Att utveckla förstf rståelse för f r hela tal Kommentarmaterial, Skolverket 1997 Att lära sig matematik handlar om att se sammanhang och att kunna föra logiska resonemang genom att känna igen, granska och pröva olika sätt att dra slutsatser med hjälp av flera representationsformer. Det är betydelsefullt att undervisningen bidrar till att en matematisk idé eller ett begrepp tydliggörs och att översättningen mellan de olika representationsformerna diskuteras så att eleven förstår och kan förklara sambanden där emellan.
Exempel påmål att sträva mot - utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och att använda matematik i olika situationer - utvecklar sin förmåga att förstå, föra och använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande
Mål som eleverna lägst ska ha uppnått i skolår 3, 5 och 9 Förstå tal skolår 3 Kunna läsa och skriva tal samt ange siffrors värde i talen inom heltalsområdet 0 1000 Kunna jämföra, storleksordna och dela upp tal inom heltalsområdet 0 1000 Kunna beskriva mönster i enkla talföljder Kunna hantera matematiska likheter inom heltalsområdet 0-20
Förstå tal skolår 5 Ha en grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och enkla tal i bråk- och decimalform Kunna upptäcka talmönster Förstå tal skolår 9 Ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform
Förståelse för hela tal Kritiska punkter nivå skolstarten 3 * Antalskonservation * Grundläggande räkneprinciper * Sambandet räkneord, talsymboler och antal * Kunna talraden till minst 20 * Räkna föremål i 2, 5 och 10 i taget * Skriva, säga och representera tal upp till flera hundra * Användning av positionssystemet för att lägga till 100 * Uppskattning av tal på tallinjen 0-100
Kritiska punkter nivå4-5 * Säga, läsa och skriva tal upp till flera tusen även med pengar i olika sammanhang * Placera heltalen på en tänkt tallinje * Uppskatta antal i mängder genom olika strategier * Läsa, skriva och säga fyr- och femsiffriga tal * Räkna uppåt och nedåt i tiosteg från vilket tal som helst upp till 1000 * Dela upp tal på icke standardiserade sätt
Kritiska punkter nivå6-9 * Dela upp tal på icke standardiserade sätt för att underlätta beräkningar * Välja bland flera olika tekniker för att räkna mängder och pengar * Läsa, säga och ha känsla för stora och små tal och mängder * Ha en känsla för storleken på stora tal genom personliga referenstal * Ha känsla för och bedöma tals relativa storlek * Ha förtrogenhet med stora och små tal
Elevintervju Kap. 2 Här är 6 föremål. Hur många är det om jag tar bort två? Räknar alla, räknar två som tas bort och räknar hur många som är kvar. Tar bort två och räknar sedan 1, 2, 3, 4. Uppfattar antalet genom subitisering och ser att det är fyra.
Test 1 Kap. 2 4 Ringa in gruppen med fyra snöstjärnor. Skriv talet fyra. Sambandet räkneord, talsymboler och antal
Test 2 Kap. 2 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Talen står i ordningsföljd men några gömmer sig bakom prickar. Vilka tal finns bakom de tre svarta prickarna? Räkna när flera tal är utelämnade eller se och använda talmönster. Eftersom talen är ordnade i rader om tio, finns samma ental i samma kolumn. Observera om eleven använder uppåträkning en i taget eller mönstret som hjälp.
Test 5 Kap. 3 Användning av positionssystemet för att ta bort 100
Test 9, elevversion Kap. 3 Uppåträkning stora tal. Använda positionssystemet för att lägga till 10, med hundratalsövergång.
Kända svårigheter och missuppfattningar Antalskonservation Grundläggande räkneprinciper hur många Koppla samman siffersymbolerna med räkneorden. Principer för hur vi namnger och skriver tal talen mellan 11 och 20. (Jämför kinesiska uttryck, tio-tre, tio-fyra, tio-fem ). Tiotalsövergång tjugoåtta, tjugonio, tjugotio Stegräkning, tex 2-steg, 5-steg, 10-steg
En grupp föremål som en enhet (ett tiotal, ett hundratal.) Relationerna mellan ental, tiotal, hundratal och tusental. Tiotalsövergångar, hundratalsövergång. Siffrors platsvärde (14 och 41). Nollan som symbol för tomma mängden (tex tresiffriga tal tvåhundrafyra ). Dela upp tal på icke standardiserade sätt (47 = 40+7 = 30+17 = 20+27). Uppskatta antal i en mängd Tallinjen, bedöma tals relativa storlek.
Glupska grisen akta dig för ettan! En lek som tränar enkel addition (och sannolikhet)
Förståelse för hela tal Antalskonservation Antalet förändras inte: - om vi flyttar på föremålen, - om vi räknar dem om igen, - om vi sprider ut dem, eller lägger dem tätt tillsammans. Föremålens storlek påverkar inte antalet.
Om undervisningen Sortera knappar, olikfärgade kuber, logiska block efter olika egenskaper. Diskutera likheter och skillnader i objektens egenskaper. Storleksordna föremål. Para ihop, dela upp och jämför mängder, fler/färre, flest/färst, storleksordna mängder, begreppet skillnad.
0 100
Dela upp tal påp icke standardiserade sätts
Räkna ofta i kör framåt och bakåt påräkneramsan. Det hjälper eleven att befästa mönstret i talföljden. Räkna framåt och bakåt i steg om två, fem och tio från 0 respektive 100. Räkna framåt och bakåt i steg om två, fem och tio från vilket tal som helst (70, 23, 82 ). Skriv aktuella talföljder. 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 Arbeta med talföljder med hjälp av miniräknaren. Eleven säger vilket tal som följer på det aktuella talet och kontrollerar med den programmerade miniräknaren.
Utveckling av inre tallinje
Tallinje Sortera talen på tallinjen. Räkna framåt och bakåt. Vilket tal kommer före/efter 10? 20? 30? Vad är ett mer/ett mindre än ett givet tal? Två mer/två mindre? 5, 10, 15? 10, 20, 30 2, 4, 6? 1, 3, 5?
Var påp tallinjen vill du placera 19, 49, 78? Använda t ex talen 50, 25 och 75 som referenspunkter 0 100
Uppskatta och bedöma tals relativa storlek 0 20 0 100 0 1000
100 -ruta Undersök slutsiffran i varje kolumn och startsiffran i varje rad. I vilken kolumn slutar alla tal med 2? I vilken rad börjar alla tal med 4? Starta på talet 14 och räkna på 10 sekvensen. Vad upptäcker du? Vilka tal är multiplar av 2. Ringa in dem. Vilka tal är multiplar av fyra? Ringa in dem med en annan färg. Jämför multiplar av 2 och 4 och beskriv de mönster som du upptäcker.
Välj två angränsande tal, mindre än 50. Visa dem inte för någon. Addera talen och markera summan på 100-kvadraten. Utmana en kompis att komma på starttalen. Vilka frågor ger relevant information? Välj ett tvåsiffrigt tal och skriv ner det. Byt plats på siffrorna i talet och skriv det också (exempelvis 36 och 63). Räkna ut differensen mellan talen och markera det på 100-rutan. Upprepa tio gånger med olika tal. Diskutera i klassen vad ni upptäcker! Gissa mitt tal Jag tänker på ett tal som är större än 20 men mindre än 25. Mitt tal är udda och delbart med 3. Välj ett tal och formulera egna ledtrådar. Utmana en kompis!
Sammanställning nivå 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Karin / / / / / / / / / / / / / 0 0 / / Ebba / / / / / / / / / / / / / / / / / 0 Viktor / / / / / / / / / / / / / / / / / Gustav / / / / / / / / / / / / / / / 0 / / Lina / / / / / / / 0 / 0 / / / / / / / / / Nadja / / / / / / / 0 / / / / / 0 / / / Senad / / / 0 / / / / / / / / / / 0 / / / Amanda / / / / / / / 0 / / / / 0 / / / / / Kapitel 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 8 9 9 9 10 10 10 14 14
3. 5 = 15 eller 5. 3 = 15 Sambandet mellan en bild och ett multiplikationsuttryck. Att formulera ett rimligt uttryck till en given bild tyder på förståelse för operationen. 5 + 5 + 5 = 15 visar inte om eleven förstår sambandet mellan bilden och multiplikation. Uppfatta grupper av föremål som helheter. Sambandet mellan en räknehändelse och ett uttryck. Uppgiften skiljer avsiktligt mellan förmåga att identifiera operationen och förmåga att göra beräkningen.
Översiktsdiagnosen leder till frågor Varför gör eleven särskilda misstag? Vilka är de bakomliggande faktorerna? Vilken typ av åtgärder behöver eleven? Vad innebär detta för min undervisning?
Intervjuunderlag råd d och riktlinjer En intervju är inte ett undervisningstillfälle! Elevens tänkande är i centrum. Eleven står för pratandet under intervjun. Eleven får ett par uppgifter som hon tidigare har besvarat korrekt. Läraren håller sig neutral och ger varken positiv eller negativ respons.
Intervju: Eleven ska få möjlighet att visa och förklara så att läraren kan upptäcka vad som sker inne i elevens huvud när hon löser problem L: Om du skulle förklara vad multiplikation är, för någon som inte förstår det hur skulle du göra då? E: Jag skulle säga att det är plus många gånger. Tex 3+3+3+3. L: Om du skulle säga det med multiplikation, hur skulle du säga då? E: Fyra gånger tre. L: Skulle du kunna visa den multiplikationen på något sätt? E: Ja, på tallinjen
L: Skulle du kunna visa med hjälp av markörerna också? E: Ja, såhär. L: Vilken multiplikation har du lagt? E: Fyra gånger tre. L: Hur mycket är fyra gånger tre? E: Tolv. L: Kan man se det? E: Hm, dåfattas det fem. Nej, jag skulle inte visa med markörer! L: Hur tänkte du när du lade markörerna just så här? E: Jag tänkte fyra gånger tre liksom istället för siffror, om du förstår.
Bakgrund Multiplikation presenteras ofta inledningsvis som upprepad addition. fyra korgar med tre äpplen i varje korg Bilden kan också representeras på en tallinje Två tal som multipliceras representerar två oberoende dimensioner
Kända svårigheter och missuppfattningar Multiplikation och division (representationer, berättelser, symboler) - elevens förmåga att uppfatta en samling av objekt som en enhet (jfr ett tiotal, ett hundratal etc.). - eleven missuppfattar symbolen för multiplikation - eleven uppfattar inte att multiplikation representerar situationer där lika stora mängder adderas successivt - eleven har en begränsad uppfattning av multiplikation, enbart som upprepad addition - multiplikation leder alltid till något större och division till något mindre.
Multiplikationens tvådimensionella karaktär
* Uppmärksamma hur takplattor, fönsterrutor och skåp sitter i rader och kolumner. Hur många rader är det? Hur många kolumner? Hur räknar vi ut hur många det är totalt?
10 4 10 10 4 = 4 10 13 47 10 40 7 400 70 3 120 21 4
* Rita en bild av 5 3. * Hitta på en berättelse till 7 6. * Här är fyra pappersremsor. Var och en är 6 cm långa. Skriv detta som en multiplikation. Skriv det som en division. Hitta på en berättelse kopplat till multiplikation. Hitta på en berättelse kopplat till division. * Jag delade ut 12 bullar till tre kompisar. Rita en bild. Skriv en matteuppgift.
* Använd knappar som hjälp att illustrera följande: En bonde planterar frön i rader. Han vill ha minst tvårader och raderna måste innehålla lika många frön. Hur kan han plantera 6 frön? 9 frön? Påvilka olika sätt kan han plantera 24 frön? Kan han plantera 7 frön? Varför? Varför inte? Vilka antal frön upp till 20 kan han inte plantera? * Använd tanketavlan och låt eleverna använda och röra sig mellan olika representationer för multiplikation: laborativt material, berättelser, bilder, talat språk och skrivet språk.
Tanketavlan användningsomr ndningsområdenden Vid introduktion av ett begrepp För att låta eleven arbeta med ett begrepp i olika representationer För att följa upp undervisningens effekter För att lyfta fram och synliggöra samband, tex mellan multiplikation och division, tal i bråkform och tal i decimalform osv.
Central exekutiv Visuell-spatiala upplagring Episodisk buffert Fonologisk lagring Inre tysta talet Långtidsminnet Baddeley, 2006
Klassrumssituationer - ouppmärksamma, distraherade, dagdrömmer - tillbakadragna i klassrumsdiskussioner - svårt att övervaka och kontrollera sitt arbete - svårt att komma ihåg och följa instruktioner - dålig uthållighet - presterar under sin förmåga, lär sig långsamt
Några principer för undervisning Övervaka elevens skolarbete Bedöm aktiviteters krav på arbetsminnet och reducera kraven när det är möjligt Skapa sammanhang i undervisningen Använd olika typer av minnesstöd i klassrummet Hjälp eleven att utveckla minnesstrategier Kontinuerlig kartläggning, analys och åtgärder
Exempel påp hur handboken kan användas ndas Upptäcka och analysera hur elever tänker, vilka svårigheter och missuppfattningar som kan finnas. Få hjälp att planera innehållet inom ett eller flera områden. Kontrollera hur väl en lärobok täcker det aktuella området. Hitta goda exempel på aktiviteter och uppgifter inom olika områden av taluppfattning..
Division är mer komplext än multiplikation eftersom två distinkta situationer (delningsdivision och innehållsdivision) kan representera samma uttryck tex. 20/5 Om jag delar ut tjugo pennor till fem personer så får de fyra pennor var. Om jag klipper fem cm långa remsor från ett band som är tjugo cm långt, så får jag fyra sådana remsor. Att översätta från en situation till symbolspråk 12/3 uttalas som: tolv dividerat med tre, eller tre går i tolv Språkligt kastar vi om de två talens positioner (3/12)