Studiehandledning till 5B4004 ANALYS II Distanskurs 10 poäng Kurslitteratur: Persson/Böiers: Analys i flera variabler./ Studentlitteratur. Övningar till Analys i flera variabler/ Lunds Tekniska Högskola Övningar i Tillämpad Matematik 1/ Lunds Tekniska Högskola
Inför studier i Analys II bör envariabelanalysen och linjäralgebran vara väl inhämtad. KAPITEL 1 Inledningen i Persson-Böiers bok: Analys i flera variabler belyser med några intressanta exempel hur funktioner av flera variabler kommer in i olika tillämpningar. Studera dessa och reflektera. Kommer Du på flera exempel? Avsnitt 1.2 är välbekant från linjär algebran(se Anton-Rorres). Begrunda de definitioner som ges i avsnitt 1.3. De kommer till användning senare i boken. Testa att Du har förstått definitioner genom att lösa uppgifterna 5b,5c,6,9,10,11. Innan Du ger Dig i kast med avsnitt 1.4. repetera funktions-begreppet i appendix A.2. I avsnitt 1.4. behandlas reellvärda och vektorvärda funktioner. Exempel på reellvärda funktioner är ytor givna på formen z = f(x,y). Penetrera de lösta exemplena och övertyga Dig om att graferna blir de givna. Ett bra hjälpmedel vid studiet av ytor är nivåkurvor. Några exempel på nivåkurvor är: isobater(samma vattendjup), isokliner(samma lutning), isohyeter(samma nederbördsmängd). Stifta bekantskap med nivåytor. Nu har vi kommit fram till vektorvärda funktioner och exempel på sådana ges av kurvor och ytor. Du upptäcker även här gamla bekanta från tex linjäralgebran: kägelsnitt(andragradskurvor) och andragradsytor. Avslutningsvis behandlas i avsnitt 1.4. koordinatbyte. Lös uppgifterna: 13,16,20,23. I analogi med envariabelfallet behandlas gränsvärden och kontinuitet i avsnitten 1.5 och 1.6. Observera att om gränsvärdet längs två olika kurvor är olika så existerar inte gränsvärdet. Får man däremot samma gränsvärde längs två olika kurvor är det möjligt men ej säkert att gränsvärdet existerar. Avsnittet avslutas med några viktiga satser om kontinuerliga funktioner. Rekapitulera begreppet kompakt från avsnitt 1.3. Lös uppgifterna: 25a,25e,30b,30c.
KAPITEL 2 Differentialkalkyl för reellvärda funktioner är rubriken för kapitel två och det inleds med partiella derivator. Tänk på att alla variabler förutom en hålls fixa vid gränsvärdesberäkningen. Den geometriska tolkningen av den partiella derivatan är analog med dess motsvarighet för funktioner av en variabel. I litteraturen förekommer ett antal olika beteckningar för den partiella derivatan. Stifta bekantskap med dessa. Lös uppgifterna: 1d,1e,5,6. I flervariabelanalysen stöter vi på ett nytt begrepp vid sidan av kontinuitet och partiell derivata nämnligen differentierbarhet. Penetrera detta begrepp ordentligt och tänk på den geometriska tolkningen. Kontinuitet, partiell deriverbarhet, differentierbarhet Hur förhåller sig dessa begrepp till varandra? Geometriska tolkningar! Istället för att varje gång gå tillbaka till definitionen av differentierbarhet är det praktiskt att införa en ny klass av funktioner med kontinuerliga partiella derivator av första ordningen, C 1. Sats 3 ger att varje sådan funktion är differentierbar. Läs beviset så att Du förstår vad som sker vid varje steg. En viktig tillämpning av differensformeln, formel (7) sid 43, får vi vid felanalys. Gauss felfortplantningsformel på sid 49 ger en pessimistisk uppskattning av felet en mer realistisk uppskattning är medelfelet. Lös nu uppgifterna: 7a,8,9,12. I avsnitt 2.3. avhandlas en av stötepelarna i differentialkalkylen, nämnligen kedjeregeln. Rekapitulera först hur derivatan av en sammansatt funktion av en variabel ser ut. För en funktion av flera variabler u = u(x 1 (t),x 2 (t),..., x n (t)) kan derivatan enligt kedjeregeln, sats 4, skrivas på följande sätt du dt = u dx 1 + u dx 2 +... + u dx n x 1 dt x 2 dt x n dt du eller kortare dt = grad u x, där grad u eller u ( nabla u) kallas gradientvektorn och där x kallas tangentvektorn. Lär Dig bevisa kedjeregeln. Bekanta Dig även med den allmänna kedjeregeln på sid 58. Därefter följer några viktiga tillämpningar på hur kedjeregeln kan användas. Lös uppgifterna: 13,15b,17,20,25.
I avsnitt 2.4. introduceras gradientvektorn vars komponenter består av de partiella derivatorna. För undersökning av en funktions uppförande i en godtycklig riktning definieras riktningsderivatan. Genomför härledningen av beräkningsformeln, sats 6. Observera att enhetsvektorn användes. Fundera ut varför det är nödvändigt med en enhetsvektor. En geometrisk tolkning av gradientvektorn finns beskriven på sid 68 och framåt. Härled normalvektorn, sats 8. Ekvationen för tangenten respektive tangentplanet kan nu skrivas upp. studera de lösta exemplena. Lös uppgifterna: 29,30,36,37,40a,42,47. I avsnitt 2.5. behandlas partiella derivator av högre ordning. Observera de olika beteckningarna för derivatorna. En viktig fråga rörande deriveringsordningen för högre derivator är: Gäller 2 f att x y = 2 f? Även motsvarande fråga för högre ordning. y x Vi införa en ny klass av funktioner med kontinuerliga partiella derivator av ordning k, C k. För dessa funktioner besvaras ovanstående fråga med ja, se sats 9 med bevis. Studera tillämpningarna till detta avsnitt. Dessa består av variabelbyte i partiella differentialekvationer. Genom lämpligt variabelbyte kan man erhålla en lätt differentialekvation, som kan lösas. Bland annat behandlas vågekvationen. Lös uppgifterna: 51,53,58. I avsnitt 2.6. övergår vi till att studera Taylorutvecklingar av flervariabelfunktioner. Taylors formel får vi från det endimensionella fallet genom att studera en hjälpfunktion av en variabel ( se sats 10). Ett alternativt sätt att skriva Taylors formel är följande: f(x 0 + h) f(x 0 )= h grad f x0 + 1 2 ht Hh + h 3 B(h, k), 2 f 2 f där x 0 = (a,b), h = h x k och Hessianen H = 2 y x 2 f 2 f. x y y 2 Ett sätt att bestämma Taylorpolynomet är att utnyttja envariabelutvecklingar. Är man intresserad av Taylorpolynom av högre grad än två är ett framställningssätt följande: f(x,y) = f(a+ h,b + k)= f(a,b)+ (h x + k y )f (a,b) + 1 2! h x + k y n 1 m! h x + k m f y (a,b) + Restterm m=3 2 f (a,b) +
Vid utvecklingen ovan utnyttjar man binomialutvecklingarna. Vi har tidigare använt oss av en linjär approximation i en omgining av en punkt. Nu använder vi istället Taylorpolynomet av grad två. Vi får en kontakt av andra graden. Ett användningsområde av Taylorutvecklingar är lokala undersökningar av extrempunkter. De lokala extrempunkterna är lokalt maximum respektive lokalt minimum, vilka definieras på sid 86. Ett nödvändigt villkor är att gradientvektorn är lika med nollvektorn. Observera att det inte är tillräckligt villkor. De stationära punkterna utgöres av lokalt maximum, lokalt minimum och sadelpunkt. För att undersöka vilken typ av punkt det är i det aktuella fallet betraktar vi Taylorutvecklingen av funktionen och utnyttjar definitionen av lokal extrempunkt. I stationära punkter är för små h och k den kvadratiska formen h T Hh avgörande för tecknet på f =f(a + h,b + k) f(a, b). Vi avgör om den symmetriska matrisen H är positivt definit, negativt definit respektive indefinit. Detta ger oss om det är lokalt minimum, lokalt maximum eller sadelpunkt. En annan variant är att kvadratkomplettera den kvadratiska formen. Studera de genomräknade exemplena ordentligt. Ibland måste utvecklingen drivas längre för att kunna avgöra vilken typ den stationära punkten är. Den kompletterande teorin på sid 96-97 behöver bara genomläsas, dock skall innehållet i sats 12 kunnas. Nu över till uppgifterna: 61,63,66,68. Avsnitt 2.7. behandlar differentialer för differentierbara funktioner. Definitionen ges på sid 98. För att få ett bättre grepp på differentialer studera den grafiska tolkningen för en tvåvariabelfunktion. En viktig egenskap är differentialens invarians, se sid 100. Behandla speciellt fallet för tvåvariabel-funktioner. De räkneregler som gäller för differentialer överenstämmer väl med motsvarande deriveringregler( se sid 101). Differentialerna används bland annat till felanalys. Vi testar nu förståelsen med några uppgifter: 71c,71d,72,74.
KAPITEL 3 Kapitel 3 behandlar vektorvärda funktioner. Vi har redan i kapitel 1 stött på sådana funktioner. Avsnitt 3.1. inleder med kurvor på parameterform och parameterbyte. Båglängden användes ofta till parameter. (Se avnitt 5.7. Krökning och torision.) Tangentvektorn till en kurva introduceras. Här ligger en fysikalisk tolkning av tangentvektorn nära till hands. Tangentvektorn uppfattas som hastigheten och dess belopp som farten. Derivatan av tangentvektorn är accelerationen. Räkneregler för derivation av funktioner från R till R n ges på sid 108. Lägg dessa på minnet. Här ges också exempel rörande centralrörelse som bör studeras med eftertanke. Ytterligare exempel på vektorvärda funktioner ges och då i form av parameteframställda ytor. Observera att vi får en normalvektor till ytan genom att ta vektorprodukten av icke-parallella tangentvektorer. Räkna uppgifterna: 2,4,6. I avsnitt 3.2. stiftar vi bekantskap med funktionalmatrisen till den vektorvärda funktionen f eller derivatan av f. Studera vidare linjarisering. Nu dyker en stötepelare upp igen, men nu för vektorvärda funktioner. Vi betraktar en sammansatt funktion (f o g)(t) = f(g(t)) och vill bestämma dess derivata (f o g ) (t) = f (g(t)) g (t). Vi har skrivit upp kedjeregeln. För att få tolkningen av dessa derivator se sid 117-118. En beteckningsdetalj är att funktionalmatrisen f f x y (f,g) g g kan skrivas (x,y). x y Studera de lösta exemplena och bestäm dessutom determinanterna för matriserna i exempel 7 samt determinanten för matrisen i exempel 9. Stämmer resultatet i ex. 9 med vad Du förväntar Dig? Du vet ju vilka värden determinanten för en ortogonalmatris kan anta samt dess geometriska tolkning. Nu går vi löst på följande uppgifter: 8,9,11. I avsnitt 3.3. studerar vi funktionaldeterminanten eller Jacobideterminanten. Lägg märke till de olika beteckningssätten som finns för funktionaldeterminanten. Funktionaldeterminanten för en sammansatt funktion bör vara lätt att memorera. Tänk på envariabelfallet. Lär Dig hur man får fram funktionaldeterminanten för inversen. Den geometriska betydelsen av funktionaldeterminantens belopp är den lokala areaförstorningen. Observera den lokala strukturen hos den inversa funktionssatsen. Vi övergår til uppgifterna: 14,15,19,21.
I avsnitt 3.4. studeras implicita funktionssatsen. Denna ger information när det är möjligt att lösa ut till exempel y som funktion av x, y = y(x), ur sambandet F(x,y) = C. Implicita funktionssatsen ges i tre olika tappningar. De lösta exemplena studeras noggrant. Tänk på att den aktuella punkten satisfierar ekvationen(ekvationerna). Vi har har här en möjlighet att bestämma en tangentvektor till skärningskurvan mellan två rymdytor. En sådan tangentvektor ges av grad F grad G, där F=C 1 och G= C 2 är de givna rymdytornas ekvationer. Våra uppgifter är: 22,25,27,29,31. KAPITEL 4 Kapitel 4 behandlar optimeringsproblem. Detta är ett stort område. Vi kommer i den här kursen att ta upp följande: optimering på kompakta områden, optimering på icke-kompakta områden och optimering med bivillkor. Man bör tänka på att optimering är ett globalt problem och ej göra suboptimeringar.( Man betraktar funktionens hela definitionsområde.) Vi ser att begreppet kompakt dyker upp igen. Repetera innebörden. Passa också på att repetera vad som gäller för kontinuerliga funktioner med kompakt definitionsmängd. Vi kommer att studera en funktion, målfunktion, och bestämma dess största och minsta värde. Avsnitt 4.1. tar upp optimering på kompakta områden. Vi söker det största och minsta värdet av en reellvärd funktion. Dessa erhålles i inre stationära punkter eller på randen. De lösta exemplena ger en god illustration till detta. Testa nu själv på uppgifterna: 2,5,7,10,14. Avsnitt 4.2. tar upp optimering på icke-kompakta områden. Nu är det ej garanterat att det finns något största eller minsta värde! För att tackla problemet gör vi en lämplig kompakt avskärning av området och visar att området utanför den kompakta avskärningen inte påverkar resultatet. De lösta exemplena studeras ordentligt. Observera att exempel 7 är är familjärt från linjäralgebran. Repetera gärna det angreppssättet. Vi övergår till uppgifterna: 16,18,20. Avsnitt 4.3. tar upp optimering med bivillkor. I detta avsnitt betraktar vi inte variablerna som oberoende utan de är förbundna med bivillkor. I enklare fall är det möjligt att explicit lösa ut någon av variablerna i bivillkoret och sätta in i målfunktionen. Då har ett enklare problem erhållits. Om vi startat med en funktion av två variabler är det nya problemet ett envariabelproblem. I vissa fall är det möjligt att beskriva de givna bivillkoren med hjälp av parametrar och sätta in i målfunktionen. En mer allmän metod är att använda sig av Lagrange multiplkatormetod. Det erhållna ekvationssystemet är icke-linjärt. Nu till uppgifterna: 23,24,27,30,32.
KAPITEL 5 Kapitel 5 upptar användningar av differentialkalkyl. Vi har redan i tidigare kapitel sett hur differentialkalkyl har kommit till användning inom vitt skilda områden. I detta kapitel tillkommer ytterligare tillämpningar bland annat från termodynamiken. Avsnitt 5.1. behandlar derivation under integraltecken. Det framgår av ett inledande exempel att derivation ej är tillåten för alla integrander. Under vilka villkor derivation är tillåten framgår av sats 1, i fallet konstanta gränser. För variabla gränser studeras sats 2 och för generaliserade integraler se sats 3. Bevisen för dessa satser ger god träning i bevisteknik. Flera viktiga tillämpningar finns under denna rubrik: Laplacetransformen och Gammafunktionen är några exempel. Vi tränar på några uppgifter: 3,4,7. I avsnitt 5.2. får vi stifta bekantskap med termodynamiken. Läs igenom de lösta exemplena och håll ordentlig ordning på variablerna. Nu över till uppgifterna: 10,13,17. Avsnitt 5.3. behandlar elektriskt fält och potential. Läs avsnittet kursivt. Fält och potential återkommer i senare avsnitt. I avsnitt 5.4. tas några viktiga partiella differentialekvationer upp. Penetrera den fysikaliska bakgrunden till ekvationerna. Jämför exempel 10 och exempel 9. I avsnitt 5.5. ges en introduktion till materiederivatan, vilken ger information om hur en funktion förändras sett från en observatör som medföljer strömmen. Avsnitt 5.6. behandlar en jämförelse mellan rörelser i ett fixt koordinatsystem och ett roterande koordinatsystem. Vi får bekanta oss med bland annat Coriolisaccelerationen, vilken ger upphov till högervridning på norra halvklotet och vänstervridning på det södra halvklotet. I avsnitt 5.7. studeras rymdkurvors egenskaper. Begrepp som krökning och torsion tas upp. Tangentvektor, huvudnormal och binormal är viktiga begrepp.
KAPITEL 6-10 I andra delen av kursen komer vi nu att studera integration av flervariabelfunktioner. Vi inleder med dubbelintegraler. Dessa har olika tolkningar. För att nämna några : volymen, totala laddningen för en platta. Därefter övergår vi till multipelintegraler och här först och främst trippelintegraler, vilka kan tolkas som volymer, totala massan, totala laddningen. Vi kommer även i kontakt med ytterligare tillämpningar såsom arean av buktiga ytor( tex sfärens area), tröghetsmoment och masscentrum( viktiga begrepp inom mekaniken). Vi får inte glömma tillämpningar inom matematisk statistik som tex väntevärdes- och variansberäkning av stokastiska variabler. I vektoranalysdelen av kursen startar vi med vektoranalys i planet där vi får lära oss om linjeintegraler, vilka kan tolkas som det arbete en kraft utför vid en förflyttning. Ett samband mellan en linjeintegral och en dubbelintegral( Greens formel) härleds. Greens formel ger oss möjlighet att bestämma arean av ett plant område D med hjälp av en linjeintegral runt området. Potentialfält till vissa kraftfält kommer att introduceras. Nu kan vi övergå till vektoranalysen i rummet. Här stöter vi på både linjeintegraler och ytintegraler. Linjeintegralerna kan även här tolkas som arbete men kan även tolkas som totala laddningen för en tråd. Vi stöter återigen på ytintegraler, vilka kan tolkas som totala massan av en yta, totala laddningen av en yta, flödet genom en yta för att nämna några tolkningar. Vi kommer att härleda samband mellan en viss ytintegral(flödesintegral) och en trippelintegral( divergenssatsen=gauss sats=ostrogradsky s sats). Ett annat intressant samband kommer att härledas, nämnligen mellan en linjeintegral och en viss ytintegral(stokes formel). Vi kommer att även att behandla nablaoperatorn vilken presenterades redan i kapitel 2. Potentialfält till vissa kraftfält kommer att introduceras helt analogt med det plana fallet. Avslutningsvis tas kontinuitetsekvationen upp. Det är en viktig ekvation vid strömningsproblem. Strömning kan vara t.ex. diffusion och värmeledning. Efter denna översiktliga inledning går vi in mer detaljerat i kursen.
KAPITEL 6 Då vi startar med dubbelintegraler kan vi ha enkelintegraler i åtanke. Enkelintegralen kan tolkas som arean. Nu har vi dubbelintegralen och tolkar den som volymen. Vid en första genomläsning av integrationsavsnittet kan man lämpligen läsa kapitlet översiktligt och därefter pröva att lösa några problem. Därefter läser man ånyå avsnittet parallellt med problemlösning. Vi kommer att starta med enkla områden och enkla funktioner för att sedan betrakta nya klasser av funktioner. Då det är avklarat övergår vi till att betrakta mindre enkla områden. En ytterligare utvidgning blir att betrakta obegränsade funktioner och oändliga områden. Vi börjar med integration över en rektangel med axelparallella sidor. Den klass av funktioner som vi startar med är trappstegsfunktioner, se sid 198, för vilka vi definierar dubbelintegralen över den axelparallella rektangeln. Penetrera noggrannt den geometriska betydelsen. Genom att förstå hur det fungerar för trappstegsfunktioner är steget mindre att ta för övriga klasser av funktioner. Nästa klass av funktioner är de begränsade. På sid 202 definieras Riemannintegrerbarhet av den begränsade funktionen över den axelparallella rektangeln. Lär Dig att förstå och bevisa sats 1. Observera definitionen på dubbelintegral. Sats 2 ger ett sätt att beräkna dubbelintegralen genom succesiva enkelintegrationer. Den geometriska tolkningen av beräkningsformeln bör kunna förklaras vid vilken tid som helst på dygnet. Sätt Dig ordentligt in i bevisgången. För att lätt kunnna avgöra om en funktion är integrerbar betraktar vi kontinuerliga funktioner på den kompakta rektangeln. Sats 3 ger oss denna möjlighet. Läs och begrunda. Observera att f blir likformigt kontinuerlig på intervallet. Pröva Dina nyvunna kunskaper om dubbelintegraler på följande uppgifter: 1 3 5 8. Nu övergår vi till en utvidgning av områdets karaktär, se avsnitt 6.2. Vi har nu en funktion f definierad på en begränsad mängd och definierar en ny funktion definierad på en rektangel med axelparallella sidor. Fördelen med detta förfaringssätt är att vi kan använda de nyss bevisade satserna. Ett nytt begrepp nollmängd införs på sid 211. Det får från och med nu bli en del av Din reportoar. Med hjälp av tre hjälpsatser,lemman, bygger vi upp grunden för sats 4, vilken ger oss instruktion om hur vi beräknar dubbelintegraler över områden av angivet slag. Det är nu dags att pröva krafterna på dubbelintegraler över något allmännare områden än tidigare. Lös uppgifterna: 10 13 15.
I avsnitt 6.3. introduceras approximation med Riemannsummor. Begrunda den geometriska tolkningen. I sats 5 visas att Riemannsumman går mot motsvarande dubbelintegral då indelning förfinas. Att göra en indelning av området och därefter betrakta ett litet delområde, där man undersöker vilket bidrag som det ger till tex totala massan, summera över bidragen från alla delområdena och slutligen göra en förfining av indelningen. Detta är ett viktigt förfaringssätt inte enbart inom matematiken utan också inom många tillämpningar. Studera de givna exemplena omsorgsfullt. Vi har sett inom envariabelanalysen att variabelbyte kan underlätta integrationen. Det är likartat för funktioner av flera variabler. Redan i avsnitt 6.3 avslöjades hur det ser ut då polära koordinater införes. Vi kommer nu att i avsnitt 6.4 se hur en gammal bekant kommer in i bilden. Jacobi-determinanten(funktionaldeterminanten) kommer att spela samma roll som derivatan gjorde i envariabelfallet. Vi kastar oss med iver över uppgifterna: 18 20 22 24 26 28. Nu har vi kommit fram till fallet då vi skall göra en ytterligare utvidgning. Generaliserade dubbelintegraler kommer att behandlas i avsnitt 6.6. Först behandlas fallet med positiv integrand därefter integrand med växlande tecken. Lös uppgifterna: 33 37 38 42. Genom att penetrera kapitel 6 omsorgsfullt blir kapitel 7 enklare att bemästra. Uppläggningen i kapitel 7 följer i stora stycken den i kapitel 6 och har därför gjorts mycket kortfattad. KAPITEL 7 Några användbara koordinater är bland annat sfäriskt polära koordinater( rymdpolära koordinater) och cylinderkoordinater. För övrigt studera de lösta exemplena och den kortfattade texten. Träna på följande exempel: 2 5 6 7 12 13 16.
KAPITEL 8 Vi får nu tillämpa våra kunskaper rörande multipelintegraler på beräkningar av bland annat: volymer, arean av buktiga ytor, tröghetsmoment och masscentrum. Vidare får vi stifta bekantskap med flerdimensionell normalfördelning. Avsnitt 8.1 behandlar volymsberäkningar. Med hjälp av en trippelintegral, se sid 265, kan volymen hos en kropp bestämmas. Det gäller att ha en god kännedom om rymdytors utseende. Vi testar vår förmåga på volymsberäkningar: 1 5 9 10 12. I avsnitt 8.2 får vi en försmak av vektoranalysen som kommer att behandlas i kapitel 9 och kapitel 10. Övertyga Dig att uttrycket för arean av den buktiga ytan är korrekt. Studera med eftertanke de lösta exemplena. Du får senare i kursen öva på ytterligare exempel. Nu övergår vi till de för mekaniken så viktiga begrepp som tröghetsmoment och masscentrum. Först behandlas tröghetsmoment i avsnitt 8.3. Tröghetsmoment och deviationsmoment är element i den så kallade tröghetstensorn. Skaffa Dig en känsla på hur tröghetsmomentet fungerar. Använd två stavar vilka kan fästas på varandra på olika sätt. Lös uppgifterna: 13 16. I avsnitt 8.4 behandlar vi nu masscentrum. Penetrera de lösta exemplena och lös därefter följande uppgifter: 18 21. I avsnitt 8.5 får vi en översiktlig inblick i matematisk statistik. Observera att hur linjäralgebran kommer in. KAPITEL 9 I detta kapitel, vektoranalys i planet, introducerar vi begrepp såsom: kurvintegral, Greens formel, potentialer, konservativa fält, differentialformer. Nu över till avsnitt 9.1, kurvintegraler(linjeintegraler, arbetsintegraler). Begrunda den fysikaliska tolkningen av kurvintegral och tag med den då Du studerar kurvintegralens egenskaper. Definitionen på kurvintegral finns på sid 288. Där införes även begreppet differentialform. Vi kan nu direkt tillämpa kurvintegralens definition på exempel: 1 5 6. Greens formel som anger ett samband mellan en kurvintegral och en dubbelintegral återfinns i avsnitt 9.2. lär Dig förstå satsens bevis. Tänk noga igenom satsens förutsättningar. Vi löser: 7 11 15 18 22. I 9.3 ges tillämpningar på Greens formel. Vi börjar med areaberäkning och löser uppgift 23. Observera den termodynamiska tolkningen. Behandlingen av det tvådimensionella flödet är en viktig inkörsport till vektoranalysen i rummet. Vi kommer i avsnitt 9.4. att studera under vilka villkor som linjeintegralen är oberoende av integrationsvägen och endast beror på
startpunkt och slutpunkt. Se sid 303 där begreppet oberoende av vägen förklaras. Vidare definieras potentialfält eller konservativt fält. Från mekaniken är det bekant att konservativa krafter har en potential. Se hur de bekanta differentialerna kommer till användning i detta sammanhang. Att bestämma en differential till en kraft leder till ett system av partiella differentialekvationer. Observera att potentialer är ej entydigt bestämda. I sats 2 ges ett enkelt samband på hur kurvintegraler kan beräknas för konservativa fält. Under vissa villkor visas i sats 3 att kurvintegralen är oberoende av vägen så finns en potential. Det nödvändiga villkoret som ges på sid 310 är ej tillräckligt fö existensen av potential. Det som felar är områdets karaktär. Vi kräver att området skall vara enkelt sammanhängade.vi får hjälp med detta i sats 4. Lär Dig förstå och bevisa de tre satserna och även det nödvändiga villkoret. Om det nödvändiga villkoret ej är uppfyllt så vet vi säkert att det inte finns någon potential. Nu över till problemen: 29 32 36 38 42 45 47 KAPITEL 10 Det är nu dags att ge sig ut i rummet och behandla vektoranalys i rummet. Avsnitt 10.1. behandlar kurvintegraler och ytintegraler. Kurvintegraler har vi redan stött på fast då i planet. Behandlingen i tre dimensioner blir analog. En tolkningen är arbetet som kraftfältet utför längs en given kurva. Den typ av ytintegraler som vi kommer i kontakt med är framför allt flödesintegraler vilka ger oss det nettoflöde som en strömning ger upphov till i en given normalriktning. Observerva begreppen orientering och positiv sida. Nu över till uppgifterna i Övningar i Tillämpad matematik 1. Kurvor&ytor: 1 4 7 8 12 13 14 16 18 19. Kurvintegraler&arbete: 21 23. Ytintegraler och flöden: 29 30 32. Avsnitt 10.2. avhandlar ett samband mellan en flödesintegral över en sluten yta och en trippelintegral över det inneslutna området. Tänk noga igenom förutsättningarna. Sambandet kallas för Gauss sats eller divergenssatsen eller Ostrogradskys sats. Lär Dig förstå och bevisa satsen. Penetrera även den fysikaliska tolkningen av divergensen. Se hur divergens-satsen lyfter fram Arkimedes princip. Vi löser nu följande uppgifter: Divergens och Gauss sats : 35 37 38 40 45 47. Ytterligare träning ges med uppgifterna: Blandade ytintegraler och Gauss sats: 49 51 55. I avsnitt 10.3. behandlar vi ett samband mellan en ytintegral och en kurvintegral längs ytans rand. Tänk noga igenom den fysikaliska tolkningen. Vi behöver några nya begrepp: rotationen och orienterat ytstycke med orienterad rand.
Lär Dig förstå och bevisa Stokes sats vilket är namnet på ovanstående samband. Se till att Du får ordentlig snurr på den fysikaliska tolkning. Vi tränar på uppgifterna: Stokes sats: 74 77 78 81. Vi kommer i avsnitt 10.4. komma i kontakt med nablakalkyl. Den formella nablakalkylen ger oss ett smidigt sätt att ta fram olika formler med ett ringa deriveringsarbete. Stor försiktighet är påkallad. Vi kommer i samband med detta avsnitt att ta ett samlat grepp på grad, div och rot. Vi stöter på begrepp som radiell strömmning, cirkulär strömning, virvelfri strömning respektive källsfri strömning. Nu över till övningsuppgifterna: Grad div rot: 56 58 60 63 69 70 71 72. I avsnitt 10.5. kommer bekanta från tidigare kapitel, men nu i tre dimensioner. Det rör sig om potentialer och exakta differentialformer( totala differentialer). Observera sats 3 som säger att virvelfria vektorfält i ett öppet sammanhängande område har en potential i området. Över till uppgifterna: Potentialer: 82 86 87 Blandade uppgifter: kurvintegraler,stokes & potentialer: 90 91. I det avslutande avsnittet behandlas den vid strömmningar så viktiga kontinuitetsekvationen med vars hjälp diffusionsekvationen och värmledningsekvationen härleds.