Nämnarens läsare känner säkert till

INGVAR PEHRSON Algebrafördjupning Här beskrivs en lokal kurs i algebra med syftet att ge fördjupning och breddning av gymnasiekunskaper för vuxenelever. Förväntningar, motiv, innehåll och resultat visar möjligheterna att höja kunskapsnivån. ingvar.pehrson@komvux.helsingborg.se Ingvar Pehrson är matematik- och fysiklärare på Vuxenutbildningen Kärnan, Helsingborg Nämnarens läsare känner säkert till att svenska elever presterat svaga resultat i algebra vid internationella jämförelser. Det finns dokumenterat vid ett antal mätningar senast i TIMSS Third International Mathe matics and Science Study (Skolverket, 1996). I gruppen för 13-åringar kom Sverige bland de lägst presterande inom delmomentet algebra. I TIMSS jämfördes även avgångs eleverna på gymnasienivå i matematik och naturvetenskap. Vid denna jämförelse kom Sverige ungefär i mitten när det gällde algebra och ekvationer (Skolverket, 1998). Jag är sedan cirka 30 år matematik- och fysiklärare, främst inom vuxenutbild ningen men också sex års erfarenhet från gym nasieskolan. Med TIMSS-rapporterna och mina egna erfarenheter som bakgrund bestämde jag mig att försöka gå några steg i positiv riktning mot bättre algebrakunskaper för mina elever. Med den lokala NoT-gruppen i Helsingborg som arrangör bjöd vi in till ett möte mellan matematiklärare i gymnasiet och på ingenjörshögskolan. Vi utbytte erfarenheter om elevernas/studenternas kunskaper i algebra och bestämde oss för att skapa en lokal kurs i algebra för stadens gymnasieskolor och vuxenutbildningen. Efter ett antal möten och e-postbrev blev kursplanen i algebra verklighet och vi kunde inbjuda gymnasieelever till frivillig extra undervisning i algebra under vårterminen 2001. Kursplanen och all övrig dokumentation kan erhållas via kontakt med underteck nad, se e-post-adress nedan. Jag har också skrivit en mer om fat tande rapport kring arbetet, se (Pehrson, 2001). Lokal kurs i algebra Vid min arbetsplats, Vuxenutbildningen Kärnan, Helsingborg, anmälde sig nästan 40 studerande till kursen! Intresset översteg mina förväntningar. Jag fann det omöjligt att hitta lämplig kurslitteratur på svenska i enbart algebra. Chalmers Tekniska Högskola ger ut ett kompendium innehållande repetitionsuppgifter inför teknologstudier. Man kan gratis hämta tentamensuppgifter efter Chalmers introduktionskurs i matematik på nätet. Dessa källor gav mig underlag. (Motsvarande finns från andra högskolor /universitet. Red:s anmärkning) Jag började undersöka kurslitteratur via de internationella Internetbokhandlarna. NÄMNAREN NR 2 2002 27

Efter några inköp hittade jag lämplig litteratur som passade mina intentioner, se litterturlista. Ett besök på Kellys bokhandel vid Trinity College i Dublin gav också flera positiva napp. Parallellt med utvecklingen av den lokala algebrakursen gick jag en 10-poängs kurs i matematikdidaktik vid Högskolan i Kristianstad utlokaliserad till Helsingborg. I denna kurs ingick ett specialarbete om ett projekt i den egna undervisningen. Jag kunde alltså driva kursen i algebra för mina elever samtidigt som jag involverade den i mitt uppsatsskrivande. De anmälda eleverna var vuxenstuderande, så kallade basårselever. De läste matematik D-E samt kurserna A-B i naturvetarämnena biologi, fysik och kemi på två eller tre terminer. De flesta deltagarna 55% var kvinnor och i åldern 25 35 år. Eleverna fick börja kursen med att anonymt svara på en enkät om sina förväntningar och algebrabakgrunder från tidigare studier i grundskolan och gymnasiet. Enkäten fylldes i av 39 elever och gav en del överraskande resultat. Nästan en tredjedel av eleverna uppgav att de inte läst algebra i grundskolan! Oavsett om detta är sant, eller om de inte förstått vad de studerat, är det häpnadsväckande. En lika stor andel av elevsvaren uppgav att de knappast hade några gymnasiala algebrastudier bakom sig från ungdomsgymnasiet! Av enkätsvaren framgick också tydligt att eleverna var medvetna om att det krävdes tidsinsatser från deras sida för att höja kunskapsnivån i algebra. Undervisningsvolymen var 17 lektionspass om vardera två lektioner. Kursen skulle avslutas med ett betygsgrundande slutprov. Kursstoffet var indelat i tre huvudavsnitt: 1 förenklingar och faktoriseringar av algebraiska uttryck 2 ekvationslösning ekvationer till och med tredje graden 3 exakt trigonometri förenklingar och ekvationslösning Eleverna erhöll kopierat material för färdighetsträning från diverse böcker inför varje lektionspass. Avsnitt 1 med testresultat Varje avsnitt avlutades med ett test som eleverna kunde lämna in anonymt om de ville. Inga hjälpmedel var tillåtna och rättningen var enligt alternativen helt rätt eller fel. I denna typ av lokal kurs är det inte betyget som är huvudsaken utan här kommer kunskaperna i förgrunden. Eleverna kan inte konkurrera med betyg från lokala kurser. I slutet av testet bad jag eleverna att de ärligt skulle ange sin tidsinsats för algebrastudierna mellan lektionerna. Efter första kursavsnittet hade eleverna lagt ner i genomsnitt 2,7 timmar. Det fanns ett tydligt samband mellan angiven tidsinsats och testresultat hos de flesta eleverna. Bättre testresultat med större arbetsinsats. Några enstaka elever de allra bästa behövde inte lägga ner så lång tid för att uppnå bra resultat. Jag var själv överraskad över den flit som eleverna lade ner mellan lektionspassen samt att resultaten blev så bra överlag. Några spontana elevkommentarer efteråt: Nu känner jag ett större självförtroende och är inte så hjälplös när jag skall förenkla. Jag vill lära mig detta med algebra. Det är egentligen första gången jag försöker ordentligt. Avsnitt 2 med testresultat Vi började detta avsnitt med en idéhistorisk översikt över människans strävanden med ekvationslösningar. Alltifrån Rhindpapyrusens ekvationsproblem till Abels och Galois bevis av omöjligheten att algebraiskt lösa ekvationer med gradtal fem och högre, jämför Nämnaren nr 1, 2002. Jag visade att några praktiska problem från Rhindpapyrusen krävde kunskaper om andragradsekvationer. För övrigt löste vi ekvationer med rationella uttryck samt rotekvationer. Här använde eleverna sina kunskaper från kursens första moment. 28 N Ä MNAREN NR 2 2002

Jag hade inte tänkt lösa tredjegradsekvationer men efter elevernas önskemål ändrade jag planeringen. De hade kunskaper i komplexa tal som erfordrades för att behandla Cardanos specialfall och Tartaglias generella metod från mitten av 1500-talet. De lokala kurserna är roliga att arbeta efter då man inte behöver känna sig så uppbunden av yttre ramar som övriga matematik- och fysikkurser är på grund av de krav som de nationella proven ställer. Att kunna lösa tredjegradsekvationer var kursens häftigaste pryl hittills... är ett elevcitat från dessa veckor med ekvationslösningar. Även detta avsnitt avslutades med ett test. Förfaringssättet var detsamma vad gäller rättning och hjälpmedel. Alla svar skulle vara exakta. Antalet uppgifter var färre, då varje uppgift tog längre tid att lösa. Slutsatserna var snarlika de från första testet. Det var även denna gång ett tydligt samband mellan testresultat och tidsinsats. Dock hade arbetsinsatsen mellan algebralektionerna sjunkit något då vi kommit fram till mitten av terminen. Det var andra kurser som började göra sig påminda med prov. Bästa testresultatet hade några elever med förhållandevis låga arbetsinsatser. Avsnitt 3 Sista tredjedelen av terminen ägnades åt trigonometri. Jag gav även denna gång en historisk bakgrund till gymnasiets trigonometrikurs. Vi började med bidragen från Hipparchos och Ptolomaios kring åren 100 till +100. Vi lade till två nya trigonometriska definitioner sec α och csc α som är vanliga i de amerikanska böcker som vi arbetade efter. Därefter tog vi upp Johannes Müllers Regiomontanus insatser för trigonometriutvecklingen på slutet av 1400-talet. Hela tiden arbetade vi med exakta metoder för ekvationer och trigonometribevis. Genom flitigt användande av kalkylator har den exakta trigonometrin kommit i bakvattnet. Nu hade vi kommit fram till den tid på terminen då nationella prov börjar göra sig påminda och algebrakursen skulle avslutas med ett betygsgrundande slutprov. Enkät och betygsgrundande slutprov Innan detta slutprov fick eleverna fylla i en ny enkät. Jag ville följa upp elevernas inställningar till algebraundervisningen. Vid första enkäten inför kursen fick jag 39 svar. Vid slutet av kursen återstod 32 elever. Några enkätsvar var entydiga: Eleverna rekommenderade algebrakursen till andra elever med otillräckliga algebrakunskaper. De idéhistoriska inslagen var uppskattade. Jag tror dessa inslag gav en avkopplande paus i den ibland intensiva koncentrationen. Upplägget med tester och betygsgrundande slutprov mötte bifall. Skolan borde innehålla fler lokala kurser där kunskaperna står i förgrunden och man slipper den jobbiga betygsstressen... är ett spontant elevcitat från enkäten. Kursen skulle enligt den upplagda planen avslutas med ett prov omfattande hela kursstoffet. Provet innehöll totalt 13 uppgifter om vardera 2 poäng. Till alla uppgifterna skulle lösningar lämnas och alla svaren skulle anges i exakt form och återges i slutet av artikeln. Eleverna hade tillgång till det formelblad som är tillåtet hjälpmedel vid nationella provet i matematik E. Min avsikt var att inte göra provet alltför svårt utan eleverna skulle känna sig nöjda med sina resultat. Resultaten spänner över poängintervallet 3 till 25 poäng. Fem elever nådde 25 poäng vilket jag betraktar som mycket bra. Antal deltagare Maxpoäng Medelpoäng 31 st 26 p 15,7 p Spridningen var stor. Nästan varje poängsumma upp till och med 25 var resultat för någon elev. NÄMNAREN NR 2 2002 29

Personliga slutkommentarer För egen del var det enbart en positiv upplevelse att gå till veckans algebralektion. Det var en inspirerande miljö. Eleverna gav snabb och orädd feedback till mig som lärare. De höjde sin algebranivå överlag och några fick kunskaper som ligger långt över nivån för gymnasister i allmänhet. Didaktikkursens specialarbete Inför min uppsatsskrivning ställde jag några frågor som jag ville ha besvarade. Svenska elever har dåliga kunskaper i algebra enligt internationella jämförelser. Kan kkunskapsnivå höjas med extra undervisning i algebra? Det har min kurs klart påvisat. Vilka faktorer kan påverka en höjning av algebrakunskaperna. Här kommer min klaraste slutsats: Från testen under kursens gång är det tydligt att det är arbetsinsatsen hos varje enskild elev som är mest avgörande för kunskapshöjningen. Denna slutsats finns också dokumenterad i internationell forskningslitteratur. Påverkar goda kunskaper i algebra förmågan att lösa problem i matematik och fysik? Eleverna anser själva i enkäter att deras förmåga har ökat. Några månader in på höstterminen 2001 skickade jag ut en enkät till mina gamla algebraelever som nu studerade matematik på sin första högskoletermin. Jag fick 13 elevsvar. Först frågade jag om de kunde peka på någon vinst med algebrakursen vid sina högskolestudier. Alla svaren innehåller positiva omdömen i varierande grad. Nedan några citat: Jag vill nästan påstå att det borde vara obligatoriskt med en separat algebrakurs i gymnasiet. Kursen har varit en förutsättning för mig att klara de stora algebrakliv som lärarna tar i sin undervisning. Jag är mycket tryggare i algebramanipulerandet. Hänger lätt med på tavlan då de härjar på. Jag kan hjälpa andra yngre studiekamrater. Det är jag stolt över. Jag har dessutom märkt att jag utvecklar mina egna kunskaper Enkäten innehöll en andra fråga om eleverna saknat något avsnitt i matematikundervisningen från gymnasiet. Elevsvaren var förväntade: Jag skulle vilja kunna mer om vektorer och matriser. Vilket häftigt nytt sätt att lösa ekvationssystem på. Varför fi ck vi inte lära oss något om skalärprodukt och vektorprodukt? Vid kommande kurser i algebra kommer jag att ta in moment som underlättar för eleverna att studera linjär algebra. Avslutningsvis ges några förslag till didak tiklitteratur och till läromedel. REFERENSER Pehrson, I. (2001). Algebra. Ett undervisningsprojekt för basårselever. Stencil. Skolverket (1996). Svenska 13-åringars kunskaper i matematik och neturvetenskap i ett internationellt perspektiv. Skolverkets rapport 114. Stockholm: Liber distribution. Skolverket (1998). TIMSS. Kunskaper i matematik och naturvetenskap hos svenska elever i gymnasieskolans avgångsklasser. Skolverkets rapport nr 145. Stockholm: Liber distribution. DIDAKTISK LITTERATUR Bell,E.T. (1986). Men of Mathematics. New York: Simon & Schuster. Berry, J. & Monaghan, J. (1997).The State of Computer Algebra in Mathematics Education. Lund: Studentlitteratur. Fraser, B. & Walberg, H. (1995). Improving Science Education. Chicago: Chicago University Press. 30 N Ä MNAREN NR 2 2002

Resnikoff, H. & Wells, R. (1984). Mathematics in Civilizations. New York: Dover. Struik, D. (1987). A concise History of Mathematics. New York: Dover. Wagner, S., & Kieran, C. (1989). Research Issues in the Learning and Teaching of Algebra. Reston: Lawrence Erlbaum Assoc. LÄROMEDEL Larson, L. (1979). Algebra and Trigonometry Refresher. Oxford: W H Freeman Marvin, B. (1993). Algebra and Trigonometry. New York: Addison Wesley Text & Tests #4. Dublin: Celtic Press. Text & Tests #5. Dublin: Celtic Press. Mathsbank. Dublin: Celtic Press. Pettersson, R. (1999). Matematik Kort förberedande kurs för blivande teknologer. Göteborg: Chalmers och Göteborgs universitet. Pettersson, R. (2001). Tentamina efter introduktionskursen i mate matik Chalmers 1990 2000. Göteborg: Chalmers och Göteborgs universitet. NÄMNAREN NR 2 2002 31