Lösningar till repetitionsuppgifter

Lösningar till repetitionsuppgifter 1. Vågen antas röra sig i positiva x-axelns riktning dvs s = a sin(ω t k x +δ). Elongationen = +0,5 a för x = 0 vid t = 0 0,5 a = a sin(δ) sin(δ) = 0,5 δ 1 = π/6 och δ = π - π/6 =5 π/6 Vid tiden t 1 gäller i punkten x 1 att s = a sin(sin(ω t 1 k x 1 +δ ι ). i = 1, Här är ω = π f =1π, k = π/λ där v = f λ λ = 10/6 = 5/3 m. Detta ger att k=3 π/ 5 =6 π/5 Vidare är t 1 =0,15 s och t 1 = m. Insättning ger s 1 =a sin(π (1 0,15 1, + 1/6)) = -0,978 a s =a sin(π (1 0,15 1, + 5/6)) =0,669 a Svar: Elongationen är 0,669 a eller 0,978 a.. a) Ur figuren framgår att λ = 0 cm = 0,0 m b) Hastigheten v = s / t. På tiden π /60 s har vågen rört sig λ / 6 + p λ och på tiden π / 10 s har den rört sig λ + p λ där p och p är heltal. Rörelsen är åt positiva x-axelns håll. Minsta hastigheten erhålls då p = p = 0. Detta ger att v = s / t = /π m/s c. Ansats s = a sin(ω t k x +δ). Figuren visar att a = 0,03 m. Vidare ser vi att s = 0,03 m för t = 0 och x = 0 0,03 = 0,03 sin(δ) sin(δ) = 1 δ = π / s = a cos(ω t k x ). k = π / λ = 10 π och v = ω / k ω = v k = ( / π) (10 π) = 0 rad /s. Detta ger att s = 0,03 cos(0 t - 10 π x) Svar. a) λ = 0,0 m b) v = / π m/s c) s = 0,03 cos(0 t - 10 π x) 3. En harmonisk våg skrivs i allmänhet på komplex form: S = A e i (ω t - k x) där den komplexa amplituden A = a e i δ. a = reella amplituden och δ = faskonstanten. I detta fall är A = 5 + 3 i, k = och ω = 50. Detta ger att v = ω / k = 50/ = 5 m/s a = A = (Re(A) + (Im(A)) = 5 + 3 = 34 5,8m och tan(δ) = Im(A) Re(A) = 3 5 δ = 310 Vågen utbreder sig i positiva x-axelns riktning ty det är olika tecken framför t resp x termen. Svar: f = 8 Hz, v = 5 m/s, a = 5,8 m och vågen utbreder sig i positiva x-axelns håll. 4. Allmänna ekvationen för en våg, som utbreder sig i negativa x-axelns håll,är s = a sin(ω t + k x +δ) dvs för t = 0 kan vi skriva s(x,0) = a sin(k x +δ). I detta fall är s(x,0) = 5 sin(π x / 5 t ) dvs a = 5 och k = π / 5 och δ = 0. v = ω / k ger att ω =k v ω = (π / 5) = π / 5. Detta ger att s(x,t) = 5 sin( π t / 5 + π x / 5 ). Om t = 4 får vi s(x,4) = 5 sin( π 4 / 5 + π x / 5) = 5 sin(π/5 (x + 8)) Alternativt: s(x,t) erhålles ur s(x,0) genom att låta x x + v t s(x,t) = 5 sin(π/5 (x + t)) osv Svar: s(x,4) = 5 sin(π/5 (x + 8))

5. a a δ a 1 Vågorna kan betecknas s 1 = a 1 sin (ω t - k x) och s = a sin (ω t - k x + π / 6) s = s 1 + s = a sin (ω t - k x + δ) = a 1 sin (ω t - k x) + a sin (ω t - k x + π / 6) När det gäller två vågor kan vi använda a = a 1 + a + a 1 a cos(δ 1 - δ ) där δ 1 - δ =k (r 1 r ) + α 1 - α α 1 = 0 och α = π /6 I detta fall är r 1 r = 0 Vi får då a = 1 + + 1 cos(π / 6) = 8,47 a sin π 6 Vidare är tanδ = a 1 + a cos π δ = 0,351 rad = 0,1 0 6 k = π /λ = π /0,37 =16,98 ω = π f = π 10 4 = 6,8 10 4 Svar: s =,9 sin(6,3 10 4 t - 17 x +0,35) 6. Röret är slutet i ena änden och öppet i den andra. Vid resonans så svänger luftpelaren med en nod i den slutna änden och en buk i den öppna. Om vi väljer ett koordinatsystem med origo i den slutna änden och x-axeln längs röret kan vi beskriva vågen som s = a cos(ω t) sin(k x) Om vi skall ha en buk i den andra änden och x-koordinaten för denna ände är L får vi att sin(k L) = ±1 π /λ L = ( p + 1) π / λ =4 L / ( p + 1) Vi vet att v = λ f f = v / λ =v ( p + 1) / (4 L) Om den ena resonansen inträffar för p (den kortare längden) så inträffar den andra för p + 1 Detta ger f = v ( p + 1) / (4 L 1 ) (1) f = v ( (p+1) + 1) / (4 L ) () Om vi dividerar dessa två ekvationer får vi ( p +1) L = 1 p = 3 L 1 L p = 0 (p + 3) L 1 (L L 1 ) För den först längden är det grundtonen vi hör. p = 0 insatt i ekv (1) ger att v = 33 m/s Svar: Hastigheten var 33 m/s 7. Staven hänger med en nod i mitten och buk i ändarna. Om vi lägger in ett koordinatsystem med origo i ena änden och x-axeln längs med staven kan vi teckna vågen som s = a sin(ω t) cos(k x) om vi skall ha en buk för alla tider i x = 0. Om stavens längd är L så har vi en nod för x = L/ cos(k L / ) = 0 k L/ = ( p + 1) π / π / λ (L/ ) = ( p + 1) π / λ = L / ( p + 1).

v = λ f f = v / λ f = ( p + 1) v/ ( L) Om den ena resonansen inträffar för p 1 och f 1 = 570 Hz så inträffar nästa för p 1 + 1 och f = 950 Hz. Vi får då f 1 = ( p 1 + 1) v/ ( L) (1) f = ( (p 1 +1) + 1) v/ ( L) () Om vi dividerar ekvationerna med varandra får vi f 1 / f = ( p 1 + 1) / ( p 1 + 3) p 1 = 3 f 1 f ( f 1 f ) p 1 = 1 ekvation (1) ger att v = L f 1 / ( p 1 + 1) v = 1900 m/s Enligt uppgift är v = E ρ E = ρ v ρ= m / V där V = π d L / 4 E = (4 m/(π d L)) v E = 8,895 10 10 Svar: E = 8,9 10 10 8. Låt vibratorn vara fastsatt vid x = L (=10,000 m) och den fasta inspänningen vara vid x = 0. Den så bildade vågen måste vara av typen s = a cos(ω t) sin(k x) (nod för x = 0) där a = amplituden på den inkommande vågen. v = ω / k ger att k = ω /v = π f / v = π 5 / 5 = 10 π ω = π f = π 5 = 50 π a = 5 10-3 m och x = 5,330 m. s(5,33,t) = 5 10-3 cos(50 π τ) sin(10 π 5,330) s(5,33,t) = -0,0405 cos(50 π τ) Alternativt: s(5,33,t) = -0,0405 sin(50 π τ) Svar: s(5,33,t) = -0,0405 cos(50 π τ) 9. A och B sänder i fas. Fasskillnaden mellan vågorna i P blir φ = k (BP AP) + α A - α B där α A - α B =0 eftersom A och B sänder i fas. P hör min då φ = ( p +1) π Pythagoras sats ger att AB + AP = BP vilket ger BP = AB + AP Vi får då att min inträffar för π λ ( AB + AP AP)= ( p +1) π Detta ger att λ = ( AB + AP AP) Men v = λ f f = v / λ ( p +1) v ( p +1) f = AB + AP AP ( ) 340 ( p +1) f = 1 + 4 4 ( ) =1381 ( p +1)Hz Frekvenserna blir 1,4 khz, 4,1 khz,, 6,9 khz osv

10. b) Antag att amplituden från vardera högtalare på 1 m avstånd från källan är a 0. Då blir amplituden för vågen från A i punkten P lika med a AP = a 0 /AP och vågen från B får i punkten P amplituden a BP = a 0 /BP Maximala amplituden i P blir då a max = a AP + a BP och den minsta amplituden blir a min = a AP - a BP eftersom A och B sänder ut koherenta vågor. Vidare gäller att I = konstant ω (amplitud) a 0 Detta ger att I max ( = ω max I max ) I max AP + a 0 BP = I min ( ω min I min ) I min a 0 AP a 0 BP Om vi antar att ω max ω min får vi att a 0 I max 4 + a 0 17 = = 4354 I min a 0 4 a 0 17 Svar: a) Min inträffar för 1,3, 4,1, 6,9... khz b) I max I min är ca 4400 P 1 a 3 a R1 a 3 1 P a 1 Då λ<< 10 km ger varje sändare var för sig samma intensitet i P 1 och P. a) När sändarna är synkrona och koherenta så adderas deras amplituder med hänsyn tagen till eventuella fasskillnader mellan signalerna. Intensiteten I = konstant (amplituden) I P 1 adderas amplituderna enligt högra figuren ovan. Resonemang: Tag sändare 1 som riktfas. Om vi tittar på punkten P 1 så är avståndet mellan 1 och lika med λ / 4. Fasskillnaden blir då φ 1 = k λ / 4 = π /λ λ / 4 = π / Det är samma fasskillnad mellan och 3 vilket betyder att fasskillnaden mellan 1 och 3 blir π. Efter detta resonemang kan figuren ovan ritas upp. Om man tänker på längden av pilarna så är a 1 = konst I 1 a = konst I a 3 = konst I 3 Pythagoras sats ger sedan

a R1 = (a 3 a 1 ) + a I R1 = ( I 3 I 1 ) + I = ( 30 10) + 0 = 5,36 I P är alla vågor i samma fas varför a R =a 1 + a + a 3. Detta ger att ( ) = 17 I R1 = I 1 + I + I 3 b) Om vågorna är inkoherenta så adderas intensiteterna i P 1 respektive P. dvs I R = 60 mw / m. Svar: a) 5 mw/m respektive 17 mw/m b) 60 mw/m i båda fallen 11. a) Pulsens hastighet i luft är v = κ R T 1, 4 8,314 91 = = 341,8m / s M 9 Tiden det tar för pulsen att gå fram och tillbaka dvs sträckan s är t = 47,06 ms s = v t ger att s = 8,04 m = 804 cm b) v 18 = κ R 91 v M 0 = κ R 93 v 0 = 93 M v 18 91 = 1,003 v = 1,003 v 0 18 =1,003 341,8 = 34,8 s = v t ger för t = 47,06 ms att s = 8,07 m = 807 cm Det innebär att instrumentet visar 3 cm fel Svar: a) Avståndet är 804 cm b) Instrumentet visar 3 cm fel 1. En högtalare ger ljudintensitetsnivån L 1 = 10 log(i 1 / I 0 ) I 1 = konstant a 1 där a 1 = amplituden från en sändare vid mikrofonen. Vågorna från alla fem sändarna ligger i fas när de når mikrofonen. Den resulterande amplituden blir då a R = a 1 + a + a 3 + a 4 + a 5. Nu var amplituden lika för alla vågor. Detta ger att a R = 5 a 1 Detta ger att I R = konstant (5 a 1 ) = konstant 5 a 1 = konstant 5 I 1 L 5 = 10 log ( 5 I 1 /I 0 ) =10 (log(i 1 /I 0 ) + log(5)) = L 1 + 10 log(5) = L 1 + 13,98 Svar: Ljudtrycksnivån (eller ljudintensitetsnivån) ökar med 13,98 db 13. a) I 1 = p Z 1 I 1 = 0 400 = 0,5W / m ( ) b) Reflektansen R = Z 1 Z (Z 1 + Z ) Det transmitteras då 1 R =0,149 I T = I 1 0,149 = 0,064 W/m c) I = p Z p = Z I p = 1 10 3 0,064 = 38,7Pa Svar: a) Intensiteten är 0,5 W/m ( ) ( ) = 0,8751 3 400 1 10. Detta ger att R = 400 +1 10 3 14. a) Vågen kan skrivas s = 3,7 10-8 sin(00 π t 0,6 π x ) Z= 4300 Ns/m 3 Vi ser från ekvationen att ω = 00π 0ch k = 0,6 Partikelhastigheten är b) Det transmitteras 0,06 W/m c) p = 39 Pa

v p = s t = 3,7 10 8 00 π cos(00 π t 0,6 π x) v max = 3, 7 10 8 00 π =,35 10 5 b) I = Z s 0 ω I detta fall fås ur ekvationen ovan att s 0 = 3,7 10-8 och ω =00 π Detta ger att I = 4300 (3,7 10 8 ) (00 π) = 1.16 10 6 Ljudintensitesnivån = L = 10 log(i/i 0 ) =10 log(1,16 10-6 / 10-1 ) = 60,65 db c) Det står inget om storleken på Z (utom att den är större) för det andra mediet. Detta innebär att vi måste förutsätta att ingen energi går förlorad vid reflektionen. Detta medför då att amplituden på den reflekterade vågen är lika stor som för den infallande. Vi har då reflektion mot ett tätare medium att vi får en nod i reflektionspunkten. Om vi tittar på våglängden gäller k = 0,6π = π /λ λ =10/3. Vi får ju en stående våg med en nod efter 10 m. Vad har vi i origo? Mellan två noder är det λ/. 10 /(10/3) = 3 Vi har alltså tre hela våglängder till origo räknat från reflektionspunkten. detta innebär att vi måste ha även en nod i origo. Vi kan då beskriva vågen med s = 3,7 10-8 cos(ω t) sin(k x) där a är amplituden på den infallande vågen. Vidare är ω =00π och k = 0,6π. Svar: a) v p.max = 3 µm/s b) Ljudintensitesnivån = L = 60,65 db c) s = 7,4 10-8 cos(ω t) sin(k x) 15. Z luft = 41 Ns/ m 3 och Z vatten = 1,46 10 6 Ns/ m 3 Reflektansen blir R = Z Z vatten luft Z vatten + Z = 1, 46 106 41 luft 1, 46 10 6 = 0,9989 Detta + 41 betyder att transmittansen T = 1 R =0,00118. Intensiteten hos det transmitterade vågen blir då I T = 0,00118 I in Vi det att den inkommande vågen lar ljudintensitetsnivån L in = 10 log(i in / I 0 ). Vi får då att L vattnet = 10 log( 0,00118 I in / I 0 ) = 10 log( 0,00118) + 10 log(i in / I 0 ) = 9,48 + L in. Detta betyder att dämpningen är 9,48 db. Svar: a) Dämpningen blir 9 db b) Detta är inte mycket vid normala lyssningsnivåer. Om modern sjunger eller spelar ett musikinstrument som är i kontakt med kroppen leds ljudet fram till fostret. Så om modern är musikalisk så blir kanske barnet det också. Frågan är om det beror på arv eller miljö. 16. Gränsen för totalreflektion n 1 sin(i) = n sin(90) sin(i) = n /n 1. I detta fall är n 1 = n vatten =1,33 och n = n luft =1 vilket med för att i = 48,75 0. Toppvinkeln på konen som utgår från personen i fråga blir i =97,51 0. Radien (r) på cirkeln på vattenytan blir tan(i) =r / djupet r = tan(i) =,81. Arean av cirleytan blr då = π,81 =16,34 m. Svar: Arean är 16 m. 17.a) n k = 1,607 och n m =1,459. kärnan har radien r = 1 µm. λ= 1,5 µm.

θ max α d 90 α r 1 sin(θ max ) = n k sin(α). (1) Vidare gäller för totalreflektionen att n k sin(90-α) = n m sin(90 0 ). n k cos(α) = n m cos(α) = n m / n k () (1) ger att sin (θ max ) = n k sin (α) sin (θ max ) = n k (1-cos (α)) som med () ger sin (θ max ) = n k (1- n m / n k ) sin (θ max ) = n k - n m sin (θ max ) =0,4538 θ max = 4,35 0. b) Om vi tittar på pulsen som träffar fibern vinkelrätt så tar det för den pulsen att gå 100 m t 1 = 100 /v där v är ljusets hastighet i fibern. För den andra pulsen gäller 1 sin (10 0 ) = 1,607 sin(α ) α = 6,03 0. Ur figuren får vi att tan(α) =r / d d = r / tan(6,03) = 10 10-6 / tan(6,03) =9,01 10-5 m Avståndet mellan två reflektioner är d. Hur många reflektioner har vi då på 100 m ( längs centrallinjen. Det blir 100 / ( d) =5,434 10 5 stycken Vägen som strålen tar mellan två reflektioner är ( sin(α) = r /strålens väg ) strålens väg = r / sin(α) = 0 10-6 /sin(6,03 0 ) Den totala vägen blir = = 0 10-6 /sin(6,03 0 ) antalet reflektioner = 0 10-6 /sin(6,03 0 ) 5,434 10 5 =100,5889 m Denna stråle går allts 0,5889 m längre än den stråle som kommer vinkelrätt in mot fibern. Vilken hastighet har pulsen? n = c /v n k = c / v v = 3 10 8 /1,607 = 1,867 10 8 m/s Tidsskillnaden blir = 0,5889 /v = 3, 10-9 s = 3, ns Svar: a) θ max = 4,35 0 b) Tidsskillnaden blir 3, ns 18. För N st sändare som sänder med samma amplitud gäller att sin β sin N δ I p β sin δ där β = k b sin(θ) δ = k d sin(θ) k=π / λ = vågtalet I 0 = intensiteten rakt fram från en enda källa.

sin β anger diffraktionen från en enda källa (spalt) och β sin N δ sin δ anger interferensen mellan de olika källorna I detta fall behöver vi inte ta hänsyn till diffraktionen sin N δ Vi kan då skriva I p f (β) sin δ När vi tittar på interferenstermen så får vi dels huvudmax och dels bimax. Om vi tittar på huvudmax får vi dessa när uttrycket är av formen I p f (β) 0. Detta får vi om sin(δ / ) = 0 dvs nämnare = 0. 0 Detta ger att δ / =p π vilket ger d sin(θ) =p λ Min har vi om täljare = 0 men nämnaren 0. Alltså om sin N δ = 0 och sin(δ / ) 0 I vårt fall är N = 6. Detta betyder att vi har min om d sin(θ) =p /N λ där N = 1,, 3, 4, 5, 7, 8,... dvs N 6, 1, 18 osv a) Huvudmax har vi om d sin(θ) =p λ sin(θ) = p λ / d där p = 0,1,, 3,... λ = 0,10 m och d = 1,0 m ger att θ =0; 5,74 0 ; 11,54 0 ; 17,46 0 ; b) Första min får vi från d sin(θ) =p λ /N då p = 1 sin(θ) =p λ /( N d) θ = 0,95 0. c) Om N = 1 ser vi att vi får samma resultat som i a) för huvumaximun däremot för d) gäller sin(θ) =p λ /( 1 d) ) θ = 0,48 0. Vi ser alltså att om vi ökar antalet sändare så blir centralbilden smalare. Detta innebär att om man vill rikta strålningen mot en viss speciell punkt skall man ha många sändare och det skall dessutom vara stort anvstånd mellan dem. (Ex Om vi vill rikta strålning mot månen) Detsamma gäller om vi tar emot strålning utifrån t ex från en stjärna. Svar: a) θ =0; 5,74 0 ; 11,54 0 ; 17,46 0 ; 3,6 0 ; 30 0 ; 36,9 0 ; 44,4 0 ; 53,1 0 ; 6,4 0 ; 90 0. b) 0,95 0 c) Samma som a-uppgiften d) 0,48 0 19

a b n 1 = 1,5 n d n 1 = 1,5. Villkoret för konstruktiv interferens är L = n d +(antalet fassprång) λ / = p λ. Oberoende om vi har luft eller vatten (n = 1,33) så har vi ett enda fassprång. Detta inträffar för stråle b. Detta ger att L = n d +1 λ / = p λ n d =( p 1/) λ. För vilket d får vi violett ljus? I detta fall är λ 400 nm. Plattiorna åtskils från d = 0 till dess att vi får violett ljus för minsta avstånd mellan plattorna p = 1. d = 1/ λ / ( n ) d = 0,5 400 10-9 / ( 1) om vi har luft emellan plattorna. d =100 nm. Om vi istället har vatten mellan plattorna och samma avstånd blr λ = 4 d n = 4 100 10-9 1,33 = 53 nm dvs grönt ljus Svar: Plattan syns grön 0. a b n 1 = 1 n =1,65 d n 3 = 1,50 Villkoret för destruktiv interferens är L = n d +(antalet fassprång) λ / = (p+1) λ /. I detta fall har vi ett fassprång ( för stråle a) L = n d +1 λ / = (p+1) λ / n d =p λ. Minsta tjocklek får vi för p = 1 d = p λ /( n ) d = 500 /( 1,65) nm = 151,5 nm Svar: Minsta tjockleken är 151 nm.

1. a b n = 1 a n 1 = 1,51 a 1 n = 1. Villkoret för konstruktiv interferens är L = n d +(antalet fassprång) λ / = p λ. I detta fall hat vi ett fassprång ( stråle a). Detta ger att L = n d +1 λ / = p λ n d =( p 1/) λ Om vi tittar på en speciell ljus frans antar vi att avståndet då är d 1 vi får då att d 1 =( p 1/) λ /( n ). Nästa ljusa frans om vi går mot det håll där tjockleken ökar inträffar för p + 1 och tjockleken är d. d =( p+1 1/) λ /( n ). Ändringen av tjockleken mellan två på varandra ljusa fransar blir då d d 1 = λ /( n ) Vi ser 11 stycken ljusa fransar. Detta betyder att vi har 10 avstånd mellan fransarna. Alltså är ändringen av tjocklek mellan de yttersta fransarna 10 λ /( n ). Det betyder att a a 1 = 10 λ /( n ). Vi belyser hinnan med natriumljus λ= 589 nm. Vi får då att a a 1 = 10 589 /( 1,51) = 1950 nm = 1,95 µm Svar: Avståndet är,0 µm S A S ' d d P α B A ' A är spegelbilden av A i vattnet. Detta innebär att sträckan AP = A P. När stråle S har gått till punkten A och S till punkten B så har de gått lika lång sträcka från källan. OBS!

Eftersom källan ligger mycket långt bort (jämfört med avståndet AA ) kan vi betrakta s och S som parallella. Vägskillnaden mellan stråle S och S (där S reflekteras mot vattnet) blir då sträckan A B. Vinkeln A AB = α (Se figur. Detta betyder att A B = d sin(α) Vi vill ha max i detta fall vilket betyder att d sin(α) + (antalet fsasprång) λ / = p λ Vi har ett fassprång (S reflekteras ju mot vatten) så vi får d sin(α) + 1 λ / = p λ sin(α) = (p-1/) λ /(d) p = 1,, 3... λ = 0,1 m och D 0 0,5 m sin(α) = (p-1/) 0,1 / ( 0,5) 1:a max får vi för p = 1. Detta ger att α = 6,0 0 Svar: Vinkeln över horisonten är 6,0 0 3. Allmänt gäller att intensiteten från två källor är I r = I 1 + I + I 1 I cos( Φ) där Φ är fasskillnaden mellan vågorna från de två källorna. Vi bortser från diffraktionseffekterna i detta fall eftersom källorna är små. sätt I 1 och I = I 0 a) Om källorna är koherenta blir I + I 0 + I 0 I 0 cos( Φ). Detta ger att I max + I 0 + I 0 I 0 ( 3 + )= 5,88 I 0 och I min + I 0 I 0 I 0 ( 3 )= 0,1716 I 0. b) För inkoherenta källor att medelvärdet av cos( Φ) = 0 dvs I r = 3 I 0 Svar: a) Mellan 5,83 I 0 och 0,17 I 0 b) Intensiteten är konstant = 3 I 0

4. Denna kurva är ritad för b = 1 mm och d = mm och våglängden 500 nm. 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0.1 0 0 0. 0.4 0.6 0.8 1 sin(theta) 1. 1.4 1.6 1.8 x 10-3 Denna kurva är ritad för b = 1 mm och d = 5 mm och våglängden 500 nm. 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0.1 0 0 0. 0.4 0.6 sin(theta) 0.8 1 1. x 10-3 sin β I p β β = k b sin(θ) δ = k d sin(θ) sin N δ sin δ där

k=π / λ = vågtalet I 0 = intensiteten rakt fram från en enda källa. sin β anger diffraktionen från en enda källa (spalt) och β sin N δ sin δ anger interferensen mellan de olika källorna Mönstrets utseende bedöms av produkten av diffraktionsfaktorn och interferensfaktorn. När vi tittar på interferenstermen så får vi dels huvudmax och dels bimax. Antalet bimax mellan två huvudmax är N och antalet min är N 1. I detta fall är N =. Detta betyder att vi inte får några bimax utan bara huvudmax. Om vi tittar på huvudmax får vi dessa när uttrycket är av formen sin β I p 0. Detta får vi om sin(δ / ) = 0 dvs nämnare = 0. β 0 Detta ger att δ / =p π vilket ger d sin(θ) =p λ (1) Min får vi om d sin(θ) =(p-1) λ / () När det gäller diffraktionstermen så får vi min om b sin(θ) =m λ då m 0 (3) a) d = b insatt i (1) ger interferensmax då b sin(θ) =p λ/ och ur (3) får vi att det är diffraktionsmin om b sin(θ) =m λ Detta betyder att :a, 4:e.. osv ordningens interferensmaxima blir undertryckta (p 0, 4,...) b) d = 5 b ger på samma sätt att 5:e, 10:e.. ordningens interferensmaxima blir undertryckta. c) Ju större d desto tätare kommer interferensfransarna. Se ekv (1) d) Om b= konstant och d ökar blir interferensstrimmorna tätare. Om b minskar ökar vinkeln till 1:a diffraktionsmin. Svar: Se ovan. 5.För vinkeln till 1:a diffraktionsminimum gäller för en sfärisk partikel D sin(θ) = 1, λ där D = partikeldiametern. I detta fall är sin(θ) θ. Vi får då θ = 34 10 3 /( 1,) ger D = 1,λ / θ = 5,4 10-5 m Svar: Diametern är 54 µm 6. Allmänt gäller att intensiteten från två källor är I r = I 1 + I + I 1 I cos( Φ) där Φ är fasskillnaden mellan vågorna från de två källorna. Vi bortser från diffraktionseffekterna i detta fall eftersom källorna är små. sätt I 1 = I För inkoherenta källor att medelvärdet av cos( Φ) = 0 dvs I r = I 0

b) Om källorna är koherenta blir I r = I 0 + I 0 I 0 cos( Φ). Detta kan förenklas till I r = I 0 (1 + cos( Φ)) = 4 I 0 cos ( Φ ) c) Svar: Se ovan 7 Det reflekterade ljuset är linjärpolariserat (enligt Brewster villkoret) om i + b = 90 0. Enloigt Snells brytningslag gäller n 1 sin(i) = n sin(b). Detta ger sin(i) / sin(b) = sin(i) / sin(90 i ) = tan( i ) = n / n 1 = 1,50 i = 56,3 0. Svar: Det reflekterade ljuset är linjärpolariserat om i = 56,3 0. 8. Enligt Fresnels formler gäller för amplituderna I r, parallell = tan (i b) I i, parallell tan (i + b) och I r,vinkelrätt = sin (i b) I i,vinkelrätt sin (i + b) där parallell respektive vinkelrätt anger polarisationriktningen gentemot infallsplanet. Då det infallande ljuset är opolariserat sätts I i,vinkelrätt = I i, parallellt. Detta ger I r,vinkelrätt = sin (i b) I r, parallellt sin (i + b) tan (i + b) tan (i b) = cos (i b) cos (i + b) Brytningslagen ger n 1 sin(i) = n sin(b). Med n 1 = 1 och n = 1,5 och i = 30 0 blir b = 19,5 0 I r,vinkelrätt I r, parallellt = cos (i b) cos (i + b) =,8 Svar: Förhållandet är,8 9. Det linjärpolariserade ljuset har intensiteten I och det opolariserade I 0. Enligt Malus lag gäller att I 1 = I 1 cos (θ ). Av det opolariserade ljuset så transmitteras I 0 /. Totalt transmitteras det då I t / + I 1 cos (θ ) I t.max / + I 1

I t.max / eftersom 0 < cos (θ ) < 1 Vidare gäller att I t = konstant i där i = instrumentutslag. Följande ekvationer erhålles konstant 1,5 / + I 1 och konstant 3,8 /. Detta ger att I 1 / I 0 = 1,14. Svar: Förhållandet är 1,14 30. Enligt Fresnels formler gäller för amplituderna I r, parallell I i, parallell = tan (i b) tan (i + b) och I r,vinkelrätt = sin (i b) I i,vinkelrätt sin (i + b) där parallell respektive vinkelrätt anger polarisationriktningen gentemot infallsplanet. Då det infallande ljuset är opolariserat sätts I i,vinkelrätt = I i, parallellt. Detta ger I r,vinkelrätt = sin (i b) I r, parallellt sin (i + b) tan (i + b) tan (i b) = cos (i b) cos (i + b) Enligt uppgift är I r,vinkelrätt = cos (i b) = 4. Detta ger att I r, parallellt cos (i + b) cos(i b) = cos(i + b) (positivt tecken eftersom i + b och i b mindre än 90 0 ) Trigonometriska formler ger att cos(i) cos(b) + sin(i) sin(b) = cos(i) cos(b) - sin(i) sin(b) Detta ger cos(i) cos(b) = 3 sin(i) sin(b) 3 tan(i) tan(b) =1 tan(b) = 1/ (3 tan(i)) = 1/ (3 tan(37,5 0 )) = 0,4344 b = 3,48 0 Brytningslagen ger n 1 sin(i) = n sin(b) 1 sin(i) = n sin(b) dvs n = sin(i) /sin(b) = 1,58 Svar: Brytningsindex är 1,53 31. Det opolariserade ljuset har intensiteten I 0 och det polariserade I p. Polarisatorn transmitterar intensiteten I = 1/ I 0 + I p cos (θ ) eftersom opolariserat ljus kan beskrivas med två vinkelräta komponenter med vardera intensiteten I 0 / och Malus lag gäller för det polariserade ljuset. Följande ekvationer erhålles då 0 cos (θ ) 1; I max = 1/ I 0 + I p (1) I max / = 1/ I 0 + I p cos (60 0 ) () (1) och () ger att I 0 = I p Detta ger att I max = 1/ I 0 + I 0 1 = 3/ I 0 och I min = 1/ I 0 Detta ger polariseringsgraden p = 1/. Vidare är I max / I min = 3 Svar: p = 0,5 och I max / I min = 3