Aineenopettajankoulutuksen vaihtoehdot ja tutkimus Uppfattningar hos lärare av ekvationsbegreppet Iiris Attorps Högskolan i Gävle ias@hig.se Syftet med min studie är att beskriva hur matematiklärare uppfattar begreppet ekvation. Min målsättning är också att undersöka lärarnas erfarenheter av ekvationsinlärning från grundskolan till universitetsnivån. Tio lärare från grundskolans högstadium har deltagit i undersökningen. Fem är nyutexaminerade lärare med mindre än ett års yrkeserfarenhet medan fem har mellan 10 och 32 års yrkeserfarenhet. Data i undersökningen samlades in genom enkäter och intervjuer. Undersökningsresultatet analyserades genom fenomenografisk metod. Resultatet pekar på att lärarnas uppfattningar av ekvationsbegreppet avviker från den formella begreppsdefinitionen. De känner osäkerhet inför matematiska symboler, bokstavsuttryck och lösningsprocedurer. Deras skolerfarenheter visar att de har använt största delen av tiden till att utveckla algoritmiska färdigheter i stället för matematisk förståelse. Nyckelord: Ekvation, Begreppsdefinition, Begreppsbild, Begreppsinlärning 1
Uppfattningar hos lärare av ekvationsbegreppet 1 Inledning Utvecklingen av en persons matematikkunskaper är en lång process som börjar före skolstarten. Processen bör ses som en helhet. Den börjar med det lilla barnets första upplevelser av antalsbegrepp och fortsätter långt efter att man läst den sista matematikkursen vid universitet. Ett av de viktigaste syftena med matematikundervisning från förskola till universitet är att eleverna/studenterna lär sig förstå och analysera matematiska begrepp och lösnings-procedurer. Matematikundervisningen och prestationerna i matematik har emellertid kritiserats både i Sverige och utomlands under de senaste årtiondena. Allmänt har man konstaterat att skolmatematiken fokuserar på att utveckla räknefärdigheter på bekostnad av den matematiska förståelsen (Magne 1990, Haapasalo 1992, 1993, Kupari 1996, Soro&Pehkonen 1998). Flera grundläggande begrepp inom aritmetik, algebra och geometri lärs fortfarande in ytligt utan någon större förståelse (Kupari 1996, Soro&Pehkonen 1998, Silfverberg 1999). Lärarna använder mera tid för att utveckla elevers algoritmiska färdigheter i stället för deras begreppskunskap (Porter 1989). Förståelseinriktad matematikundervisning är emellertid svår (Hiebert 1986) och förutsätter att lärarna har erforderliga matematiska och pedagogiska kunskaper och färdigheter (Shulman 1986). I denna artikel behandlar jag frågor om matematisk kunskap samt den dualistiska naturen av matematiska begrepp och en teori om begreppsdefinition och begreppsbild. Den teoretiska referensramen illustrerar jag med en empirisk intervjustudie, som omfattar tio matematiklärares minnesbilder av begreppsinlärning och deras uppfattningar om ekvationsbegreppet? I studien söker jag svar på följande frågeställningar: 1) Hur uppfattar matematiklärare ekvationsbegreppet? 2) Vilka erfarenheter och uppfattningar om inlärning av ekvationsbegreppet har lärarna från skoltiden? 2
Iiris Attorps 2 Teoretisk bakgrund 2.1 Matematisk kunskap Det är vanligt att inom matematisk kunskap skilja mellan begreppskunskap och kunskap om procedurer. Begreppskunskapen grundar sig på förståelsen av matematiska begrepp, definitioner och faktakunskap. Hiebert och Lefevre (1986) definierar begreppskunskapen (conceptual knowledge) som ett nätverk av relationer. Begreppskunskapen enligt dem består inte av lösa kunskapselement utan elementen är sammankopplade och bildar ett schema. Detta består av knutar (nodes) av begreppskunskap som binds samman av vägar (links) till en helhet, en s. k. begreppskarta (Novak&Gowin 1984). Kunskapsstrukturens schema påminner om ett nätverk och därför används ofta nätmodeller för att beskriva schemats utseende. Ökning av begreppskunskap sker genom att nya kunskapselement knyts ihop med den gamla kunskapsstrukturen. Begreppen förekommer sällan enskilt utan är ihopkopplade med varandra (Haapasalo 1994). Kunskapen om procedurer (procedural knowledge), kan läras in utantill och är mekanisk till sin natur. Procedurkunskapen består enligt Hiebert och Lefevre (1986) av två komponenter. I den första komponenten ingår förståelse av symboler vid symbolhantering. Den andra komponenten innehåller förståelse av olika algoritmiska procedurer. Hiebert och Lefevre (1986) betonar att både begreppskunskapen och kunskapen om procedurer är nödvändiga aspekter för att uppnå den matematiska förståelsen. Förståelseinriktad undervisning bör därför innehålla båda aspekterna av den matematiska kunskapen (Wearne & Hiebert 1988). För att lärare i matematik skall vara framgångsrika i sin undervisning bör de ha en rik bild av de matematiska begreppen. Härigenom blir begreppen relaterade till nya situationer och aspekter och detta i sin tur bidrar till fördjupad begreppsförståelse (Bergsten m. fl. 1997). 2.2 Den dualistiska naturen av matematiska begrepp Sfard (1991) har analyserat utvecklingen av olika matematiska begrepp och definitioner från både ett historiskt och psykologiskt perspektiv. Sfards studier har visat att abstrakta begrepp såsom ett rationellt tal, en 3
Uppfattningar hos lärare av ekvationsbegreppet funktion o.s.v. har två aspekter: en operationell och en strukturell. Aspekterna ses som dualistiska och kompletterar varandra. Båda är lika viktiga för förståelsen av matematiska begrepp. Enligt Sfard kan den operationella aspekten betraktas som en process och den strukturella aspekten som ett objekt. Uttrycket 20/3 kan representera dels en operation, d.v.s. 20 dividerat med tre, dels ett objekt, d.v.s. det rationella talet tjugo tredjedelar. I det senare fallet är uttrycket färdigbehandlat och måste uppfattas som ett slutet objekt (Collis, 1975). Utgående från den dualistiska naturen av matematiska begrepp har inlärning av matematiska begrepp beskrivits genom en teoretisk modell med tre faser (Sfard 1991, Sfard & Linchevski 1994): Fas 1 Interiorization - igenkännade av matematiska begrepp och utförande av matematiska operationer. Fas 2 Condensation - förståelsen av matematiska begrepp ökar genom att man förstår förbindelsen mellan begreppen. Fas 3 Reification en djupare förståelse av matematiska begrepp. Att se det gamla i ett nytt ljus... a sudden ability to see something familiar in a totally new light (Sfard 1991, 19). Fas 1 och 2 representerar det matematiska begreppets operationella sida. I fas 3 flyttar man över till den strukturella sidan. Begreppet förstås då som ett objekt, en struktur. Genom de tre faserna interiorization, condensation och reification förstås begreppet både operationellt och strukturellt. I matematikinlärning sker en komplicerad växelverkan mellan begreppets operationella och strukturella aspekter. Sfard betonar att there is a deep ontological gap between operational and structural conceptions (Sfard, 1991, 4). Att förstå den strukturella sidan av matematiska begrepp är svårt för de flesta människor eftersom det kräver att man måste passera det svåra ontologiska gapet mellan de två aspekterna. Undersökningar tyder på att eleverna har lättare att ta till sig den operationella aspekten än den strukturella och att förståelsen för den strukturella aspekten växer fram ur förtrogenhet med den operationella (Sfard 1991). 2.3 Begreppsdefinition och begreppsbild Sfard gör skillnad mellan termerna begrepp och begreppsuppfattning. Enligt Sfard the word concept (sometimes replaced by notion ) 4
Iiris Attorps will be mentioned where a mathematical idea is concerned in its official form as a theoretical construct within the formal universe of ideal knowledge (Sfard 1991, 3). Sfard betonar sålunda den matematiska/ formella innebörden som termen begrepp har. Begreppsuppfattning betraktar Sfard som den personliga/privata sidan av termen begrepp the whole cluster of internal representations and associations evoked by the concept the concept`s counterpart in the internal, subjective universe of human knowing will be referred to as conception (Sfard 1991, 3). Uppfattningar kan ses som en del av kunskapsstrukturen (Marton och Svensson 1987, Ponte 1994). Sfards definition av begreppet uppfattning påminner om Talls och Vinners (1981) teori om concept image concept definition (begreppsbild och begreppsdefinition). När vi tänker på ett begrepp skapas en mental bild. Vanligtvis associerar vi inte bilden med en begreppsdefinition även om begreppet är väl definierat. Bilden kallas för begreppsbild concept image Begreppsbilden består av erfarenheter eller uppfattningar som är förbundna med begreppet samt minnesbilder av de uppgifter som använts för att tydliggöra begreppsdefinitionen i samband med undervisning och begreppsinlärning (Tall &Vinner 1981, Vinner 1991). Dessa uppfattningar och erfarenheter från matematikundervisningen har en avgörande roll i vårt matematiska tänkande. De ger oss emellertid en begränsad uppfattning om matematikens innersta väsen (Hatano 1996). När elever/ studenter inte förstår begreppsdefinitioner, har de en benägenhet att lära dem utantill. De bildar från ett begrepp en egen bild, som motsvarar deras egen kunskapsstruktur och som avviker från den formella begreppsdefinitionen (Tall &Vinner 1981, Vinner 1991). Jämfört med vardagsbegrepp är matematiska begrepp väl definierade. Ekvationsbegreppet definieras i en matematisk uppslagsbok på följande sätt (Karush 1984, 69). En matematisk utsaga av formen A = B ; A kallas ekvationens vänstra led och B dess högra led. Om A och B är uttryck som innehåller variabler, kallas ekvationen en identitet om den är sann oberoende av vilket värde man ger variablerna Ofta är det så att ett eller flera värden på variablerna gör ekvationen till en sann utsaga medan andra värden gör den till falsk. Kunskap om begreppsdefinitioner garanterar inte automatiskt förståelse av begreppet fast kunskapen kan vara till hjälp i begrepps- 5
Uppfattningar hos lärare av ekvationsbegreppet bildningen. I samma stund som bilden av ett begrepp är formad blir begreppsdefinitionen onödig och glöms även bort (Vinner 1991). Empiriska studier visar att studenter har benägenhet att tolka en begreppsdefinition operationellt trots att begreppet introducerats strukturellt (Vinner and Dreyfus 1989, Sfard 1987, 1989). Vid lösning av rutinuppgifter lyckas man lösa problemet operationellt. Enbart uppgifter av problemlösningskaraktär uppmuntrar oss att använda begreppsdefinitioner. Linchevskys m.fl. (1992) undersökningar pekar på att inte ens studenter på college och universitet vet vad begreppsdefinitioner betyder. Mariottis (1993) och Mariottis och Fischbeins (1997) undersökningar visar hur svårt det är för studenter att definiera ett begrepp så att den implicita och den explicita betydelsen av ett begrepp inte kolliderar. 3 Metod 3.1 Urval Tio lärare i matematik från grundskolans högstadium har deltagit i min undersökning. Fem av dem var nyutexaminerade med mindre än ett års yrkeserfarenhet och fem var erfarna med 10-32 års yrkeserfarenhet. De nyutexaminerade lärarna har en examen som gör dem behöriga att undervisa årskurserna 4-9 i grundskolan. De erfarna lärarna har ämneslärarexamen som ger dem behörighet att undervisa också på gymnasiet. 3.2 Procedur Data till undersökningen samlades genom intervjuer och frågeformulär. Intervjuerna ägde rum i de skolor där lärarna arbetade och spelades in på band. Lärarna fick under den första intervjun berätta om sina minnesbilder av ekvationsinlärning från grundskolan till universitetsnivån. Med minnesbild i denna undersökning menas de intervjuade lärarnas spontana och verbala uppfattningar om ekvationsinlärning från grundskolan upp till universitetsnivån. (jmf. Kaasila 2000, 7). Efter intervjun fick de i ett frågeformulär studera 18 matematiska uppgifter 6
och besvara frågan: Vilka av följande påståenden uppfattar du som en ekvation? Lärarna hade två alternativ att välja mellan: Ja = J eller Nej = N. De fick också ange på skalan 1 (osäker) till 5 (säker) hur säkra de var i sin uppfattning. Ett svar som t.ex. N5 betyder således att läraren var helt säker på att påståendet inte var en ekvation. Under den andra intervjun utvecklade de sina uppfattningar om ekvationsbegreppet och preciserade sina tankar kring uppgifterna. Varje intervju varade ca två timmar. Intervjucitaten har betecknats på följande sätt: T. ex. (I1, s1) =Intervju 1, sida 1, (U1, I2, s2) = Uppgift 1 i ett frågeformulär, intervju 2, sida 2. 3.3 Analysmetod Iiris Attorps Bandinspelningarna skrevs ut och kategoriserades i uppfattningskategorier enligt den fenomenografiska analysmetoden (Marton och Booth 1997). Uppfattning är det centrala begreppet inom fenomenografi. I litteraturen hittar man olika definitioner av begreppet. Marton och Svensson (1987, 20) har beskrivit begreppet på följande sätt. Uppfattningar står ofta för det som är underförstått, det som inte behöver sägas, eftersom det aldrig varit föremål för reflektion. De utgör den referensram inom vilken vi samlat våra kunskaper eller den grund på vilken vi bygger våra resonemang. Därmed kan man säga att uppfattningsbegreppet har en nära relation till kunskapsbegreppet (jmf. Ponte 1994). I denna undersökning betyder begreppet uppfattning den subjektiva bilden av ett matematiskt begrepp som individen har i sin kunskapsstruktur enligt Sfard (1991). 4 Resultat Vid kategorisering och analys av intervjuerna har jag kunnat identifiera följande sex uppfattningar av ekvationsbegreppet: Som ekvationer uppfattades inte 1) identiteter, 2) icke algebraiska ekvationer, 3) ekvationer med en eller flera obekanta, 4) en trivial ekvation och 5) en funktion. Som ekvationer uppfattades kategorin 6) olikheter och uttryck. Jag kommer i det följande exemplifiera varje kategori. 7
Uppfattningar hos lärare av ekvationsbegreppet 1) Identiteter: cos 2 α + sin 2 α - 1 Följande uppfattningar kunde identifieras bland nej-svaren: en regel, en formel, ett resultat, en identitet, en enhetscirkel, en trigonometrisk etta, uppgiften saknar obekant. En av lärarna har följande uppfattning. Nej (N3), Det är inte en ekvation, det är en regel eller en formel. Jag kommer inte ihåg vad det kallas. Det är ett resultat av någonting. (U11, I2, s5). 2) Icke algebraiska ekvationer: Följande uppfattningar kunde identifieras bland nej-svaren: en integral, en integral och en derivata, en härledning, en area under en kurva, en yta, en funktion, ett intervall. En av lärarna svarar Nej (N3), Det här associerar jag till integraltecknet, detta är någon form av yta, funktion Det har farit bort vad det är, det känns som att den är en yta under en kurva och det kan inte vara en ekvation. (U9, I2, s4). 3) Ekvationer med en eller flera obekanta: Följande uppfattningar kunde identifieras bland nej-svaren: en formel, det är omöjligt att lösa den. En av lärarna tolkar ekvationen på följande sätt: Nej (N1), Jag känner att där finns tre obekanta..det skulle kunna gå att den är en formel men jag kan inte lösa den, eftersom jag inte känner till några av värden på variablerna. (U2, I2, s1). 4) En trivial ekvation: x = 2 Följande uppfattningar kunde identifieras bland nej-svaren: ett svar, enbart ett uttryck för vad x är, värdet av x, en lösning. En av lärarna svarar: Nej (N5), Den är jag säker på för att den är bara ett svar, man har fått svaret. (U7, I2, s4). 5) En funktion: f (x) = 2x + 1 Följande uppfattningar kunde identifieras bland nej-svaren: en funktion, en rak linje. En av lärarnas tolkning är följande: Nej (N5), Det är en funktion, en rak linje, du kan rita den. (U10, I2, s5). 8
Iiris Attorps 6) Olikheter och uttryck: Följande uppfattningar kunde identifieras bland ja-svaren: en ekvation, en olikhet. En av lärarna säger: Ja (J5) Det är en ekvation jag kan lösa x här jag har ett mål jag måste ha ett mål och i slutändan kan jag lösa x. (U15, I2, s8). Fenomenografin gör inte något anspråk på att de erhållna undersökningsresultaten skall generaliseras till den populationen som undersökningspersonerna kommer från. Den fenomenografiska forskningstraditionen handlar om att identifiera och beskriva variationer av uppfattningar snarare än att skatta hur stor del av undersökningspopulationen som har en viss uppfattning av ett objekt eller en företeelse (Alexandersson1994). Trots detta kan det vara motiverat att kvantifiera undersökningsresultatet. Det kvalitativa resultatet tillsammans med det kvantitativa kan ge oss en ökad förståelse av svårigheterna med begreppsbildning och begreppsuppfattning. I tabellen nedan (Tabell1) ger jag den kvantitativa resultatsammanfattningen. Tabell 1 Kvantitativ resultatsammanfattning De intervjuade lärarna känner osäkerhet beträffande ekvationsbegrepp, matematiska symboler, bokstavsuttryck och lösningsprocedurer. Under tiden de studerade uppgifterna uppstod emotionella känsloyttringar såsom oj, vad, pust. Några lärare hade svårt att förstå att de inte behövde räkna. En av lärarna sade: Jag vill sätta in siffror, prova lite, 9
Uppfattningar hos lärare av ekvationsbegreppet jag litar inte riktigt på mig själv. (I2, s3). En annan lärare sade: När du frågar om det är en ekvation eller inte jag känner att jag vill lösa den. Jag vill ge ett svar. Jag har lärt i skolan, om du ger ett rätt svar, det är bra. Du är duktig. (I2, s10). I lärarnas egna definitioner av ekvationsbegreppet kunde fyra kategorier urskiljas: 1) en strukturell uppfattning beskrivs med orden: en likhet, höger sida lika med vänster sida En av lärarna formulerar sin definition på följande sätt: Vänster sida skall vara lika med höger sida. Sedan skall man hitta det okända talet. (I2, s 13) 2) en operationell uppfattning beskrivs med orden: ett verktyg att lösa problem, ett sätt att finna ett obekant tal, en elegant metod att lösa ett problem En av lärarnas definition är: Ett sätt att ta reda på något okänt. Med hjälp av att vi får veta vissa saker,värden, men vi har ett värde som är okänt för oss. Ekvation är ett sätt att ta reda på detta okända värde. (I2, s13). En annan lärare säger: Jag har inte funderat vad ekvationsbegreppet är.7 + x =9, ungefär. Man söker det okända talet man skall lösa. (I2, s13). 3) en konkret uppfattning av en ekvation uttrycks med orden: olika klossar i vågskålen, gungbräda med likhetstecknet i mitten En av lärarna säger: Man kan se den som en gungbreda, likamed tecken är mittpunkten. (I2, s13) 4) en algebraisk uppfattning beskrivs med orden: en typ av matematik där man använder bokstäver i stället för siffror En av lärarna definierar ekvationsbegreppet på följande sätt: Typ av matematik, där man istället för vanliga siffror använder bokstäver man använder samma räknesätt som om man hade vanliga siffror, men istället har vi nu bokstäver. När man använder ekvationer kan man göra vissa saker allmängiltiga.. (I2, s13). Många av mina lärare har både den operationella och den strukturella uppfattningen av ekvationsbegreppet i sin egen definition. Deras mentala bilder kan återfinnas i de flesta läroböcker i matematik för grundskolan. Ekvationsbegreppet förknippas med ett användbart verktyg i matematik och i problemlösning. 10
Iiris Attorps I lärarnas erfarenheter och uppfattningar av begreppsinlärning från grundskolan till universitetsnivån kan två kategorier identifieras: 1) ytlig inlärning, vilket beskrivs med orden inlärning utantill, mekaniskt drillande och modellinlärning och 2) fokus på rutinuppgifter sådana som första-, andra- och tredjegradsekvationer, högre ordningens ekvationer, trigonometriska ekvationer, alla slags logaritmiska funktioner och ekvationer, ekvationssystem, diofantiska ekvationer o.s.v. Mina lärare känner att ekvationsinlärning var ett mekaniskt drillande särskilt i grundskolan och på gymnasiet. Lärare på universitetet utgick från att studenterna redan förstod ekvationsbegreppet och de fortsatte att lära ut procedurer i stället begreppsförståelse. En av lärarna sammanfattar sina erfarenheter från grundskolan upp till gymnasiet på följande sätt: Modellinlärning, strikt styrt, vi satt i rader, vi frågade inte exempel på tavlan, styrd undervisning med genomgång och att räkna själva i boken. Jag lärde ekvationer på högstadiet. Jag minns bara att om man flyttade och bytte tecken o.s.v. då blev det rätt... det gällde att komma ihåg reglerna och vara vaksam och gör man bara exakt på det vis som läraren säger då går det bra och man får ett rätt svar. Jag har inget minne att man på denna nivå förstod vad man gjorde. Jag var noggrann att memorera reglerna och följa dem, på det viset fick jag 4 i matten (femgradig skala).. Gymnasiet fungerade ungefär på samma sätt som grundskolan: lärobokens exempel på samma sätt som på grundskolan.. Jag hade inte tid att fördjupa mig på högskolan Jag föll tillbaka till det gamla tänkandet att det gäller att man skall rädda sitt skinn och att lära sig vissa typexempel och klara en tenta. Man känner sig lite missnöjd och man vet att man kommer att tappa kunskapen eftersom den inte är införlivad. (I1, s1-3). Lärarna säger att de har arbetat mest med rutinuppgifter på alla skolnivåer. Några lärare upplever att förståelsen av ekvationsbegreppet kom först senare, speciellt i samband med tillämpningar i fysik. 5 Diskussion och slutsatser Lärarnas erfarenheter av matematikundervisningen indikerar att de har använt största delen av tiden i skolan till att utveckla algoritmiska färdigheter på bekostnad av den matematiska förståelsen. Deras erfarenheter 11
Uppfattningar hos lärare av ekvationsbegreppet och intryck från matematikundervisningen har format en bild av ekvationsbegreppet, som inte är identisk med begreppsdefinitionen (jmf. Vinner 1991). I lärarnas uppfattningar om ekvationsbegreppet framträder en procedurkunskap (Hiebert och Lefevre 1986). För vissa lärare i undersökningen är inte en ekvation ett matematiskt påstående. Ekvationsbegreppet är för dem förknippat med svårigheter såsom variabler, obekanta faktorer, mening med likhetstecknet, betydelsen av matematiska symboler, mening med den formella definitionen och med lösningsprocedurer. Den dualistiska naturen hos ekvationsbegreppet skapar betydande problem för lärarna (Sfard 1991). De har svårt att gå över från ett operationellt till ett strukturellt tänkande. Process-objekt dualiteten hos ekvationsbegreppet skapar förmodligen problem i all förståelseinriktad ekvationsundervisning, eftersom ekvationslösning uppmuntrar oss att använda algoritmiska procedurer. Dessa fångar all vår uppmärksamhet och de formella definitionerna blir snart överflödiga. Begreppsdefinitioner hjälper oss vid skapandet av en begreppsbild, men de garanterar inte begreppsförståelsen (Vinner 1991). I undervisningen av matematiska begrepp krävs olika metaforer, varierande exempel, motexempel, situationer o.s.v. för att skapa förståelse (jmf. Bergsten m.fl. 1997). En framgångsrik undervisning förutsätter också att lärarna har matematiska och pedagogiska kunskaper och färdigheter och en rik bild av matematiska begrepp (jmf. Shulman 1986). Referenser Alexandersson, M. 1994. Den fenomenografiska forskningsansatsens fokus. Kvalitativ metod och vetenskapsteori. (Red. ) Starrin, B & Svensson, P. G. Lund: Studentlitteratur. 111-136. Bergsten, C, Häggström, J. & Lindberg, L. 1997. Algebra för alla. Göteborg: Kompendiet. Collis, K.1975. A study concrete and formal operations in school mathematics. A Piagetian viewpoint. Melbourne: Australian Council for Educational Research. 12
Iiris Attorps Haapasalo, L. 1992. Murtolukukäsitteen konstruktivistinen oppiminen. Kasvatustieteiden tutkimuslaitoksen julkaisusarja A. Tutkimuksia 51. Haapasalo, L. 1993. Desimaalilukujen ja yksikönmuunnosten konstruktivistinen oppiminen. Jyväskylän yliopisto. Kasvatustieteiden tutkimuslaitoksen julkaisusarja A. Tutkimuksia 55. Haapasalo, L. 1994. Oppiminen, tieto, ongelmanratkaisu. MEDUSA-Software. Jyväskylä: Gummerus kirjapaino Oy. Hatano, G. 1996. A conception of knowledge acquisition and its implications for mathematics education. In L. P Steffe, P. Neshner, P. Cobb, G. A. Goldin & B. Greer (Ed.). Theories of mathematical learning, NJ, Hillsdale: Lawrence Erlbaum Associates, 197-218. Hiebert, J., Ed. 1986. Conceptual and procedural knowledge: The case of mathematics. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Hiebert, J. & Lefevre, P. 1986. Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introductory analysis. In Hiebert, J. (Ed). Kaasila, R. 2000. Eläydyin oppilaiden asemaan. Luokanopettajiksi opiskelevien kouluaikaisten muistikuvien merkitys matematiikkaa koskevien käsityksien ja opetuskäytäntöjen muotoutumisessa. Lapin yliopisto, Kasvatustieteiden tiedekunta. Acta Universitatis Lapponiensis 32. Väitöskirja. Karush, W. 1984. Matematisk uppslagsbok. Stockholm. Wahlstöm&Widstrand. Kupari, P. 1996. Miten peruskoululaisten matematiikan oppimiselle on käynyt sääntöjen kourissa? Teoksessa Jakku-Sihvonen, R.,Lindström, A.& Lipsanen, S.(toim.). Toteuttaako peruskoulu tasa-arvo? Opetushallitus. Yliopistopaino. Helsinki, 436-450. Linchevsky, L. Vinner, S.& Karsently, R.1992. To be or not to be minimal? Students teachers views about definitions in geometry. In I. Hirabayashi (ed.). Proceedings of the 16:th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Durham, NH (USA). Volume 13
Uppfattningar hos lärare av ekvationsbegreppet 2, 48-55. Magne, O. 1990. Medelsta-matematik - Hur väl behärskar grundskolans elever lärostoffet enligt lgr 69 och lgr 80? Pedagogik-psykologiska problem Nr 539. Institutionen för pedagogik och specialmetodik. Lärarhögskolan. Malmö. Marton, F. & Booth, S. 1997. Learning and awareness. New Jersey, U. S. A.:Lawrence Erlbaum Associates. Marton, F. & Svensson, L. 1987. Att studera omvärldsuppfattning. Två bidrag till Metodologin. Rapport Nr. 158. Göteborg: Göteborgs universitet, Institutionen för pedagogik. Mariotti, M. A. 1993. Figural and conceptual aspects in a defining process. In I. Hirabayashi (ed.). Proceedings of the 17:th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Tsukuba, Ibaraki (Japan). Volume II, 232-237. Mariotti, M.A. & Fischbein, E. 1997. Defining in classroom activities. Educational Studies in Mathematics 34 (3), 219-248. Novak, J.D. & Gowin, B. 1984. Learning how to learn. Cambridge: Cambridge University Press. Ponte, J.P. 1994. Knowledge, beliefs and conceptions in mathematics teaching and learning. In L. Bazzini (Ed.), Proceedings of the Fifth International Conference on Systematic Cooperation between Theory and Practice in Mathematics Education, 169-177. University of Pavia. Porter, A. 1989. Curriculum out of balance: The case of elementary school mathematics. Educational Researcher, 18(5), 9-15. Shulman, L. 1986. Those Who Understand: Knowledge Growth in Teaching. Educational Researcher, 15, 2, 4-14. Sfard, A. 1987. The conceptions of mathematical notions: operational and structural, in Proceedings of the Eleventh International Conference of P ME, Montreal, Vol. 3, pp.162-9. Sfard, A. 1989. Transition from operational to structural conception: the notion 14
Iiris Attorps of function revisited, in Proceedings of the Thirteenth International Conference of P M E, Paris. Vol.3, pp.151-8 Sfard, A. 1991. On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics 22(1), 1-36. Sfard, A & Linchevski, L. 1994. The gains and pitfalls of reification the case of algebra. Educational studies in mathematics 26(3), 191-228. Silfverberg, H. 1999. Peruskoulun yläasteen oppilaan geometrinen käsitetieto. Acta Universitatis Tamperensis. No.710. Soro, R. & Pehkonen, E.1998. Kassel-raportti. Osa 1. Peruskoulun oppilaiden matemaattiset taidot kansainvälisessä vertailussa. Helsingin yliopiston opettajakoulutuslaitos. Tutkimuksia 197. Tall, D. and Vinner, S. 1981. Concept image and concept definition in mathematics with particular reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics 12(2), 151-169. Vinner, S. 1991. The Role of Definitions in Teaching and Learning in Tall, D.,(red.) Advanced Mathematical Thinking, chapter 5, 65-81.Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Vinner, S. & Dreyfus, T. 1989. Images and Definitions for the Concepts of Functions. Journal for Research in Mathematics Education, 20(4), 356-366. Wearne, D., & Hiebert, J. 1988. A cognitive approach to meaningful mathematics instruction. Testing a local theory using decimal numbers. Journal for Research in Mathematics Education. 19(5), 371-384. 15