4. Potentialer och fält [Griffiths,RMC] För att beräkna strålningen från kontinuerliga laddningsfördelningar och punktladdningar måste deras el- och magnetfält vara kända. Dessa är i de flesta fall enklast att beräkna efter att de retarderade skalär- och vektorpotentialerna bestämts. I det följande tar vi en närmare titt på potentialerna, och beräknar fälten för punktladdningar i godtycklig (icke-relativistisk) rörelse. De senare kräver en hel del mera matematik än fälten från enkla laddningsfördelningar. Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4. 4.. Repetition av potentialerna Vi visade tidigare att vi kan definiera en magnetisk vektorpotential A och en skalär potential ϕ så att B = A (4.) E = ϕ t A (4.2) Maxwells I och IV lag i vakuum blir för dessa 2 ϕ + t A = ρ ε 0 (4.3) 2 A ( A) µ 0 ε 0 t ϕ µ 0 ε 0 2 t A = µ 0J (4.4) Enligt tidigare kan vi addera gradienten av en godtycklig skalärfunktion Ψ till A utan att det ändrar på B = A. Denna egenskap hos A kallades måttinvarians. I Lorentz-måttet väljs Ψ så att A = 2 Ψ = µ 0 ε 0 t ϕ (4.5) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.2
Vågekvationerna för potentialerna reduceras nu till 2 ϕ µ 0 ε 0 2 t ϕ = ρ ε 0 (4.6) 2 A µ 0 ε 0 2 t A = µ 0J (4.7) som är av utseendet 2 ϕ = ρ ε 0 (4.8) 2 A = µ 0 J (4.9) där kallas d Alemberts operator. 2 2 µ 0 ε 0 (4.0) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.3 4.2. Kontinuerliga laddningsfördelningar [Griffiths] Vi argumenterade tidigare oss fram till följande uttryck för de retarderade potentialerna för kontinuerliga laddningsfördelningar: ϕ(r, t) = Z A(r, t) = µ Z 0 4π V V dv ρ(r, t r ) r r dv J(r, t r ) r r (4.) (4.2) där den retarderade tiden är t r = t r r c Riktigheten i dessa uttryck kan verifieras genom att sätta in dem i vågekvationerna. (4.3) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.4
Exempel : Låt strömmen I i en oändligt lång rak ledning längs med z- axeln vara 0 då t < 0 och I 0 då t 0. Bestäm E och B. Eftersom ledningen är neutral så gäller ρ = 0 och därför ϕ = 0. Vektorpotentialen är A(r, t) = µ 0bz 4π = µ 0bz 4π = µ 0bz 4π Z Z Z dz I(t r) r r dz I(t r r /c) r r dz I(t s 2 + z 2 /c) s2 + z 2 (4.4) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.5 Endast för tiden t r = t s 2 + z 2 /c 0 gäller I 0. Tidigare än detta är strömmen noll. Detta ger så att z q (ct) 2 s 2 (4.5) A(s, t) = µ 0I 0 bz 4π Z (ct) 2 s 2 dz (ct) 2 s 2 s2 + z 2 = µ Z (ct) 0I 0 bz 2 s 2 dz 2π 0 s2 + z 2 = µ r 0I 0 bz q q ln( s 2 + ( (ct) 2 s 2 ) 2 + ( (ct) 2 s 2 )) 2π q «ln( s 2 + (0) 2 + 0) = µ 0I 0 bz 2π = µ 0I 0 bz 2π q «ln(ct + (ct) 2 s 2 ) ln(s) p ct + (ct)2 s 2 ln s (4.6) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.6
Elfältet är nu µ 0 ci 0 bz E(s, t) = t A = 2π p (4.7) (ct) 2 s 2 Magnetfältet är B(s, t) = A = s A z b ψ = µ 0 I 0 2π ctψ b s p (4.8) (ct) 2 s 2 Check: Då t är situationen den att en konstant ström flyter i en lång rak ledning. Vi ska då få tillbaka det tidigare resultatet för B. µ 0 ci 0 bz lim E(s, t) = lim t t 2π p (ct) 2 s = 0 (4.9) 2 Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.7 µ 0 I 0 ctψ lim B(s, t) = lim b t t 2π s p (4.20) (ct) 2 s 2 µ 0 I 0 cψ = lim b t 2π s p (4.2) c 2 (s/t) 2 = µ 0I 0 2π Ampères lag ger 2πsB/µ 0 = I 0 så att B = µ 0 I 0 /(2πs), och riktningen är b ψ. OK! bψ s (4.22) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.8
Exempel 2: Som föregående exempel, men för strömmen I gäller I = 0 då t < 0 och I = kt då t 0. A(r, t) = µ 0bz 4π = µ 0bz 4π Z Z dz kt r r r dz k(t r r /c) r r (4.23) (4.24) För t r = t r r = t s 2 + z 2 /c 0 gäller k 0. detta ger att så z q (ct) 2 s 2 (4.25) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.9 A(s, t) = µ Z (ct) 0kbz s 2 4π 2 dz t s 2 + z 2 /c 0 s2 + z 2 (4.26) Z (ct) 2 s 2 = µ 0kbz 2πc = µ 0kbz 2πc 0 dz ct s 2 + z 2 s2 + z 2 (4.27) Z (ct) 2 s 2 «ct dz s2 + z 2 0 = µ q 0kbz 2πc ( (ct) 2 s 2 ) + µ 0kbz 2πc = µ 0kbz 2πc q (ct) 2 s 2 + µ 0ktbz ct + ln 2π Vi har inga externa laddningar, så ρ(r, t r ) = 0 och ϕ(s, t) = 0 p ct + (ct)2 s 2 ct ln s p (ct)2 s 2 s (4.28) (4.29) (4.30) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.0
4.3. Punktladdningar Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4. 4.3.. Liénard-Wiechert-potentialerna [RMC, Griffiths] Vi ska nu bestämma de retarderade potentialerna för en punktladdning q. Laddningarna antas nu ha stora (icke-relativistiska) hastigheter, vilket komplicerar proceduren att ta reda på den retarderade tiden. Låt laddningens position vara beskriven av kurvan w = w(t), och låt observationspunkten där potentialerna och fälten ska bestämmas vara r(t). Den retarderade tiden t r fås från insikten att en förändring i w vid den retarderade tiden t r når observatören i punkten i r vid tiden t med ljusets hastighet: r(t) w(t r ) = c(t t r ) (4.3) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.2
Detta är i princip samma relation som tidigare, men nu kan vi inte längre approximera w(t r ) w(t) för att laddningarna i det allmänna fallet kan röra sig godtyckligt snabbt (men så att hastigheterna är icke-relativistiska). Detta ger t r = t r(t) w(t r ) /c (4.32) Skalärpotentialen är nu ϕ(r, t) = Z dv ρ(r r, t r) r r r (t r ) (4.33) där r löper över punktladdningen, som nu tänkes ha en liten utsträckning. Detta gör att följande behandling också är giltig för laddningsfördelningar som är mycket små. Observera, att laddningstätheten nu beror på laddningselementens olika positioner r funktioner av olika retarderade tider. Inte bra! som är Vi går nu vidare så att vi väljer en fixerad retarderad tid t r och evaluerar positionerna r för denna tid. Dessa blir då r (t r ). Poängen med detta är att en integral över laddningstätheten för en och samma fixerade retarderade tid för alla laddningar ger oss den korrekta laddningen. Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.3 Laddningstätheten blir ρ(r (t r ), t r ) = ρ(r (t r ), t r ) (4.34) Positionerna vid den nya tiden t r expanderar vi nu i den gamla tiden t r : r (t r ) = r (t r ) + v(t r )(t r t r ) + dv dt tr(t r t r ) 2 +... (4.35) Volymelementet dv r bör nu ändras till dv r. För detta behövs Jakobianen (funktionaldeterminanten) J(x r, y r, z r ; x r, y r, z r ): dv r = J(x r, y r, z r ; x r, y r, z r )dv r (4.36) x rx r y rx r z rx r = x ry r y ry r z ry r x rz r y rz r z rz r dv r (4.37) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.4
En räkning ger slutsvaret dv r = dv r v(t r) br(t, t r ) dv c c dt tr br(t, t r )(t r t r ) +...! (4.38) där R = r(t) r (t r ) (4.39) br = R R (4.40) Man kan argumentera att dv c dt tr br(t r t r ) dv c 2 dt trd (4.4) där d är den punktformade laddningens storlek. På motsvarande sätt ska högre ordningens termer försvinna. Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.5 Detta ger dv r dv r v(t r) br! c (4.42) Vi får slutligen ϕ(r, t) = = Z dv r ρ(r (t r ), t r ) v(t r ) br/c R Z R( v(t r ) br/c) qc Rc v(t r ) R dv r ρ(r (t r ), t r ) (4.43) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.6
Man kan visa att vektorpotentialen är A(r, t) = µ 0 4π qcv(t r ) Rc v(t r ) R (4.44) = µ 0 ε 0 v(t r )ϕ(r, t) (4.45) = v(t r) c 2 ϕ(r, t) (4.46) Sammanfattningsvis: ϕ(r, t) = qc Rc v R (4.47) A(r, t) = v c2ϕ(r, t) (4.48) R = r(t) w(t r ) (4.49) v(t r ) = dw(t) dt t=t r (4.50) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.7 Arbetsschema: (i) Bestäm den retarderade tiden t r från givet uttryck för w = w(t). (ii) Bestäm R = c(t t r ). (iii) Bestäm R = r(t) w(t r ). (iv) Bestäm Rc v(t) R. (v) Skriv ner potentialerna. Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.8
Exempel : Bestäm potentialerna för en punktladdning som rör sig genom origo då t = 0. Nu gäller w(t) = vt där v är en konstant. (i) Bestäm den retarderade tiden. ger r(t) w(t r ) = c(t t r ) (4.5) som ger r(t) vt r = c(t t r ) (4.52) eller r 2 + v 2 t 2 r 2r vt r = c 2 t 2 + c 2 t 2 r 2ctt r (4.53) Lösningen är (v 2 c 2 )t 2 r + 2(ct r v)t r + r 2 c 2 t 2 = 0 (4.54) t r = (c2 t r v) ± p (c 2 t r v) 2 + (c 2 v 2 )(r 2 c 2 t 2 ) c 2 v 2 (4.55) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.9 Vilket tecken bör vi använda? Då v = 0 reduceras uttrycket till t r = c2 t ± p c 4 t 2 + c 2 r 2 c 4 t 2 ) c 2 = t ± r/c (4.56) Vi vet ju från tidigare att den retarderade tiden ser ut som t r = t r w /c, så vi måste välja minustecknet: t r = (c2 t r v) p (c 2 t r v) 2 + (c 2 v 2 )(r 2 c 2 t 2 ) c 2 v 2 (4.57) (ii) och (iii): Bestäm R(t r ) och R(t r ). R = c(t t r ) (4.58) R = r w(t r ) (4.59) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.20
(iv) Bestäm Rc v(t r ) R. Eftersom hastigheten är konstant har vi v(t r ) = v. Rc v R(t r ) = c 2 (t t r ) v r + v (vt r ) (4.60) = c 2 (t t r ) v r + v 2 t r (4.6) = c 2 t v r (c 2 v 2 )t r (4.62) Insättning av uttrycket för t r ger nu Rc v R(t r ) = q (c 2 t v r) 2 + (c 2 v 2 )(r 2 c 2 t 2 ) (4.63) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.2 (v) Skriv ner potentialerna. ϕ(r, t) = qc p (c2 t v r) 2 + (c 2 v 2 )(r 2 c 2 t 2 ) A(r, t) = v q p c (c2 t v r) 2 + (c 2 v 2 )(r 2 c 2 t 2 ) = µ 0qvc 4π p (c2 t v r) 2 + (c 2 v 2 )(r 2 c 2 t 2 ) (4.64) (4.65) (4.66) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.22
Exempel 2: Bestäm potentialerna längs med z-axeln för en punktladdning som rör sig med likformig vinkelhastighet i en cirkel i xy-planet. Cirkelns radie är a. Låt laddningen vara i (x, y) = (a, 0) vid tiden t = 0. Nu gäller w(t) = bxa cos(ωt) + bya sin(ωt) och r = zbz. (i) Bestäm den retarderade tiden. ger oss r(t) w(t r ) = c(t t r ) (4.67) t r = t p a 2 + z 2 /c (4.68) (ii) Bestäm R(t r ) och R(t r ). R = c(t t r ) (4.69) R = r w(t r ) = zbz a(bx cos(ωt r ) + by sin(ωt r )) (4.70) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.23 (iii) Bestäm Rc v(t r ) R. Hastigheten är så att v(t) = dw dt = aωbx sin(ωt) + aωby cos(ωt) (4.7) Rc v(t r ) R = Rc a 2 ω cos(ωt r ) sin(ωt r ) + a 2 ω cos(ωt r ) sin(ωt r ) = Rc = c 2 (t t r ) = c p a 2 + z 2 (4.72) (iv) Skriv ner potentialerna. Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.24
ϕ(r, t) = = qc c a 2 + z 2 (4.73) q a2 + z 2 (4.74) A(r, t) = v c2ϕ(r, t) (4.75) = qaω bx sin(ωt) by cos(ωt) c 2 a2 + z 2 (4.76) (4.77) Check: Då a 0 skall vi få tillbaka situationen för en statisk punktladdning i origo. Gränsvärdena ger ϕ(r, t) = q z (4.78) A(r, t) = 0 (4.79) OK! Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.25 4.3.2. El- och magnetfälten för punktladdningar i godtycklig rörelse [Griffiths] Ända tills nu nöjde vi oss med att bestämma potentialerna, och då endast för laddningar i likformig rörelse. Vi ska nu se hur fälten blir att se ut, speciellt för laddningar i godtycklig (icke-relativistisk) rörelse. Potentialerna är ju där ϕ(r, t) = qc Rc v(t r ) R (4.80) A(r, t) = v(t r) c 2 ϕ(r, t) (4.8) R = r(t) w(t r ) (4.82) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.26
Fälten är som bekant E(r, t) = ϕ(r, t) t A(r, t) (4.83) B(r, t) = A(r, t) (4.84) Gradienten av skalärpotentialen är ϕ(r, t) = qc (Rc v(t r ) R) (Rc v(t r) R) (4.85) 2 Vi får två termer T, T 2 som kräver närmare behandling. T : c R(t, t r ) = c (c(t t r )) = c 2 t r (4.86) T 2 : (v(t r ) R(t, t r )) = (R )v + (v )R +R ( v) + v ( R) (4.87) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.27 Detta ger fyra termer t, t 2, t 3, t 4 som måste granskas. Term t : (R )v = (R x x + R y y + R z z )v (4.88) = R x x v + R y y v + R z z v (4.89) t r dv = R x x dt r + R y t r y dv t r + R z dt r z dv (4.90) dt r = a(r t r ) (4.9) där accelerationen är Term t 2 : a(t r ) dv(t r) dt r (4.92) (v )R = (v )(r(t) r (t r )) (4.93) = (v x x + v y y + v z z )(xbx + yby + zbz) (v )r (t r ) (4.94) = v x bx + v y by + v z bz (v )r (t r ) (4.95) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.28
= v (v )r (t r ) (4.96) = v X i v xi r (t r ) x i (4.97) = v X i v xi t r x i dr (t r ) dt r (4.98) = v (v t r )v(t r ) (4.99) Term t 3 : R ( v) = 0 R @ X ijk 0 = R @ X ijk ε ijk bx i v k A (4.00) x j t r d ε ijk bx i v k A (4.0) x j dt r = R ( t r a) (4.02) = R (a t r ) (4.03) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.29 Term t 4 : v ( R) = v ( r r ) (4.04) = v ( r ) (4.05) = v ( t r v) (4.06) = v (v t r ) (4.07) Här tog vi modell av vad vi gjorde för term t 3. Term T 2 blir nu (v(t r ) R) = a(r t r ) + v v(v t r ) R (a t r ) + v (v t r ) (4.08) Med BAC-CAB-regeln fås nu Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.30
(v(t r ) R) = a(r t r ) + v v(v t r ) (a(r t r ) t r (R a)) +(v(v t r ) t r (v v)) (4.09) = v + (R a v 2 ) t r (4.0) Gradienten av potentialen blir slutligen ϕ(r, t) = qc (Rc v(t r ) R) 2 c 2 t r (v + (R a v 2 ) t r ) (4.) = qc v + (c2 v 2 + R a) t r (Rc v(t r ) R) 2 (4.2) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.3 t r fås med följande resonemang. c t r = R(t r ) = R R = 2 (R R) R R (4.3) = 2(R ( R) + (R )R) 2R (4.4) = R (R ( R) + R v(r t r)) (4.5) = R (R (v t r) + R v(r t r )) (4.6) = R (R (R v(t r)) t r ) (4.7) så att R t r = Rc v(t r ) R (4.8) Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.32
Detta ger ϕ(r, t) = = qc v (c2 v 2 + R a)r/(rc v(t r ) R) (Rc v(t r ) R) 2 (4.9) qc (Rc v(t r) R)v (c 2 v 2 + R a)r (Rc v(t r ) R) 3 (4.20) En motsvarande räkning ger också att t A(r, t) = qc (Rc v(t r ) R) [(Rc v(t r) R)( v(t 3 r ) + Ra/c) i +R(c 2 v 2 + R a)v(t r )/c (4.2) Introducera hjälpvektorn u = b Rc v(t r ) (4.22) så att vi får Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.33 E(r, t) = = q R h (R u) 3 q R h (R u) 3 i (c 2 v 2 )u + R (u a) i (c 2 v 2 )u + (R a)u (R u)a (4.23) (4.24) För magnetfältet behövs rotorn av A: B(r, t) = A(r, t) = c 2 (v(t r)ϕ(r, t)) (4.25) = c 2 (ϕ v(t r) v ( ϕ)) (4.26) = q h i c (R u) 3R (c 2 v 2 )v + (R a)v + (R u)a (4.27) Genom att jämföra med tidigare kan vi omvandla detta till B(r, t) = b R E(r, t) = R E(r, t) (4.28) c Rc Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.34
Allmänna slutsatser: () Magnetfältet är vinkelrätt mot elfältet. (2) Magnetfältet är vinkelrätt mot vektorn som sammanbinder laddningens retarderade position med observationspunkten. Vi ser att första termen i elfältsuttrycket är inverst proportionell mot kvadraten av avståndet mellan laddning och observationspunkt, och påminner därför om Coulombs lag. Därför kan denna term kallas det generaliserade Coulomb-fältet. Eftersom denna term inte heller beror på laddningens acceleration kallas den för hastighetsfältet. Andra och tredje termerna är inverst proportionella mot avståndet, så att dessa dominerar över första termen vid stora avstånd. Dessa termer ger i själva verket upphov till strålning, som vi ska se senare. Därför kallas dessa termer också strålningsfältet. Eftersom endast de två sista termerna innehåller accelerationen kallas denna del av fältet för accelerationsfältet. Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.35 Låt oss ännu skriva ner Lorentz-kraften F = q(e + v B) för laddningar i godtycklig rörelse. F(r, t) = qq R h (c 2 v 2 )u + R (u a) (R u) 3 + V c br h(c 2 v 2 )u + R (u a)i (4.29) där Q är den andra laddningens storlek, V dess hastighet, och r dess position. Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.36
Arbetsschema: (i) Bestäm den retarderade tiden t r med hjälp av relationen c(t t r ) = r w(t r ), där laddningens position är w = w(t). (ii) Bestäm R = c(t t r ). (iii) Bestäm R = r(t) w(t r ). (iv) Bestäm u = cr/r v(t r ), där v = dw/dt är laddningens hastighet vid den retarderade tiden. (v) Bestäm R u = Rc v(t r ) R. (vi) Bestäm a = dv/dt = d 2 w/dt 2. (vii) Bestäm R (u a). (viii) Skriv ner elfältet och förenkla. (ix) Bestäm magnetfältet från E och b R. Elektrodynamik, ht 2005, Krister Henriksson 4.37