12. Grundläggande halvledarkomponenter

12. Grundläggande halvledarkomponenter [HH 6, Mayer-Lau 4-5, AM 29] Halvledarelektroniken grundar sig på att kombinera p- och n-typs material så att de har önskade elektriska egenskaper. Kombination av två olika material kan göras på ett otal sätt, t.ex. med tillväxt av ett material på ett annat, diffusion, eller implantering. Speciellt med implantering kan man kontrollerat och ändå relativt billigt åstadkomma skarpa gränsytor. Naturligtvis är de verkliga gränsytorna sällan atomistiskt skarpa (även om det nog är möjligt numera att tillverka också sådana). Men så länge gränsområdets vidd är mycket mindre än komponentens storlek, kan man som en god förstå approximation behandla gränsytan som skarp. Vi förklarar nu funktionsprincipen för några av den enklaste och viktigaste komponenterna inom approximationen för skarpa gränsytor. 12.1 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

12.1. pn-gränsnittet Betrakta gränsytan av ett p- och n-typs material: Den nedre delen av bilden visar hur laddningsbärar-koncentrationen förändras då man går över gränsnittet. 12.2 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

För att behandla gränsnittets elektriska egenskaper, måste Fermi-nivån fogas ihop på båda sidorna om gränsytan. Det naturligaste skulle verka vara det att man behåller valensbandets topp och ledningsbandets botten vid samma nivå: Här ser vi att på högra (n)-sidan är Ferminivån nära donornivån, som vi såg i förra kapitlet, och på vänstra p-sidan nära acceptornivån, likaså som förutspåddes tidigare. Men man kan också förflytta valens- och ledningsbandet så att Ferminivån µ hålls konstant över gränsytan: 12.3 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

Dessa två formuleringar för energinivåerna är ekvivalenta! Detta är lätt att förstå från det att vart vi placerar nollpunkten i potential-energi ju i varje fall är alltid bara en konvention, så en förflyttning av nivåerna kommer inte att påverka beteendet på någondera sidan av gränsnittet. Inom halvledarfysiken används den senare konventionen mycket allmänt, och vi kommer att fortsätta med den. Den är behändig i att energinivåschemat över gränssnitt är trivialt att rita bara man vet Fermi-nivåns läge i förhållandet till valensbandets botten. Den fungerar också vid hetero-gränssnitt, dvs. gränssnitt över två material med olika energigap. Vi betraktar gränsnittet i lite mer detalj: 12.4 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

Här är: µ p är Fermi-nivån i p-materialet (1) µ n är Fermi-nivån i n-materialet (2) e φ 0 = µ n µ p är potentialbarriären (3) 12.5 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

Storheten e φ 0 uppkommer p.g.a. de olika dopningsgraderna, och är av central betydelse för gränsnittets funktion. T.ex. för material med en dopningskoncentration på 10 16 1/cm 3 båda i n- och p-materialet, med N C = N V = 10 19 1/cm 3, E G = 1.0 ev är µ p = 0.17 ev, µ n = 0.83 ev och därmed e φ 0 = 0.66 ev, alltså 2/3 av bandgapet. 12.6 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

Även om materialgränsnittet mellan n och p är skarpt, kommer inte elektrondensiteten att vara det. Om vi inbillar oss att man kunde slå ihop materialen oändligt snabbt, kommer man nämligen att ha en massa elektroner på n-sidan alldeles bredvid en massa hål på p-sidan. Dessa kommer att annihilera varanda extremt snabbt. Detta leder till att just kring gränsnittet kommer vi att ha ett område med mycket få laddningar (b). Detta område kallas utarmningsområde ( depletion layer ). Ifall n- koncentrationen är högre än p, blir nivån längre på p-sidan, som i bilden. Men i.o.m. att vi fortfarande har kvar dopningsatomerna i utarmningsområdet, kommer det att existera en laddningsdensitet i området, som är negativ på p-sidan p.g.a. de negativa acceptor-atomerna, och positiv på n-sidan. (c) Detta i sin tur leder till ett elfält E(x) (d) och en elektrostatisk potential φ(x) (e) över gräns-snittet. E och φ härleds nedan. 12.7 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

Vi kan beräkna potentialskillnaden φ 0. Om vi ignorerar minoritets-laddningsbärarkoncentrationen kan vi skriva från förra kapitlets resultat Fermi-nivåerna µ n = E G k B T ln ( NC N D ) (4) och varur fås som med hjälp av µ p = k B T ln ( NV N A ( ) ND N A e φ 0 = µ n µ p = E G + k B T ln N C N V ) (5) (6) n i = p i = N C N V e E G /2k B T (7) kan också skrivas φ 0 = k BT e ( ) ln ND N A n 2 i (8) där n i är den intrinsiska laddningskoncentrationen i samma halvledare. Bredden på utarmningsområdet och den elektrostatiska potentialen φ(x) kan beräknas till en god approximation om både pn-gränssnittet och gränserna för det tomma området i del (b) i bilden 12.8 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

ovan är väl definierade. Med dessa antagenden är laddningsdensiteten alltså väl approximerad med som i del (c) i bilden ovan. ρ(x) = N A e w p < x < 0 +N D e 0 < x < w n 0 annanstans Den elektrostatiska potentialen beror på laddningsdensiteten via Poissons ekvation vars första integral ger elfältet inom utarmningsområdet som E = dφ dx = (9) d 2 φ dx 2 = ρ(x) εε 0 (10) N Ae εε 0 (x + w p ) w p < x < 0 + N De εε 0 (x w n ) 0 < x < w n (11) där integrationskonstanterna valts så att E är kontinuerligt. Kontinuitetsvillkoret vid x = 0 för ekvationerna ovan ger dessutom sambandet mellan vidderna w p och w n : N A w p = N D w n (12) 12.9 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

som ju bara säger att den totala laddningsdensiteten måste vara 0. En till integrering ger φ: N A e (x + w p ) 2 w p < x < 0 φ(x) = 2εε 0 φ 0 N (13) De (x w n ) 2 0 < x < w n 2εε 0 där integrationskonstanterna valts så att potentialen φ på p-sidan är = 0. Om vi nu igen ställer kravet för funktionens kontinuitet vid x = 0 får vi φ 0 = e 2εε 0 (N A w 2 p + N Dw 2 n ) (14) Om man sedan löser ekvationerna (12) och (14) samtidigt får man vidderna w p och w n på utarmningsområdet till w n = w p = 2εε 0 N A φ 0 en D (N A + N D ) 2εε 0 N D φ 0 en A (N A + N D ) Typiska värden på dessa är omkring 0.1 1µm. För att själva pn-gränssnittet kan anses vara skarpt, måste övergången från p till n alltså ske över kortare längdskalor än detta. (15) (16) 12.10 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

Nu undersöker vi ännu antagandet att laddningsdensiteten vid utarmningsområdets kant faller abrupt. I.o.m. att φ(x) varierar långsamt jämfört med atomära längd-skalor, gäller beräkningen vi gjorde i förra kapitlet för n och p fortfarande: n = ( ) me k B T 3/2 2 e (µ E G )/k B T 2π 2 (17) p = ( ) mh k B T 3/2 2 e µ/k B T 2π 2 (18) Här är nu µ relativ till gapets botten, vars läge varierar. Variationen i läget på gapets botten ges av eφ(x). Därmed kan man skriva om ekvationerna ovan för utarmningsområdet som (19) n = n 0 e eφ(x)/k B T (20) p = p 0 e eφ(x)/k B T (21) där konstanterna n 0 och p 0 innehåller alla termer som inte beror på x, och ger alltså koncentrationerna utanför utarmningsområdet. De exponentiella termerna ovan kommer att reduceras effektivt därför att e φ 0 >> k B T vid rumstemperatur för typiska halvledare, så även en ganska liten förändring i eφ(x) reducerar n eller p drastiskt (jfr. räkneövningen). (22) 12.11 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

Dessa ekvationer gäller också i andra fall där det finns en plats-beroende elektrostatisk potential φ. De kan användas till att härleda de s.k. Einstein-förhållandena mellan diffusionskonstanter och mobiliteter. Vid termisk och elektrisk jämvikt måst elektronströmmen i ett system naturligtvis vara noll. I en halvledare där det finns ett internt fält, som det vid pn-gränssnittet, betyder detta att diffusionsströmmen och den elektriska strömmen måste kancellera varandra. Strömmarna illustreras i bilden som vi redan visade tidigare: 12.12 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

Dessa två var ju (jfr. föregående kapitel) så vi får n J e = D e (23) x J e = nµ e E (24) D e n x + nµ ee = 0 (25) Alternativt genom att derivera ekv. (20) får man n x = e k B T φ n(x) (26) x Med hjälp av kan vi slå ihop ekv. (25) och (26) och får E = φ x (27) n x = e k B T En = n e D e k B T n x = ed e nµ e µ e k B T n x (28) 12.13 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

varifrån vi ser att det bör gälla ed e µ e k B T = 1 D e = k BT µ e e (29) som är Einstein-relationen för elektroner. För hål kan man på samma sätt härleda D h = k BT µ h e (30) Dessa relationer gäller alltid då elektron- och hålkoncentrationerna kan uppskattas med Boltzmanndistributioner. 12.14 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

12.1.1. pn-gränsnittet med en yttre spänning: pn-dioden Om vi nu lägger en spänning V över ett pn-gränssnitt kommer dess egenskaper att förändras. Vi betraktar först fallet där vi lägger en positiv spänning över p-sidan, och en negativ på n-sidan. Detta kallas forward bias eller framåt-bias eller framspänning. P.g.a. den mycket låga laddningsdensiteten just vid gränssnittet kommer utarmningsområdet att ha hög resistans och hela potentialskillnaden verkar just kring utarmningsområdet. Den yttre spänningen V kommer nu att sänka på potentialskillnaden mellan de två områdena. 12.15 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

Den nya skillnaden i potential kan nu skrivas som φ = φ 0 V (31) där φ 0 är skillnaden i avsaknaden av ett yttre fält, som härleddes i förra stycket. V är en positiv storhet då ström flyter från p till n. Ekvationerna som härleddes ovan för pn-gränsytan kommer att gälla fortfarande bara vi ersätter φ 0 med φ. Speciellt får vi för vidden på området w n = w p = 2εε 0 N A φ en D (N A + N D ) = 2εε 0 N D φ en A (N A + N D ) = 2εε 0 N A ( φ 0 V ) en D (N A + N D ) 2εε 0 N D ( φ 0 V ) en A (N A + N D ) För en framspänning V > 0 blir nu vidden smalare än utan en spänning. Utarmningsområdet kommer nu att ha en kapacitans. Då vi nämligen har inom n-området positiva laddningar per enhetsarea, och inom p-området (32) (33) N D w n (34) N A w p (35) 12.16 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

negativa laddningar per area, kommer en ändring i spänning dv leda till en ändring i vidden dw, som därmed leder till en förändring i laddningstätheten per area σ: dσ = en D dw n = en a dw p (36) och därmed en kapacitans C = dσ dv = en D dw n dv = εε 0 en A N D 2(N a + N D )( φ 0 V ) (37) per area. Denna kapacitans beror alltså på V och kan användas för att skapa spännings-beroende kapacitor-dioder (s.k. varaktor-dioder). Och andra sidan leder den till att hastigheten med vilken en transistor fungerar minskar, så i tillverkningen av effektiva processorer försöker man minimera denna kapacitans. Potentialbarriären φ 0 kan anses vara en barriär som hindrar elektroner och hål att flyttas över från p till n eller vice versa. När man nu sätter in den yttre potentialen V, kommer denna barriär att bli lägre, och fler elektroner och hål kan flyta över den. I jämvikt kommer elektron- och hålströmmarna att kancellera varann, men nu när vi har en yttre spänning, blir det en nettoström för elektroner I e0 och för hål I h0 kvar. Vi beräknar nu strömmen I e0. Om de n p elektronerna på p-sidan om gränsytan har livstiden τ p, 12.17 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

kommer rekombinationsraten och genereringsraten på p-sidan att båda vara g p = r p = n p τ p (38) I medeltal rör sig elektronen en diffusionslängd L e före den rekombineras. Betrakta nu området på p-sidan mellan utarmningsområdets gräns och en diffusionslängd L e till vänster om utarmningsområdet. En elektron som genereras i detta område hinner sannolikt flyttas över till utarmningsområdet av elfältet före den rekombineras. Om detta sker, kan den inte rekombineras i utarmningsområdet heller, där det ju inte finns nästan några laddningsbärare, utan flyttas sedan samtidigt vidare till n-området. Alltså kan vi uppskatta elektronströmmen som I e0 e generationsraten/volym volym inom L e av utarmningsområdet ( ) np = e (L e A) τ p (39) där A är arean på gränssnittet. Om vi antar att alla acceptorer på p-sidan är joniserade, så att n p = n2 i p p = n2 i N A (40) och använder oss ännu av L e = D e τ p (41) 12.18 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

kan vi skriva I e0 = e D en 2 i L 2 e N L e A = ed en 2 i A (42) A L e N A Framspänningen kommer som sagt att reducera potentialbarriären. I.o.m. att ockupationsnivån för elektronnivåerna i ledningsbandet ges av en Boltzmanndistribution, kommer en potentialförändring att leda till en ökning av antalet elektroner på n-sidan som har tillräckligt energi att komma över barriären med en faktor e ev/k B T (43) Men nu känner vi ju redan jämviktsströmmen I e0 från ekv. (42). Så hela strömmen från n till p blir helt enkelt I = I e0 e ev/k B T (44) medan strömmen från p till n inte ändras, då det inte i vilket fall som helst finns någon barriär i denna riktning. Därmed kommer hela strömmen att vara ) I e = I e0 (e ev/k B T 1 = ed en 2 ( ) i A e ev/k B T 1 L e N A (45) Denna ekvation gäller också för bakspänning, ty för den kommer strömmen från n till p att reduceras med samma faktor (43) (för bakspänning är ju V < 0 så faktorn blir faktiskt mindre än 1)! Orsaken till reduceringen är att bakspänningen ökar på potentialbarriärens höjd. 12.19 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

För hål kan man med nästan exakt samma argumentering komma fram till en ström ) I h = I h0 (e ev/k B T 1 = ed hn 2 ( ) i A e ev/k B T 1 L h N D (46) 12.20 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

Den totala strömmen är summan av de två kontributionerna, och blir alltså ) I = I e + I h = I 0 (e ev/k B T 1 = en 2 i A ( De L e N A + D h L h N D ) ( e ev/k B T 1) (47) Denna ekvation är känd som den ideala diodekvationen. Dess I V -förhållande sammanfattas i följande bild för små V : Vi ser alltså att med en framåtspänning växer strömmen mycket snabbt, medan strömmen bakåt är mycket svag. I en större skala ser beteendet ut på följande sätt: 12.21 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

där man ser att på lite större strömskalor kan bakåtströmmen negligeras helt, medan framåtströmmen blir mycket stor. Därmed fungerar pn-gränsnittet alltså som en mycket bra ström-likriktare: den släpper ingen ström igenom i den ena riktningen, allt i den andra för lite större V. Det är alltså fråga om en diod (som ju är välbekant för alla som gått elektroniken). Verkliga dioder avviker dock alltid i vissa avseenden från den ideala ekvationen (47). Vi betraktar tre av dessa effekter här: 1) Vi antog i vår härledning att potentialförändringen φ(x) sker bara i utarmningsområdet, och motiverade detta med att resistansen är mycket större där. Vid höga strömmar kommer dock den 12.22 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

effektiva resistansen i utarmningsområdet att sjunka, och detta antagande gäller inte längre. Om man gör en korrigerad beräkning, får man ytterligare en kontribution I = I 0 eev/2k B T (48) till strömmen vid framspänning, som gäller då I >> I 0, dvs. då ev >> 2k BT. En ännu större deviation från det ideala beteendet är den mycket skarpa nedgång i ström som observeras vid någon stor negativ spänning V B, se bilden ovan och: 12.23 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

Detta beteende kallas för inverst genombrott ( reverse breakdown ). Den kan ha två orsaker: 2) Den första är Zener-genombrott, där orsaken till genombrott är att när man ökat på den yttre spänningen tillräckligt, kommer valensbandets topp i p-skiktet att ligga högre än ledningsbandets botten i n-skiktet. Då kan elektroner tunneleras rakt från p till n-skiktet, vilket leder till en mycket hög ledningsförmåga, och därmed I V - beteendet i bilden. 3) Om man har en mycket hög spänningen över ett pn-gränssnitt, kan man komma till ett fall där 12.24 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

elektronerna då de rör sig över utarmningsområdet under tiden τ = L2 e D e (49) under verkan av det yttre fältet V har tid att accelereras så mycket att deras energi överstiger gapets energi 2. Då kan de börja skapa elektron-hål-par under tiden de rör sig genom dioden. Dessa elektroner och hål kan i sin tur också börja accelereras och skapa nya par. Detta leder till en dramatisk, lavinartad ökning i strömmen, och därför kallas denna genombrottsmekanism för lavin-sammanbrott ( avalanche breakdown ). Antingen mekanism 2) eller 3) kan vara den dominerande orsaken till inverst genombrott beroende på hur dioden är konstruerad (närmast dopningsgraderna). Redan 5 V kan vara tillräckligt till lavingenombrott i vissa fall. 12.25 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

12.1.2. Andra tillämpningar av pn-gränssnitt Utöver funktionen som diod kan kretsar som baserar sig på ett pn-gränssnittet också användas i många andra tillämpningar. Vi går här igenom några av dem. 12.1.2.1. Zener-dioden och tunneldioden Zener- och lavingenombrottseffekten har alltså ett väldefinierad spänning då de börjar släppa igenom ström. Detta kan användas i elektroniska kretsar för att sätta fast spännings-referens-nivåer. Dioder som uttryckligen designats för detta ändamål kallas Zener-dioder. En pn-diod kan också tillverkas så att toppen av valensbandet på p-området ligger ovanför ledningsbandets botten på n-sidan redan vid 0 K. Då kommer redan en mycket liten spänning möjliggöra tunnelering av elektroner från p till n, och alltså en stark ström. Om man dock ökar på framspänningen, höjs ledningsbandet på n-sidan, så strömmen minskar en stund med V tills man sedan kommer över till den vanliga diodekvationen. Man för alltså ett lokalt maximum i I som funktion av V : 12.26 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

Denna krets kallas tunneldioden och kan användas t.ex. för att skapa en hysteresis-effekt i en krets, och för att skapa en snabb trigger [Horowitz-Hill]. 12.1.2.2. Lysdioder och solarceller Vi förklarade ovan att pn-dioden fungerar genom att minoritets- och majoritetsladdningsbärare rekombineras i och kring utarmningsområdet. Men då en rekombination sker, måste ju en elektron 12.27 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

flyttas från lednings- till valensbandet. Detta innebär en transition i energi, som måste avges någonstans. Ifall det är fråga om en halvledare med direkt bandgap, är den mest sannolika mekanismen för att avge energi den att elektronen avger en foton. Då kan man få dioden att fungera som en ljuskälla, och har alltså skapat en light emitting diode, LED.. Den inversa processen kan användas för att skapa en solarcell. Om nämligen fotoner med en energi högre en gapets energi kommer in i cellen, kan de skapa elektron-hål-par inom och i närheten av utarmningsområdet. Då kommer elfältet i utarmningsområdet att driva elektronerna till n-området, och vice versa. Ifall vi har en bakspänning V < 0 över dioden, kommer detta att leda till en ström över dioden under belysning: 12.28 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

Dioden kommer alltså att fungera som en ström- och därmed energikälla inom kretsen! I motsats till LED:ar kan solarceller göras också av indirekta bandgaps material. 12.1.2.3. Halvledarlasrar 12.29 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

Om man har ett mycket starkt dopad pn-gränssnitt, kan Fermi-nivån ligga ovanför ledningsbandet på n-sidan. Då kommer n-sidan att ha en konstant population av elektroner, och p-sidans topp av valensbandet en population av hål. Om man lägger på en framspänning som gör att energiskillnaden φ är nästan = 0, kan elektroner mycket lätt flöda på p-sidan, och man kan fler elektroner i ledningsbandet än på valensbandets topp på gränsen av p-sidan. Detta tillstånd kallas populationsinversion. Fotoner kommer att skapas i detta område då elektroner kollapsar till valensbandet, helt som i LED:en. Men dessa fotoner har nu p.g.a. populationsinversionen en större sannolikhet att i stället för att växelverka med en elektron i valensbandet, göra det med en elektron o ledningsbandet så att den kollapsar också till valensbandet, och därmed alltså stimulera emission av ytterligare en 12.30 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

(koherent) foton. Processen av stimulerad emission är ju grundkravet för en lasers funktion. Med att lägga till två speglar på båda sidorna om dioden kan man alltså skapa en diodlaser. 12.1.2.4. Samband mellan energigap och färg Grovt sagt är den största energin som en foton kan få från en LED eller laserdiod lika med dess bandgapsenergi. Synligt ljus har ett energiområde som börjar från ung. 1.6 ev (rött) och fortsätter till ung 2.7 ev (blått) och 3.1 ev (violett). Jämför detta med följande tabell över energigap: 12.31 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

Vi ser att för att skapa rött ljus duger nästan t.o.m. vanligt GaAs, men då man vill skapa blått ljus blir alternativen få. SiC på 3.0 ev är inte bra då de har ett indirekt gap, då nästan bara ZnS av ämnen i tabellen torde duga. Det senaste ämnet som har använts för att skapa blått ljus är GaN, som har ett energigap på 3.34 ev (vid 300 K) och alltså åtminstone i princip kan skapa ljus i hela det synliga området (för att få mindre energier kan man med stark dopning skapa metalliska tillstånd innanför gapet). Ur GaN har man nu tillverkat ljusdioder och lasrar i alla tre grundfärger blått, grönt och rött. Ljusintensiteterna är dock ännu inte riktigt så bra som man kunde önska. 12.32 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

Vad har man för glädje av detta? Med en blå laser kan man p.g.a. ljusets kortare våglängd packa t.ex. information i CD-skivor tätare. Och om man lyckas få också hög intensitet i alla grundfärger kan man tillverka lasrar av vitt ljus, laser-projektorer och t.o.m. ersätta den vanliga glödlampan med en enda diodkomponent! Om det sistnämnda sen nånsin blir ekonomiskt lönsamt återstår att se. 12.33 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

12.2. pnp-transistorn [HH 6.4.3, Mayer-Lau 5] Den naturliga fortsättningen på en pn-transistor är att lägga till ett p-skikt och fråga sig vad som händer. Om man gör detta på lämpligt sätt åstadkommer man den s.k. pnp-transistorn: 12.34 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

I pnp-transistorn har man ett tunt n-skikt mellan två p-skikt, och yttre elektroder kombinerade till alla delar. Den första delen kallas emittern, den mellersta basen och den tredje kollektorn. Om man vill använda transistorn som en förstärkare, lägger man framspänning på emitter-bas gränsnittet, och bakspänning på bas-kollektor-gränssnittet, vilket leder till energinivåerna i bild (c). Nu kommer emitterströmmen att vara den samma som för en pn-diod, dvs. I E I 0 e ev EB /k B T (50) där V EB är potentialskillnaden E-B. Nu injicerar denna ström konstant hål till basen. Låt oss anta att fraktionen av hål är 1 f 1. Ifall emittern har en hög dopningsgrad, är f 1 << 1. Om nu vidden på basen är liten jämförd med hålens diffusionslängd L h,, kommer en stor del av hålen att diffundera förbi basen in i kollektorn, där de accelereras starkt p.g.a. fältskillnaden. Om fraktionen hål som inte diffunderar till kollektorn är f 2, ser vi att basströmmen är (d) I B = (f 1 + f 2 )I E << I E (51) och därmed I C = I E I B = (1 f 1 f 2 )I E I E (52) 12.35 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

Alltså har vi en komponent där en mycket liten skillnad i spänningen V EB kan åstadkomma en dramatisk ändring i strömmen genom transistorn I C p.g.a. ekvation (50) utan att strömmen i basen I B ändras just alls. Dvs. kan man med en svag ström I B styra funktionen hos en mycket starkare ström I E. Alternativt kan man tänka sig att I B förstärks till en mycket större ström I C. Förhållandet I E /I B är känd som transistorns strömförstärkning och blir alltså β = I E I B = 1 f 1 + f 2 >> 1 (53) Typiska värden på β är kring 100, så detta kan redan anses vara en bra förstärkning. Verkliga förstärkningskurvor (som ges av en noggrannare analys) illustreras i följande bild, som ger I V - förhållandet för olika basströmmar I B : Förstärkningen är dock inte ideal; i idealfallet kunde man styra strömmen utan någon som helst 12.36 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

ström in, dvs. ha en oändlig inputimpedans. Nu blir dock impedansen V EB I B = V EB I E I E I B = ( IE V EB ) 1 β = ( ) e 1 k B T I E β = k BT β (54) ei e som för typiska värden på T = 300 K, I E = 5mA och β = 100 blir 500 Ω, inte alltså helt negligerbart. Utöver pnp existerar också npn-transistorer, som fungerar som den inversa till pnp. 12.37 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

12.3. MOSFET-transistorn Nästan ideala transistorer i det avseendet att inputimpedansen är försvinnande liten kan tillverkas med s.k. FET-teknik. FET är en förkortning på Field effekt transistor. I dessa är funktionsiden att en elfälteffekt (utan ström) används att styra strömmen genom transistorn. Den helt dominerande grundtypen av transistor i dagens integrerade transistorer är den s.k. MOSFET-transistorn. En MOSFET kan schematiskt illustreras på följande sätt: 12.38 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

Vi har alltså en source -del S av n-typ, som motsvarar emittern E i en npn-transistor, och en drain -del D, som motsvarar kollektorn C. Mellan dessa har man MOS-delen, dvs. ett metall-lager (M) högst på, ett kiseldioxidlager (O) under den, och slutligen en halvledare (S för semiconductor) under oxiden. Halvledaren är bara svagt p-dopad. Metallen är naturligtvis ledande, och har en elektrod på sig. Kombinationen metall-elektrod kallas gate (G), och motsvarar basen i en npn-transistor. Kiseldioxid SiO 2 (O) däremot är en extremt bra isolator, så ingen ström kan flyta från gaten till halvledaren. (FOTNOT: source, drain och gate tycks vara svenska nuförtiden, åtminstone används de i Chalmers...) För att förstå funktionen av denna krets betraktar vi bara MOS-delen från sidan: 12.39 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

Ifall gate-spänningen V G = 0, är transistorn väsentligen ickeledande, då ett svagt p-dopat material i sig inte leder särdeles bra. Om man sedan lägger på en svag positiv spänning (+ i bilden), kommer den nu att repellera hål från halvledaren. Man skapar ett utarmnings-område på liknande sätt som i pn-dioden. Om man ökar på spänningen (++), kommer ledningsbandets maximum i utarmningsområdet att börja närma sig Ferminivån. Då den är tillräckligt nära Fermi-nivån börjar elektroner exciteras termiskt till den. Då har man skapat ett bra ledande inversions-lager, där beteendet förändrats till det motsatta från det ursprungliga ickeledande tillståndet. Om man ytterligare ökar på spänningen (+++), faller ledningsbandets maximum under Fermi-nivån. Då har man skapat ett område som kommer att vara fyllt av degenererade elektroner i en Fermi-gas. Vi det laget som inversionsområdet blivit ledande talar man om en n-typs kanal ( n-channel ) där ledning sker just under oxidlagret. 12.40 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

Kanalen binder ihop de två starkt dopade n-skikten och gör MOSFET:en ledande. Det som är av avgörande att inse är att man bara med gate-spänningen V G kan styra ledningsförmågan, med negligerbar ström genom gate:n. Typiska I V -kurvor för en MOSFET ges i bilden nedan: MOSFET:en beter sig alltså Ohmiskt för små V D, sedan satureras strömmen från source till drain I SD. MOSFET:en har också en inbyggd kapacitans, som gör att den kan utom som en logisk krets också användas som en minnes-krets. 12.41 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

En detaljerad matematisk analys av MOSFET:ens funktion är alltför komplicerad för denna kurs. Men vi ger här ett resultat av analysen av central betydelse för att förstå utvecklingen hos integrerade kretsar. Processen med vilket strömmen flyter genom n-kanalen är som i pnp-transistorn en diffusionsprocess. Diffusions- eller drifthastigheten v d för elektroner bestäms ju av deras mobilitet via v d = µ e E (55) och fältet E kan uppskattas som helt enkelt E = V SD /L, där L är längden på n-kanalen och V SD source-to-drain-spänningen. Den kortaste möjliga tiden för en signal att komma igenom en MOSFET är då t min = L = L v d µ e E = L2 (56) µ e V D Alternativt kan man uppskatta maximi-frekvensen med vilken kretsen kan operera som f max 1 t min = µ ev D L 2 (57) För Si såg vi tidigare att µ e 1000 cm 2 /Vs. Insättning av vad kunde verka vara typiska värden på V D = 1 V och L = 10 µm = 10 3 cm ger då f max = 1 GHz (58) Men vi vet att i dagens läge fungerar processorerna just kring 1 GHz, så uppenbart måste deras gate-bredd vara mindre än L = 10µm. I praktiken kommer det in en prefaktor << 1 för f max. 12.42 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

En komplikation till är att i Si saturerar drift-hastigheten för höga fält E 10 3 v s = 10 7 cm/s. Då blir maximifrekvensen som kan uppnås istället V/cm kring f max v s L (59) Dehär ekvationerna berättar flera av huvudkraven för att tillverka snabbare kretsar. För att snabba upp kretsen kan man antingen öka på µ, öka på V D eller sänka på L. De två tidigare storheterna kan man dock inte göra så mycket med. µ är ju en materialberoende konstant, och en ökning av V D kan leda till att drifthastighetens maximum v s kommer emot, och dessutom upphettning eller utbränning av kretsen. Därför är den överlägset viktigaste metoden att tillverka snabbare kretsar att minska på storheten L, och därmed också de andra måtten i kretsen. Detta är grundorsaken till att halvledarkretsarna har konstant miniatyriserats under de senaste 40 åren! Här slutar vår vetenskapliga diskussion om halvledare. Nu diskuterar jag dock ännu lite denna miniatyriseringsprocess och vart den kanske slutar. 12.43 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

12.4. Moores lag Standardmåttet på miniatyrisering av halvledarkomponenter är Moores lag. Den är i dagens datum av så central betydelse för hela världsekonomin att man hör den kastas fram nästan överallt i de mest varierande former och förvrängningar. Den ursprungliga lagen formulerades år 1965 av Gordon Moore, då och fram till 1990-talet chairman på Intel. Den lydde helt enkelt The transistor density on a manufactured die doubles every year [Artikel av Gordon Moore, http://developer.intel.com/update/archive/issue2/feature.htm] Denna lag stämmer inte mera, men i den modifierade formen The transistor density on a manufactured die doubles every 18 months har den gällt förbluffande bra sedan början av 1970-talet: 12.44 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

En annan, lika viktig version av lagen säger att samma sak gäller också för minneskretsars kapacitet, med samma tidskonstant: 12.45 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

12.46 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

Det är uppenbart att denna trend kommer att brytas förr eller senare. Men när? Det vet ingen, och om man skulle veta det kunde man göra sig till miljardör på börsen. Men en del kan man säga om frågan. Det finns två möjliga orsaker till varför Moore s lag kunde brytas: 1. De ekonomiska 2. De tekniska/fysikaliska Med de ekonomiska orsakerna menas det att också kostnaderna för att hållas på Moores lag ökar starkt. Att bygga varje ny fabrik kostar mera, och allt mer pengar måste sättas på produktutveckling. Så länge människor vill köpa en snabbare dator varje 2-3 år, kan man antagligen möta dehär kostnaderna, men om marknaden försvinner, bryts Moores trend säkert snabbt. Men det andra problemet är ekonomin. Enligt ett föredrag som hölls på 2003 EMRS Spring meeting av en representant på Deutsche Bank, skulle Moores lag betyda att år 2015 är marknaden för datorkretsar lika stor som hela elektronikmarknaden! Så markaden kommer antagligen att mättas senast kring 2015, vilket kan också bli döden på Moores lag. På den tekniska sidan förekommer det en medveten process att försöka kunna möta de tekniska hindren och hållas på Moores lag. Den amerikanska och europeiska halvledarindustrin jobbar ihop i flera konsortier som koordinerar forskning, produktutveckling och maskintillverkning med målsättningen att hållas på Moores lag. Man kan nästan säga den börjar bli ett själv-ändamål. Målsättningen definieras i så kallade technological roadmaps, som finns i versionerna National 12.47 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

technological roadmap och International technological roadmap och sköts av Sematech och ITRS. T.ex. årets 2001 roadmap kan läsas i (lättast att börja med Executive summary) http://public.itrs.net/ (År 2002 kom bara mindre specificeringar, och år 2003 s roadmap har ännu inte offentliggjorts 12.11 2003). Här är t.ex. en del av långa tiders målsättningar i kretsars dimensioner därifrån: 12.48 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

och i den resulterande effekten: 12.49 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

Enligt detta borde vi alltså år 2016 ha 29 GHz processorer! 12.50 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003

Vad är då de största tekniska problemena som måste lösas för att komma vidare. Det finns åtskilliga, men här är några viktiga (från ovannämnda roadmap): Litografi: För att kunna göra maskar/linjebredder under 45 nm, alltså kring år 2008, kan man inte längre använda synligt ljus för att bränna linjerna. Men detta är inte ett speciellt alarmerande problem då flera lösningar existerar, de flesta baserade på elektronstrålar eller röntgenstrålar (även känd som extreme ultraviolet, EUV). Tjockleken på oxid-skiktet: redan nu börjar kiseldioxid-skiktet i MOSFET:en närma sig atomära dimensioner, ung. 2 nm, vilket leder till oundvikligt strömläckage. Därför måste det SiO 2 som nu används ersättas med något material med högre dielektisk konstant, κ, Si 3 N 4 eller metalloxider. Detta är nog tekniskt möjligt, men medför komplikationer. Wafer-storlek. För att hålla kostnaderna nere bör man komma vidare från 300 mm wafers till 450 mm eller dyl. Men redan 300 mm har visat sig vara svårare än trott, så detta kan bli ett verkligt problem. Vad är då kontentan av allt detta, när kommer fysiken egentligen emot? De facto ser läget ganska ljust ut; enskilda transistorer som motsvarar teknologin är 2010 hade redan år 2000 tillverkats vid Lucent Bell labs, och många anser att fram till år 2012-2015 torde de tekniska problemen gå att lösa. Men det ser alltså ut som om fysikerna kan lösa problemen för att hållas på Moores lag för åtminstone 10-12 år framåt, ifall de ekonomiska förutsättningarna fortsätter att finnas. 12.51 Fasta tillståndets fysik, Kai Nordlund 2003