Fö 1 - TMEI01 Elkraftteknik Trefassystemet Per Öberg 16 januari 2015
Outline 1 Introduktion till Kursen
Outline 1 Introduktion till Kursen 2 Repetition växelströmslära
Outline 1 Introduktion till Kursen 2 Repetition växelströmslära 3 Huvudspänning och fasspänning
Outline 1 Introduktion till Kursen 2 Repetition växelströmslära 3 Huvudspänning och fasspänning 4 Y- och D-koppling
Outline 1 Introduktion till Kursen 2 Repetition växelströmslära 3 Huvudspänning och fasspänning 4 Y- och D-koppling 5 Symmetrisk och osymmetrisk belastning
Outline 1 Introduktion till Kursen 2 Repetition växelströmslära 3 Huvudspänning och fasspänning 4 Y- och D-koppling 5 Symmetrisk och osymmetrisk belastning 6 Beräkningsexempel
Introduktion till Kursen Kursledning Per Öberg, examinator och föreläsare (per.oberg@liu.se, 013-282369) Christofer Sundström, lektionsassistent (christofer.sundström@liu.se, 013-281315) Sivert Lundgren, lektionsassistent (sivert.lundgren@liu.se, 013-282555) Kurshemsida http://www.fs.isy.liu.se/edu/courses/tmei01 Kursplanering, föreläsningar och lektioner Uppgiftslösningar + Formelblad Gamla tentor Labbar för nedladdning Fortlöpande information Kursmaterial Bok: Elkraftteknik av Franzén och Lundgren Labbar: PM laddas ner från hemsidan och skrivs ut (helst i A4 format)
Introduktion forts. Laborationer 3 St laborationer Laborationerna hålls i Thyristorn i B-Huset (Korridor C,Ing. 25/27) Teckningslistor medtages på Fö2, sedan på tavla i korridor utanför labbet. Elsäkerhet under labbarna. Svårigheter i kursen Beteckningar!!! Knöliga uttryck Tumregler, olika approach beroende på situation Tillämpar ellära, mekanik, matematik, (elektromagnetism)... men övning ger färdighet. = Tips: Öva på lektionsuppgifterna, försök själv innan ni kollar facit.
Repetition växelströmslära: Introduktion till växelström Tidsbaserat: Sinusformad spänning, olika skrivsätt u(t) = U 0 sin (ω t) = û sin (ω t) Effektivvärde: Det kvadratiska medelvärdet av en elektrisk storhet kallas effektivvärde 1 T U = u T 2 (t) dt = = û 0 2 Jämför med effekt för likström i resistans P = U I = U2 R. Vi medelvärdesbildar alltså något som är proportionellt mot effekt och alltså enkelt kan användas i effektberäkningar. Notationsregler lik- och växelspänningsstorheter För växelspänning används både U 0 och û för att notera toppvärde. U däremot betyder effektivvärde av sinusformad storhet eller likströmststorhet.
Repetition växelströmslära: Exempel tidsbaserade räkningar Sinusformad ström och spänning: i(t) u(t) = U 0 sin (ω t) i(t) = I 0 sin ( ω t ) ϕ }{{} Fasvinkel Samband mellan storheterna: / / u(t) = Faradays lag = di(t) L dt U 0 sin (ω t) = I 0 L d sin( ω t ϕ ) = ωli 0 cos (ω t ϕ) dt Slutsats: (Att använda vid definition av jω-medoden) 1 U 0 = ωli 0, (jämför gärna med ohms lag U = R I) 2 sin (ω t) = cos (ω t ϕ) ϕ = + π 2 eller 90 Strömmen kommer alltså 90 efter spänningen eftersom vi drar bort ϕ = π 2 u L
Repetition växelströmslära: Utvikning Faradays lag Faradays lag e = N d Magn. flöde Länkat flöde {}}{{}}{ φ(t) = d λ(t) = L di(t) dt dt }{{} dt För linjära material
Repetition växelströmslära: Definition jω-metoden Ersättningsregler: u(t) = U 0 sin (ω t) Vektor {}}{ Ū = U 0 e j 0 = U e j 0 2 i(t) = I 0 sin (ω t ϕ) Ī = I 0 2 e j ϕ = I e j ϕ Kom ihåg från komplex-matte: j 2 = 1 1 j = j e jϕ = cos (ϕ) + j sin (ϕ) Z = a + j b = a 2 + b 2 e j ϕ = Z e j ϕ ( ) ϕ = arctan b a för positiva a (Annars ±180 ) U är effektivvärde Ū eller ibland U är en komplex vektor med längd U
Repetition växelströmslära: Definition jω-metoden Illustration visardiagram Im j wl Ohms lag: Ū = Z Ī med Z = R + j X Resistans: R Z = R Se exemplet 90 = π 2 R Induktans: L Z = jωl Re Kapacitans: C Z = 1 jωc = j ωc j wc Im Ū = U e j ϕ j U sin (ϕ) U cos (ϕ) Re
Repetition växelströmslära: Exempel Ex: Beräkna dels grafisk, dels exakt Ī med Ū som referens: I I R I C I L u(t) = U 2 sin(ωt) u R C L Exakt: Ū = U e j0 Grafiskt: Ī = Ī R + Ī C + Ī L = Ū R + Im Ū 1/jωC + Im Ū jωl = U ( 1 R + jωc j ) ωl Ī C Ī R Ū Ī R Ū Re Ī Ī L Re Ī L Ī C
Repetition växelströmslära: Exempel - försmak av komplex effekt Exempel på fall där jωl och 1 jωc tar ut varandra.: I I C I L u C L Antag att Ī C = Ī L, dvs ωl = 1 ωc. Då blir Ī = 0 och 1 Z Tot = =. Samtidigt går en ström Ī jωc j C och Ī L mellan ωl kapacitansen och induktansen fram och tillbaka, fram och tillbaka, tills kretsen bryts. Reaktiv effekt Vi säger att den Reaktiva effekten Q C = 1 ωc I2 C = ωl I2 L = Q L skapas i kapacitansen och förbrukas i induktansen.
Huvudspänning och fasspänning 3-fas växelström: 3st växelspänningar med samma amplitud förskjutna 120 sinsemellan. Fördelar: Spänningar och strömmar summerar till 0 vid symmetrisk belastning behöver ingen återledare. En trefas-generator som lastas symmetriskt, dvs med lika stora laster på alla faser, ger ett statiskt (dvs icke-pulserande) lastmoment. En slinga som roterar i ett magnetfält alstrar spänningen e(t) = ê sin (ωt) V. Fält B N B S Ström Tre slingor 120 förskjutna alstrar symmetrisk 3-fas växelspänning.
Huvudspänning och fasspänning Fas-spänningar i ett 3-fas system. Lika amplitud ger symmetrisk 3-fas u 1 = û 1 sin (ωt) u 2 = û 2 sin (ωt 120 ) u 3 = û 3 sin (ωt 240 ) Komplex notation Ū 1 = U 1 e j0 Ū 2 = U 2 e j120 Ū 3 = U 3 e j240 Ū 3 Im Tips: (När det är jobbigt att slå på räknaren) Ū 2 120 = 2π/3 Ū 1 120 = 2π/3 Re e j120 = cos(120 ) + j sin(120 ) = 1 2 + j 3 2 e j120 = 1 2 j 3 2 3-4-5 triangel: Om cos(ϕ) = 0.8 så är sin(ϕ) = 0.6 och tvärs om. (ϕ = 36.9 )
Huvudspänning och fasspänning Ū 3 Huvudspänning U H Fasspänning U F Ū 31 Ū 1 Huvud och fasspänning U H = 3U F Symmetrisk 3-fas: U 1 = U 2 = U 3 Ū 31 är spänningen från 1 till 3 Ū 2 ( ) ( Ū 31 = Ū 3 Ū 1 = U e j120 1 = U 1 3 2 + j ( ) = U 3 3 2 + j 1 2 }{{} Längden 1 Ū 12 = Ū 1 Ū 2 = U 3e j30 Ū 23 = Ū 2 Ū 3 = U 3e j90 = U 3 e j210 ) 2 1 = U ( 3 2 + j 3 2 ) =
Huvudspänning och fasspänning Ū 31 Ū 3 120 30 Ū 1 Ū 12 Beteckningar: 3-fas med nolledare betecknas U H / U F Ex: 400/230 Saknas nolledare kallas det 3xU H Ex: 3x400 Ū 2 Fasledarna kallas L 1, L 2, L 3 alt. R, S, T Ū 23 Nolledare betecknas N
Y- och D-koppling Y-koppling: (Även stjärnkoppling) Alt. representation Ū 1 L 3 L 1 L 1 Ī L1 Z I L = U F Z = U H 3Z L 2 Ī L2 Z N L 3 Ī L3 Z N Ī 0 = 0 Vid symmetrisk last Vid Y-koppling ligger spänningen U F över respektive last. Strömmen genom lasten betecknas linjeström. L 2
Y- och D-koppling D-koppling: (Även triangel/delta) Ū 31 L 1 Ī L1 Ī 12 Notera Spänningen över, och därmed Ū 12 Z Ī 31 Ī L2 strömmen genom, respektive last L 2 för en D-koppling är 3 ggr Z större än vid Y-koppling med Ū Z Ī 23 23 Ī L3 samma komponenter. Därför L 3 utvecklas 3 ggr mer effekt (se t.ex. P = RI 2 = U2 R ) Vid D-koppling ligger spänningen U H = 3U F över respektive last. Strömmen genom lasten betecknas fasström. I 12 = I 31 = I 23 = I F = I Fasström I L = Linjeström I L = 3I F = 3I Räknas ut direkt eller från effektsamband
Y- och D-koppling: Härledning ekvivalens Betrakta kretsschemat för Y- och D-kopplingarna För Y-kopplingen har vi med U 1 som referens Ī L1,Y = Ū1 Z = U F Z, Ī L2,Y =..., Ī L3,Y =... Med Ū1 som referens får vi för D-kopplingen Ū 31 D-Koppling Ī L1 L 1 Ī 12 Ū 12 Z Ī L2 L 2 Ū Z Ī 23 23 Ī L3 L 3 Y-Koppling Ī 31 Z Ī 12 = Ū12 Z = Ū1 Ū 2 = j30 3U F e Z 1 Z L 1 Ī L1 Ū 1 Z Ī 31 = Ū31 Z = Ū3 Ū 1 = j210 3U F e Z 1 Z (e j30 e j210 ) Ī L1, = Ī 12 Ī 31 = 3U F }{{} 3 L 2 Ī L2 L 3 Ī L3 1 Z = 3U F Z Z Z Slutsats: I Li, = 3 I Li,Y, dvs en D-kopplad last drar 3 ggr mer ström och effekt än en Y-kopplad. Strömmarna har samma fas.
Y- och D-koppling: Ekvivalens Eftersom enda skillnaden mellan en Y-kopplad och D-kopplad last är att linjeströmmar vid D-koppling blir 3 ggr större än för Y-koppling så kan vi dra följande slutsats. Z D Z D Z D Z D = 3 Z Y Z Y Z Y Z Y Ekvivalens mellan Y- och D-kopplingar Vi kan alltid ersätta en Y-kopplad last med en D-kopplad ekvivalent last enligt formeln Z D = 3 Z Y
Symmetrisk och osymmetrisk belastning Ū 1 L 1 Ī L1 Z Vi osymmetrisk belastning blir L 2 Ī L2 Z nollströmmen I N 0 L 3 Avbrott N Ī 0
Beräkningsexempel 1.22 a-c Till ett 380/220 V, 50Hz nät anslutes följande: Mellan fas och nolledaren en resistans på 44 Ω. Mellan fas 2 och nolledaren en spole med induktansen 0.0955 H och cos(ϕ) = 0.8 ind. Mellan fas 3 och nolledaren en resistans på 30 Ω och en kondensator med kapacitansen 79.6 µf Uppgifter: a) Beräkna linjeströmmarna b) Rita linjeströmmarna i ett visardiagram och beräkna nollströmmen grafiskt L 1 L 2 L 3 Ī L1 Ī L2 Ī L3 Z1 Z 2 Z 3 c) Beräkna nollströmmen analytiskt N Ī 0
Beräkningsexempel 1.22 a-c Givet: 380/220 Trefas med nolledare f = 50 Hz Z 1 = 44 Z 2 = / Tolka texten / = ωl sin(ϕ) (cos(ϕ) + j sin(ϕ)) = =30 {}}{ 2π 50 0.0955 0.6 (0.8 + j 0.6) = 50 (0.8 + j 0.6) 1 Z 3 = 30 j ωc 30 j 40 = 50 (0.6 j 0.8) a) Beräkna linjeströmmarna L 1 L 2 Ī L1 Z 1 Ī L2 Z 2 Ī L,1 = Ū1 220 ej0 = = 5 A Z 1 44 Ī L,2 = Ū2 220 e j120 = Z 2 50 e j arg( Z 2) Ī L,3 = Ū3 = 4.4 j 36.9 e j120 A 220 e j240 = = 4.4 +j 53.1 j arg( Z 3) e j240 A L 3 N Ī L3 Ī 0 Z 3
Beräkningsexempel 1.22 a-c b) Rita linjeströmmarna i ett visardiagram 90 10 120 60 8 150 4 6 30 2 I 3 I 180 1 0 I 2 210 330 240 300 270
Beräkningsexempel 1.22 a-c b) forts.. Beräkna nollströmmen grafiskt 90 10 120 60 8 150 4 6 30 2 I 180 I 1 0 0 I3 I 2 210 330 240 300 270
Beräkningsexempel 1.22 a-c c) Beräkna nollströmmen analytisk Ī 0 = Ī L1 + Ī L2 + Ī L3 = I L1 e j0 + I L2 e j156.9 + I L3 e j186.9 = = 5 + 4.4 (cos( 156.9 ) + j sin( 156.9 ))+ + 4.4 (cos( 186.9 ) + j sin( 186.9 )) = = 5 4.05 j 1.73 4.37 + j 0.53 = 3.4147 j1.20 = I 0 = Ī 0 = Re 2 + Im 2 3.6 A arg(ī0) = 180 + arctan( 1.20 3.4147 ) = 199.36 Jämför med den grafiska lösningen!