C/D-uppsats Matematik

2001:18 C/D-UPPSATS Elliptiska kurvor Ing-Marie Holmqvist C/D-uppsats Matematik Institutionen för Matematik Avdelningen för - 2001:18 ISSN: 1402-1781 ISRN: LTU-C/DUPP--01/18--SE

Abstract This is a study of elliptic curves. An elliptic curve over a field k is a nonsingular cubic curve over k together with a point O. The set of all points on the cubic curve with coordinates in k form, together with the point O, anabeliangroup. The point O is in most cases a point at infinity. In this study we often let k be the rational numbers and present two important theorems when k = Q: Mordell s theorem and Mazur s theorem. The quantities resultant and discriminant of polynomials are described quite thorough in the study. After that we define the discriminant of an elliptic curve and the close related j-invariant. We learn that two curves are isomorphic if and only if they have the same j-invariant. The last chapter is about elliptic functions and these functions close connection with elliptic curves which is obtained by Weierstrass -function. Sammanfattning Detta är en studie om elliptiska kurvor. En elliptisk kurva över en kropp k är en icke-singulär tredjegradskurva över k tillsammans med en punkt O. Mängden av alla punkter på tredjegradskurvan som har koordinater i k utgör, tillsammans med punkten O, en abelsk grupp. Punkten O är i de flesta fall en punkt i oändligheten. I denna studie låter vi ofta k vara de rationella talen och presenterar två viktiga satser när k = Q : Mordell s sats och Mazur s sats. Begreppen resultant och diskriminant för polynom beskrivs ganska ingående i studien. Därefter definierar vi diskriminanten för en elliptisk kurva och den nära relaterade j-invarianten. Vi lär oss att två kurvor är isomorfa om och endast om de har samma j-invariant. Det sista kapitlet handlar om elliptiska funktioner och dessa funktioners nära samband med elliptiska kurvor vilket erhålls genom Weierstrass -funktion.

Elliptiska Kurvor Ing-Marie Holmqvist

Förord Denna uppsats ingår som en del i de fristående kurserna Ma-C och Ma-D. Uppsatsen är en kombinerad C/D-uppsats. Jag vill tacka min yngsta dotter Sara för alla hennes uppmuntrande kommentarer under den tid som jag skrivit uppsatsen. Till min handledare Thomas Gunnarsson vill jag framföra ett speciellt tack. Tack för ditt engagemang, dina förklaringar och all den tid som du har gett mig.

Innehållsförteckning 1 Introduktion 1 2 Algebraiska kurvor 5 3 Rationella linjer 6 4 Det pro j ektiva rummet 7 5 Rationella punkter på kägelsnitt 14 6 Geometrin för rationella tredjegradskurvor 22 7 Asso ciativitet 30 8 Elliptiska kurvor o ch Mordell s Sats 34 9 Geometrin för kurvor på Weierstrass normalform 35 10 Reella o ch komplexa punkter på en tredjegradskurva 38 11 Algebraiska b eräkningar för e n elliptisk kurva på normalform 42 12 Torsionen för en elliptisk kurva 50 13 Villkor för delbarhet med 2 53 14 Singulära tredj egradskurvor 60 15 Resultanten av två p olynom 64 16 Diskriminanten av ett p olynom 78 17 Result anten o ch diskri mi nant en av homogena p ol ynom 82 18 Diskrimi nanten för en elliptisk kurva 91 19 J-invarianten f ör en elliptisk kurva 99 20 Elliptiska funktioner 104 21 Slutsats 110 22 Självbiogra fi 111 23 Referenser 112

1 Introduktion Ekvationen y 2 = x 3 3x +3 är exempel på en tredjegradsekvation som deþnierar en elliptisk kurva. Eftersom koefficienterna i ekvationen är rationella tal så är denna elliptiska kurva deþnierad över Q. Allmänt gäller att en elliptisk kurva E över en kropp k är en icke-singulär tredjegradskurva över k tillsammans med en punkt O med koordinater i k. Vi kommer att se att mängden av alla punkter på kurvan, som har koordinater i k, tillsammans med O utgör en abelsk grupp. Oftast låter vi O vara en punkt i oändligheten. Vi kallar den abelska gruppen för E (k). DeÞnitionen för en elliptisk kurva (sid 34) gäller för en godtycklig kropp k. VikommeritextenattbetraktaelliptiskakurvoröverkropparsåsomQ, R och C. Ett speciellt intresse Þnns för elliptiska kurvor över de rationella talen Q eller över en ändlig kropp. Fallet när k är ändlig kommer dock inte att behandlas i någon större utsträckning i denna uppsats. Vi återgår till ekvationen ovan deþnierad över Q. Om vi samlar alla termer på en sida får vi att tredjegradskurvan till E (Q) ges av ekvationen f (x, y) =0 där f (x, y) är ett tredjegradspolynom med två variabler och rationella koefficienter. Vi söker de rationella lösningarna till ekvationen f (x, y) =0vilket innebär att vi vill lösa en diofantisk ekvation. En diofantisk ekvation (Diofantus, ca 250 e.kr.) är en ekvation för vilken vi söker lösningar som antingen är heltal eller rationella tal. Ett känt exempel är den pythagoreiska ekvationen x 2 + y 2 = z 2 (Pythagoras, ca 500 f.kr.) vars heltalslösningar svarar mot rätvinkliga trianglar vilkas sidor alla har en längd som är ett heltal. Ekvivalent är att betrakta ekvationen x 2 + y 2 =1med rationella lösningar. Den mest kända diofantiska ekvationen är dock Fermat s ekvation x n +y n = z n (Fermat, 1601-1665) vilken saknar heltalslösningar där x, y och z samtliga är skilda från noll för n>2. Ekvivalent säger Fermat s sats att de enda rationella lösningarna till ekvationen x n + y n =1 med n>2 är lösningar med antingen 1

x =0eller y =0. I över 350 år har världens matematiker försökt bevisa Fermat s sats. Den som till slut lyckades var Andrew Wiles (f. 1953), en brittisk matematiker som, efter många års arbete, 1994 lyckades bevisa satsen. Vi låter f (x, y) vara ett polynom med rationella koefficienter och kommenterar kort de plana kurvor som ges av ekvationen f (x, y) =0när f (x, y) är av olika grad: 1. För en linje, dvs när f (x, y) är ett polynom av grad 1, så Þnns alltid oändligt många rationella lösningar till ekvationen f (x, y) =0. 2. Om f (x, y) är ett polynom av grad 2 får vi ett kägelsnitt. Kägelsnitten är cirklar, ellipser, parabler och hyperbler. För dessa gäller att om det Þnns en rationell lösning till ekvationen f (x, y) =0så Þnns det oändligt många. Det Þnns även en metod för att, i ett ändligt antal steg, testa om ett givet rationellt kägelsnitt har en rationell punkt eller inte. 3. För en tredjegradskurva dvs när f (x, y) är ett polynom av grad 3 uppstår ett annat fenomen nämligen möjligheten att mängden av rationella punkter på kurvan kan vara ändlig utan att vara tom. Vi kan uttrycka detta som att för vissa ekvationer f (x, y) =0Þnns endast ett ändligt antal rationella lösningar (jfr. Fermat s sats enligt ovan). 4. År 1983 visade den tyske matematikern Gerd Faltings (f. 1954) att mängden av rationella punkter på en rationell plan kurva av grad strikt större än 3 är ändlig. Vi återgår nu till tredjegradskurvor och elliptiska kurvor. Alla rationella lösningar till en tredjegradsekvation kan erhållas genom att börja med en ändlig mängd lösningar och upprepande använda en viss geometrisk procedur. Det faktum att det existerar en sådan ändlig genererande mängd antogs av Poincaré 1901 och bevisades av Mordell 1921. Vi kommer att presentera Mordell s sats dock utan bevis. Mordell s sats svarar inte på frågan om det Þnns någon rationell lösning eller inte. Mordell s sats ger inte heller något svar på frågan om det Þnns oändligt många rationella lösningar till f (x, y) =0.Faktum är att det ännu idag inte Þnns någon känd allmän metod som med säkerhet kan besvara frågan om det över huvud taget Þnns någon rationell punkt på en kurva och i så fall om det Þnns oändligt många. I motsats till linjära och kvadratiska ekvationer, samt ekvationer av grad större än 3, är frågan om rationella lösningar till tredjegradsekvationer fortfarande inte helt klarlagd. För vissa speciella ekvationer är dock problemet löst. En elliptisk kurva är absolut ingen ellips vilket man kanske kan förledas att tro av namnet. En ellips är ett kägelsnitt och ges av en andragradsekvation. 2

Historiskt kommer ordet elliptisk från teorin om elliptiska integraler vilka exempelvis används för beräkning av båglängden av en ellips - därav namnet elliptisk. Om man tecknar integralen för denna båglängd så kommer integranden, efter ett variabelbyte, att innehålla kvadratroten av ett tredjegrads- eller ett fjärdegradspolynom utan multipla rötter. Vi kommer inte att studera elliptiska integraler men vill dock peka på att dessa har legat till grund för teorin om elliptiska funktioner och elliptiska kurvor. Elliptiska funktioner kan deþnieras som inversa funktioner till elliptiska integraler. Den kanske mest speciella egenskapen för dessa funktioner är att de är dubbelperiodiska. De elliptiska kurvorna kan användas för att göra ett hemligt krypto. Vi gör ett exempel: Krypto: E (k) (elliptisk kurva, +) där k exempelvis är en ändlig kropp. Välj (hemlig) punkt P E (k) Meddelande: M E (k) Kryptering: M 7 C = M + P E (k) Avkryptering: C 7 C P = M + P P = M Elliptiska kurvor kan även användas vid faktorisering av stora tal. Varje positivt heltal kan faktoriseras i en produkt av primtal. Om heltalet är tillräckligt stort är det dock mycket tidskrävande att göra denna faktorisering. Detta är tanken bakom kryptosystemet RSA ( public key ). Fienden vet metoden för kryptering av ett meddelande men kan ändå inte avkryptera meddelandet inom rimlig tid vilket ger säkerheten för kryptot. Meddelandet är säkert så länge ingen kan faktorisera heltalet. Talet måste vara så stort att Þenden inte kan avkryptera meddelandet under en för situationen avgörande tid. En bra faktoriseringsmetod knäcker kryptot. Ett ßertal algoritmer Þnns för faktorisering av stora tal. En av de bästa är Lenstra s Elliptic Curve Algorithm vilken bygger på teorin om elliptiska kurvor. Vi börjar med att kort studera linjer och kägelsnitt innan vi övergår till tredjegradskurvor och elliptiska kurvor vilka uppsatsen till största del handlar om. I avsnitt 15 till 17 behandlar vi ganska ingående begreppen resultant och diskriminantförettpolynom. Dessabegreppliggertillgrundföravsnitt18och19 vilka handlar om diskriminanten och j-invarianten för en elliptisk kurva. Med hjälp av j-invarianten kan vi på ett elegant sätt visa om två elliptiska kurvor är isomorfa eller ej. Avsnitt 20 slutligen handlar om elliptiska funktioner och vi hittar ett fascinerande samspel mellan dessa funktioner och elliptiska kurvor med hjälp av Weierstrass -funktion. DereferensersomanväntsÞnnsförtecknadeireferenslistanpåsidan112. Längst ner i varje avsnitt Þnns en hänvisning till de referenser som använts i det aktuella 3

avsnittet. Ibland hänvisas till referenslistan även inne i texten. Detta görs med hakparentes, exempelvis [Kna]. Vid en direkt översättning anges alltid referens och sidhänvisning. Tre av referenserna är internet-adresser. De enda uppgifter som erhållits från dessa är beträffande Mazur på sidan 50 ([Bow],[LiWi]). Från [McT] harendastbilderpåmatematikerhämtats. Övrigareferenserärböcker. Uppsatsen är skriven i ScientiÞc WorkPlace 3.0. De referenser som använts för avsnittet är [Hus],[Wal],[SiTa],[Nat]. 4

2 Algebraiska kurvor Kurvor som ges av en ekvation f(x, y) =0kallas plana kurvor. Ett viktigt specialfall utgörs av algebraiska kurvor vilket är kurvor givna av polynomekvationer. En linje motsvarar då ett polynom av grad ett och kägelsnitten motsvarar polynomavgradtvå. Enelliptiskkurva,seddsomenplankurva,gesaven icke-singulär tredjegradsekvation. Det Þnns en geometrisk ort C f av ekvationen f(x, y) = 0 med deþnition att punkten (x, y) är på C f under förutsättning att den uppfyller ekvationen f(x, y) =0där x och y är reella tal. För att betona att C f består av punkter med reella koordinater så betecknar vi denna reella geometriska ort med C f (R) där C f (R) R 2. Vissa ekvationer t.ex. f(x, y) =x 2 + y 2 +1 har inte några reella lösningar varför mängden C f (R) blir tom. Detta gör att vi måste betrakta även den komplexa geometriska orten C f (C) C 2 trots att denna inte kan avbildas geometriskt på liknande sätt. Topologiskt ger de komplexa punkterna en sluten orienterad yta med g hål där g kallas kurvans genus. Speciellt av intresse inom aritmetik är mängden C f (Q) av rationella punkter (x, y) Q 2 som uppfyller f(x, y) =0, dvs punkter vars koordinater är rationella tal. Hur beskriver vi denna mängd C f (Q)? Är C f (Q) ändlig eller oändlig? Finns det några punkter alls i C f (Q)? För att studera detta så kommer vi att använda en kombination av geometriska och aritmetiska argument där C f (Q) C f (R) C f (C). Plana kurvor C f kan deþnieras för varje icke-konstant polynom f(x, y) C [x, y] genom ekvationen f(x, y) =0. Ekvationerna f(x, y) =0och kf(x, y) =0, där k 6= 0är en konstant, har samma lösningar och deþnierar därför samma plana kurva. Om f har reella koefficienter kallar vi kurvan för en reell kurva. Definition En rationell plan kurva är på formen C f med rationella koefficienter. där f(x, y) är ett polynom Anmärkning DeÞnitionen ovan på en rationell plan kurva är en aritmetisk beteckning som innebär att kurvan är deþnierad över Q. DetÞnns även en geometrisk deþnition där en rationell kurva är en kurva med genus 0, dvs en kurva utan hål. Vi får inte förväxla detta med vår deþnition ovan. Kurvorna som vi ritar framöver visar de reella punkterna dvs punkterna med reella koordinater trots att ekvationen även deþnierar andra mängder av punkter enligt ovan. De referenser som använts för avsnittet är [Hus],[Nat]. 5

3 Rationella linjer Vi kallar en punkt i (x, y)-planet för en rationell punkt om båda koordinaterna är rationella tal. En linje med ekvationen a + bx + cy =0kallas en rationell linje om koefficienterna a, b och c är rationella tal. Om vi har två rationella punkter så är linjen mellan dem en rationell linje och om vi har två rationella linjer så är den punkt där linjerna skär varandra en rationell punkt. Om vi har två linjära ekvationer med rationella tal som koefficienter och löser dessa så får vi rationella tal som svar. I bilden nedan Þnns två linjer L och L 0. Vi tänker oss en punkt P 0 som varken ligger på L eller på L 0 och betraktar alla linjer som går genom denna punkt. P och P 0 motsvarar varandra när P, P 0 och P 0 alla ligger på samma linje. Figur 3.1. Rationella linjer. Om L och L 0 är rationella linjer, och om P 0 är en rationell punkt, då är punkten P rationell om och endast om P 0 är rationell. Vi observerar dock att det Þnns linjer genom P 0 som inte ger ett motsvarande par av punkter på L resp L 0 nämligen de linjer som är parallella med L eller L 0. Förhållandena är dock desamma för dessa parallella linjer om vi betraktar konstruktionen i det projektiva planet, eftersom parallella linjer skär varandra i en punkt på linjen i oändligheten. Vi återkommer till linjen i oändligheten i nästa avsnitt. Den referens som använts för avsnittet är [Hus]. 6

4 Det projektiva rummet Ett projektivt rum erhålls genom att addera punkter i oändligheten till ett givet affint rum. Vi betecknar det projektiva rummet av dimension r som P r. Geometrisk definition Ett projektivt rum P r är mängden av alla linjer genom origo i ett affint rum A r+1 = A r+1 (k) =k r+1 dvs i ett affint rum av en dimension högre än P r. För enkelhetetens skull börjar vi med att betrakta det projektiva planet P 2 vilket är mängden av alla linjer i A 3. Låt A 2 vara ett affint plan. Varje linje i A 2 är parallell med en unik linje genom origo. Det projektiva planet P 2 har en extra punkt i oändligheten för varje linje genom origo i det ordinära affina planet A 2 och kan därför geometriskt beskrivas som P 2 = A 2 mängden av alla linjer genom origo i A 2ª. Två parallella linjer skär varandra i en punkt i oändligheten. Linjerna är även parallella med en linje L genom origo. Alla linjer, parallella med L, betraktas som skärande linjen L i denna punkt i oändligheten. Skärningspunkten mellan två parallella linjer är således den punkt i oändligheten som ges av motsvarande parallella linje genom origo. De extra punkterna i oändligheten bildar tillsammans linjen i oändligheten L. Oändlighetspunkterna är oegentliga punkter som var och en svarar mot en ekvivalensklass av parallella linjer. Figur 4.1. Det projektiva planet. (Þgur [WW]). 7

De extra punkterna i oändligheten medför att vi betraktar P 2 som mängden av alla linjer genom origo i ett tredimensionellt rum A 3 enligt deþnitionen ovan. Det projektiva planet P 1, vilket är linjer genom origo i ett affint rum A 2,skriver vi som P 1 = A 1 { } (4.1) och det projektiva planet P 2, vilket är linjer genom origo i ett affint rum A 3, skriver vi som P 2 = A 2 P 1. (4.2) Vi återkommer till dessa formler på sidan 12-13. Algebraisk definition Det projektiva planet P 2 är mängden av alla tripler [w, x, y], därw, x och y inte alla är noll och [w, x, y] ={(aw, ax, ay) a 6= 0}. Tripeln [w, x, y] är alltså linjen genom origo i A 3 med rikningsvektor (w, x, y) menutanorigo. Vi kan också beskriva [w, x, y] som en ekvivalensklass. Två tripler (w, x, y) och (w 0,x 0,y 0 ) är ekvivalenta om det Þnns en konstant a 6= 0med w 0 = aw, x 0 = ax, y 0 = ay och då är [w, x, y] och [w 0,x 0,y 0 ] samma punkt i P 2 dvs [w, x, y] =[w 0,x 0,y 0 ]. Talen w, x och y kallas homogena koordinater för punkten [w, x, y]. Det projektiva planet P 2 består således av mängden av alla ekvivalensklasser av tripler [w, x, y] förutom tripeln [0, 0, 0]. Vi skriver det projektiva planet över en kropp k som P 2 (k) vilket innebär att w, x, y k. På samma sätt som i det affina planet och för plana kurvor gäller att P 2 (Q) P 2 (R) P 2 (C) bestående av tripler [w, x, y] där w, x, y Q för 8

P 2 (Q), w, x, y R för P 2 (R) och w, x, y C för P 2 (C). Det projektiva planet över R består av alla tripler [w, x, y] där w, x och y är reella tal. Vi kan skriva detta som P 2 (R) = [w, x, y] (w, x, y) R 3, ej alla w, x, y =0 ª där [w, x, y] är en ekvivalensklass så att (w, x, y) (aw, ax, ay) för a 6= 0. På motsvarande sätt deþnierar vi projektiva rum av högre dimension : Definition [Hus, s44] Det r-dimensionella projektiva rummet P r (k) över en kropp k består av alla (r +1)-tipler [x 0,,x r ] där inte alla x i =0och där [x 0,,x r ]=[x 0 0,,x 0 r ] om det Þnns en konstant a 6= 0så att x 0 i = ax i för i =0,...,r. Om k är en delkropp av K gäller att P r (k) P r (K). Vi kan skriva detta som P r (R) = [x 0,...,x r ] (x 0,...,x r ) R r+1, ej alla x i =0 ª där [x 0,...,x r ] är en ekvivalensklass så att (x 0,...,x r ) (ax 0,...,ax r ) för a 6= 0. Vi har deþnierat P 1 som mängden av linjer genom origo i A 2. Vi försöker åskådliggöra P 1 ienþgur med hjälp av enhetscirkeln i A 2 med centrum i origo. Figur 4.2. P 1 ärlinjer genom origo i A 2. 9

Eftersom [x, y] =[ x, y], dvs(x, y) ( x, y), erhåller vi alla linjer genom origo genom att betrakta endast den övre cirkelhalvan. Vi betecknar en vektor utgående från origo med x och skriver P 1 = S 1 / (x x) vilket i detta specialfall (när dimensionen r =1)även är isomorft med en cirkel dvs P 1 = S 1. På samma sätt har vi deþnierat P 2 som mängden av linjer genom origo i A 3. Vi skulle på motsvarande sätt kunna åskådliggöra P 2 med hjälp av en sfär i A 3 med centrum i origo. Eftersom [w,x, y] =[ w, x, y] erhåller vi alla linjer genom origo genom att betrakta endast den övre halvsfären. Vi skriver P 2 = S 2 / (x x) = S 2 /Z 2 eller allmänt för dimensionen r P r = S r / (x x) = S r /Z 2. En linje C F i P 2 är den geometriska orten av alla [w, x, y] som uppfyller ekvationen F (w, x, y) = aw + bx + cy = 0. Linjen i oändligheten L ges av ekvationen w =0. En punkt i P 2 \L är på formen [1,x,y] efter multiplicering med faktorn w 1. Punkten [1,x,y] i det projektiva planet motsvarar (x, y) idet vanliga Cartesiska planet. För en linje L given av aw + bx + cy =0och L 0 given av a 0 w + b 0 x + c 0 y =0har vi L = L 0 om och endast om [a, b, c] =[a 0,b 0,c 0 ] idet projektiva planet. Två olika punkter P och P 0 i P 2 (C) ligger på en unik linje L i det projektiva planet. Om P och P 0 är rationella punkter, då är linjen L rationell. Två olika linjer L och L 0 i P 2 (C) skär varandra i en unik punkt P och om L och L 0 är rationella linjer, så är skärningspunkten P rationell. Den projektiva linjen L med ekvation L : aw + bx + cy = 0 bestämmer linjen a+bx+cy =0i det Cartesiska planet. Två projektiva linjer L : aw+bx+cy =0 och L 0 : a 0 w + b 0 x + c 0 y =0skär varandra på linjen i oändligheten w =0om och endast om [b, c] =[b 0,c 0 ],dvs,paren(b, c) och (b 0,c 0 ) är proportionella. Motsvarande linjer i x, y-planet givna av a + bx + cy =0 och a 0 + b 0 x + c 0 y =0 10

har samma lutning eller är parallella exakt när de projektiva linjerna skär varandra ioändligheten. Betrakta återigen motsvarigheten på sidan 6mellan rationella punkter på två rationella linjer L och L 0 som fås vid skärning av L och L 0 med alla rationella linjer genom en Þx punkt P 0 vilken inte ligger på varken L eller L 0. Ett homogent polynom är ett polynom där alla termer har samma grad. Den totala graden av ett monom x i y j är i+j. Graden av ett polynom f(x, y) är den maximala totala graden av de monom som Þnns i polynomet och som har en koefficient som är skild från noll. Om f(x, y) har total grad d så kan vi deþniera ett motsvarande homogent polynom F (w, x, y) med tre variabler som det polynom vi får genom att multiplicera varje monom x i y j i f(x, y) med w d i j för att få den totala graden för variablerna w, x, y till att bli d dvs F (w, x, y) =w d f( x w, y w ). Exempel f(x, y) =y 2 x 3 +4x är ett polynom av grad 3. Vårt motsvarande polynom med tre variabler blir då F (w, x, y) =wy 2 x 3 +4w 2 x. Vi observerar att f(x, y) =F (1,x,y). För att deþniera plana kurvor i projektiva rum använder vi icke-triviala homogena polynom F (w, x, y). Vi får då relationen F (qw, qx, qy) =q d F (w, x, y), där d är graden på det homogena polynomet F (w, x, y). Vidare gäller att C F = C F 0 om och endast om F (w, x, y) och F 0 (w, x, y) är proportionella med ett tal c 6= 0eftersom F (w, x, y) =0och cf (w, x, y) =0 har samma lösningar och därför deþnierar samma kurva. Således är F (qw, qx, qy) =0om och endast om F (w, x, y) =0. Speciellt gäller för w 6= 0att F (w, x, y) =0om och endast om f( x w, y w )=0. För F (w, x, y) R [w, x, y] så motsvarar alla triplerna [w, x, y] i en ekvivalensklass, de punkter i R 3 som ligger på en linje genom origo. Således kan P 2 (R) geometriskt betraktas som mängden av linjer genom origo i ett tredimensionellt rum R 3. På samma sätt betraktar vi P r (R) som mängden av linjer genom origo irummetr r+1. Det affina planet R 2 = {(x, y)} har en injektion till P 2 (R) där vi avbildar (x, y) på [1,x,y] och observerar att [1,x,y]=[a, ax, ay] för a 6= 0.Denmängd som vi missar genom avbildningen är mängden där w =0, dvs linjen i oändligheten. Punkterna där w =0är punkterna på linjen i oändligheten. Förutom linjen i oändligheten så motsvarar linjer i P 2 (R) precis linjerna i R 2. Exempel Ekvationen x 3 +2y 2 + xy =0, (x, y) R 2 iettaffint rum motsvarar 11

ekvationen x 3 +2wy 2 + wxy =0, [w, x, y] P 2 i det projektiva rummet. Definition En rationell (resp reell) plan kurva i P 2 är på formen C F där F (w, x, y) har rationella (resp reella) koefficienter. På samma sätt som i x, y-planet gäller att om C F är en rationell plan kurva så Þnns både rationella, reella och komplexa punkter C F (Q) C F (R) C F (C) på kurvan. Definition [Hus, s44] Ett hyperplan i P r (k) är mängden av [x 0,,x r ] i P r (k) som uppfyller ekvationen a 0 x 0 + + a r x r =0där inte alla a i =0. Två ekvationer a 0 x 0 + + a r x r =0och a 0 0 x 0 + + a 0 r x r =0betecknar samma hyperplan om och endast om det Þnns en konstant b 6= 0 med a 0 i = ba i för alla i =0,...,r.Således ger mängden av hyperplan ett projektivt rum där punkten [a 0,,a r ] motsvarar hyperplanet som ges av ekvationen a 0 x 0 + + a r x r =0 Anmärkning [Hus, s44] Låt H i beteckna hyperplanet x i =0för i =0,...,r. Delmängden P r (k)\h i kan parametriseras som k r där (y 1,...,y r ) i k r motsvarar punkten [y 1,,y i, 1,y i+1,,y r ] i P r (k)\h i. Om x i 6= 0 i [x 0,,x r ] motsvarar det (x 0 /x i,...,x i 1 /x i,x i+1 /x i,...,x r /x i ) i k r. Vi observerar att P r (k) =(P r (k)\h 0 ) (P r (k)\h r ). H 0 får här beteckna hyperplanet i oändligheten. Vi använder deþnitionen och anmärkningen ovan för att förklara formel (4.1) och (4.2) på sidan 8. Vi utgår från P 2 (R) = [w,x,y] (w,x,y) R 3,ej alla w,x,y=0 ª enligt sidan 9och deþnierar H w, H x och H y som hyperplanet när w =0, x =0respektive y =0. I delmängden P 2 (R)\H w har vi således tagit bort möjligheten för w att vara 0. Om [w, x, y] P 2 (R) och w 6= 0så kan vi dividera med w och får 1, x w, y w.men x w, y w R 2, dvs P 2 (R)\H w = R 2. Kvar att studera i P 2 (R) är [0,x,y] där [x, y] P 1 (R). Om x 6= 0dvs om vi har delmängden H w P 2 (R)\H x så kan vi dividera med x och får då 12

[0,x,y]= 0, 1, y x. Men y x R så H w P 2 (R)\H x = R. Kvar därefter att studera i P 2 (R) är [0, 0,y] men y 6= 0eftersom w =0och x =0så [0, 0,y]=[0, 0, 1] dvs H w H x P 2 (R) = [0, 0, 1]. Resonemanget ovan ger där varför P 2 (R) = R 2 R [0, 0, 1] w6=0 w=0,x6=0 w=0,x=0 R [0, 0, 1] = P 1 (R) w=0,x6=0 w=0,x=0 Allmänt skriver vi P 2 (R) = R 2 w6=0 P1 (R). w=0 eller för en allmän kropp k P r+1 (R) = R r+1 P r (R) P r+1 (k) = k r+1 P r (k) där k r+1 = [1,x1,...,x r+1 ] P r+1 (k) x 1,...,x r+1 k ª och P r (k) = [0,x 1,...,x r+1 ] P r+1 (k) x 1,...,x r+1 k, ej alla x i =0 ª. De referenser som använts för avsnittet är [Hus],[Kob],[Roe],[Sil],[SiTa],[WW]. 13

5 Rationella punkter på kägelsnitt Kägelsnitt är kurvor av grad två som i (x, y)-planet ges av ekvationen 0=f(x, y) =a + bx + cy + dx 2 + exy + fy 2 eller i homogen form för ett projektivt plan 0=F (w, x, y) =aw 2 + bwx + cwy + dx 2 + exy + fy 2 Observera att de två polynomen är relaterade genom sambandet f(x, y) = F (1,x,y) och att F (w, x, y) =w 2 f(x/w, y/w). Kurvan C f i (x, y)-planet är kurvan C F minus punkterna på linjen i oändligheten. Vi säger att kägelsnittet är rationellt om vi kan skriva ekvationen med rationella tal. Ett kägelsnitt är den kurva vi får när ett plan skär en kon under olika vinklar. Beroende på vinkeln mellan det skärande planet och konens axel får vi en ellips, en parabel eller en hyperbel. Figur 5.1. Kägelsnitt. (Þgur [WW]). Vi bortser från kägelsnitt där f kan faktoriseras till en produkt av två linjära polynom dvs där C f är unionen av två linjer. Detta är de singulära kägelsnitten som motsvarar skärning mellan den koniska ytan och ett plan som går genom den koniska ytans spets. Vad händer om vi skär en rationell linje med ett rationellt kägelsnitt? Blir 14

skärningspunkterna då rationella? Svaret är oftast nej. Vi kan analytiskt söka koordinaterna till skärningspunkterna genom att eliminera en variabel mha ekvationen a + bx + cy = 0och sätta in i ekvationen för kägelsnittet. Resultatet blir en kvadratisk ekvation för x-koordinaten (eller y-koordinaten) i skärningspunkterna. Eftersom både kägelsnittet och linjen är rationella så får denna kvadratiska ekvation rationella koefficienter. De två skärningspunkterna är rationella om och endast om rötterna till denna kvadratiska ekvation är rationella. Ofta är dessa rötter irrationella tal. Vi skriver den kvadratiska ekvationen som Ax 2 + Bx + C =0där koefficienterna A, B och C är rationella. Om denna ekvation har en rationell rot då är den andra roten också rationell eftersom summan av rötterna är lika med B A som är rationell. Detta ger oss följande notering: Notering 1 Om en av de två s kärningspunkterna mel lan e tt rationel lt kägelsnitt och en rationell linje är en rationell punkt, då är den andra skärningspunktenocksårationell. Vi låter C = C f vara ett icke-singulärt rationellt kägelsnitt. Finns det några rationella punkter på C över huvud taget? I annat fall är C f (Q) =. Vi återkommer till denna fråga lite senare och antar tills vidare att vi känner till en rationell punkt O på vårt rationella kägelsnitt. Vi kan då, mha notering 1 ovan och resonemanget i avsnittet om rationella linjer, bestämma alla de andra rationella punkterna på C. I Þguren nedan har vi ritat vårt rationella kägelsnitt C och markerat den rationella punkten O. Vi väljer en rationell linje L och projicerar kägelsnittet C på linjen L mha punkten O. Figur 5.2. Projicering av ett kägelsnitt på en linje. 15

En linje skär kägelsnittet i två punkter så varje punkt Q på linjen L sammanbunden med O ger en punkt P på kägelsnittet C och omvänt, varje punkt P på kägelsnittet C motsvarar en punkt Q på linjen L. Vi får en motsvarighet mellan punkterna på kägelsnittet och punkterna på linjen L. Eftersom O antas vara rationell så är punkten P rationell om och endast om punkten Q är rationell. Punkten O själv motsvarar också en punkt på linjen L. Vi drar då tangentlinjen till kägelsnittet i O, antar att den skär L i en punkt R och låter O på C motsvara R på L. Anm. Det Þnns en punkt på kägelsnittet som vi missar med detta resonemang. Vi kallar den P 0. Den linje genom O som är parallell med L skär kägelsnittet i denna punkt men möter aldrig L. Mha det projektiva planet och homogena ekvationer så löser vi problemet. Vi konstaterar att de rationella punkterna på kägelsnittet C motsvarar precis de rationella punkterna på linjen L. Exempel Låt kägelsnittet C vara cirkeln x 2 + y 2 =1. Med hjälp av punkten ( 1, 0) projicerar vi punkter på cirkeln till punkter på L = y-axeln. Figur 5.3. Parameterframställning av enhetscirkeln. Linjen l genom ( 1, 0) och (0,t) på y axeln har ekvationen y = t (x +1). 16

Antag att linjen l skär cirkeln x 2 +y 2 =1i punkten (x, y). Vi får då förhållandet 1 x 2 = y 2 = t 2 (x +1) 2. För ett givet värde på t så är detta en kvadratisk ekvation där rötterna är x- koordinaterna för de två skärningspunkterna mellan l och cirkeln. Vi vet redan att x = 1 är en rot varför vi kan dividera båda leden med (x +1). Detta ger 1 x = t 2 (x +1) t 2 x + x =1 t 2 x = 1 t2 1+t 2 så y = t (x +1)= t 1 t 2 + t 1+t 2 1+t 2 = 2t 1+t 2 x = 1 t2 1+t 2, y = 2t 1+t 2. Vi kan konstatera att om (x, y) är en rationell punkt på cirkeln så är t ett rationellt tal. Åt andra hållet: om t är ett rationellt tal så är (x, y) en rationell punkt (vi ser då även direkt av formlerna ovan att x och y är rationella). För t Q ger metoden oss alla rationella punkter på cirkeln utom (x, y) = ( 1, 0). Tangenten i ( 1, 0) är parallell med linjen L = y-axeln och möter därför L i t =. Ekvationen i exemplet ovan x 2 + y 2 =1 eller x 2 + y 2 = w 2 i homogena koordinater går tillbaka ända till Pythagoras (ca 500 f.kr.). En rätvinklig triangel med sidorna a, b, c N uppfyller enligt Pythagoras sats ekvationen a 2 + b 2 = c 2 där a, b och c kallas pythagoreiska tripler. 17

Figur 5.4. Rätvinklig triangel. De först kända pythagoreiska triplerna var (3, 4, 5) och (5, 12, 13). Tripeln (6, 8, 10) är också en pythagoreisk tripel men om vi dividerar varje tal i denna med 2 så får vi tripeln (3, 4, 5). Allmänt säger vi att om (a, b, c) är en pythagoreisk tripel så är också (ha, hb, hc) en pythagoreisk tripel för h N. Avintresse är därför främst att bestämma de pythagoreiska tripler där sgd (a, b, c) =1dvs där a, b och c saknar gemensam delare. Dessa kallas primitiva pythagoreiska tripler. Om a, b och c har någon gemensam faktor så kan vi förkorta bort den. Vi antar därför att sgd (a, b, c) =1dvs a, b och c är relativt prima. Men om a, b och c inte alla har en gemensam faktor så kan inte två av sidorna ha någon gemensam faktor heller, för om p c och p a, därp är ett primtal, så medför detta att p c 2 a 2 = b 2 dvs p b i motsats till vårt antagande att a, b och c inte har någon gemensam faktor. För att en pythagoreisk tripel ska vara primitiv måste således två av talen a, b och c vara relativt prima. Speciellt gäller att om x = a c och y = b c så är (x, y) en rationell punkt som uppfyller ekvationen x 2 + y 2 =1vilket vi känner igen från exemplet ovan. Dessutom gäller att x och y är rationella tal där täljare och nämnare är relativt prima. Vi använder formlerna i exemplet ovan dvs x = 1 t2 1+t 2, y = 2t 1+t 2 (5.1) för att hitta primitiva pythagoreiska tripler (a, b, c) N. Eftersom a och b inte har någon gemensam faktor så kan inte båda vara jämna för då skulle vi kunna dividera med 2. Båda kan inte heller vara udda då kvadraten av ett udda tal är kongruent med 1(mod4).Ombådea och b skulle vara udda så skulle a 2 + b 2 vara kongruent med 2(mod4). Men a 2 + b 2 = c 2 och c 2 är antingen kongruent med 0(mod4) om c är jämn eller med 1(mod4) 18

om c är udda. Så a och b kan inte båda vara udda. (Detta medför att c är udda eftersom c inte har någon gemensam faktor med varken a eller b.) Vi antar att a är udda och b är jämn. Från exemplet ovan vet vi att om (x, y) är en rationell punkt på cirkeln så Þnns ett t Q så att x och y fås av formlerna (5.1). Vi utgår från att a, b och c alla är skilda från noll. I annat fall får vi en pythagoreisk tripel (0,b,b) eller liknande och därmed ingen triangel. Detta ger x 6= 0, y 6= 0och således t 6= 1, t 6= 0. Vidare utgår vi från att a, b, c > 0. Detta ger x>0, y>0. Ett negativt värde på x eller y ger också samma resultat i ekvationen x 2 + y 2 =1.Förx>0, y>0 får vi t<1, t>0. Således räcker det att betrakta t ifallet0 <t<1. Eftersom t ärettrationellttalsåkanviskrivadetsomt = m n för t<1 och där m och n är relativt prima. Vi får att där n>m varför x = 1 m n 1+ m n 2 2 = n2 m 2 n 2 + m 2, y = 2 a c = n2 m 2 n 2 + m 2, m n 1+ m n b c = 2mn n 2 + m 2. 2 = 2mn n 2 + m 2 Både a c och b är förkortade så långt som möjligt. Således Þnns ett heltal A så att c Ac = n 2 + m 2, Aa = n 2 m 2, Ab =2mn. Eftersom A n 2 + m 2 och A n 2 m 2 så måste A dela både summan och differensen av dessa, dvs A 2n 2 och A 2m 2. Men m och n har inga gemensamma delare varför A måste dela 2. De enda värden som A kan anta blir A =1eller A =2. Om A =2så är n 2 m 2 = Aa delbar med 2 men inte med 4 eftersom vi antagit att a är udda. Således är n 2 m 2 2(mod4).Men n 2 0(mod4) om n är jämn och n 2 1(mod4) om n är udda. Detsamma gäller m 2 varför n 2 m 2 är kongruent med 0(mod4) eller ±1(mod4).Vifåren motsägelse och konstaterar att A =1varför a = n 2 m 2, b =2mn, c = n 2 + m 2. Detta är de pythagoreiska tripler vi får med a udda och b jämn. Resterande får vi genom att byta plats på a och b. 19

Redan ca 300 f.kr. gav Euklides i sin bok Elementa en metod för att ta fram samtliga pythagoreiska tripler som i modern form ser ut på följande sätt: Sats [Hus, s8] Låt m och n vara två relativt prima naturliga tal så att n m är positiv och udda, då är n 2 m 2, 2mn, n 2 + m 2 en primitiv pythagoreisk tripel, och varje primitiv pythagoreisk tripel framtas på detta sätt. Satsen följer direkt av resonemanget ovan när a är udda. Om a = n 2 m 2 = (n m)(n + m) är udda så är n m (och n + m) udda och eftersom m n = t och t<1 så är n>mdvs n m är positiv och udda. När a är jämn byter vi plats på a och b. Projektion av cirkeln till y-axeln enligt metoden ovan kan också användas för att uttrycka trigonometriska identiteter och uttrycka cosinus och sinus mha tangens för halva vinkeln. Vi har enligt Þgur 5.3 att Ekvationen för linjen l dvs och formlerna (5.1) ger x =cosθ, y =sinθ, t =tan y = t (1 + x) t = y 1+x µ θ. 2 tan µ θ = sin θ 2 1+cosθ, 1 θ tan2 cos θ = 2 1+tan 2 θ 2, sin θ = 2tan θ 2. 1+tan 2 θ 2 Formlerna kan också användas för att underlätta µ beräkningen av integraler av θ trigonometriska funktioner. Eftersom t =tan så är θ =2arctan(t) och 2 2dt 1+t dθ =. Om integranden är en rationell funktion av sin θ och cos θ så får 2 µ θ vi efter variabelbyte t =tan en integral där integranden är en rationell 2 funktion av t. Vi återgår nu till frågan om det Þnns några rationella punkter eller inte på ett rationellt kägelsnitt. Vi studerar ett annat exempel. Exempel Vi kan direkt se att cirkeln x 2 + y 2 =1och x 2 + y 2 =2har rationella punkter, men hur är det med x 2 + y 2 =3? 20

Svaret är att det Þnns inga rationella punkter (x, y) som uppfyller denna ekvation. Det är omöjligt för summan av två kvadrater av rationella tal att bli lika med 3. Antag µ att det Þnns en sådan rationell punkt (x, y). Vi kan då skriva den som X W, Y där W, X och Y är heltal utan gemensam faktor vilka uppfyller ekvationen W X 2 + Y 2 =3W 2. Talet 3 kan varken dela X eller Y.För3 X ger 3 Y 2 och således 3 Y. Detta medför att 9 måste dela X 2 + Y 2 =3W 2 dvs 3 W vilket motsäger faktum att W, X och Y inte har någon gemensam faktor. Eftersom 3 varken kan dela X eller Y får vi X, Y ±1(mod3). Detta ger 0 3W 2 = X 2 + Y 2 1+1 2(mod3). Motsägelsen visar att det inte Þnns några rationella tal x och y vars kvadrater kan summeras till 3. De exempel vi visat på tyder på att antingen Þnns det inga, eller så Þnns det oändligt många rationella punkter på ett rationellt kägelsnitt. Det Þnns en generell metod för att testa om ett givet rationellt kägelsnitt har någon rationell punkt eller inte. Metoden som härstammar från Legendre (1752-1833) innebär kontroll av att en viss kongruens kan uppfyllas. Legendre s sats förbättrades senare av Hasse (1898-1979) mha p-adiska tal. Vi kommer inte att studera Legendre s och Hasse s satser i detta arbete. De referenser som använts för avsnittet är [Hus],[Nat],[Roe],[SiTa],[WW]. 21

6 Geometrin för rationella tredjegradskurvor Låt 0 = f (x, y) =c 1 + c 2 x + c 3 y + c 4 x 2 + c 5 xy + +c 6 y 2 + c 7 x 3 + c 8 x 2 y + c 9 xy 2 + c 10 y 3 vara ekvationen för en generell tredjegradskurva i (x, y)-planet. Motsvarande ekvation i projektiva koordinater är 0 = F (w, x, y) =c 1 w 3 + c 2 w 2 x + c 3 w 2 y + c 4 wx 2 + c 5 wxy + +c 6 wy 2 + c 7 x 3 + c 8 x 2 y + c 9 xy 2 + c 10 y 3 På samma sätt som för kägelsnitt säger vi att tredjegradskurvan är rationell om koefficienterna i ekvationen är rationella tal. Den kanske mest kända tredjegradsekvationen är x 3 + y 3 =1 eller i homogen form x 3 + y 3 = w 3 vilket är Fermat s ekvation x n + y n = w n för n =3. Om det Þnns µ en rationell punkt µ (x, y) på kurvan x 3 + y 3 =1så kan vi skriva X Y den som x = och y = för W, X, Y Z. Vi skriver då ekvationen W W i homogen form som X 3 + Y 3 = W 3 där vi använt versaler för att betona att W, X och Y är heltal. Att hitta rationella lösningar till x 3 +y 3 =1är detsamma som att hitta heltalslösningar till X 3 + Y 3 = W 3. Fermat s stora sats säger att det inte Þnns någon rationell lösning till ekvationen x 3 + y 3 =1förutom när x =0eller y =0. Precis som för kägelsnitten vill vi hitta ett sätt att beskriva de rationella punkterna på en rationell tredjegradskurva i förhållande till en känd rationell punkt. Den geometriska princip som vi använde för kägelsnitten fungerar inte pga att en linje i allmänhet skär en tredjegradskurva i tre punkter. Även om vi har en rationell punkt på tredjegradskurvan så kan vi inte projicera tredjegradskurvan på en linje. Två punkter på kurvan skulle då motsvara en punkt på linjen och en rationell punkt på linjen skulle inte nödvändigtvis motsvara två rationella punkter på tredjegradskurvan. 22

Även i fallet tredjegradskurvor använder vi dock en geometrisk princip där vi låter en linje skära kurvan. Skillnaden är att vi inte jämför tredjegradskurvan med en linje som vi gjorde för kägelsnitten - istället drar vi linjer inne i tredjegradskurvan och mha dessa ßyttar vi oss mellan de rationella punkterna. Vad händer då om vi skär en rationell tredjegradskurva med en rationell linje? Vi kan som för kägelsnitten analytiskt söka koordinaterna till skärningspunkterna genom att eliminera en variabel mha ekvationen a + bx + cy =0och sätta in i tredjegradsekvationen f (x, y) =0. Vi får då en tredjegradsekvation för x-koordinaten (eller y-koordinaten) i skärningspunkterna. Både tredjegradskurvan och linjen är rationella varför denna nya tredjegradsekvation får rationella koefficienter och således även den är rationell. De tre skärningspunkterna är rationella om och endast om rötterna till denna tredjegradsekvation är rationella. Omtvåavrötternaärrationellasåmåsteocksådentredjevararationelleftersom summan av rötterna är ett rationellt tal (se Viete s formler på sidan 68). Vi får följande resultat: Notering 2 Om två av de tre skärningspunkterna mel l an en rationel l t redjegradskurva och en rationell linje är rationella punkter, då är den tredje skärningspunkten också rationel l. (Jfr notering 1 på sidan 15). Definition [Hus, s11] En irreducibel tredjegradskurva är en kurva vars ekvation inte kan faktoriseras över de komplexa talen. En punkt O på en irreducibel tredjegradskurva kallas en singulär punkt om varje linje genom O skär tredjegradskurvan i bara en annan punkt. En irreducibel tredjegradskurva utan singulära punkter kallas icke-singulär. Finns en singulär punkt med på kurvan så kallas kurvan för en singulär tredjegradskurva. Vi är intresserade av de tredjegradskurvor som är icke-singulära men börjar med att kort nämna något om singulära tredjegradskurvor. Att beskriva rationella punkter på rationella singulära tredjegradskurvor liknar den metod vi använde för kägelsnitt. Vi utgår från en tredjegradskurva med en singulär rationell punkt O. Ett exempel ges av ekvationen y 2 = x 2 (x +1) där den singulära punkten är O =(0, 0). SeÞgur 6.1. Varje rationell linje genom O skär tredjegradskurvan endast en gång till. Vi kallar den skärningspunkten P. Punkten P är rationell eftersom x-koordinaten för P är ett nollställe till en tredjegradsekvation i x (eller i y) vilken har en dubbel rationell rot motsvarande x-koordinaten (eller y-koordinaten) för O. Vi kan också se det som att linjen genom O möter tredjegradskurvan två gånger i den singulära rationella punkten O. Precis som för kägelsnitt kan därför den singulära tredjegradskurvan projiceras på en rationell linje L så att de rationella punkterna på tredjegradskurvan motsvarar precis de rationella punkterna på linjen L. 23

Figur 6.1. y 2 =x 2 (x+1), en singulär tredjegradskurva. Vi övergår därmed till att betrakta en icke-singulär tredjegradskurva. Om vi kan hitta två rationella punkter P och Q på den rationella icke-singulära kurvan så kan vi också hitta en tredje genom att dra en linje mellan dessa två punkter. Detta blir en rationell linje som skär tredjegradskurvan i ytterligare en punkt som också den är rationell eftersom P och Q är rationella. Vi kallar punkten PQ. Figur 6.2. Kompositionslagen mha två punkter. Även om vi bara har hittat en rationell punkt P såkanviändåiallmänhet hitta en till. Om vi ritar tangenten till tredjegradskurvan i P kan vi se det som att vi ritar en linje genom P och P. Tangentlinjen möter kurvan två gånger i 24

Figur 6.3. Kompositionslagen mha en punkt. P varför tredje skärningspunkten PP är rationell. Nu kan vi dra linjer mellan våra nya punkter och därmed hitta ßer punkter. Vi börjar med några få rationella punkter och genom att dra linjer och därmed successivt hitta nya punkter PQ så får vi ßera nya rationella punkter. Detta kallas korda-tangent-kompositionslagen. En av de mest betydelsefulla satserna inom området är Mordell s Sats (1921) som säger att för en icke-singulär rationell tredjegradskurva existerar en ändlig mängd av rationella punkter så att alla andra rationella punkter kan erhållas enligt metoden ovan. Vi återkommer till Mordell s sats i avsnitt 8. Beskrivningen ovan förutsätter att en eller ßera rationella punkter är kända på kurvan. Hur vet vi om det över huvud taget existerar en rationell punkt på en aktuell rationell tredjegradskurva? Tyvärr Þnns ingen känd metod att i ett ändligt antal steg bestämma om en given rationell tredjegradskurva har en rationell punkt eller inte. Det Þnns ingen motsvarighet till Hasse s sats (Jfr sidan 21) som gäller för tredjegradskurvor. Detta är en viktig och fortfarande olöst fråga. Idén att, på samma sätt som för kägelsnitt, studera ekvationen mha p-adiska tal är inte tillräcklig. Selmer gav 1950 ett exempel på en tredjegradsekvation 3x 3 +4y 3 +5z 3 =0 med en p-adisk lösning för varje p trots att icke-triviala rationella lösningar saknas. Vi lämnar detta problem och antar i fortsättningen att det Þnns en rationell punkt O på de tredjegradskurvor som vi studerar. Vi vill visa att mängden av alla rationella punkter på tredjegradskurvan tillsammans med korda-tangent-kompositionslagen kan göras till en grupp. Vi konstaterar att kompositionslagen är kommutativ med PQ = QP men det Þnns t.ex. inget neutralt element 1 så att 1P = P = P 1 för alla P. Korda-tangentkompositionslagen är därmed själv ingen grupplag. 25

Kompositionslagen och de rationella punkterna kan dock göras till en grupp vilket föreslogs av Jacobi (1835). Vi låter den givna punkten O bli ett nollelement i gruppen. Gruppoperationen betecknas med + eftersom vi kommer att erhålla en kommutativ grupp. Vi deþnierar grupplagen P + Q som P + Q = O (PQ). Louis Joel Mordell Född 1888 (USA) Död 1972 (England) Mordell, brittisk matematiker som bl.a. studerade lösningar till ekvationen y 2 = x 3 + k. Mordell s Sats (1921) för elliptiska kurvor behandlas i texten. Förkurvoravgradstriktstörreän3 uppställde han 1922 Mordell s förmodan, en hypotes att vissa irreducibla rationella polynom med två variabler har högst ett ändligt antal rationella nollställen. Mordell förmodade att om genus för den associerade komplexa kurvan är strikt större än 1 så Þnns högst ett ändligt antal lösningar. 1983 visade Gerd Faltings (f. 1954) att Mordell s förmodan är sann. [Fal] 26

För att addera P och Q söker vi först den tredje skärningspunkten PQ,draren linje genom O och PQ och deþnierar sen den linjens tredje skärningspunkt som P + Q. Figur 6.4. Grupplagen på en tredjegradskurva. Gruppoperationen är kommutativ dvs P + Q = Q + P eftersom PQ = QP. Bilden nedan (Þgur 6.5) visar att O + Q = Q. Vi drar en linje mellan O och Q och får punkten OQ som tredje skärningspunkt. Punkten O + Q är enligt deþnitionen den tredje skärningspunkten för linjen genom O och OQ, men den punkten är naturligtvis Q varför O + Q = Q. Således är O nollelementet. Figur 6.5. Det neutrala elementet O. 27

För att hitta inverser i gruppen dvs negativa punkter, drar vi tangentlinjen till tredjegradskurvan i O och kallar tangentlinjens tredje skärningspunkt för OO. Se Þgur 6.6. Om vi har en punkt P och förenar P med OO så blir den tredje skärningspunkten P (OO) lika med P. Vi kontrollerar detta genom att addera P och P. EnligtdeÞnitionen söker vi först den tredje skärningspunkten för linjen genom P och P dvs OO, sen drar vi en linje genom O och OO och får en tredje skärningspunkt O (OO) vilken enligt deþnitionen är P +( P ). Men O (OO) =O eftersom linjen mellan OO och O är tangent i O och därför skär tredjegradskurvan två gånger i O. Så tredje skärningspunkten är O. Vifår P +( P )=O (OO) =O. Figur 6.6. Den negativa punkten. Om vi har en linje som skär tredjegradskurvan i tre rationella punkter P, Q och R så får vi P +Q+R = OO. Se Þgur 6.7. Vi söker först P +Q som tidigare. För att addera P + Q och R söker vi tredje skärningspunkten (P + Q) R, draren linje genom O och (P + Q) R och får en ny skärningspunkt vilken enligt vår de- Þnition är (P + Q)+R. Meneftersom(P + Q) R = O får vi (P + Q)+R = OO. Speciellt av intresse är de tredjegradskurvor där O = OO dvs tangenten i O skär kurvan tre gånger i samma punkt O. Sådana punkter kallar vi böjar (eng. flexes) på tredjegradskurvan. En sak återstår att kontrollera för att visa att vi har en grupp - gruppoperationen måste vara associativ.vi återkommer till associativiteten i avsnitt 7. 28

Figur 6.7. P+Q+R=OO. De referenser som använts för avsnittet är [Hus],[SiTa],[WW],[Fal]. 29

7 Associativitet En sak återstår att kontrollera för att visa att vi har en grupp - gruppoperationen + måste vara associativ. För att från grunden visa att den associativa lagen gäller behövs kunskaper framförallt inom snitteorin (eng. intersection theory) för plana kurvor. Vi kommer i denna text att utan beskrivning av bakomliggande och nödvändiga teorier acceptera två för beviset grundläggande satser. Satserna presenteras utan bevis och den intresserade läsaren hänvisas exempelvis till [SiTa] och [Hus]. Allmänt gäller att två tredjegradskurvor skär varandra i nio punkter. Detta är inte helt självklart. För att påståendet skall gälla måste vi betrakta det projektiva rummet med extra punkter i oändligheten. Vi måste studera singulära punkter och deþniera multipla skärningspunkter exempelvis där kurvorna tangerar varandra och vi måste tillåta komplexa koordinater. Den första satsen vi accepterar är en av de viktigaste satserna inom teorin för plana kurvor: Sats (Bezout): Två plana kurvor av grad m respektive grad n skär varandra i exakt mn punkter (med hänsyn tagen till eventuell multiplicitet i varje skärningspunkt), annars har de en gemensam delkurva. Denna sats ger att två tredjegradskurvor skär varandra i nio punkter. Étienne Bézout Född 1730 (Frankrike) Död 1783 (Frankrike) Bézout, fransk matematiker, känd bl.a. för sina matematiska kursböcker för studenter. Bézout gjorde även ett betydelsefullt arbete inom användningen av determinanter för ekvationslösning där han generaliserade Cramer s regel (Cramer, 1704-1752, Schweiz). Bezout gav också det första tillfredsställande beviset av ett resultat av Maclaurin (1698-1746, Skottland) beträffande skärningen av två algebraiska kurvor (Jfr satsen ovan). Bezout s algebraiska forskning publicerades 1779. 30

I den andra satsen som vi accepterar betraktar vi de familjer av tredjegradskurvor som går genom vissa bestämda punkter i P 2 (k): Sats Låt C 1 och C 2 vara två tredjegradskurvor som skär varandra i exakt nio punkter i P 2 (k) där alla skärningspunkter är deþnierade över en oändlig kropp k. OmC är en plan tredjegradskurva som går genom åtta av dessa skärningspunkter då går C också genom den nionde och är på formen C = a 1 C 1 + a 2 C 2 för ett lämpligt val av [a 1,a 2 ] P 1 (k). För att deþniera en tredjegradskurva behöver vi värden på tio koefficienter. De tio koefficienterna ger en punkt i ett 9-dimensionellt projektivt rum (Jfr de tre koefficienterna för en linje som ger en punkt i ett 2-dimensionellt rum). Den totala mängden av möjliga tredjegradskurvor kan därför sägas vara 9-dimensionell. Om tredjegradskurvan skall gå genom en viss given punkt så innebär detta att ett linjärt villkor satts på koefficienterna. Ekvationen måste uppfylla en relation vilket ger oss frihet i endast åtta dimensioner. Mängden av tredjegradskurvor som tvingas gå genom en given punkt bildar därför en 8-dimensionell kurvfamilj. Varje ytterligare punkt som kurvan måste gå genom medför ett nytt linjärt villkor på koefficienterna. Om tredjegradskurvan tvingas gå genom åtta punkter så måste ekvationen uppfylla åtta relationer vilket ger oss frihet i endast 1 dimension. Mängden av tredjegradskurvor som tvingas gå genom åtta givna punkter bildar således en 1-dimensionell kurvfamilj. Vi låter f 1 (w, x, y) =0och f 2 (w, x, y) =0vara tredjegradsekvationerna för C 1 respektive C 2. Vi kan då hitta tredjegradskurvor som går genom de åtta punkterna med hjälp av linjära kombinationer a 1 f 1 + a 2 f 2. Eftersom alla tredjegradskurvor som går genom de åtta punkterna bildar en 1-dimensionell familj och mängden av tredjegradskurvor a 1 f 1 + a 2 f 2 är en 1-dimensionell familj får vi att tredjegradskurvan C har ekvationen a 1 f 1 + a 2 f 2 =0för ett lämpligt val av a 1 och a 2. Den nionde punkten är på både C 1 och C 2. Detta ger att både f 1 och f 2 är lika med noll i denna punkt och således även a 1 f 1 +a 2 f 2.Omnua 1 f 1 +a 2 f 2 =0 i denna nionde punkt innebär detta att C innehåller denna punkt. Med hjälp av de två satserna ovan kan vi bevisa den associativa lagen. Låt C vara en icke-singulär tredjegradskurva deþnierad över en kropp k och låt O C (k) vara vårt neutrala element där C (k) består av de punkter på C som tillhör k. LåtP, Q och R vara ytterligare tre punkter i C (k). SeÞgur 7.1. Vi vill visa att (P + Q) +R = P +(Q + R). Den tredje skärningspunkten somvifårnärvidrarenlinjegenom(p + Q) R och O är (P + Q) +R. På samma sätt får vi att linjen genom P (Q + R) och O skär kurvan en tredje gång i P +(Q + R). Om (P + Q) R = P (Q + R) så måste därför även gälla att 31