkelt var en följd av den svåra feber i vilken han insjuknade det året och som var nära att kosta honom livet. 4
3 Grafteorin föds Figur 1: Broarna i Köningsberg År 1736 visade Euler i sin berömda arikel Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis att problemet med Köningsbergs sju broar var olösbart. Bakgrunden till problemet var att floden Pregel delade den preussiska staden Köningsberg (som numera är rysk och heter Kaliningrad) i två delar och bildade dessutom två öar (figur 1). På den mindre av dessa, Kneiphof, var stadens centrum beläget. Den var förbunden med den norra stranden av två broar, med den södra av ytterligare två och slutligen fanns det även en bro till den större ön. Denna ö hade, utöver bron till Kneiphof, även en bro vardera till norra respektive södra stranden. Det sägs att stadens innevånare på söndagarna brukade roa sig med att försöka hitta en väg som passerade alla stadens broar exakt en gång. Ingen hade lyckats, men ingen visste heller med säkerhet att det inte gick. Euler tog sig an problemet genom att betrakta stadsdelar och broar som noder och bågar i en graf. Han visade följande: Om mer än två noder har ett udda antal bågar så finns det ingen lösning. I fallet med Köningsbergs sju broar har alla noder ett udda antal bågar. Problemet är alltså olösbart. Vidare konstaterade han: Om exakt två noder har ett udda antal bågar så finns det en väg som börjar i en av dessa och slutar i den andra. Om ingen nod har ett udda antal bågar finns det en lösning oavsett vilken nod man utgår ifrån. För dessa två påståenden gav Euler däremot inget bevis. Numera kallas en väg som passerar alla bågar i en graf exakt en gång en Eulerväg. En väg som dessutom slutar i samma nod som den började kallas en Eulercykel. 5
4 Till Berlin 1741 hade Euler tröttnat den politiska instabiliteten i St. Petersburg och Ryssland, och accepterade därför ett erbjudande från den nyligen tillträdde Fredrik II om en plats vid akademin i Berlin. Det var där Euler påbörjade sitt stora arbete inom matematisk analys. I det första verket, Introductio in analysin infinitorum som gavs ut 1748, presenteras bland annat det som idag kallas Eulers formel: e iθ = cos θ + i sin θ Ur detta följer även det kända sambandet e iπ + 1 = 0 (Eulers identitet). År 1752 visade Euler det som nu kallas Eulers relation, ett förhållande som gäller för alla konvexa polyedrar och lyder som följer: S + H K = 2 där S står för antalet sidor, H antalet hörn och K antalet kanter. Exempelvis har en kub (hexaeder) 6 sidor, 8 hörn och 12 kanter, medan en ikosaeder (den tjugosidiga platonska kroppen) har 20 sidor, 12 hörn och 30 kanter. Figur 2: Bevis av Eulers relation Påståendet kan visas som följer: Vi börjar med att vika ut polyedern så att vi kan betrakta den som en tvådimensionell graf, i vilken varje nod motsvarar ett hörn, varje båge en kant och varje avgränsat område en sida, inklusive det som omger grafen. Första grafen i figur 2 visar exempelvis en utvikt kub. I alla områden, exklusive det omgivande, som inte är trianglar (det viss säga som inte omges av exakt tre noder) drar vi en diagonal som delar området i två delar. Varje diagonal ökar såväl S (områden) som K (bågar) med 1. Det följer att om och endast om Eulers relation gällde före operationen gäller den även efter. Detta fortsätter vi med tills grafen enbart består av trianglar. Om grafen består av mer än en triangel väljer vi nu ut en triangel som gränsar mot det omgivande området. Eftersom grafen är sammanhängande måste gränsen utgöras av antingen en eller två bågar, och den eller dessa 6
tar vi bort. Om en enda båge tas bort (andra grafen i figur 2) följer att S (områden) och K (bågar) minskar med 1. Om däremot två bågar tas bort (tredje grafen i figur 2) minskar S (områden) med 1, H (noder) med 1 och K (bågar) med 2. I båda fallen gäller att om och endast om relationen gällde före operationen gäller den även efter. Detta fortsätter vi med tills grafen enbart består av en enda triangel. För denna triangel gäller S + H K = 2 + 3 3 = 2 och påståendet följer därmed genom induktion. 5 De sista åren Euler ogillade den preussiske kungens ständiga inblandning i akademiens göranden. Han blev kvar i Berlin till år 1766 då han efter en inbjudan från Katarina den stora flyttade tillbaka till St. Petersburg. Ryssland hade under de gångna åren fortsatt att betala ut lön till honom, och då han återvände tilldelades han ett fullt möblerat hus inklusive kokerska. 1776 dog Eulers hustru och året därefter gifte han sig med hennes halvsyster, Salome Abigail Gsell. Euler själv dog 18 september 1783 på grund av ett slaganfall. Han var då 76 år gammal, och hade som en följd av grå starr varit helt blind sedan 1766. Tack vare en operation 1771 återfick han synen under några dagar, men snart uppträdde en infektion i ögat och han blev helt blind igen. Trots förlusten av sin syn var han under de sista åren mer produktiv än han någonsin varit tidigare. 6 Avslutande ord Euler är förmodligen den mest produktive matematikern genom tiderna. Han skrev under sitt liv över 900 artiklar och flera böcker, de flesta av dem på latin. Han har även lagt en del av grunden för dagens analys genom att vidareutveckla Newtons, Leibniz med fleras teorier. Till skillnad från flertalet andra matematiker behärskade han såväl den diskreta som den kontinuerliga matematiken till fulländning. Han var dessutom en mycket god algoritmkonstruktör. Euler var även fysiker och astronom. Hans fysiska teorier behandlar bland annat optik, hydrodynamik och balkteori. Inom astronomin var han främst intresserad av månens rörelser och trekropparsproblemet. Det sistnämnda är ett klassiskt problem som behandlar teorier om hur tre punktmassor rör sig enbart påverkade av sin egen gravitation, och som än idag är olöst. Newton hade tidigare löst det så kallade tvåkropparsproblemet, men då en tredje kropp ingår saknar problemet en allmän lösning. Euler lyckades dock ta fram en approximativ beräkningsmetod som visade sig vara mycket användbar för navigation. 7
Referenslista [1] Wikipedia contributors. Wikipedia, The Free Encyclopedia, 2006. http://en.wikipedia.org/ (hämtad 2006-01-31). [2] Wikipedia-bidragsgivare. Wikipedia, Den fria encyklopedin, 2006. http://sv.wikipedia.org/ (hämtad 2006-01-31). [3] Eric Temple Bell. Matematikens män. Natur och kultur, 1940. [4] James R. Newman (Ed.). The World of Mathematics, volume I. Simon and Schuster, New York, 1956. [5] Dirk Jan Struik. A Consise History of Matematics. Dover Publications, Fourth revised edition, 1987. ISBN 0-486-60255-9. [6] John Stillwell. Matematics and Its History. Springer-Verlag New York, Second edition, 2002. ISBN 0-387-95336-1. [7] Boris Sjöberg. Från Euklides till Hilbert. Åbo Akademis förlag, 2001. ISBN 952-9616-44-9. [8] Bo Göran Johansson. Matematikens historia. Studentlitteratur, 2004. ISBN 91-44-03322-2. 8