OBS: Kontrollera att du har fått rätt tentamen! Denna tentamen gäller i första hand för Reglerteknik 4.5hp för X3. På sista sidan av tentamen finns ett försättsblad, som ska fyllas i och lämnas in tillsammans med dina lösningar. Ange där hur många (kurs-) poäng du tenterar för. TENTAMEN Reglerteknik 4.5hp X3 Tid: Tisdag april 8, kl 9. 4. Plats: Gimogatan 4, sal Ansvarig lärare: Hans Norlander, tel 8-4737. svarar på frågor ungefär kl.3 och kl.3. Hans kommer och Tillåtna hjälpmedel: Kursboken (Glad-Ljung), miniräknare, Laplace-tabell och matematisk formelsamling. Preliminära betygsgränser: 3:[3, 33[, 4:[33, 43[, 5:[43, 5 = maxpoäng] Uppgift 8 är istället för inlämningsuppgifterna. OBS: Endast en uppgift per ark. Skriv namn på varje ark. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade (om inget annat anges). Avläsningar ur diagram behöver inte vara exakta. LYCKA TILL!
Uppgift I figuren nedan visas resultatet från ett stegsvarsexperiment på ett stabilt system ( ) = ( )Í( )..8.6 y(t).4. u(t).8.6.4. 4 6 8 4 6 8 tid (sekunder) (a) Anta att systemet har överföringsfunktionen ( ) = stegsvaret ovan för att bestämma värdena på à och. Ã. Använd + (3p) (b) Man återkopplar systemet med styrlagen Ù(Ø) = (Ý Ö (Ø) Ý(Ø)). Det återkopplade systemet blir då insignal-utsignalstabilt. Anta att man gör ett stegsvarsexperiment på det slutna systemet man låter Ý Ö (Ø) vara ett enhetssteg. Vad blir då slutvärdet på utsignalen, lim Ý(Ø)? Utgå ifrån figuren ؽ ovan, utan att göra antagandet om ( ) i (a)! (p) Uppgift En sjö med arean Ë utgör vattenmagasinet till ett vattenkraftverk. Vattenståndet förändras proportionellt mot nettoflödet in i sjön, Õ Ò +Õ Ò Õ ÙØ, där inflödena beror av nederbörden Û i området. Õ Ò är nederbörden som faller direkt över sjön, medan Õ Ò är avrinningen till sjön från omgivningarna. Utflödet, Õ ÙØ, passerar genom kraftverket och genererar elektrisk effekt, Ù. Följande samband gäller: Ë (Ø) = Õ Ò (Ø) + Õ Ò (Ø) Õ ÙØ (Ø) Õ Ò (Ø) = ËÛ(Ø) É Ò ( ) = + Ï ( ) Õ ÙØ(Ø) = Ù(Ø) En tillståndsbeskrivning för vattenkraftverket kan skrivas på formen Ü(Ø) = Ü(Ø) + Ù Ù(Ø) + Û Û(Ø) Ý(Ø) = (Ø) = Ü(Ø) Ställ upp en sådan tillståndsbeskrivning (d.v.s. ange, Ù, Û och ) med tillståndsvariablerna Ü (Ø) = (Ø) och Ü (Ø) = Õ Ò (Ø). (5p)
Uppgift 3 För en viss industrirobot är överföringsfunktionen från insignal (= pålagt moment) till utsignal (= robotarmens vinkelutslag), kring en viss axel 549( + 4) ( ) = ( + 65)( + 576 + 4 4 ) Nedan visas Bodediagrammet för ( ). För att kunna styra robotarmen 9 G(iω) 3 arg G(iω) ( o ) 5 8 4 ω (rad/s) 7 ω (rad/s) återkopplar man från reglerfelet. (a) Vilken är den högsta möjliga skärfrekvensen man kan få om man använder proportionell återkoppling och vill ha en fasmarginal på minst 65 Æ? Ange också hur stor förstärkning man måste ha för att få denna högsta möjliga skärfrekvens. (p) Man har följande specifikationer för styrningen kring den aktuella robotaxeln:. skärfrekvensen ska vara = 3 rad/s. fasmarginalen ska vara minst 65 Æ 3. när referenssignalen är en ramp ska det stationära reglerfelet vara högst % av rampens lutning (d.v.s. man vill att felkoefficienten ) För att uppfylla specifikationerna räknar man med att behöva ett lead- och ett lagfilter. (b) Konstruera ett leadfilter sådant att specifikationerna och är uppfyllda, även när man lägger till ett lagfilter. (3p) (c) Konstruera ett lagfilter (som kompletterar leadfiltret i (b)) sådant att även specifikation 3 uppfylls. (p)
Uppgift 4 Man låter insignalen till ett stabilt linjärt system vara en sinussignal, sin Ø, och man registrerar en utsignal hos systemet (när alla transienter dött ut). I figuren nedan är insignalen streckad och markerad med, medan utsignalen är heldragen och är någon av kurvorna A, B eller C..8.6.4.. C.4 B.6 A.8 3 4 5 6 7 8 9 tid (sekunder) (a) Anta att systemet är ( ) = à Í( ), med + à = 3 och = 6Ô 3, och att Ù(Ø) = sin Ø (markerad med ). Vilken av kurvorna A, B eller C är då utsignalen Ý(Ø)? Motivering krävs! (3p) (b) Anta nu istället att systemet är ett återkopplat system, med styrlagen Í( ) = ( )( Ö ( ) ( )), och att fasmarginalen är ³ Ñ = 6 Æ. Anta vidare att Ý Ö (Ø) = sin Ø (markerad med ), där är skärfrekvensen. Vilken av kurvorna A, B eller C är då reglerfelet (Ø) = Ý Ö (Ø) Ý(Ø)? Motivering krävs! (4p) Uppgift 5 Ett system med tillståndsbeskrivningen Ü(Ø) = Ü(Ø) + Ù(Ø) Ý(Ø) = Ü(Ø) styrs med tillståndsåterkoppling med observatör, d.v.s. styrlagen är Ù(Ø) = ĈÜ(Ø) + ÑÝ Ö (Ø), där ˆÜ(Ø) är observatörens skattning av Ü(Ø). (a) Observatörspolerna är valda till 3 3. Bestäm hur observatören ser ut, d.v.s. skriv upp tillståndsbeskrivningen för observatören med numeriska värden. (4p) (b) Ä har valts så att slutna systemets poler blir, och Ñ är vald för att ge statisk förstärkning lika med ett från Ý Ö till Ý. Ange överföringsfunktionen från Ý Ö till Ý för det slutna systemet. (3p) 3
Uppgift 6 System med nollställen i höger halvplan (icke-minfasnollställen) är i regel besvärligare att styra än minimumfassystem. Betrakta det återkopplade systemet med kretsförstärkningen Ó ( ) = + ( + + ) Kretsförstärkningen har ett nollställe i (i vänster halvplan för och i höger halvplan för ). (a) Visa att det slutna systemet är stabilt för alla (d.v.s. när nollstället ligger i vänster halvplan). Ange också för vilka som det slutna systemet är stabilt. (3p) (b) För ett visst hamnar det slutna systemet precis på gränsen mellan stabilitet och instabilitet, och då uppstår det en självsvängning i återkopplingskretsen. Bestäm vinkelfrekvensen för självsvängningen. (3p) Uppgift 7 Två system är återkopplade från reglerfelet, = Ý Ö Ý. Båda systemen har en kretsförstärkning av formen, där ( +) 4. Ange för vart och ett av följande påståenden ifall det är sant eller falskt. (a) Om båda systemen har samma fasmarginal, så har systemet med högst skärfrekvens kortast stigtid. (b) Om båda systemen har samma skärfrekvens så har systemet med störst fasmarginal också störst översläng. (c) Om båda systemen har samma skärfrekvens har systemet med störst fasmarginal längst stigtid. (d) Om båda systemen har samma fasmarginal har systemet med högst skärfrekvens också högst bandbredd. (e) Det av systemen som har den största fasmarginalen har den högsta resonanstoppen. (f) Känslighetsfunktionerna för systemen har ett nollställe i origo. Varje rätt svar ger + poäng och varje felaktigt svar ger - poäng (och utelämnat svar ger noll poäng). Totalt ger dock uppgiften minst poäng. Ingen motivering behövs enbart svaren sant och falskt kommer att beaktas. (6p) 4
Uppgift 8 Denna uppgift är istället för inlämningsuppgifterna. Dubbeltanksystemet med tillståndsbeskrivningen Ü(Ø) = Ì Ã Ü(Ø) + Ù(Ø) Ì Ì Ý(Ø) = Ü(Ø) styrs med en PI-regulator. Styrlagen är då Ø Ù(Ø) = Ã È (Ø) + Ã Á () där (Ø) = Ý Ö (Ø) Ý(Ø) är reglerfelet. Rita en rotort för det slutna systemets poler med avseende på Ã Á då Ã = Ì = Ã È =. Redogör tydligt för (i) start- och ändpunkter, (ii) asymptoter samt (iii) vilka delar av reella axeln som tillhör rotorten. Bestäm också för vilka värden på Ã Á som det slutna systemet är stabilt (eventuella skärningspunkter med imaginära axeln behöver inte bestämmas). (7p) 5
Lösningar till tentamen i Reglerteknik 4.5hp 8-4-. (a) Med Ù(Ø) = enhetssteg blir Í( ) = =µ ( ) = à ( + ) µ Ý(Ø) = Ã Ø Av detta (alt. av slutvärdesteoremet) följer att lim Ý(Ø) = Ã. Från figuren ؽ fås att Ý(Ø) svänger in mot 9. Alltså är à = 9. Vidare har vi att Ý() = Ã( ), vilket med à = 9 ger Ý() =. Från figuren fås att Ý(Ø) = för Ø = 4 sekunder. Alltså är = 4. (b) Det slutna systemet blir ( ) = ( ) +( ) Ö( ). Slutvärdesteoremet ger då att lim ؽ Ý(Ø) = lim ( ) = lim ( ) + ( ) = () + () (Eftersom slutna systemet är stabilt existerar gränsvärdet.) Från figuren fås att systemet har statisk förstärkning () = 9, vilket ger lim Ý(Ø) = 9 = ؽ 95.. Vi har att Ë Ü = ËÛ + Ü Ù, och ( ) = + Ï ( ) ( ) = ( ) + Ï ( ) Ü = Ü + Û Tillsammans med Ý = = Ü ger detta Ü = Ë Ý = Ü Ü + Ë Ù + Û 3. (a) Med P-reglering blir kretsförstärkningen Ó ( ) = Ã( ), och därför blir Ó () = Ã() och arg Ó () = arg (). Faskurvan för Ó blir alltså samma som för med P-reglering. Om vi vill ha ³ Ñ 65 Æ måste arg Ó ( ) = arg ( ) 65 Æ 8 Æ = 5 Æ, vilket enligt Bodediagrammet gäller för 5 rad/s. Den högsta möjliga skärfrekvensen är alltså 5 rad/s. Från Bodediagrammet får vi också att (5) = 3, så för att skärfrekvensen ska bli 5 rad/s måste förstärkningen vara à = 33. 3 (b) Vi vill ha = 3 rad/s och ³ Ñ 65 Æ. Bodediagrammet =µ ( ) = 7 och arg ( ) = Æ. Leadfiltret behöver alltså skjuta till 65 Æ ( Æ ( 8 Æ ))+6 Æ = Æ extra (för att även kompensera för ett lagfilter). Diagrammet i fig 5.3 =µ = 65 (:a upplagans fig 5.9 ger Æ = 5). Välj så att leadfiltret ger maxfas vid =µ = ( = Ô Æ = 3 Ô = 3 Ô 43 65 Ô 5 45). Välj förstärkningen à så att = 3 rad/s blir
skärfrekvens: = Ó ( ) = à Р( ) Ð ( ) ( ) = Ô Ã ( ) Ô Ô 65 µ à = ( ) = 7 99 (med Æ = 5, à = 7 Ô 5 (c) Rampfelet blir à Р( ) = à lim (Ø) = lim ؽ = 3). Leadfiltret blir alltså + + = 99 43 + 65 43 + + Ó ( ) = lim 549 4 () 84 () 65 4 4 + ( ) ( ) där vi utnyttjade ( ) som är given i uppgiften. Vi vill att rampfelet ska vara mindre än =µ () 84 = 59. Vi har () = à Ð() Ð () = à =µ à = 99 55. Välj t.ex. 59 59 = 5. Tumregel =µ Á = = 3 = 33. Lagfiltret blir Ð ( ) = Á + Á + = 33 + 33 + 5 [Exemplet är hämtat från den fjärde upplagan av Glad/Ljung, avsnitt.9.] 4. (a) Sinus in sinus ut ger att utsignalen blir Ý(Ø) = () sin(ø+), där = arg (). Med ( ) = à blir + () = Ã Ô + () och arg () = arctan Vi har à = 5 och = 6Ô 3, men behöver ta reda på. Från figuren fås att periodtiden är Ì = sekunder, vilket ger = = rad/s. Vi får Ì 6 = Ô 3, och därmed blir () = 5 Ô + 3 = 75 och arg () = arctan Ô 3 = 3 rad (= 6Æ ) Alltså blir Ý(Ø) = 75 sin( 6 Ø ) = 75 sin (Ø ), d.v.s. en sinuskurva 3 6 med amplituden 75 som ligger sekunder efter Ù(Ø), vilket stämmer in på kurva C. (b) Även här gäller sinus in sinus ut. Överföringsfunktionen från Ý Ö till reglerfelet är känslighetsfunktionen, Ë( ) = + Ó( ). Vid skärfrekvensen gäller Ë( ) = + Ó ( ) = sin ³Ñ
(se t.ex. sid. 3 i Glad/Ljung) vilket med ³ Ñ = 6 Æ ger Ë( ) =. Reglerfelets sinuskurva måste alltså ha amplituden ett, vilket bara stämmer in på kurva A. 5. Observerbar kanonisk form =µ ( ) = + + + Í( ). (a) Observatör: ˆÜ = ˆÜ + Ù + Ã(Ý ˆÜ) = = = à = Observatörspolerna ges av = det( Á + Ã) = det + + = + ( + + ) + + Obervatörspolerna 3 3 µ karakteristiskt polynom + 6 + 8 =µ = 4 och = 6. Observatören är alltså 4 ˆÜ = ˆÜ + Ù + Ý ˆÜ 6 (b) Slutna systemets poler =µ nämnarpolynomet + 4 + 8. Täljarpolynomet påverkas ej bortsett från förstärkningen Ñ =µ 4( + ) ( ) = Ö ( ) + ßÞ 4 + 8 Ð = ( ) 6. (a) Det slutna systemets poler ges av = + Ó ( ), vilket här ger den karakteristiska ekvationen = ( + + ) + = 3 + + + Stabiliteten kan undersökas med Rouths algoritm Rouths tablå blir 5 För stabilitet måste samtliga koefficienter i vänstraste kolumnen vara positiva, vilket här är uppfyllt om 5. Detta är ju uppfyllt för alla, samt för. 3 (b) Självsvängning med vinkelfrekvensen µ slutna systemet har poler på imaginära axeln, i. Från (a) vet vi att gränsfallet inträffar för =, 3 3
men även om vi inte vet det kan vi undersöka gränsfallet genom att ansätta =, och stoppa in i den karakteristiska ekvationen: = () 3 + () + () + = + För att denna ekvation ska vara uppfylld måste både realdel och imaginärdel vara noll. Från realdelen får vi då att = Ô 5. (Stoppar vi in detta i uttrycket för imaginärdelen ser att gränsfallet svarar mot =, men det 3 vet vi ju från (a) redan. Notera dock att detta inte ger någon information om slutna systemet är stabilt för eller för 3.) Självsvängningens 3 vinkelfrekvens är alltså Ô 5 7 rad/s. 7. Systemen är precis av typen i exempel 5. se diagrammen i fig. 5. och 5.. (a) Sant (fig. 5. µ Ì Ö = konstant). (b) Falskt (fig. 5. µ det är tvärtom (och beror ej av )). (c) Sant, (större ³ Ñ µ större µ större Ì Ö ). (d) Sant, (fig. 5.). (e) Falskt, (fig. 5.). (f) Sant, ( Ó ( ) har pol i origo µ Ë() = ). 8. (a) Systemets och PI-regulatorns överföringsfunktioner blir ( ) = ( Á ) = och det slutna systemet blir då Ã Ì ( + Ì ) È Á( ) = Ã È + à Á = Ã È + à Á ( ) = Ã È Á( )( ) + È Á ( )( ) = Ì (Ã È + à Á ) ( + Ì ) + Ã Ì (Ã È + à Á ) Med à = Ì = Ã È = blir den karakteristiska ekvationen ( + ) + +à Á ßÞ Ð ßÞÐ =É( ) =È ( ) Startpunkter:,, Ò = 3 Inga ändpunkter, Ñ = Ò Ñ = 3 stycken asymptoter i riktningarna, 3 och 5 3 Asymptoterna utgår från punkten +( +)+( ) = 3 3 Enligt uddaregeln hör hela negativa reella axeln till rotorten. Rotorten ser ut som i figuren nedan. Som framgår av rotorten går två grenar 4
.5 Imaginära axeln.5.5 Asymptoter.5 3.5.5.5.5 Reella axeln ut i höger halvplan. Använd Rouths algoritm för att ta reda på för vilka värden på à Á som slutna systemet är stabilt. Rouths tablå blir à Á à Á à Á För stabilitet krävs att alla element i den vänstra kolumnen är strikt positiva. Alltså blir slutna systemet stabilt för à Á 4. (Slutna systemet blir också stabilt för à Á =, vilket svarar mot P-reglering.) 5