Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (8 uppgifter) Tentamensdatum 2012-01-13 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Ove Edlund, Inge Söderkvist Jourhavande lärare: Adam Jonsson Tel: 0920-491948 Tillåtna hjälpmedel: Räknedosa, Kursboken Vännman: Matematisk statistik. I kursboken får anteckningar och post-it lappar finnas, men inte lösta exempel. Kompendium i regressionsanalys Formelblad Tabeller Tentamen består av två delar. På den första delen, som är obligatorisk för att kunna bli godkänd, ska enbart svar lämnas in, men lösningar får bifogas. Observera dock att dessa kommer ej att bedömas utan enbart användas vid gränsfall för att avgöra om någon uppgift kan rättas upp på grund av slarvfel. På del 1 ges inga delpoäng på uppgifterna. Svaren för del 1 ska fyllas i på det blad som bifogas tentamen. Detta blad måste lämnas in. Lägg detta blad först bland lösningarna. Om inte det ifyllda svarsbladet har lämnats in så bedöms tentamen som underkänd. För godkänt krävs minst 17 poäng på del 1. Med 2 extrapoäng från laborationerna och KGB så räcker det alltså med 15 poäng av de 25 möjliga för godkänt. På den andra delen, som gäller tentamen för överbetyg, ska fullständiga lösningar lämnas in. Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt och motivera resonemangen. Vid bedömningen av lösningarna läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. För betyg 4 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 13 poäng från den andra delen för överbetyg. För betyg 5 krävs godkänt på den första obligatoriska delen samt minst 23 poäng från den andra delen för överbetyg. OBS! Det går inte att kompensera underkänt på den första korta delen av tentamen med poäng på den andra delen. Ange på tentamensomslaget om du har lämnat in lösningar på del 2 genom att kryssa för de sista tre uppgifterna. Om du plussar för överbetyg så skriv detta på tentamensomslaget. LYCKA TILL! 1 (8)
1. I textilfabriken kontrollerar de två kontrollanterna Anders och Bertil alla plagg efter att de sytts ihop. De ska båda två granska alla plagg, och de ska genomföra granskningarna oberoende av varandra. Anta att en viss typ av plagg är defekt, och att sannolikheten att Anders upptäcker detta är 89 %. Motsvarande sannolikhet för Bertil är 94%. (a) Beräkna sannolikheten att exakt en av dom upptäcker defekten. (b) Givet att minst en av dom uppäcker defekten, hur stor är sannolikheten att Bertil upptäcker defekten? 2. Den kontinuerliga slumpvariablen ξ har frekvensfunktionen { µ om 8 x 12, f(x) = 0 annars, där µ är en konstant. Beräkna sannolikheten P (9.5 ξ 10.5). Kommentar: µ skall inte ingå som en okänd konstant i svaret. 3. Antag att du har ett stickprov ξ 1, ξ 2,..., ξ 20 av storlek 20 från en kontinuerlig fördelning. Den övre kvartilen i fördelningen, som betecknas q 3, definieras via P (ξ < q 3 ) = 0.75. (a) Beräkna sannolikheten att alla de 20 variablerna är mindre än q 3. (b) Beräkna sannolikheten att minst 12 av de 20 variablerna är mindre än q 3. (1p) 4. På en gata finns två affärer, affär A och affär B. Antalet kunder som besöker de två affärerna en timme kan beskrivas med Poissonfördelningar. Det genomsnittliga antalet kunder som besöker de två affärerna är 1.3 respektive 1.5. Affär A säljer möbler och affär B exotiska kryddor, och vi antar därför att antalet kunder som besöker de två affärerna är oberoende. (a) Beräkna sannolikheten att de två affärerna tillsammans tar emot högst 1 kund under en timme. (b) Beräkna variansen för det totala antalet kunder som kommer in i de två affärerna under en timme. 5. Den sträcka (enhet: mil) som en bilist kan fördas på en full tank bensin kan betraktas som en normalfördelad slumpvariabel med väntevärde 60 och standardavvikelse 5. (a) Bilisten vill bestämma den sträcka S som hon med 97 % sannolikhet (minst) kan färdas på en full tank. Beräkna S. (1p) (b) Beräkna sannolikheten att bilisten på två fulla tankar kan färdas 130 (minst) mil. 2 (8)
6. En läkare vill veta om svenska män har större överarmsmått på höger sida eller om måttet på höger och vänster sida i genomsnitt är detsamma. Hon hittar en undersökning av 10 män som genomförts av en kollega. Kollegan har dock inte noterat de faktiska mätvärdena, utan endast angivit (med +) om det högra överarmsmåttet var större eller (med ) om överarmsmåttet var större på vänster sida. Resultatet återges nedan: Man nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Mätning - - + - - - - - - - Läkaren tycker att det är rimligt att använda antalet + tecken som testvariabel för att testa H 0 : Det finns ingen genomsnittlig skillnad H 1 : Det finns genomsnittliga skillnader och förkasta H 0 om antalet + tecken antingen är större än 7 eller mindre än 3. Hon förkastar därför hypotesen att måtten i genomsnitt är lika på höger och vänster sida. Vilken signifikansnivå har det test som läkaren tillämpat? 7. Antag att du har ett stickprov av storlek 16 från en normalfördelning med väntevärde µ och standardavvikelse 4.6. Du ska testa hypotesen H 0 : µ = µ 0 = 14.5 mot H 1 : µ < 14.5. Du använder en beslutsregel som innebär att det ensidiga 95 %-iga konfidensintervallet (, x + 1.891635] beräknas, varpå H 0 förkastas om intervallet inte täcker µ 0 = 14.5. Bestäm testets styrka då µ = 12. 8. Denna uppgift behandlar borrning av lodräta hål i berggrunden. En undersökning har gjorts av hur tiden det tar att borra 5 feet (TIME, minuter) varierar med hur djupt borren befinner sig (DEPTH, feet). Mätningen har gjorts med två typer av borrar (DRILL) som är kodade med en dummyvariabel som är 0 eller 1. En regressionsanalys för 34 observationer redovisas i tabell 1. (a) Bestäm justerade förklaringsgraden R 2 a. (b) Kan man på 5% signifikansnivå påstå att djupets effekt på borrtiden beror av borrtypen? Svara med (Ja/Nej) samt det P-värde du använde för att dra din slutsats. (c) Bestäm ett 95 % konfidensintervall för hur mycket tiden (TIME) ändras då djupet (DEPTH) ökas med en enhet och borrtyp 0 används. Svara med den övre gränsen. (1p) 3 (8)
Tabell 1: Regression Analysis: TIME versus DEPTH; DRILL; DEPTH*DRIL The regression equation is TIME = 4,79 + 0,0144 DEPTH + 1,75 DRILL - 0,00790 DEPTH*DRILL Predictor Coef SE Coef T P Constant 4,7896 0,5771 8,30 0,000 DEPTH 0,014388 0,002466 5,83 0,000 DRILL 1,7517 0,8161 2,15 0,040 DEPTH*DRILL -0,007896 0,003487-2,26 0,031 S = 1,24037 R-Sq = 57,8% R-Sq(adj) =? Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression? 63,300 21,100 13,71 0,000 Residual Error? 46,155 1,539 Total? 109,455 Slut på del 1. Glöm inte att bifoga svarsbladet med tentan! 4 (8)
Tabell för svar till del 1 Riv ut och lägg svarsbladet först i tentamen Namn:................................................................... Personnummer:.......................................................... Fråga Svar Poäng 1 a Sannolikhet (procent, två decimaler) 15.68 2 b Sannolikhet (procent, två decimaler) 94.62 2 2 Sannolikhet (procent, två decimaler) 25.00 2 3 a Sannolikhet (procent, två decimaler) 0.32 (procent) 1 b Sannolikhet (procent, två decimaler) 95.91 2 4 a Sannolikhet (procent, två decimaler) 23.11 2 b Varians (två decimaler) 2.8 2 5 a S (mil, tre decimaler) 50.6 1 b Sannolikhet (procent, två decimaler) 7.93 (1-Φ(1.41)) 2 6 Signifikansnivå (procent, två decimaler) 10.94 2 7 Styrka (procent, tre decimaler) 70.16 exakt, 2 Φ(0.53) = 70.19 8 a Just. förklaringsgrad Ra 2 (%, fyra decimaler) 53.6152 1 b P-värde (tre decimaler) samt JA eller NEJ 0.031, JA 2 c Övre gräns (tre decimaler) 0.019, 0.01857280 exakt 2 (med f = 30 i t- fördelningen) Totalt antal poäng 25 5 (8)
6 (8)
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 2 2012-01-13 Vid bedömningen av lösningarna av uppgifterna i del 2 läggs stor vikt vid hur lösningarna är motiverade och redovisade. Tänk på att noga redovisa införda beteckningar och eventuella antaganden. 9. Satserna 6B och 6D är specialfall av Sats 6C. Dvs varken Sats 6B eller Sats 6D ger någon ytterligare information då man vet att resultatet i Sats 6C gäller. (a) Visa att (dvs förklara tydligt varför) Sats 6B följer av Sats 6C. (b) Visa att Sats 6D följer av Sats 6C. (3p) (3p) Sats 6B följer däremot inte av Sats 5B. (c) Vad för nytt har tillkommit i Sats 6B som inte finns i Sats 5B? Lösningsskiss: (a) Om vi sätter c 1 = c 2 = 1 respektive c 1 = 1, c 2 = 1 i Sats 6C så får vi Sats 6B. (b) Om vi sätter c i = 1/n, i = 1,..., n, i Sats 6C så får vi Sats 6D. (c) Det som är nytt är att n j=1 ξ j har en normalfördelning (om variablerna är oberoende och normalfördelade). 10. Du arbetar på ett företag som tillverkar elektriska komponenter. Enheternas vikter kan betraktas som observationer från en kontinuerlig fördelning. Man vet dock ingen ýtterligare information om fördelningen, förutom att den är symmetrisk. Du får i uppgift att med hjälp av 16 observationer (se nedan) konstruera ett konfidensintervall för den genomsnittliga vikten, dvs fördelningens väntevärde. Obs. nr 1 2 3 4 5 6 7 8 Vikt 5.31 5.27 12.84 5.49 2.09 5.58 5.09 10.21 Obs. nr 9 10 11 12 13 14 15 16 Vikt 6.12 3.86 3.88 2.41 15.09 8.52 5.93 4.79 Beräkna ett konfidensintervall för väntevärdet som har en konfidensgrad som ligger så nära 95 procent som möjligt. Lösningsskiss: Att fördelningen är symmetrisk betyder att väntevärdet är lika med medianen. Eftersom fördelning är kontinuerlig kan vi använda metoden med teckenintervall. Låt I k = [x(1 + k), x(16 k)], k = 0, 1,..., 7, där x(1),..., x(16) betecknar det ordnade stickprovet. Konfidensgraderna för intervallen I 0, I 1, I 2, I 3, I 4,... är 0.9999695, 0.9994812, 0.995819, 0.9787292, 0.9231873,.... Så I 4 = [3.88, 8.52] passar bäst. Kommentar: På tentan stod det... som har en konfidensgrad som ligger så nära 5 procent som möjligt. Om man räknat på det så är det OK. (12p) 11. En person utför slumpvandring på den 67 breddgraden. Det går till så att personen varje sekund kastar en enkrona och tar ett steg österut om det blir klave och ett steg västerut om det blir krona. Antag att personen tar steg som är 1 m långa. Beräkna sannolikheten att personen 7 (8)
Tentamen i Matematisk statistik, S0001M, del 2 2012-01-13 efter en timme befinner sig minst 100 meter från sin ursprungsposition. Rimliga och välmotiverade approximationer godtas. Lösningsskiss: Låt ξ vara antalet steg i östlig riktning efter 3600 steg (en timme). Personens position ζ efter en timme (med 67 breddgraden som x-axel) är antalet steg i östlig riktning minus antalet steg i västlig riktning. Alltså ζ = ξ (3600 ξ) = 2ξ 3600. Att ζ 100 är samma sak som att ξ 1850 eller ξ 1750. Vi har ξ Bin(3600, 0.5) N(1800, 30) enligt CGS. Det ger P (ξ 1850 eller ξ 1750) 0.9. (10p) 8 (8)