Partiklars rörelser i elektromagnetiska fält Handledning till datorövning AST213 Solär-terrest fysik Handledare: Magnus Wik (2862125) magnus@lund.irf.se Institutet för rymdfysik, Lund Oktober 2003
1 Inledning Syftet med laborationen är att studera laddade partiklars rörelser i elektromagnetiska fält med hjälp av datorprogrammet Xspace. Inom astrofysiken och rymdfysiken är många plasman av mycket låg täthet varför det är intressant att studera enskilda partiklars växelverkan med de storskaliga elektromagnetiska fält som nästan alltid är närvarande. Laborationen anknyter direkt till resultaten i Kivelsons & Russells bok Introduction to Space Physics kapitel 2.1-2.2., samt till teorihäftet Partiklar och elektromagnetiska fält kapitel 3. Vi kommer endast att studera partiklar med icke-relativistiska hastigheter vilket innebär att rörelseekvationen för en partikel med massan m och laddningen q blir m du dt = q(e + u B) Denna ekvation löses genom numerisk integration med givna elektriska och magnetiska fält. De E- och B-fält som partiklarna själva genererar försummas. Man brukar dela upp partikelns hastighet u i en hastighetskomponent vinkelrätt mot B (u ) och en parallellt med B (u ), dvs u = u + u. Observera att tidsstegen vid integreringen varierar beroende på initialvillkor och partikelslag. Partiklar som kan studeras är H +, He +, He ++, O +, e, och H. Elektronens massa är i Xspace det geometriska medelvärdet av protonens och elektronens massa, dvs m = m e m p. Detta är för att skillnaderna mellan elektroner och övriga partiklar inte skall bli alltför stor. En magnetisk fältlinje definieras som den linje vars tangent i varje punkt pekar i magnetfältets riktning, dvs dx dy = B x B y, där B x och B y är magnetfältskomponenterna i x- respektive y-led. OBS: Uppgifter markerade med skall lösas innan laborationen genomförs. 1
2
2 Homogent magnetfält Här förutsätts att magnetfältet är homogent, vilket betyder att det ser likadant ut i varje punkt i rummet. Magnetfältet ges av B = B 0 e z, B 0 = konstant. 2.1 Gyro-rörelsen Varje elektriskt laddad partikel som placeras i ett magnetfält kommer att gyrera, d.v.s. röra sig runt i cirkel. Rörelsen bestäms av en balans mellan Lorentzkraften och en centrifugalkraft. Om E = 0 och om magnetfältet är homogent, så blir rörelsen speciellt enkel att beskriva. 1. Beräkna gyrofrekvens och gyroradie för de 6 olika partikelslagen då B 0 = 200 nt och v = 50e x + 50e y + 15e z km/s. 2. Om elektroner och protoner i ett väteplasma har samma kinetiska energi, vad blir då förhållandet mellan deras gyrofrekvenser? Mellan deras gyroradier? 3. Studera de olika partiklarnas banor givna samma initialvillkor. Gör en utskrift och markera i figuren partikelslag, rörelseriktning och magnetfältets riktning. 4. Vad kan man säga om partiklarnas energi? Förklara varför det blir så? 2.2 E B-drift Här lägger vi dessutom på ett elektriskt fält E = E 0 (sin θe x + cos θe z ), där θ är vinkeln från z-axeln. Partiklarna kommer fortfarande att gyrera men kommer dessutom att börja driva under inverkan av det elektriska fältet. 1. Beräkna drifthastigheten u E för en proton då E 0 = 1 V/km, θ = 90 och B 0 = 200 nt. Vad blir drifthastigheten för en elektron? 2. Låt E vara vinkelrät mot B (θ = 90 ) och studera de olika partiklarna under samma initialvillkor. Gör en utskrift och markera rotationsrikting, driftriktning, samt E- och B- fälten. 3. Vad kan sägas om partiklarnas energi? 4. Uppstår det en elektrisk ström? 5. Låt nu istället E bilda 45 mot B och studera de olika partiklarna under samma initialvillkor. Gör en utskrift och markera rotationsrikting, driftriktning, samt E- och B- fälten. 6. Vad kan sägas om partiklarnas energi? 7. Uppstår det en elektrisk ström? 3
3 Inhomogent magnetfält Här komplicerar vi magnetfältet genom att göra det inhomogent, d.v.s. magnetfältets utseende varierar i rummet. Partiklarna kommer fortfarande att gyrera, men får dessutom olika driftrörelser p.g.a. magnetfältets struktur. För att inte komplicera situationen alltför mycket, så förutsätter vi att E = 0. 3.1 Gradientdrift Antag att magnetfältet varierar enligt B = B z (x)e z, d.v.s. fältlinjerna är parallella med z-axeln medan tätheten varierar i x-led. Se ekvation 12 i teori-häftet. 1. Ta fram ett uttryck för gradientdriften i det speciella fallet när B = B z (x)e z. 2. Studera de olika partiklarna under samma initialvillkor. Gör en utskrift och markera rotationsrikting och driftriktning. 3. Vad kan sägas om partiklarnas energi? 4. Uppstår det en elektrisk ström? 3.2 Krökningsdrift Här varierar magnetfältet enligt ) y B = B 0 e ϕ = B 0 ( sin ϕe x + cos ϕe y ) = B 0 ( x 2 + y e x 2 x + x 2 + y e 2 y, uttryckt i cylindriska koordinater (r, ϕ, z) och kartesiska koordinater (x, y, z) som i Xspace. 1. Ta fram ett uttryck för hur krökningsdriften varierar med radien r i cylindriska koordinater. 2. Studera de olika partiklarna under samma initialvillkor. Gör en utskrift och markera rotationsrikting och driftriktning. 3. Vad kan sägas om partiklarnas energi? 4. Uppstår det en elektrisk ström? 4
4 Magnetisk spegling Den magnetiska flaskan är ett magnetfält som är cirkulärsymmetriskt kring z-axeln och där styrkan ökar då z + eller z. Eftersom magnetfältet blir starkare mot flaskans övre och nedre del kan laddade partiklar reflekteras fram och åter och förbli fångade av magnetfältet. I kartesiska koordinater kan man beskriva en magnetisk flaska på följande sätt: B x = B r cos ϕ, B y = B r sin ϕ, [( B z = B 0 1 1 ) (1 f) + 1 ]. s s Här är f och B r funktioner av cylinderkoordinaterna z och r: ( z 2 f = sech = L) e z/l + e z/l, ( B r = B 0 r 1 1 ) f tanh( z L ) s 2L, medan s och L är två fria parametrar som bestämmer magnetfältets form s = B max B min = mirror ratio, L = flaskans skalhöjd. 1. Skissa några fältlinjer i xz-planet för att få en uppfattning om magnetfältets utseende. 2. Vad blir B då z = 0 respektive då z ±? Riktning och styrka? 3. Visa att B = 0, d.v.s. att magnetfältet är fysikalisk rimligt. Vi ska nu släppa iväg partiklar från en punkt nära origo med olika hastighet längs z-axeln (u ). Alla partiklar ska ha samma hastighet vinkelrätt mot magnetfältet (u =10 km/s). Det kommer nu att visa sig att partiklar med hög hastighet parallellt med magnetfältet tar sig ur flaskan, medan partiklar med låg u reflekteras tillbaka av det starkare magnetfältet. 4. Studera en proton med initialtillståndet (x, y, z)=(0, 5, 0) och (u x, u y, u z )=(u, 0, u ). Fyll i nedanstående tabell där α är vinkeln mellan magnetfältet och partikelns rörelseriktning. s u x =u u z =u α i Partikeln fångad i flaskan? km/s km/s (Ja/Nej) 50 10 10 50 10 30 50 10 50 50 10 70 50 10 90 26 10 10 26 10 30 26 10 50 26 10 70 26 10 90 5
I teori-häftet, kapitel 3.2.4 och 3.2.5, beskrivs hur partikelns kinetiska energi och magnetiska moment förblir konstanta under partikelns rörelse i magnetfältet. E = mu2 2 µ m = mu2 2B = konstant, = konstant. 5. Bestäm vid vilken initial vinkel α i som gränsen går för infångning av protonen i flaskan. Gör detta för båda magnetfälten (s=26 och s=50). Ledtråd: bestäm relationen mellan α och B. Vad är α då partikeln reflekteras och vänder tillbaka? 6