Michelson-interferometern och diffraktionsmönster

Michelson-interferometern och diffraktionsmönster Viktor Jonsson vjons@kth.se 1 Sammanfattning Denna labb går ut på att förstå fenomenen interferens och diffraktion. Efter utförd labb så ska studenten kunna svara på frågor angående brytningsindex, optisk väg, konstruktiv och destruktiv interferens samt förstå hur diffraktionsmönster uppstår. Syftet är också att studenten ska förbättra sitt rapportskrivande. Labben består av två moment. I första delen så beräknas brytningsindex för luft som funktion av trycket med hjälp av Michelson-interferometern. I den andra delen så ska man med hjälp av förståelse kring diffraktionsmönster beräkna vissa längder hos föremål. I rapporten ska studenten utöver förklaringar av resultaten visa förståelse för hur formler och numeriska värden hanteras. 1

Viktig information.1 Förberedelser Innan labbtillfället så ska hela denna labbeskrivning läsas igenom. Ni ska kunna svara på frågorna i avsnitt (3.5) och ha en god uppfattning om vad ni ska göra och hur detta ska genomföras. Det är nödvändigt att ni har med er penna, block och miniräknare på labben.. Utrustning Utöver uppställningen som visas i figuren på titelsidan så kommer ni att använda er av vissa mätverktyg, hållare och annan rekvisita. All utrustning listas nedan. Lasern som används är en NeHe-gaslaser med våglängden λ = 63.8 nm och total effekt P = 1 mw. Det är även givet att strålens diameter vid utloppet är D = 0.5 mm. Det tar ofta en stund innan lasern når jämvikt, så för bästa resultat så ska man låta lasern vara igång ett tag innan mätningar utförs. 1. Optiskt bord. Laser 3. Speglar 4. Stråldelare 5. Lins 6. Tryckkammare med tryckmätare 7. Hållare för alla komponenter 8. Rör med eolitkulor 9. Kryorör med flytande kväve 10. Måttband 11. CD/DVD-skiva 1. rakblad 13. hårstrå.3 Förhållningsregler För att undvika skador av er själv och utrustningen så gäller det att ni är försiktiga under labben. Alla komponenter som är monterade på det optiska bordet är dyrbara och ska inte vidröras. Lasern ska hanteras mycket varsamt eftersom ni kan bli blinda om ni får laserstrålen direkt i öga. Undvik att hålla ögonen i höjd med lasern och ta av klockor och andra blänkande föremål som kan reflektera lasern. I samband med labben så används flytande kväve som kommer ha en temperatur på 77 K vilket är mycket kallt. Om ni får flytande kväve på kläderna så är det viktigt att direkt lyfta ut tyget så att kvävet inte kommer i kontakt med huden. En kortvarig kontakt med kväve via huden är ofarlig men direktkontakt med öga och mun eller en längre kontakt med huden kan leda till allvarliga köldskador. Ni får inte under några omständigheter lägga något i kryobägaren med flytande kväve.

3 Bakgrundsteori 3.1 Laserljus Laser är en akronym för engelskans Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation och är monokroma (enfärgade) och koherenta (fassynkade) elektromagnetiska vågor. Den grundläggande teorin för lasern beskrevs för första gången 1917 av Einstein i artikeln Zur Quantentheorie der Strahlung men det dröjde ytterligare 35 år innan metoden experimentellt påvisades. Principen för en laser är att atomer i en gas exciteras upp till ett högre energitillstånd. När atomerna faller tillbaka till grundtillståndet så emiteras en foton med energin E foton = E ex E gr där E ex är energin för atomen i det exiterade tillståndet och där E gr är energin i grundtillståndet. En helt reflekterande spegel samt en spegel som nästan reflekterar allt ljus sätts på var sin sida av denna gas. Med tiden så kommer allt fler fotoner relfekteras emellan speglarna och intensiteten för laserstråle ökar till att jämvikt är uppnådd. Ljuset som kommer ut ifrån lasern kan beskrivas som ett komplext elektriskt fält med en gaussisk profil. Matematiskt så kan fältet som funktion av tiden i cylindriska koordinater skrivas där w [ ] 0 E(ρ,, t) = E 0 w() exp ρ ik ik ρ w() R() + iζ() e iωt, (1) ( R ) w() = w 0 1 + är ett mått på strålens tvärsnittsradie, [ ( R ) ] R() = 1 + är krökningsradien för vågfronten och ( ) ζ() = arctan är något som kallas för Gouy-fasförändringen. R I uttrycken över så har vi vågvektorn k = π, en karakteristisk längd λ R = πw 0 som kallas för λ Rayleigh-längden och strålens midjemått w 0 = D som alltså är halva strålens diameter vid laserns utlopp. Detta uttryck är ganska komplicerat jämfört med planvågsapproximationen E(, t) = E 0 e i(ωt k), () som ofta används för att beskriva koherent ljus. Man kan dock enkelt visa att i ett område där R 1 och där kρ 1 så stämmer (1) och () bra överens. I detta område så gäller bl.a. att w() w 0, R() och ζ() π. Detta fält som betraktas långt ifrån källan kallas för fjärrfältet och kan skrivas E f (ρ,, t) = E 0 e ( ρ w 0 ) e i(ωt k), (3) vilket stämmer överens med planvågsapproximationen så när som på den gaussiska faktorn. I labbet så är det dock ljusintensiteten som träffar en skärm som man kan se. Givet den 3

elektriska konstanten ɛ 0, ljusets hastighet i vakuum c och mediumets brytningsindex n så får vi I(ρ,, t) = ncɛ 0 µ r E(ρ,, t), (4) Den relativa permeabiliteten µ r kan nästan alltid sättas till 1 och kommer i fortsättningen att utelämnas. Den totala effekten kan beräknas genom att integrera intensiteten över hela x, y-planet vilket ger 3. Interferens P = π I 0w 0. Interferens är ett fenomen som förekommer när två ljustrålar sammanfaller, d.v.s då deras elektriska fält adderas. Givet att strålarna har samma midjemått w 0, vågvektor k och fältstyrka E 0 så kommer intensiteten från två sammanfallande fjärrfält som har rört sig olika långa sträckor 1 och bli I(ρ, 1, ) = ncɛ 0 E f(ρ, 1, t) + E f (ρ,, t) = ncɛ 0E0 ( ) e ρ w 0 e ik 1 + e ik ( ) = ncɛ 0 E0e ρ [ w k 0 cos (1 ) Alltså så kommer intensiteten bero på skillnaden i hur långt strålarna har färdats. Då skillnaden i sträcka för de två ljustrålarna är = nλ, där n Z, så kommer [ k cos (1 ) ] ( nπ ) = cos = 0. De två strålarna släcker alltså ut varandra vilket kallas för destruktiv interferens. När = nλ så kommer strålarnas intensitet att adderas och vi får konstruktiv interferens. 3.3 Optisk väg Ett perfekt interferensmönster är symmetriskt kring strålens färdriktning, men eftersom speglar och linser alltid är lite defekta så kommer avlånga stråk av hög och låg intensitet synas på skärmen istället. Dessa stråk kallas även för fransar och kommer att förflytta sig då den optiska vägskillnaden mellan de två ljusstrålarna förändras. Den optiska vägen för en ljusstråle definieras som L opt = nl där L är den faktiska sträckan och n är brytningsindex för mediumet. När en frans har vandrat precis en våglängd, d.v.s då mönstret är lika igen så kommer L opt L = λ där λ är våglängden på ljuset. Ni ska anta att brytningsindex n som funktion trycket p är linjärt. Från datat så ska antalet fransar som passerat som funktion av m(p) anpassas med en linjär funktion. Från lutningen dm kan n(p) beräknas. dp 4 ].

3.4 Diffraktion Diffraktion är ett komplicerat fenomen som sker för alla vågor som går igenom ett hål. Det sker för vattenvågor, ljudvågor och även för laserljus. Skickar man en laserstråle mot en apertur med en skärm bakom så förväntas man se ett diffraktionsmönster på skärmen. För att förstå vilket mönster man bör se för olika aperturer så tillämpar vi Huygens Fresnels princip som säger att varje punkt i aperturen sprider en sfärisk våg utifrån E-fältet i just den punkten. Matematiskt så kan man beskriva fältet som skapas efter aperturen som E (x, y, ) = 1 iλ A E(x, y, 0) eik r r r r dx dy, där r är punkten där man vill veta fältet och r punkten i aperturen A som man integrerar över. Denna ekvation kan approximeras i de fall vi tittar på i labben. Om skärmen är långt bort i förhållande till aperturens storlek så kan man skriva r r = (x x ) + (y y ) + + (x x ) + (y y ). I nämnaren kan vi dock gå ett steg längre och säga r r. Detta ger då ( ) E (x, y, ) = 1 + x +y iλ eik E(x, y, 0)e (x ik xx +y yy ) dx dy. A För lasern i labbet (se ekvation 3) får vi alltså ett elektriskt fält efter aperturen enligt ( E (x, y, ) = E 0 + x +y iλ eik )e iωt e x +y ω 0 e (x ik xx +y yy ) dx dy. (5) A För att förenkla ytterligare så betraktar vi intensiteten av diffraktionsfältet från endimensionella aperturer. Om vi bakar in fältets y-beroende i E 0 (y) så får vi I(x, y, ) = ncɛ 0E 0 (y) ( ) λ e x ik 1 ω 0 e ikxx dx. För en vertikal enkelspalt med bredden d som är tillräckligt liten så kommer x kx 1 vilket ger I spalt (x, y, ) = ncɛ 0E 0 (y) λ = ncɛ 0E 0 (y) λ = ncɛ 0d E 0 (y) λ A d/ e ikxx dx d/ ( ) ( ) kxd cos kx ( ) ( kxd sin kxd 5 ) = ncɛ 0d E 0 (y) λ sinc w 0 ( ) kxd. 1 och

Från mönstret på skärmen så kan man beräkna spaltens bredd d genom att mäta avståndet från x = 0 till det första intensitetsminimumet längs med x-axeln. Detta minimum uppfyller kxd = π = d = λ x 1, där x 1 är avståndet från mitten till första intensitetsminimumet. Om man istället för att släppa igenom fältet i ett litet område, blockerar fältet för x < d/, så kan man tillämpa babinets princip. Principen säger att diffraktionsmönstret från ett hål respektive blokad med samma form kommer att vara proportionella mot varandra. Att blockera ljuset ger samma mönster men med lägre intensitet. Ett annat exempel på en apertur som ger ett välkänt diffraktionsmönster är ett gitter. En dvd-skiva fungerar som ett gitter eftersom lasern endast reflekteras mellan spåren. Man kan på samma sätt som tidigare använda ekvation (5) för att ta fram det diffraktionsmönster man förväntas se på väggen. Det man kommer se är några separata diffraktionspunkter med avtagande intensitet ju längre från mitten punkter ligger. Punkterna x m ligger så att d sin θ m = mλ = d = mλ x m, där x m är avståndet från mitten till den m-te diffraktionspunkten och där θ är motsvarande reflektionvinkel. Härledningen lämnas åt den intresserade att utföra själv. 3.5 Frågor 1. Går det att bestämma E 0 för den laser som vi har i labbet givet informationen i peket eller saknas det information?. Vad har vakuum för brytningsindex och vad är en frans i detta sammanhang? 3. Hur kan man beräkna bredden av ett hårstrå med hjälp av ett diffraktionsmönster? 4 Utförande Nedan följer momenten som ska genomföras under labbtillfället. 4.1 Michelson-interferometer och luftens brytningsindex I detta moment så ska ni bestämma brytningsindex för luft som funktion av trycket. Till er hjälp har ni en uppställning där två strålar går olika vägar och adderas slutligen för att ge ett interferensmönster. Ni bör sätta upp ett papper där strålen träffar väggen så att ni kan markera fransarna. Den ena strålen kommer att passera igenom en tryckkammare. När trycket sjunker så förändras den optiska vägen för denna stråle. Trycket kommer att sjunka 6

eftersom vi har hällt i flytande kväve i kryorören och luftpartiklar kondenseras då på eolitkulorna eftersom de har en väldigt stor yta i förhållande till deras volym. Det gäller för er att utifrån den data ni antecknar ta fram brytningsindex för luft som funktion av trycket. Processen är följande: 1. Assistenten fyller i kväve i kryorören.. Ni lägger i metalröret med eolit-kulorna (se till att kulorna är kvar i röret). 3. Markera trycket för varje frans som passerar. 4. När trycket stabiliserar sig så kan ni ta ut metalröret 5. Mät igen då trycket ökar (Nu kommer de vandra snabbare) 6. När trycket slutar att stiga så är ni klara. Innan ni börjar med nästa moment så vill jag se datapunkterna ni har tagit. 4. Diffraktionsmönster som mätsticka I detta moment så ska ni rikta om lasern och sätta upp en hållare på lämpligtställe. Sätt sedan fast olika föremål framför lasern och försök analysera det diffraktionsmönster som uppstår på väggen. Följande information ska bestämmas. 1. Rakbladets bredd. Tjockleken på ett hårstrå 3. Spårbredden på en CD-skiva och en DVD-skiva 7

5 Rapportskrivning Till denna laboration ska en rapport skrivas där resultaten med förklaring ska finnas med. Från första momentet ska en graf med datan ni tog finnas med där en linje är anpassad till data. Ni bör skriva en liten introduktion till ämnet där de formler som används till dina beräkningar finns med. Det är även bra att diskutera de problem ni hade hur det påverkar tillförlitligheten i era resultat. Nedan följer några riktlinjer för bra rapportskrivande. 5.1 Struktur Bestäm er innan ni skriver rapporten för vilken disposition ni vill ha. En disposition som funkar är 1. Sammanfattning. Introduktion/Teori (inkludera teorin i introduktionen vid mindre rapporter) 3. Utförande (Vad gjorde ni?) 4. Resultat/Analys 5. Slutsatser (Innehåller en diskussion kring resultaten) Se till att ha rubriker och underrubriker och var noga med tabeller och figurer. För långa texter bör en innehållsförteckning användas men för korta rapporter som denna äcker det med en tydlig struktur. 5. Formler Alla texter inom fysiken innehåller matematiska uttryck. Antingen som en formel eller via härledningar av de modeller som används för att förklara resultatet. Formler kan innehålla storheter, konstanter, enhetslösa faktorer och operationer. Numeriska tal med enheter hör inte hemma i formler utan ska skrivas separat. Exempelvis så ska att linjärt samband y = ax + b, (6) mellan längd y och tid x där a = 1. m/s och b = 0.4 m inte skrivas y = (1. m/s) x + 0.4 m. Detta blir otydligt, och att skriva y = 1.x+0.4 är direkt felaktigt eftersom höger och vänster sida om likhetstecknet har olika enheter. En bra regel är att aldrig blanda in numeriska tal med enheter i en formel. Längre beräkningar bör behandlas på separata rader och bör skrivas med en ekvationseditor eller L A TEX. En formel bör skrivas 3ax y = och inte y= (3ax/b), (7) b framförallt för att separera de matematiska uttrycken från brödtexten. Om ni ska referera till en formel så numrera den och referera till den som i ekvation (7). 8

5.3 Värdesiffror När man skriver värdet på numeriska konstanter så ska man välja antalet värdesiffror. Det är vanligt i början att man använder alldeles för många värdesiffror så se till att begränsa er till så många värdesiffror som ni kan stå till svars för. Låt oss säga att ni mäter en längd med ett måttband med nogrannheten L = 1.0 cm. Om ni sedan definierar en längd a = L = 0.33 cm 3 så använd två värdesiffror precis som för L och inte fler. För att undvika avrundingsfel, räkna inte i delsteg där delarna avrundas. 5.4 Enheter Det ska alltid finnas enheterna till numeriska värden om de inte är enhetslösa. I grafer är det viktigt att axlarna benämns med enheter. Ni kan använda suffix eller tiopotenser för enkla enheter t.ex x = 6.4 10 7 m = 640 nm där det senare är fördelaktigt i de flesta sammanhang. För sammansatta enheter så som m/s, kg och kgm/s så bör tiopotenser användas. 5.5 Bedömning Rapporten kommer att bedömmas enligt 3 kriterier. 1. Fysikalisk korrekthet Det gäller att ni förstår fysiken bakom de experiment ni utför och skriver om. Förstår ni inte så får ni försöka ett tag till med att förstå och funkar inte det så kan ni fråga mig. Ni behöver inte skriva ut alla deriveringar, men ni måste berätta var formlerna kommer ifrån. Undvik enhetsfel och felberäkningar!. Struktur Man ska kunna följa vad du har skrivit utan att tappa bort sig. Bra disposition och grafer med tydliga axlar och förklaringar är viktigt här. 3. Innehåll Finns alla delar av labben inklusive resultat med i rapporten. Har ni med diskussion kring resultaten? Skriv gärna i L A TEXeller word med en ekvationeditor och skicka rapporten i pdf-format. Rapporten ska skickas till vjons@kth.se senast två veckor efter utförd labb, om lämnar in för sent så kommer ni inte kunna få A på tentan. Om ni inte blir godkända direkt så får ni feedback från mig och chans att komplettera innan ni skickar in igen. Labben är en obligatorisk del i kursen så ni måste bli godkända för att klara kursen. Lycka till! 9