Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2010-05-31 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat formelblad, miniräknare. Det är också tillåtet att använda Mathematics Handbook eller Physics Handbook, men uppgifterna är konstruerade så att de inte förutsätter tillgång till handbok. För full poäng krävs fullständiga räkningar och utförliga resonemang samt motivering till alla svar, där annat ej anges. Betygsnivåer: Betyg 3: minst 13 poäng Betyg 4: minst 20 poäng varav minst 7 poäng på del B Betyg 5: minst 26 poäng varav minst 13 poäng på del B. Del A 1. Genomför ett steg med Heuns metod på problemet Ý ¼ (Ø) = Ý(Ø) + cos(ø) Ý(0) = 0 Använd steglängden = 01. 2. Du vill koka tre portioner couscous, men på paketet finns endast följande information: Portioner dl couscous dl vatten 1 1 1 4 3 2.5 6 5 4 Anpassa ett interpolationspolynom till de tre punkterna för att bestämma mängden vatten som behövs för tre portioner. Använd Newtons ansats. 1
3. Härled stabilitetsvillkoret för metoden Euler framåt, även kallad explicit Euler. Det räcker att behandla fallet med reellt. 4. En tärning är felaktigt tillverkad, så att den vid slag visar vardera av siffrorna 1 5 med 18% sannolikhet, men 6 bara med 10% sannolikhet. Beskriv algoritmen för att simulera ett slag med denna tärning, om man har en slumptalsgenerator random som ger ett slumptal likformigt fördelat i intervallet [0 1)? 5. Besvara följande frågor kort och utan motivering: (a) Vilken är den allmänna benämningen på kurvanpassning där man kräver att kurvan ska gå genom de givna punkterna? (b) Det finns en implicit metod för lösning av ordinära differentialekvationer som heter trapetsmetoden. Vad heter den i kursen genomgångna explicita metod som mest liknar denna? (c) Vilken av Eulers framåtdifferensmetod och Runge-Kuttas (klassiska) metod har högst noggrannhetsordning? (d) En person skulle beräkna integralen Ê 3 1 (Ü) Ü och gjorde detta genom att slumpa 100 st. tal likformigt fördelade på intervallet [1,3]. Sedan summerades funktionsvärdena för dessa tal. Varför är det troligt att personen fick ett resultat som inte ens låg i närheten av det korrekta resultatet? 2
Del B 6. Antag att Matlabfunktionen function x = f(t,t0,x0) genom en stokastisk metod uppskattar ett värde Ü på en aktieportfölj vid tiden Ø, givet att värdet vid tiden Ø 0 var Ü 0. (a) Man vill ha så låg risk som möjligt och är därför intresserad av sannolikheten Ô för att portföljen någon gång mellan Ø 0 och Ì är värd mindre än 70% av ursprungsvärdet Ü 0. Skissa en algoritm som med hjälp av funktionen uppskattar Ô. Notera att resultatet beror på tidssteget man väljer. Vi nöjer oss med att veta värdet dag för dag, så vi väljer tidssteget 1. (b) Du vill nu i stället beräkna det förväntade värdet av portföljen vid tiden Ì. Antag att du vet att standardavvikelsen ges av. Du gör nu Æ simuleringar och uppskattar det förväntade värdet till Á Æ, och får ett konfidensintervall givet av [Á Æ Á Æ + ]. Ungefär hur många simuleringar Æ måste du göra för att minska konfidensintervallet till [Á Æ 3 Á Æ + 3]? 7. En fallskärmshoppare hoppar från en helikopter som befinner sig stillastående på 2000 meters höjd. Hopparen faller fritt till att börja med men efter 30 sekunder vecklas fallskärmen ut. Hopparens höjd Ý(Ø) efter tiden Ø sekunder beskrivs av differentialekvationen (6p) Ñ 2 Ý Ý Ø = 2 Ø 2 Ñ Ý(0) = 2000 Ý ¼ (0) = 0 där är en luftmotståndskoefficient, Ñ är hopparens massa (kg) och = 981 är tyngdaccelerationen. Skriv ett Matlabprogram som för Ñ = 75 beräknar och plottar hopparens höjd som funktion av tiden från uthoppet till nedslaget. Antag att = Ñ60 2 vid fritt fall och = Ñ5 2 när fallskärmen är utvecklad. Programmet skall även besvara följande frågor: Vid vilken höjd vecklas fallskärmen ut? Vid vilken tid slår hopparen i marken? Matlabs inbyggda funktioner och följande funktion som tar ett steg med klassisk Runge-Kutta kan användas som hjälpmedel. Observera att differentialekvationen måste skrivas om som ett system av första ordningens differentialekvationer för att dessa ska kunna användas. 3
function [tnext, ynext] = RK4(odefun, t, y, h) k1 = odefun(t, y, ); k2 = odefun(t+0.5*h, y+0.5*h*k1); k3 = odefun(t+0.5*h, y+0.5*h*k2); k4 = odefun(t+h, y+k3*h, ); ynext = y+(h/6)*(k1+ 2*k2 + 2*k3 + k4); tnext = t+h; Det blir inget avdrag för rena Matlab-fel, så länge det framgår att programmet i princip är riktigt. (6p) 8. Man har med en numerisk metod beräknat en funktion, (t.ex. lösningen till en differentialekvation), som kan se ut ungefär som i figuren. 1.5 Function values 1 0.5 0 0.5 1 1.5 1 0 1 2 3 4 5 6 7 Figure 1: Periodisk funktion Man väntar sig att funktionen ska vara periodisk. Man kan tänka sig flera sätt att ta reda på periodlängden, t.ex. genom att studera avståndet mellan successiva maxima, eller avståndet mellan liknande värden i de intervall där funktionen växer. (a) Diskutera för- och nackdelar med de två sätten att bestämma periodlängden som är nämnda ovan. (b) Redogör för hur man använder de beräknade funktionsvärdena för att bestämma periodlängden. (c) Diskutera hur fel i funktionsvärdena i de punkter som använts vid beräkningen kan påverka resultatet. Försök täcka in de möjliga kombinationerna av positiva resp. negativa fel. (8p) 4
Uppsala universitet Inst. för informationsteknologi Avd. för teknisk databehandling Blandade formler i Beräkningsvetenskap I och II 1. Flyttal och avrundningsfel Ett flyttal Ð(Ü) representeras enligt Ð(Ü) = ˆÑ ˆÑ = ( 0 1 2 Ô 1 ) 0 0 = 0 Ä Í där betecknar bas och Ô precision. Ett flyttalssystem defineras È ( Ô Ä Í). Maskinepsilon (avrundningsenheten) Å = 1 2 1 Ô och kan defineras som det minsta tal sådant att Ð(1 + ) 1. 2. Linjära och ickelinjära ekvationer (Ü ) ¼ (Ü ) Newton-Raphsons metod: Ü +1 = Ü För system: Ü +1 = Ü [ ¼ ] 1 (Ü ), där Ü och (Ü ) är vektorer och ¼ är Jacobianen. Fixpunktsiteration för Ü = (Ü): Ü +1 = (Ü ) Allmän feluppskattning Ü Ü (Ü ) min ¼ (Ü) Konditionstalet cond() = 1 mäter känsligheten för störningar hos ekvationssystemet Ü =. Det gäller att Ü Ü cond() där Ü = Ü ˆÜ och = ˆ. Normer (vektor- respektive matrisnorm) Ü 2 = Ô Ü 1 2 + + Ü Ò 2 Ü 1 = È Ü Ü ½ = max Ü 1 = ÑÜ ( È ) ½ = ÑÜ ( È ) 3. Approximation Newtons interpolationspolynom Ô(Ü) då vi har Ò punkter (Ü 1 Ý 1 ) (Ü Ò Ý Ò ) bygger på ansatsen Ô(Ü) = 0 + 1 (Ü Ü 1 ) + 2 (Ü Ü 1 )(Ü Ü 2 ) + + Ò 1 (Ü Ü 1 ) (Ü Ü Ò 1 )
Minstakvadratapproximationen till punktmängden (Ü 1 Ý 1 ) (Ü 2 Ý 2 ) (Ü Ñ Ý Ñ ) med ett Ò:egradspolynom Ô(Ü) = 0 1 + 1 Ü + + Ò Ü Ò kan formuleras som ett överbestämt ekvationssystem Ü =, där är Ñ Ò, Ñ Ò. Minstakvadratlösningen kan fås ur normalekvationerna Ì Ü = Ì 4. Ordinära differentialekvationer Eulers metod (explicit Euler): Ý +1 = Ý + (Ü Ý ), n.o. 1 Implicit Euler (Euler bakåt): Ý +1 = Ý + (Ü +1 Ý +1 ), n.o. 1 Trapetsmetoden: Ý +1 = Ý + 2 ((Ü Ý ) + (Ü +1 Ý +1 )), n.o. = 2 Heuns metod (tillhör gruppen Runge-Kuttametoder): Ã 1 = (Ü Ý ) Ã 2 = (Ü +1 Ý + Ã 1 ) Ý +1 = Ý + 2 (Ã 1 + Ã 2 ) n.o. = 2 Klassisk Runge-Kutta: Ã 1 = (Ü Ý ) Ã 2 = (Ü + 2 Ý + 2 Ã 1) Ã 3 = (Ü + 2 Ý + 2 Ã 2) Ã 4 = (Ü +1 Ý + Ã 3 ) Ý +1 = Ý + 6 (Ã 1 + 2Ã 2 + 2Ã 3 + Ã4) n.o. = 4 5. Numerisk integration Trapetsformeln Beräkning på ett delintervall med steglängd = Ü +1 Ü Ü+1 Ü (Ü) Ü = 2 [(Ü ) + (Ü +1 )] Sammansatt formel på helt intervall [ ], då ekvidistant steglängd = : (Ü) Ü 2 [(Ü 0) + 2(Ü 1 ) + + 2(Ü Æ 1 ) + (Ü Æ )]
Felet Ê på helt intervall [ ], dvs Ê (Ü) Ü = Ì () + Ê är ( ) Ê = 2 ¼¼ () 12 Funktionsfelet (övre gräns): ( ), där är en övre gräns för absoluta felet i varje funktionsberäkning. Simpsons formel Beräkning på ett dubbelintervall med steglängd Ü+2 (Ü) Ü = Ü 3 [(Ü ) + 4(Ü +1 ) + (Ü +2 )] Sammansatt formel på helt intervall [ ], då ekvidistant steglängd = : (Ü) Ü 3 [(Ü 0) + 4(Ü 1 ) + 2(Ü 2 ) + 4(Ü 3 ) + + 2(Ü Æ 2 ) + 4(Ü Æ 1 ) + (Ü Æ )] Felet Ê på helt intervall [ ], dvs Ê (Ü) Ü = Ë() + Ê är ( ) Ê = 180 4 ¼¼¼¼ () Funktionsfelet: Samma som för trapetsformeln, se ovan. 6. Richardsonextrapolation Om 1 () och 1 (2) är två beräkningar (t ex ett steg i en beräkning av en integral eller en ODE) med en metod av noggrannhetsordning Ô med steglängd respektive dubbel steglängd 2 så är Ê() = 1() 1 (2) 2 Ô 1 en uppskattning av den ledande termen i trunkeringsfelet i 1 (). Kan även användas för att förbättra noggrannheten i 1 () genom () = 1 () + 1() 1 (2) 2 Ô 1 7. Differensformler Differensformler för första- och andraderivata Ý ¼ 0 Ý = Ý +1 Ý 1 2 Ý ¼ + Ý = Ý +1 Ý Ý ¼ Ý = Ý Ý 1 Ý ¼¼ + Ý = Ý +1 2Ý +Ý 1 2 centraldifferens framåtdifferens bakåtdifferens
8. Monte carlometoder Noggrannhetsordning för Monte carlometoder är Ç( 1 Ô Æ ), där Æ är antal samplingar. Kumultativ fördelningsfunktion: (Ü) = Ê Ü½ (Ý)Ý Normalfördelning (Ü) = 1 Ô 2 (Ü ) 2 2 2 Aritmetiskt medelvärde baserat på Æ realisationer Ü av slumpvariablen : È = 1 Æ Æ =1 Ü. 9. Taylorutveckling Taylorutveckling av Ý(Ü + ) kring Ü : Ý(Ü + ) = Ý(Ü ) + Ý ¼ (Ü ) + 2 2! ݼ¼ (Ü ) + 3 3! ݼ¼¼ (Ü ) + Ç( 4 )