Självständigt arbete II Problemlösning i matematik En studie om vilka undervisningsmetoder lärare använder i problemlösning och vilka utmaningar de finner med att individanpassa dess uppgifter Författare: Lisa Linnell, Anna-Mie Karlsson & Linn Loeffel Handledare: Susanne Erlandsson Examinator: Jeppe Skott Termin: VT19 Ämne: Matematik Nivå: Avancerad Kurskod: 4GN04E
Abstrakt Detta är en empirisk studie som är uppdelad i två forskningsfrågor. Den första frågan fokuserar på olika undervisningsmetoder som lärare använder i problemlösning. Den andra frågan som studien har undersökt handlar om de utmaningar som lärare möter när de ska individanpassa problemlösningsuppgifter. Resultatet grundar sig i observationer och intervjuer med lärare som undervisar i problemlösning för årskurs 1-3. I resultatet framgår flera undervisningsmetoder som lärare använder sig av i problemlösning och en av de som framkom som mest använd är IEPASmetoden. De utmaningar som lärare möter i individanpassning och som också framgår i resultatet är bland annat stora klasser och resursbrist. Cobb och Yackels teoretiska ramverk har använts för att analysera resultatet i studien. Nyckelord Problemlösning, matematik, undervisningsmetoder, individanpassning, laborativt material, visuellt stöd, samarbetslärande. Tack Vi vill tacka vår handledare och våra opponenter för givande feedback under studiens gång.
Innehållsförteckning 1 Inledning... 1 2 Syfte & forskningsfrågor... 3 2.1 Syfte... 3 2.2 Forskningsfrågor... 3 3 Begrepp... 4 3.1 Problemlösning... 4 3.2 Problemlösningsförmåga... 4 3.3 Individanpassning... 4 3.4 Laborativt material... 4 4 Bakgrund... 5 4.1... 5 5 Litteraturbakgrund... 6 5.1 Undervisningsmetoder... 6 5.1.1 Erfarenhetsbaserade uppgifter... 6 5.1.2 Visuellt stöd... 6 5.1.3 EPA-metoden... 7 5.1.4 IEPAS-metoden... 7 5.1.5 Samarbetslärande... 8 5.1.6 Laborativt material... 9 5.2 Individanpassning... 9 6 Teori... 12 6.1 Emergenta perspektivet... 12 6.1.1 Sociala normer... 13 6.1.2 Sociomatematiska normer... 13 6.1.3 Klassrummets matematiska praxis... 13 6.2 Lärande i matematik... 13 7 Metod... 15 7.1 Datainsamlingsmetod... 15 7.2 Urval av litteratur... 15 7.3 Urval av deltagare... 15 7.4 Genomförande... 15 7.4.1 Observationer... 16 7.4.2 Lärarintervjuer... 16 7.5 Etiska riktlinjer... 17 8 Resultat & analys... 19 8.1 Resultat undervisningsmetoder... 19 8.1.1 Lärare A... 19 8.1.2 Lärare B... 20 8.1.3 Lärare C... 21 8.1.4 Visuellt stöd... 22 8.1.5 Laborativt material... 22 8.1.6 Erfarenhetsbaserade problemlösningsuppgifter... 22
8.1.7 Samarbetslärande... 23 8.2 Analys undervisningsmetoder... 23 8.3 Resultatsammanfattning undervisningsmetoder... 25 8.4 Resultat individanpassning... 26 8.4.1 Lärare A... 26 8.4.2 Lärare B... 27 8.4.3 Lärare C... 27 8.5 Analys individanpassning... 28 8.6 Resultatsammanfattning av individanpassning... 30 9 Diskussion... 31 9.1 Metoddiskussion... 31 9.2 Resultatdiskussion... 33 9.2.1 Vilka undervisningsmetoder använder lärare inom undervisning i problemlösning för årskurs 1-3?... 33 9.2.2 Vilka utmaningar möter lärare när de ska individanpassa problemlösningsuppgifter?... 35 9.3 Vidare forskning... 37 10 Referenslista... 38 Bilagor Bilaga 1 Observationsguide I Bilaga 2 Intervjuguide II Bilaga 3 Brev till vårdnadshavare..iii
1 Inledning Problemlösning har på senare år blivit en stor och viktig del av matematiken i den svenska skolan. I kursplanen för årskurs 1-3 i matematik, som återfinns i Läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011, blir detta också väldigt tydligt då det får ett stort fokus. Undervisningen i matematik ska bland annat utveckla elevernas förmåga att lösa och formulera problem men också få dem att värdera strategier och metoder för problemlösningsuppgifter (Skolverket, 2011). En av alla stora utmaningar för lärare i klassrummet är att utveckla elevernas allmänna problemlösningsförmåga i matematik. Det är lättare att undervisa i den matematik som har ett förutbestämt tillvägagångssätt, något som problemlösningsuppgifter saknar. Utöver att tillvägagångssättet i problemlösning inte är förutbestämt har inte heller resonemanget tidigare betraktats (Skott, 2010). Dessutom bör lärare ständigt sträva efter att tillgodose både gruppen i klassrummet men även varje individ. I varje klass finns elever som tar olika lång tid på sig och som har både låg och hög motivation De innehar även olika personliga intressen som läraren måste hantera tillsammans med de ämneskunskaper som det finns krav på. Undervisningen i ett klassrum kan därför inte utformas lika för alla (Boo, 2014). Skolverket (2011) skriver att all undervisning i skolan ska anpassas efter varje elevs behov och förutsättningar. Detta betyder att läraren ska undervisa i problemlösning men också kunna möta alla elever efter deras behov och förmågor. Alla elever har kommit olika långt i sin kunskapsutveckling, vilket i sin tur bidrar till att de behöver träna på olika saker. Huruvida en uppgift anses vara ett problem kan därför skilja sig mellan eleverna i klassrummet enligt Löwing (2006). Lärare kan därför individanpassa problemlösningsuppgifter efter elevernas behov. Giota (2013) anser att detta ställer krav på lärarna att vara kreativa kring sina undervisningsmetoder för att fånga alla elevers intressen. Tidsbrist och bristen på resurser blir också stora faktorer till de utmaningar som lärare möter vid individanpassning (Giota, 2013). I och med vårt kommande yrkesliv är det intressant att undersöka problemlösning för dess centrala del i matematikundervisningen. Det är betydelsefullt för elevernas framtid att få en bra grund i att möta problem och 1(40)
vara nytänkande kring uppgifterna. Johnson & Johnson (1999) skriver om hur problemlösning sker i ett samspel tillsammans med andra. Problemlösning handlar om att föra fram sina tankar i kombination med att lyssna på andras förslag. En undervisningsmetod i problemlösning som Shimizu (2006) förespråkar i sin studie är IEPAS-metoden som också innehåller det samspel som Johnson & Johnson (1999) skriver om. Eftersom det finns flera olika undervisningsmetoder men också studier kring vad som främjar problemlösningsförmågan, väcktes vårt intresse att undersöka vilka undervisningsmetoder lärare använder i problemlösning och hur undervisningen utvecklar elevernas problemlösningsförmåga. Individanpassning är också något som har en stor del av läroplanen och har visat sig under vår verksamhetsförlagda utbildning vara en utmaning på många olika sätt. Därför känns det relevant att ta samman två stora delar i läroplanen och undersöka vilka undervisningsmetoder som används i problemlösning samt vilka utmaningar lärare finner med individanpassning i problemlösning. 2(40)
2 Syfte & forskningsfrågor Detta avsnitt kommer att presentera syftet med studien samt vilka forskningsfrågor som kommer att besvaras. 2.1 Syfte Studien syftar till att undersöka vilka undervisningsmetoder lärare i årskurs 1-3 använder sig av i problemlösning. Därefter syftar studien till att besvara vilka utmaningar lärare möter när de ska individanpassa problemlösningsuppgifter. 2.2 Forskningsfrågor De forskningsfrågor som studien avser att besvara är följande: Vilka undervisningsmetoder använder lärare inom undervisning i problemlösning för årskurs 1-3? Vilka utmaningar möter lärare när de ska individanpassa problemlösningsuppgifter? 3(40)
3 Begrepp Olika begrepp som används i studien kommer i denna del att definieras och förenklas. 3.1 Problemlösning Om en problemlösningsuppgift är ett problem eller inte beror på vilken individ det är som ska lösa uppgiften då alla innehar olika kunskaper inom matematik (Frejd & Lundberg, 2015). Däremot definieras problemlösning som en tankeprocess där ett problem ska omvandlas till ett svar. Den som ska lösa problemet har inte heller någon given lösningsmetod sedan tidigare (Verschaffel, Depaepe & Van Dooren, 2014). 3.2 Problemlösningsförmåga Ett tecken på att en individ innehar en god problemlösningsförmåga är att denne kan uttrycka och lösa olika matematiska problem. Om individen dessutom kan lösa ett problem på flera olika sätt tyder detta också på en god problemlösningsförmåga (Ryve, 2006). I kursplanen för matematik är problemlösningsförmågan en av de förmågor som återfinns tillsammans med begreppsförmågan, metodförmågan, resonemangsförmågan samt kommunikationsförmågan (Skolverket, 2011). 3.3 Individanpassning I Skolverket (2011) står det att undervisningen i den svenska skolan ska anpassas till varje elevs behov och individuella förutsättningar. Undervisningen kan därför aldrig utformas lika för alla. I denna studie kommer begreppet individanpassning därför instämma i detta och avse att läraren utformar och anpassar undervisningen efter varje elevs behov och förmåga. 3.4 Laborativt material Laborativt material är abstrakta saker som fungerar som hjälpmedel och underlättar för vissa elever under inlärningen av matematik. Materialet kan också fungera som ett komplement till läromedel och ge en varierad undervisning (Hagland, Hedrén & Taflin, 2005). Exempel på laborativt material är: miniräknare, tärningar, låtsaspengar, måttband, våg, centikuber med mera. 4(40)
4 Bakgrund Detta avsnitt kommer att ta upp vad Skolverket skriver kring problemlösning, dess undervisning samt individanpassning. Då studien är skriven utifrån ett lärarperspektiv känns det relevant att ha med lärare ska utgå från vad Skolverket skriver. 4.1 Problemlösning har som tidigare nämnts blivit ett centralt begrepp i matematikens kursplan. Kursplanen i matematik har en tydlig inriktning mot problemlösning. Undervisningen i matematik ska syfta till att eleverna utvecklar kunskaper för att kunna formulera och lösa problem. Det långsiktiga målet är också att eleverna ska utveckla förmågan att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder (Skolverket, 2011). Skolverket (2011) skriver att alla elever i den svenska skolan har rätt till en likvärdig utbildning. Detta innebär att hänsyn alltid ska tas till varje elevs individuella förutsättningar och behov. Det finns olika vägar för alla elever att nå målen och undervisningen kan därför inte utformas på samma sätt för varje individ. Undervisningen ska dessutom ha elevernas bakgrund, tidigare erfarenheter, språk och kunskaper som utgångspunkt samtidigt som den ska främja det fortsatta lärandet och kunskapsutvecklingen hos varje elev. Detta stärker resonemanget kring att individanpassning inom skolan blir allt viktigare. 5(40)
5 Litteraturbakgrund Detta avsnitt i studien kommer att fokusera på vad tidigare forskning har kommit fram till kring de två forskningsfrågorna i studien. Forskningen presenteras var för sig. 5.1 Undervisningsmetoder I denna del presenteras tidigare forskning kring de undervisningsmetoder som lärare använder i problemlösning. 5.1.1 Erfarenhetsbaserade uppgifter För eleverna i de yngre åldrarna har en framgångsfaktor för att utveckla problemlösningsförmågan varit att lärarna skapat problemlösningsuppgifter utifrån deras vardag och erfarenheter. De autentiska situationerna har tagits till vara på. Om eleverna inte får uppgifter där de finner ett djupare intresse kommer de endast att rikta in sig på att producera ett resultat som läraren ska godkänna, vilket är långt ifrån ett lustfyllt lärande. För att eleverna ska förstå matematiken behöver den innehålla konkreta upplevelser och praktiska tillämpningar. För de elever som främst är omotiverade stärks självförtroendet att få synliga resultat av sitt arbete i matematik och problemlösning (Bergqvist, 1990). 5.1.2 Visuellt stöd Usta, Yilmaz, Kartopu & Kadan (2018) har i sin studie undersökt kring visuella bilder som undervisningsmetod och om det hjälper elever att utveckla sin problemlösningsförmåga. Undersökningen som genomfördes innebar att en grupp med elever fick tillgång till visuellt stöd tillsammans med problemlösningsuppgifter som skulle lösas medan den andra gruppen inte fick genomföra dem med någon specifik metod. Resultatet visade att de elever som hade visuellt stöd som undervisningsmetod presterade bättre på det eftertest som de båda grupperna med elever genomförde. De som hade haft det visuella stödet hade fått en djupare förståelse för problemet som skulle lösas samt uppvisade utveckling i sin problemlösningsförmåga. Det visuella stödet som undervisningsmetod i problemlösning har också Bao (2016) undersökt. Lärarna i den studien fick lära sig en specifik metod som innebar att de skulle använda olika typer av staplar, vilket syftade till att fungera som ett visuellt hjälpmedel. Baserat på en problemlösningsuppgift fick eleverna själva rita staplarna på ett papper för att de skulle kunna se 6(40)
skillnaden i innehållet. Resultatet visade att de elever som använde denna metod jämfört med de som inte gjorde det när de löste problemlösningsuppgifter uppvisade en förbättrad problemlösningsförmåga. Bao (2016) skriver att detta resultat visar att metoden hjälper eleverna att skapa visuella representationer av problemet som ska lösas, som i sin tur hjälper dem att välja en lämplig lösningsmetod. Däremot konstaterar Bao (2016) att det är oerhört viktigt att den lärare som undervisar med en specifik metod är förtrogen med den och är säker på sin sak när den ska läras ut. Att utbilda lärare i en specifik undervisningsmetod för problemlösning är nödvändigt för att eleverna ska få verktyg till att utveckla och använda sin problemlösningsförmåga. I en studie som Bruun (2013) genomfört tas sju olika undervisningsmetoder i problemlösning upp. Den undervisningsmetoden som visade sig utveckla elevernas problemlösningsförmåga mest även i denna studie, precis som Bao (2016) och Usta, Yilmaz, Kartopu & Kadan (2018) fick fram i sina studier, var det visuella stödet. Det var också den metod som lärare använde mest frekvent. Det visuella stödet i Bruuns (2013) studie innebar att lärare ritade en bild för att visualisera problemet för sina elever. 5.1.3 EPA-metoden Enligt Shimizu (2006) bör lärare ha en aktiv roll där hen utgår från elevernas lösningsförslag och som sedan avslutas med en diskussion om den matematiska poängen. När lärare planerar sin undervisning i problemlösning är EPA en framgångsrik metod. Den innebär att eleverna arbetar Enskilt, Parvis och avslutningsvis Alla i klassrummet. Något som Shimizu (2006) också vill lyfta är hur viktigt det är med en strukturerad introduktion till problemet och en noggrann summering i slutet. Läraren kan i planeringen inför lektionen förutse olika elevlösningar för att kunna förbereda hur hen ska lägga upp en helklassdiskussion. 5.1.4 IEPAS-metoden Den undervisningsmetod som också visat sig vara framgångsrik i problemlösning kallas IEPAS-metoden (Introduktion-Enskilt-Par-Alla- Summering). Det är en vidareutveckling av EPA-metoden. Den innebär att läraren presenterar problemet för eleverna och sedan ger tid för varje elev att tänka igenom det i lugn och ro. Efter det får eleverna möjlighet att diskutera sina tankar med sina klasskamrater. Läraren delar då klassen i par eller i mindre grupper så att alla efter ska få utrymme att resonera kring hur 7(40)
tankarna går. Efter gruppdiskussionerna övergår lektionen till en helklassdiskussion. Nu får läraren en mer aktiv roll som utgår ifrån elevernas olika lösningsförslag. Avslutningsvis summerar läraren de viktigaste matematiska sambanden och de idéer som lyfts fram under lektionen (Shimizu, 2006). 5.1.5 Samarbetslärande Johnson & Johnson (1999) skriver om samarbetslärande inom matematik och problemlösning. Målet med metoden är att utveckla den metakognitiva och sociala förmågan hos eleverna. Det vill säga att eleverna ska tänka kring och känna ett ansvar för sitt egna lärande och göra det tillsammans med andra. Det finns fem grundprinciper som beskrivs som återkommande när eleverna arbetar med samarbetslärande aktiviteter: Positivt ömsesidigt beroende. Eleverna har ett gemensamt mål där varje individ endast kan nå sitt mål om alla i gruppen når målet. Ordspråket En för alla, alla för en symboliserar denna princip (Johnson & Johnson, 1999). Individuella ansvaret. Alla i gruppen ansvarar för sitt egna kunnande. Ingen ska åka snålskjuts på någon annan. Det innebär att läraren ska tänka igenom ansvarsfördelningen och hur hen ska utföra bedömningen (Johnson & Johnson, 1999). Produktiv interaktion. Arbetet i grupperna ska ha ett tydligt mål och det ska bidra med att eleverna utvecklar just den förmågan som det är fokus på. I detta fall problemlösningsförmågan (Johnson & Johnson, 1999). Social kompetens. Individerna i gruppen måste interagera med varandra för att gynna lärandet. Eleverna måste kommunicera och lyssna på varandra för att lösa problemlösningsuppgifterna. Det handlar om att komma fram till lösningar i gruppen utan att hamna i konflikt med varandra. Eleverna ska inte heller vara rädda för att ta ställning och våga säga sin åsikt (Johnson & Johnson, 1999). Grupprocesserna. Det handlar om att alla i gruppen ska följa de bestämda reglerna. 8(40)
Läraren kan hjälpa grupperna att utvärdera hur samarbetet fungerade för att alla ska ta ansvar i nästkommande uppgifter eller aktiviteter (Johnson & Johnson, 1999). Om individen vill skapa ett sammanhang och mening i sitt lärande så att hen ska uppfatta världen och sig själv, främjas lärandet i problemlösning i gruppens samtal med varandra. Lärandet sker när individen möter ett problem, det vill säga en kognitiv konflikt som hen vill lösa för sin egen skull. Individen söker ny information för att lösa problemet och tar in vad andra kommer fram till när de möter samma problem. Det handlar även om att förklara sitt perspektiv och kunskap för någon annan. Kommunikation bär en stor roll i den här metoden. Det betonas att eleven ska ventilera sina tankar och uppfattningar utan att ta hänsyn till om att allt den säger är rätt från början (Johnson & Johnson, 1999). 5.1.6 Laborativt material Att använda laborativt material som undervisningsmetod i problemlösning har också visat sig vara gynnsamt för elevernas problemlösningsförmåga. Enligt Uttal, Scudder & DeLoache (1997) kan laborativt material hjälpa eleverna att se ett samband mellan det matematiska innehållet och elevernas verklighet. Laborativt material kan användas som en sorts manipulation för att elever ska minska sin låsning kring en uppgift. Det dock viktigt att det laborativa materialet endast används i matematikundervisningen och att eleverna inte är vana vid det från det vardagliga livet. Detta för att undvika att de ser det som leksaker och göra dem emotionellt engagerade. Eleverna kan i sådana fall missa tanken i den matematiska uppgiften (Uttal, Scudder & DeLoache, 1997). 5.2 Individanpassning Lindkvist (2003) har undersökt hur fyra olika lärare ser på individanpassning. Samtliga lärare ser det som viktigt att försöka hitta varje elevs potential som kan leda till att man kan anpassa undervisningen efter behov, förmåga och intresse. Det som skilde lärarna åt var dock hur de lät sina elever arbeta individuellt. Två av lärarna arbetade utifrån filosofin att eleverna ansvarar för sitt eget lärande med hjälp av läraren. Större delen av dagen arbetade eleverna i deras klasser med ett eget planerat arbete avskärmat från de andra. Däremot var de själva kritiska till detta arbetssätt och menar att tid till dialog mellan eleverna inte prioriteras men borde göra 9(40)
det. Sammanfattningsvis skriver Lindkvist (2003) att individanpassning ses mestadels som eget arbete. Underförstått betyder detta att eleven redan har de kunskaper som behövs i sig men att denna typ av undervisning ska göra att det kommer fram. När lärare ska individanpassa sin undervisning skriver Giota (2013) i sin studie att det handlar om att få eleverna till att känna ett eget driv och att ta ansvar för sitt lärande. Uppgifterna bör därför kännas kopplade till deras verklighet för att kännas meningsfulla. Elever har olika behov och är nyfikna på olika områden i olika ämnen. Detta får dessvärre en liten plats i lärarens planering. Enligt Giota (2013) visar den innehållsliga individanpassningen sig vara gynnsam för eleverna. Det som dock också framkom även i denna studie som lärare använde sig mycket av var metodinriktad individanpassning, t.ex. eget arbete. Detta nämnde Lindkvist (2003) ovan i sin studie som en anledning till att tid till dialog med och mellan elever inte prioriteras. Giota (2013) skriver vidare i sin studie om att lärarnas stora ambition till att hinna med samtliga elever under lektionerna kan få stora konsekvenser. De elever som anses svaga får problemlösningsuppgifter som är mindre krävande och som gör dem självgående. De starka eleverna får utmanande uppgifter som de andra inte förväntades att klara av under lektionen. Ambitionen av att individualisera är det inget fel på men konsekvenserna av det i detta fall blir differentiering. Det har mestadels med praktiska skäl att göra och är inte medvetet. En stor frustration framkom hos lärarna i studien då de kände att det som står i Skolverket (2011) kring individanpassning inte kunde efterlevas på grund av bristande ekonomi på skolan samt bristen på resurser. Det är alltså inte enbart innehållet i styrdokumenten eller läraren som avgör elevernas vardag och utveckling i skolan utan också faktorer på organisations- och samhällsnivå (Giota, 2013). De utmaningar som lärarna möter på organisationsnivå när de ska individanpassa undervisningen i problemlösning kan som tidigare nämndes exempelvis vara att det inte finns tillräckligt med resurser och det är för stora klasser. Det som ger elever de bästa förutsättningarna för lärande och en undervisning som är individualiserad är när klasser innehåller färre än tjugo elever, vilket även lärare har vittnat om är en av de största utmaningarna. Detta innebär att tidsbrist är en stor faktor till de utmaningar som lärare möter. Det kan också vara att det inte finns några anpassade utrymmen att 10(40)
vistas i för de elever som behöver lugn och ro. Vissa lärare besitter också otillräcklig kompetens kring området (Giota, 2013). Boo (2014) skriver också om klassens storlek som en stor betydelse för att kunna individanpassa problemlösningsuppgifter. Läraren ska kunna möta alla elever på deras nivå och anpassa undervisningen därefter. Lärare möter sina elever i grupp och det kan innebära olika etiska dilemman. Det handlar om att respektera och vara rättvis mot alla samtidigt som läraren ska uppmärksamma alla elever och ge individanpassning. Psykologer och advokater hanterar sina klienter en i taget medan en lärare måste kunna se alla elevers behov samtidigt som hen måste tänka på att hantera en hel grupp, vilket hade underlättat med färre elever i varje klass. 11(40)
6 Teori Denna studie utgår från det emergenta perspektivet och i detta avsnitt presenteras teorin följt av de tillhörande nivåerna. 6.1 Emergenta perspektivet Cobb & Yackel (1996) grundade det emergenta perspektivet och syftet med detta teoretiska ramverk är att analysera klassrumsprocesser. Denna teori har både ett socialt och psykologiskt perspektiv på hur lärande sker i matematik. Det psykologiska perspektivet innebär att förståelsen av all ny kunskap som varje individ utvecklar bestäms av deras tidigare erfarenheter. När en individ hamnar i en ny lärandesituation anpassas dennes kognitiva schema med nya erfarenheter för att nå en jämvikt mellan den befintliga kunskapen och den kunskap som ännu inte är lärd. Med det sociala perspektivet kan man sedan studera om elevernas deltagande är regelbundet och därefter analysera hur lärandet möjliggörs genom interaktionen i klassrummet. Varje elevs agerande i klassrummet styrs av de normer som finns där samtidigt som deras egna uppfattningar om matematik kan bidra till att forma dessa normer. Dessa två perspektiv utgör därmed en helhet och är beroende av varandra. Cobb & Yackel (1996) har utformat en normmodell bestående av tre nivåer utifrån det sociala och psykologiska perspektivet som används för att analysera det som sker i ett klassrum. Modellen kan läsas både vertikalt och horisontellt och varje kolumn påverkar varandra ömsesidigt: Det sociala perspektivet Det psykologiska perspektivet Sociala normer i klassrummet Socio-matematiska normer Föreställningar om ens egen roll, andras roller i klassrummet, och om den allmänna karaktären av matematiska aktiviteter i skolan. Matematiska föreställningar och värderingar Klassrummets matematiska praxis Matematiska begrepp och aktiviteter Figur 1: Egen tolkning av Cobb & Yackels (1996) ramverk. 12(40)
6.1.1 Sociala normer Sociala normer finns i alla ämnen och utgörs både direkt och indirekt av läraren och eleverna. Det synliggörs t.ex. när eleverna räcker upp handen och delar sina tankar med övriga i klassrummet. Alla elever gör sin egen tolkning av vad det är för sociala normer som gäller i klassrummet (Cobb & Yackel, 1996). 6.1.2 Sociomatematiska normer Cobb & Yackel (1996) skriver att denna nivå är specifikt kopplat till matematikämnet. Beroende på vilka lösningar eleverna och lärarna väljer att lyfta bidrar detta till att normer skapas inom matematikundervisningen. I den matematiska diskussionen kan läraren lyfta fram om någon elev har löst uppgiften på ett annorlunda sätt. När eleven då delar med sig av sitt förslag skapas en sociomatematisk norm för vad som är en annorlunda lösning. 6.1.3 Klassrummets matematiska praxis Denna nivå handlar om när läraren presenterar innehållet och det behandlas av eleverna som allmängiltigt. Det matematiska innehållet har blivit accepterat hos eleverna. Förståelsen för att innehållet kan se olika ut beroende på individen även om hen tagit del av samma undervisning. Alla elevers olika perspektiv på innehållet samspelar med varandra, både i kognitiva och sociala avseenden (Cobb & Yackel, 1996). Den matematiska praxisen påverkas av vilka sociala och sociomatematiska normer som finns i klassrummet. Den matematiska praxisen behandlas av elevernas matematiska förståelse (Skott, 2010). Det handlar alltså om sanningar som klassen skapar på lokalnivå. Det innebär kunskap som inte längre behöver ifrågasättas eller argumenteras emot utan eleverna har accepterat vissa matematiska metoder och resultat (Cobb & Yackel, 1996). När alla elever till exempel förstår att 3+3=6 utan att ifrågasätta detta har en matematisk praxis skapats. 6.2 Lärande i matematik Enligt Cobb & Yackel (1996) är individens individuella uppbyggnad påverkad av den miljö som de agerar i. Om elever ska lära sig och skapa förståelse för matematik behöver de få bästa tänkbara möjligheter till detta, bland annat genom att exempelvis vistas i ett klassrum som uppmuntrar dem till att resonera och tänka framåt. Därför är det kolumnerna i det sociala perspektivet som både begränsar och förhoppningsvis möjliggör lärandet. Cobb & Yackel (1996) skriver också att möjligheter till lärande bland annat skapas när eleverna jämför sina lösningar och sätt att tänka med varandra. 13(40)
Om de får en möjlighet till detta beror på läraren och de sociomatematiska normerna som har skapats i dennes klassrum. Även om sociomatematiska normer utvecklats i samspel mellan lärare och elever, så har läraren en betydande roll i etablerandet av dessa normer. Utifrån det kan man tolka att en medvetenhet, om de sociomatematiska normerna, hos lärare kan vara användbart i syfte att gynna elevers matematiklärande. Genom att fundera och reflektera kring det som sker i matematikklassrummet kan lärare påverka de sociomatematiska normerna i syfte att ge eleverna goda möjligheter att utveckla de matematiska förmågorna. De sociomatematiska normerna ger dessutom eleverna en möjlighet till att utveckla en intellektuell självständighet, vilket innebär att de lär sig att använda sina matematiska förmågor i diskussioner tillsammans med andra (Cobb & Yackel, 1996). Aspekter som kan påverka är exempelvis upplägget av matematikundervisningen, vilka matematiska frågor som ställs samt vad läraren väljer att uppmärksamma i undervisningen. Om undervisningen till exempel inte innehåller problemlösning får inte eleverna möjlighet att utveckla den matematiska förmågan. 14(40)
7 Metod Denna del av studien kommer att förklara hur forskningsmetoden i denna empiriska studie har gått till. Inledningsvis förklaras urvalet av litteratur och deltagare. Därefter förklaras hur genomförandet av studien med observationer och intervjuer har gått till. Avslutningsvis redogörs de etiska riktlinjer som studien har förhållit sig till. 7.1 Datainsamlingsmetod I denna studie bestod undersökningen av intervjuer och observationer vilket gör det till en kvalitativ metod. Analysen gjordes sedan utifrån Cobb & Yackels (1996) teoretiska ramverk. Det är insamlingen av data samt analysen som avgör om studien är gjord utifrån en kvalitativ eller kvantitativ metod. Sättet att samla in och bearbeta datan är det som utmärker den kvalitativa metoden då forskaren vill förstå människors agerande på ett djupare sätt (Denscombe, 2004). Datan i denna studie utgörs av observerade lektioner samt lärarintervjuer. Den kvalitativa metoden som används i denna studie utmärks också genom de frågor som ställts under intervjuerna samt anteckningar från observationsguiden (se bilaga 1). 7.2 Urval av litteratur Urvalet av litteratur kommer från sökningar som har genomförts i databaser som ERIC och Google Scholar. Litteraturen har noggrant lästs igenom av oss samtliga. En objektiv analys har genomförts och en slutsats har framkommit efter diskussioner sinsemellan. 7.3 Urval av deltagare Studien grundas i observationer och lärarintervjuer. När urvalsprocessen inleddes tillfrågades tre lärare med blandad erfarenhet som vi har fått kontakt med under utbildningens gång. Lärarna är i olika åldrar, undervisar i olika årskurser och i olika skolor. Samtliga tre är klasslärare och en av dem innehar även en speciallärarutbildning. Undersökningen genomfördes vid ett tillfälle som lärarna själva valde som lämpligt. 7.4 Genomförande Detta avsnitt presenterar hur genomförandet av observationer och lärarintervjuer har gått till. 15(40)
7.4.1 Observationer När man vill ta reda på vad människor faktiskt gör och inte bara vad de säger att de gör så är observation en lämplig metod att använda sig utav. Man kan aldrig vara helt säker på att det som informanter säger i en intervju stämmer fullt ut. Genom att själv titta, lyssna och registrera sina egna intryck av en observation så använder man sig själv som mätinstrument (Stukát, 2011). Därför användes observation som metod då detta ansågs hjälpa att besvara forskningsfrågorna. Resultatet av en observationsundersökning är också ofta konkret och lätt att begripa vilket gör det till ett stabilt underlag för ett fortsatt resonemang och tolkning (Stukát 2011). I denna studie har det genomförts tre observationer, i tre olika klasser och på tre olika skolor. Innan observationerna fick lärarna instruktion om att de skulle hålla i en lektion i problemlösning som de sedan fick utforma fritt. Stukát (2011) skriver att det finns olika observationsmetoder och vilken observationsmetod man bör använda sig av beror på vad som efterfrågas i forskningsfrågorna. I denna studie har det varit en strukturerad observation. Det är viktigt att ha ett specifikt område där man ska lägga sin uppmärksamhet på och vet vad det är man ska observera. Det utformades en observationsguide (se bilaga 1) med olika punkter som skulle ligga i fokus under observationen. Fokus i denna studie låg på undervisningsmetoder och individanpassning i problemlösning (Stukát, 2011). 7.4.2 Lärarintervjuer Observationerna i klassrummet följdes upp med intervjuer med de tre lärare som observerats, som tog cirka 20-30 minuter vardera. Detta utfördes för att få en mer utvecklad förståelse av observationerna. Lärarens planering av lektionen och hur läraren tolkar och handlar i genomförandet kan vara svårt att endast observera och en djupare förklaring krävs för att göra en så korrekt bedömning av situationen som möjligt. Forskningsfrågorna syftar sig inte heller att endast se till den berörda lektionen utan att få ett helhetsperspektiv hur lärarens metodval ser ut kring problemlösning inom matematik samt individanpassning av problemlösningsuppgifter (Stukát, 2011). Intervjun valdes att spelas in för att kunna gå tillbaka och lyssna på det insamlade materialet. Det gjordes för att kunna göra en så noggrann analys som möjligt av svaren (Sjöström, 2011). Beaktande som fanns när inspelningarna av intervjuerna sedan spelades upp var att inte välja ut sekvenser som bekräftar förväntningarna eller svar som tilldrar 16(40)
uppmärksamhet. Det lyssnas efter en helhet och en jämförelse med observationerna gjordes. Observationerna och svaren sattes in i ett större sammanhang då lärarna bland annat frågades kring om hur de arbetar med problemlösning och individanpassning generellt. Lektionen är ett av alla undervisningstillfällen som måste finnas med i analysen. Inför intervjuerna fanns det förberedda frågor i en intervjuguide (se bilaga 2) som skulle ligga till grund. Enligt Stukát (2011) är dessa frågor semistrukturerade, vilket innebär att de var fasta men ledde ofta till följdfrågor. När observationerna och intervjuerna genomfördes var det två personer på plats, detta för att olika personer kan uppleva samma situation på olika sätt vilket kan påverka observationerna. Anledningen till att alla tre inte är närvarande är för att vara så diskreta som möjligt (Stukát, 2011). 7.5 Etiska riktlinjer Med individskyddskravet som grund har denna studie bedrivits utifrån de fyra forskningsetiska principerna. Dessa principer är avsedda att ge forskaren vägledning samt normer och insikter vid interaktion med deltagare i studien (Vetenskapsrådet, 2002). Det första kravet kallas för informationskravet och innebär att forskaren ska informera uppgiftslämnare och undersökningsdeltagare om syftet med forskningen. De ska också informeras om att deltagandet är frivilligt och att den information som insamlas endast kommer att användas i enlighet med studiens syfte (Vetenskapsrådet, 2002). I denna studie informerade vi lärarna om syftet med studien, att deltagandet är frivilligt och kan avbrytas när som helst. Vi skickade även ett brev (se bilaga 3) till lärarna innan vi kom dit som de kunde använda sig av och skicka ut till vårdnadshavare med information kring genomförandet. Samtyckeskravet är det andra kravet och har också tillämpats i denna studie. Det innebär att samtycke från de deltagande har samlats in. I denna studie fungerar lärarna som informanter och har därmed lämnat samtycke. Vårdnadshavarna har i detta fall utelämnats då det inte är eleverna som varit informanter. De som medverkade i undersökningen hade också rätt till att avbryta sitt deltagande utan några negativa konsekvenser (Vetenskapsrådet, 2002). 17(40)
Gällande sekretess och konfidentialitet berörs det tredje kravet som kallas konfidentialitetskravet. Den information som insamlats i denna studie har behandlats med tystnadsplikt och sekretess. De informanter som deltar kan inte identifieras och de personliga uppgifterna som samlats in genom intervjuguide och observationsguide har transkriberats. Den inspelade intervjun kommer även att raderas efter att studien är avslutad (Vetenskapsrådet, 2002). Den information som insamlas får endast användas till syftet med forskningen och går under nyttjandekravet. I denna studie användes endast den information som samlats in till att besvara de två forskningsfrågorna och därmed uppfylls detta krav (Vetenskapsrådet, 2002). 18(40)
8 Resultat & analys I denna del av studien kommer först de observerade och intervjuade lärarnas bakgrund att presenteras. Det följs av resultatet från undersökningen som därefter analyseras. Även Cobb & Yackels (1996) teoretiska ramverk kommer användas i analysen. De tre lärare som har deltagit kommer inte att benämnas med namn utan istället som A, B och C. 8.1 Resultat undervisningsmetoder En av de forskningsfrågor som har undersökts i denna studie är vilka undervisningsmetoder lärare använder för årskurs 1-3 i problemlösning. Genom att observera tre lärare under en av deras lektioner i problemlösning framkom en del svar. Därefter fick lärarna också chansen att förklara hur de hade tänkt under den efterföljande intervjun. 8.1.1 Lärare A Lärare A har grundlärarprogrammet med inriktning mot F-3 som utbildning och undervisar i årskurs 1. Läraren har endast varit verksam under ett skolår. Under den lektion som observerades i problemlösning var det 26 elever närvarande. Inga resurser fanns att tillgå. Under den observerade lektionen hos lärare A integrerades geometri i problemlösning. En tydlig inledning av lektionen inför samtliga elever framfördes. Läraren ställde frågor som: Vad innebär problemlösning? Vad ska finnas med när man löser en problemlösningsuppgift? Vad heter de geometriska figurerna?. Eleverna fick först tänka enskilt innan handuppräckning skedde och de fick dela med sig av svaret inför hela klassen. Läraren ritade därefter upp de geometriska figurerna på tavlan. Det följdes därefter upp av en instruktion till den uppgift som skulle genomföras. Eleverna skulle få instruktioner av läraren hur de skulle rita de geometriska figurerna på sitt papper, exempelvis: Rita en cirkel och Rita en kvadrat ovanför cirkeln. De fick först genomföra uppgiften enskilt för att sedan dela med sig av resultatet och jämföra sin bild med övriga elever i helklass. Läraren summerade därefter svaren som eleverna gav. När läraren hade instruerat eleverna i olika omgångar fick några utvalda elever ta över och instruera sina kamrater med förberedda bilder. En viss variant av IEPAS-metoden kunde urskiljas men delen med att eleverna skulle samarbeta parvis uteslöts. Lärare A fick under intervjun 19(40)
frågan om vilken undervisningsmetod hen föredrar i problemlösning och svarade: Jag kan inte säga att jag använder någon viss typ av undervisningsmetod, utan jag bygger lektionerna på olika sätt varje gång. Lärare A svarade också att hen ofta följer det innehåll som kommer i elevernas matematikbok men att problemlösning oftast kan kopplas till varje avsnitt. Detta kunde också observeras under lektionen då problemlösning integrerades med geometri samt att eleverna fick avsluta lektionen med att arbeta i sina matematikböcker. 8.1.2 Lärare B Den andra observationen som genomfördes var hos lärare B. Denna lärare har varit verksam i cirka 30 år och är utbildad inom årskurserna 1-3. Lektionen som observerades var i årskurs 2 och det var 22 elever som var närvarande. Även här fanns inga resurser att tillgå. Under inledningen av lektionen förklarade lärare B för eleverna vad de skulle göra under lektionen. Därefter visade läraren ett exempel av en problemlösningsuppgift på tavlan som handlade om att spela kula. Eleverna fick först fundera enskilt innan de tillsammans med läraren redogjorde för lösningen på tavlan. Alla elever fick därefter arbeta med en liknande problemlösningsuppgift parvis samtidigt som det fanns en bild på tavlan för dem att titta på. När lektionen sedan gick mot sitt slut fick eleverna vara med och redovisa sina lösningar och om de fått olika svar jämfördes de på tavlan inför alla i klassen. Detta för att visa att det fanns flera svar på uppgiften. Läraren avslutade sedan med att summera lektionen som helhet när den var slut. IEPAS-metoden kunde observeras hos lärare B där ingen del av den uteblev. Lärare B nämner dock i intervjun att: EPA-metoden är en undervisningsmetod som jag föredrar när jag undervisar i problemlösning. Under observationen blir det dock tydligt att det är den utvecklade IEPASmetoden som tillämpas. Lärare B redogjorde också i intervjun att samarbete i problemlösning är det som ger mest på dennes lektioner i problemlösning 20(40)
och det är även det arbetssättet eleverna också föredrar. Läraren har märkt att elevernas problemlösningsförmåga har utvecklats med samarbete och att eleverna tycker att det är roligt. 8.1.3 Lärare C Den tredje observationen och intervjun genomfördes hos lärare C. Läraren är utbildad specialpedagog och undervisar sitt första år som grundskollärare i årskurs 3. Under lektionen i problemlösning närvarade 17 elever. Även under denna lektion fanns inga resurser att tillgå. Den observerade lektionen integrerade problemlösning med omkrets och area. Lektionen introducerades med att repetera vad omkrets är för någonting. Därefter berättar lärare C om area som var ett helt nytt begrepp för eleverna. Läraren presenterar sedan uppgiften Kor på betet som handlar om att stängsla in sina kor på tre olika sätt beroende på bondens önskemål. Exempel visas på tavlan och eleverna får tänka självständigt. Därefter delas eleverna in i par och får ut uppgiftsbeskrivningen. Varje par får 16 stycken gräsbitar av papper som de ska använda som sin yta att laborera med i uppgiften. Det finns inget givet svar på hur man ska göra utan de får diskutera med varandra i paren. Läraren berättar även för eleverna att i slutet av lektionen ska de få visa sina lösningsförslag för varandra i helklass. Under den ovan beskrivna lektionen hos lärare C var det väldigt tydligt att lektionen var uppbyggd efter IEPAS-metoden, då samtliga delar av den var med i lektionen. När läraren däremot fick frågan på intervjun om vilken undervisningsmetod hen föredrar i problemlösning verkar hen dock inte medveten om detta då svaret på frågan blev: Jag tycker att det är svårt att säga att jag använder någon viss typ av undervisningsmetod i problemlösning. Däremot bekräftas IEPAS-metoden återigen genom att lärare C berättar hur hen brukar bygga upp sina lektioner i problemlösning. Under intervjun framkommer det även att läraren anpassar genomgångarna beroende på gruppen och vad problemlösningen ska handla om. Hen föredrar en kortare genomgång och instruktion för att sedan låta eleverna börja arbeta. 21(40)
8.1.4 Visuellt stöd Både lärare A och B använde sig av visuellt stöd på olika sätt. Lärare A valde att rita på tavlan och lät det stå när eleverna sedan skulle arbeta med problemlösningsuppgiften medan lärare B hade en bild genom datorn på tavlan under hela lektionen. Lärare C använde det laborativa materialet som ett slags visuellt stöd under lektionen. Genom att med hjälp av materialet instruera eleverna hur de skulle utföra uppgiften fick det sedan sitta kvar på tavlan och fungera som ett visuellt stöd för dem under lektionens gång. Lärare C beskriver: Jag gillar att visa på tavlan hur eleverna kan tänka. Gärna med olika material eller med bilder. Vissa elever har enklare att ta till sig uppgiften då. 8.1.5 Laborativt material Lärare A använde inte laborativt material under sin lektion och nämnde inte det heller i intervjun som en undervisningsmetod som brukar förekomma i dennes klassrum. Lärare B använde det inte heller under den observerade lektionen men sade under sin intervju att: Eleverna är medvetna om att de får gå och hämta laborativt material som står i klassrummet om de vill. Lärare B poängterade också att hen använder det kontinuerligt under sina lektioner i problemlösning. Lärare C använde däremot det laborativa materialet under hela sin lektion och eleverna fick även materialet utdelat. Under intervjun menar lärare C att det är en undervisningsmetod som används under de flesta lektionerna i problemlösning hos denne och att eleverna är vana vid det. 8.1.6 Erfarenhetsbaserade problemlösningsuppgifter Efter samtliga observationer och intervjuer var det endast hos lärare B det användes erfarenhetsbaserade problemlösningsuppgifter. Under den observerade lektionen användes uppgiften under den instruerande delen av lektionen. Uppgiften handlade om att spela kula och efter att eleverna fått se uppgiften var det många som räckte upp handen för att berätta att de precis spelat kula på rasten som de kom in ifrån. Att detta var medvetet av läraren bekräftas under intervjun när lärare B berättar: 22(40)
Jag valde den uppgiften då jag tyckte att den passade bra då jag vet att eleverna spelar så mycket kula på rasterna just nu. 8.1.7 Samarbetslärande Samarbetet mellan eleverna märktes kontinuerligt och på olika sätt under observationerna i de olika klassrummen. Helklassdiskussioner förekom i samtliga klassrum och hos lärare A fick eleverna även instruera sina kamrater i helklass. Hos lärare B och C fick de också arbeta parvis som tidigare nämnts och på så sätt interagera med sina klasskamrater. Lärare C förklarar på detta sätt sitt upplägg under intervjun: Jag har tänkt igenom paren innan så att de ska kunna dra nytta av varandras kunskaper i problemlösning. Det är inte enkelt, det ska ge båda eleverna lagom med utmaning och det stöd som de behöver. 8.2 Analys undervisningsmetoder Sociala normer finns i alla ämnen och utgörs av både lärare och elever. Dessa synliggörs bland annat när eleverna räcker upp handen och delar sina tankar med övriga i klassrummet. Alla elever gör sin egen tolkning av vad det är för sociala normer som gäller i klassrummet (Cobb & Yackel, 1996). Den nivå i Cobb & Yackels (1996) teoretiska ramverk som är specifikt kopplat till matematikämnet är de sociomatematiska normerna. Beroende på vilka lösningar som lärare väljer att lyfta fram bidrar det till att det bildas normer inom matematikundervisningen. I de observerade klassrummen återfanns både de sociala och sociomatematiska normerna på olika sätt. Hos samtliga lärare fördes elevernas olika lösningsförslag fram. Hos lärare A fanns det dock bara ett rätt svar på varje uppgift medan hos lärare B och C fanns det flera alternativ som var korrekta och som fördes fram. Lärare C talade om för eleverna att syftet var att lära sig om omkrets och area men att det viktigaste var att diskutera med varandra, lyssna och berätta hur de tänker. När läraren uppmärksammar elevernas lösningar på detta vis indikerar de till dem att en godtagbar lösning i problemlösning redovisas. Eftersom läraren reagerar på det här sättet inser eleverna, enligt Cobb & Yackel (1996), att det är av betydelse och ett etablerande av en sociomatematisk norm förekommer. När det skapas aktiviteter i matematikklassrummet på det här viset möjliggörs ett skapande av ytterligare 23(40)
normer (Cobb & Yackel, 1996). Johnson & Johnson (1999) skriver också i sin studie att elevernas sociala kompetens utvecklas genom att de måste interagera och lyssna på varandra för att kunna lösa problemlösningsuppgifter. Lärandet i problemlösning främjas när varje individ får ta in vad andra kommer fram till när de möter samma problem. De lär sig också förklara sitt perspektiv och sin kunskap för sina klasskamrater (Johnson & Johnson, 1999). Hos lärare B och C framkom samarbetet väldigt tydligt under den större delen av lektionerna då eleverna skulle arbeta i par. Enligt Cobb & Yackels (1996) teori skapas lärandemöjligheter när eleverna får samarbeta. Huruvida eleverna får möjlighet till det här har då en direkt koppling till vilka sociala normer som har utvecklats i klassrummet. Cobb & Yackel (1996) menar att denna norm ger eleverna möjlighet att utvecklas mot en intellektuell självständighet. Intellektuellt självständighet betyder inte att eleverna ska utvecklas mot att arbeta självständigt, utan istället att de lär sig använda sina matematiska förmågor i matematiska diskussioner tillsammans med andra (Cobb & Yackel, 1996). Samarbetslärande i matematik och problemlösning är också något som Johnson & Johnson (1999) förespråkar i sin studie. De skriver att eleverna får tänka kring och känna ett ansvar för sitt lärande tillsammans med andra. De blir positivt ömsesidigt beroende av varandra, vilket innebär att de endast kan nå sitt mål om alla i gruppen når målet (Johnson & Johnson, 1999). Lärare C var den enda som under de observerade lektionerna använde sig av laborativt material som undervisningsmetod. Det nämndes även under intervjun att eleverna var vana vid att använda sig av laborativt material och att det kontinuerligt användes under lektionerna i problemlösning. Lärare B sade också under sin intervju att: Eleverna är medvetna om att de får gå och hämta laborativt material som står i klassrummet om de vill. Lärare B s uttryck i intervjun samt lärare C s användning av laborativt material stärker att det har bildats en sociomatematisk norm i deras klassrum sedan tidigare. Lärare C betonar att det används kontinuerligt under problemlösningslektionerna och lärare B har klargjort inför eleverna att det är godtagbart om de vill använda sig av laborativt material när de ska få fram svaren på problemlösningsuppgifter. Det är något som ännu inte utvecklats i 24(40)
lärare A s klassrum (Cobb & Yackel, 1996). Enligt Uttal, Scudder & DeLoache (1997) är dessutom laborativt material som undervisningsmetod i problemlösning gynnsamt för elevernas problemlösningsförmåga. Det hjälper dem att se ett samband mellan det matematiska innehållet och deras verklighet. Det visuella stödet som undervisningsmetod kunde observeras i samtliga klassrum på olika sätt. Lärare A och B hade bilder på tavlan medan lärare C använde det laborativa materialet som visuellt stöd på tavlan. Genom att lärarna kontinuerligt refererade och pekade på det visuella stödet som hjälpmedel när eleverna skulle lösa uppgifterna i problemlösning bildades en sociomatematisk norm (Cobb & Yackel, 1996). Precis som tidigare när lärarna uppmärksammade elevernas lösningsförslag, visade lärarna även denna gång att det är godtagbart att använda sig av det visuella stödet på tavlan när man ska lösa problemlösningsuppgiften. Resultatet i Usta, Yilmaz, Kartopu & Kadans (2018) studie stärker också att de elever som har visuellt stöd under tiden som de ska lösa problemlösningsuppgifter får en djupare förståelse för problemet samt utvecklar sin problemlösningsförmåga mer än de som inte får det. Det handlar om att innehållet måste presenteras av läraren så att det blir allmängiltigt och användbart för eleverna (Usta, Yilmaz, Kartopu & Kadans 2018). Som resultatet i undersökningen visar var helklassdiskussioner något som förekom i samtliga klassrum som observerades. Hos lärare A skedde det kontinuerligt under hela lektionen medan det hos lärare B och C skedde i inledningen och i slutet av lektionen tillsammans med summeringen. Stöd för detta finns i Cobb & Yackels (1996) forskning, som visar att det uppstår goda lärandemöjligheter genom att eleverna kan delge sina tankar och lösningar med läraren. Läraren får då förståelse för deras sätt att tänka kring det matematiska innehåll som bearbetas. Det visar också enligt Cobb & Yackels (1996) teori att det finns sociala normer i dessa klassrum som utgörs både direkt och indirekt av eleverna och lärarna. När eleverna får räcka upp händerna och delge sina lösningsförslag eller andra tankar synliggörs dessa normer. 8.3 Resultatsammanfattning undervisningsmetoder De tre lärarna som observerats och intervjuats har bearbetats i resultatet och analysen. Det har framkommit att två av tre lärare använder sig av IEPAS- 25(40)