Över 100 år och fortfarande elev?

Över 100 år och fortfarande elev? Ingrid Sönnerby Lärare i dagens gymnasieskola möter elever, som har sådana brister att det blir svårt för dem att tillgodogöra sig undervisningen. Denna artikel beskriver hur ett examensarbete om taluppfattning växte fram och kom att kännas meningsfullt i lärarutbildningen. Lärarstudenter har fleråriga ämnesstudier bakom sig och de allra flesta har flera gånger tidigare producerat examensarbeten. Jag drar mig inte för att påstå att jag, liksom många av mina studiekamrater, kände en milt uttryckt begränsad entusiasm för att återigen presentera ett arbete i form av en större uppsats. I denna artikel ska jag beskriva något om hur mitt examensarbete växte fram och kom att kännas meningsfullt. Att det blev så berodde nog främst på att man från lärarhögskolan lyfte fram ett ämnesområde som det är angeläget att ha kunskap om inför det fortsatta yrkeslivet. Att jag hade en engagerade och inspirerade handledare gjorde också arbetet lättare. I Nämnaren, årgång 22, publicerades en artikelserie om taluppfattning (Reys m fl, 1995a,1995b). Dessa artiklar och problemen kring en dåligt utvecklad taluppfattning diskuterades under de didaktiska studierna i matematik under min lärarutbildning. Vi fick genomföra ett taluppfattningstest i en av våra praktikklasser och därefter diskutera resultatet med en elev, som inte lyckats bra på testet. När sedan valet av examensarbete skulle göras under våren 1996 hade mitt intresse för frågorna väckts och det föll sig naturligt att göra en utökad studie bland de elever som jag skulle möta under min praktikperiod. Ingrid Sönnerby var lärarstuderande vid Växjö lärarhögskola läsåret 1995/96. Idag är hon gymnasielärare vid Hässleholms gymnasieskolor. Man kan ha uppfattningen att det är meningslöst att diagnostisera elevers problem. Skolan sägs ofta sakna resurser för att åtgärda problemen. Min bedömning är dock att genom att ta reda på vad eleverna kan eller inte kan och försöka kartlägga orsakerna till deras problem så ökas förutsättningarna för att kunna göra något åt situationen. Att inte hinna med alla, eller att hänvisa till att det saknas ekonomiska resurser, får aldrig tas som intäkt för att inte hjälpa någon! Syftet med undersökningen Färdigheter som är förenade med en god taluppfattning värderas ofta mycket högt av lärare. Samtidigt blir taluppfattning sällan föremål för systematisk undervisning och eleverna förutsätts ta till sig den mer eller mindre automatiskt. Tillgången på material för diagnostisering av elevers taluppfattning har varit begränsad. Många har hävdat att denna inte går att utvärdera med diagnostiska tester. Nu fanns ett svenskt material tillgängligt och jag ville pröva dess användbarhet för diagnostisering av gymnasieelevers taluppfattning. Sedan skulle jag göra en jämförelse mellan resultaten på taluppfattningstestet och elevernas resultat på det nationella provet för kurs A. Med studien hoppades jag också kunna öka min kunskap om och förståelse för enskilda elevers problem i ämnet matematik och att som lärare ha större förutsättningar att hjälpa elever med svårigheter. 30 Nämnaren nr 1, 1997

Genomförande För att utvärdera elevernas taluppfattning användes uppgifter publicerade i Nämnaren 22(2). Uppgifterna har utvecklats och reviderats av Reys m fl (1995a) och har till syfte att stimulera till reflektion och tänkande. De testuppgifter jag använde var de som publicerats i Uppslaget, 18 uppgifter för åk 8 kompletterade med tre uppgifter för åk 4. I Nämnaren 22(3) publicerade forskargruppen resultat av testerna i de båda årskurserna. Jag jämförde resultatet som eleverna hade i min studie med forskningsresultaten. Skolan där min undersökning genomfördes har ett brett programutbud. Ca 1 200 elever studerar vid skolan. Studien gjordes i april 1996, då eleverna var i slutskedet av kurs A. Samtliga elever på Naturvetenskapsprogrammet hade avslutat kursen tidigare under läsåret och därför deltog inga elever från detta program. En förstudie, som endast omfattat elever på Naturvetenskapsprogrammet, hade dock visat att även i en sådan undersökningsgrupp finns elever med dålig taluppfattning. En annan utgångspunkt för studien var att den skulle omfatta elever som med denna kurs avslutar sina matematikstudier, men även elever, vilka ska läsa ytterligare en eller flera kurser. Detta innebar att både elever vid yrkesprogram och teoretiska program kom att ingå i undersökningen. Totalt omfattade studien 123 elever 52 elever på Samhällsvetenskapsprogrammet, 17 elever på det Estetiska programmet och 54 elever på olika yrkesprogram. För att få en uppfattning om hur eleverna faktiskt tänkte, då de löste uppgifterna, valdes sex elever ut för intervjuer. Dessa gjordes enskilt, och var och en varade drygt en halvtimme. Även om det hade varit önskvärt att intervjua eleverna under längre tid, så var det inte möjligt att göra det vid ett och samma tillfälle. Intervjusituationen blev ansträngande för dem och deras intresse och koncentration var svår att upprätthålla. Förutom att eleven ombads att förklara tankegången i lösningen av ett antal uppgifter som besvarats felaktigt, så ställde jag också mera allmänna frågor bl a om tidigare matematikundervisning. I intervjugruppen ingick tre elever från det Samhällsvetenskapliga och tre från Hotell- och Restaurangprogrammet. Dessa sex elever hade haft mindre än tio rätt av 21 möjliga på testet. När den tidsbundna delen av det nationella provet för kurs A rättats fick jag tillgång till de enskilda elevernas resultat på detta prov. Resultaten jämfördes därefter med resultaten vid taluppfattningstesten. Resultat av taluppfattningstest I diagrammet nedan åskådliggörs poängfördelningen för hela undersökningsgruppen. I min rapport (Sönnerby, 1996) ges utförligare resultat. Antal elever 10 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Antal rätt Diagram 1. Poängfördelningen vid taluppfattningstest för 123 gymnasieelever. Max poäng 21. Nämnaren nr 1, 1997 31

80 % elever med felaktigt svar på uppgiften Gymnasiet Åk 8 60 40 20 801 802 804 807 808 811 814 815 818 819 820 821 824 825 826 828 830 844 Uppgift nr Diagram 2. Andelen av de 123 eleverna i kurs A som besvarat uppgifterna felaktigt jämfört med resultat för elever i åk 8. Testresultaten analyserades med avseende på vilka uppgifter som besvarats felaktigt. Resultaten på respektive uppgift jämfördes med de resultat för åk 8 som forskargruppen Reys m fl publicerat. Det är värt att notera att referensresultaten inte speglar ett nationellt resultat för åk 8. Därtill är urvalet av elever alltför begränsat. Intervju med Erika Två av de intervjuade eleverna hade läst särskild och fyra hade läst allmän kurs i matematik på högstadiet. Endast en av eleverna hade erhållit lärarledd stödundervisning i matematik under sin grundskoletid. Ett obesvarat testformulär användes som stöd vid diskussionerna med eleverna. Då uppgifterna 819 och 820 diskuterades användes även två tallinjer. Här återges delar av intervjun med en elev. Erika går på Hotell- och Restaurangprogrammet och har läst allmän kurs i matematik på högstadiet. Hon besvarade sju uppgifter riktigt på taluppfattningstestet. Matematikundervisningen i gymnasieskolan har Erika upplevt som en massa kluriga frågor och en massa siffror utan sammanhang. Hon vet inte om hon kommer att ha nytta av det hon lärt sig i matematik i sitt framtida yrke. Under hela grundskoletiden tyckte Erika att matematiken var lätt. Hon har aldrig erhållit någon stödundervisning i ämnet. Eftersom hon tycker att matematik är bra att lära i alla fall skulle hon under alla förhållanden frivilligt ha valt ämnet i gymnasieskolan. Erika tyckte inte undervisningen i matematik fungerat på gymnasieskolan. Läraren har för lite tid för varje elev. Elever som har det lite svårare skulle få arbeta i mindre grupper. Angående taluppfattningstestet sa Erika att hon chansade men hon tyckte uppgifterna var bra. Erika och jag samtalade kring 9 uppgifter: 801 Ungefär hur många dagar har Du levt? A 500 B 5000 C 50 000 D 500 000 E 5 000 000 Jag är sjutton år. Jag ska nog räkna månader och år, plussa eller gångra eller bådadera (Hade angivit svaret 50 000 på testet) 807 0,5 840 är detsamma som: A 840/2 B 5 840 C 5 8400 D 840/5 E 0,50 84 Kan inte ge något svar alls och inte heller förmedla sina tankar om uppgiften. (Hade tidigare angivit svaret 5 8400) 32 Nämnaren nr 1, 1997

811 Du ska gå runt det kvadratiska fältet. Du startar vid hörnet S och rör dig i pilens riktning. Sätt X, där du är efter att ha gått en tredjedel av vägen. Erika klarar inte att dela upp kvadratens omkrets i tredjedelar. Får en del över. 814 Din lillebror har satt in 1 000 kr på bankkonto. Räntesatsen är 10 % och räntan läggs på kapitalet vid varje års slut. Ungefär hur mycket har lillebror på kontot efter 5 år? A 1000 kr B 1 500 kr C 2 000kr D 2 500 kr E 5 000 kr Erika tänker relativt länge men ger inget svar utan kommenterar med om jag läst igenom och tänkt, men man ger sig inte den tiden. (Tidigare angivet svar var 5 000 kr.) 819 Hur många tal finns det mellan 1,52 och 1,53? A Inga. Varför? B Ett. Vilket är det? Svara i decimalform. C Några få. Ge två exempel i decimalform. D Många. Ge två exempel i decimalform Jag fattar inte hur man räknar ut det. (Erika svarade på testet inga eftersom det är omöjligt. ) 820 Hur många tal finns det mellan 2/5 och 3/5? A Inga. Varför? B Ett. Vilket är det? Svara i bråkform C Några få. Ge två exempel i bråkform D Många. Ge två exempel i bråkform. Erika klarar att på tallinjen märka ut 2/5 och 3/5 genom att dela in sträckan mellan talen 0 och 1 i fem delar. Hon säger att det nog finns en massa tal däremellan men kan inte förklara varför det skulle finnas det eller ge något exempel. Nämnaren nr 1, 1997 S 825 Hur mycket är 87 0,09? Uppskatta svaret utan beräkningar. A Mycket mindre än 87 B Lite mindre än 87 C Lite mer än 87 D Mycket mer än 87 Eftersom det är en nia med blir talet lite mer än 87. (Angav samma svar vid testet.) 828 Bestäm utan att göra uträkning vilket svar som är rimligt. A 45 1,05 = 39,65 B 4,5 6,5 = 292,5 C 87 1,076=93,61 D 589 0,95=595,45 Erika ger nu ett korrekt svar och förklarar det med att det stora talet står först. På min fråga om hon svarat på samma sätt om 1.076 stått först, så svarar Erika att det hade jag inte gjort eftersom det då hade blivit ett litet tal. 844 Hur mycket är 29/0,8? Uppskatta svaret utan beräkningar. A Mindre än 29 B Lika med 29 C Större än 29 D Omöjligt att besvara utan att räkna ut det Erika angav rätt svar på denna uppgift både vid testet och under vårt samtal. Men hennes förklaring är att 8 är mycket, därför blir talet större. Jag tog upp uppgiften till diskussion med anledning av Erikas svar på uppgift 825 och återknöt den till denna uppgift. Hon kompletterade nu sitt svar av 844 med att talet i denna uppgift är större eftersom det bara finns en nolla. Funderingar kring Erika Erika har stora brister i sin taluppfattning. Hon har bl a konstruerat egna regler vid räkning med tal i decimalform, hon saknar förståelse för vårt positionssystem och 33

därmed förmågan att se tals värde. Erika har inga metoder för att göra överslagsberäkningar och förstår inte innebörden av matematiska operationer. Att ordningsföljden av talen vid multiplikation skulle ha betydelse för resultatet och att 28/0,8 skulle ge ett större tal på grund av att åttan är stor, är tankeformer som var mig totalt främmande. Utan tvekan så har dessa regler slagit kraftig rot eftersom Erika inte på något sätt tvekade inför uppgifterna. Jag skulle vilja veta när, hur och varför Erikas sätt att uppfatta matematiken uppstod men finner inte nu några svar. Att Erika erhållit undervisning i matematik under elva år utan att egentligen få någon förståelse i ämnet är mer eller mindre chockerande för mig. Jag kan ju bara spekulera i hur Erika upplevt alla dessa år av matematikstudier. Utifrån mitt perspektiv bör lektionerna ha upplevts som förvirrande, meningslösa och dessutom givit henne ett dåligt självförtroende. Oupphörligen borde Erika ha upplevt misslyckanden. Men hon säger inte detta i intervjun. Tvärtom säger hon att matematiken under grundskoletiden har varit lätt! I anslutning till intervjun fanns det också en del andra viktiga frågor som jag försökt att få svar på, inte minst för mig som blivande lärare. Hur bedrivs matematikundervisningen på grundskolan? Har lite tur, stöd av miniräknare och den flyktinstinkt Erika ger uttryck för verkligen lyckats dölja bristerna för undervisande lärare? I vilken utsträckning talas matematik? Erika var inte unik i sina svar. Men under en annan intervju upplevde jag vilken betydelse lugn och ro samt samtal kring problemlösning kan ha för förståelsen. Om inte Erika erhållit stödundervisning, vem gör det, och i så fall, hur väljer man ut de elever som får stöd? Det kan väl aldrig vara så att det bara är de högljudda, störande eleverna som kommer i åtnjutande av sådana favörer? Erika hade 6 poäng på det nationella provet vilket inte var godkänt. Att Erika utan handledning skulle kunna bedriva självstudier och sedan vid en prövning klara godkänt på kursen tror jag inte är möjligt. En del skolors sätt att hantera prövningarna är grymt mot elever som misslyckats många gånger. I skolans vardag kolliderar återigen läroplanens intentioner och programmål med den praktiska verkligheten. Erikas räddning blir troligtvis att hon avstår från matematik i avgångsbetyget, men vad blir det då av intentionerna om den nödvändiga kunskapshöjningen i samhället? Diskussion Flertalet elever visade ett stort intresse vid genomförandet av taluppfattningstestet. Både då jag genomförde det och vid redovisning av resultaten ställdes många frågor. Helt tydligt var att eleverna inte var vana att arbeta med denna typ av uppgifter. Bland lärarna varierade reaktionerna på testen från att uppgifterna är bra och lyfter fram ett väsentligt område inom matematiken till att denna typ av uppgifter är ointressanta. Det är istället min uppgift att få dem att klara kursen. Materialet har inte analyserats med avseende på vilka felaktiga svar som avgivits. Istället intervjuades sex elever med låga resultat på taluppfattningstesten. Under intervjuerna bekräftades att dessa elever verkligen hade oanade brister i sin taluppfattning. Resultaten vid taluppfattningstestet har jämförts med resultaten vid det nationella kurs A-provet. Resultaten vid taluppfattningstestet relaterades till de betyg eleverna uppnådde på provet. I diagram 3 är enskilda elevers poängresultat markerade. I det nationella provet mäts olika matematikkunskaper hos eleverna. Alla uppgifterna ställer inte krav på en god taluppfattning. Troligtvis underlättas dock elevernas studier om de utvecklat dessa färdigheter. Samtidigt är inte en god taluppfattning på något sätt en garanti för att man blir godkänd på ett nationellt prov. För att bli det erfordras troligtvis också intresse för matematik och arbete med ämnet. 34 Nämnaren nr 1, 1997

Poäng vid nationellt prov Matematik kurs A 40 35 30 25 20 15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Antal riktiga svar på taluppfattningstest Diagram 3. Poäng vid nationellt kurs A-prov jämfört med resultat vid taluppfattningstest för 88 elever. Betygsgränserna vid det nationella provet, Godkänd (16 poäng) och Väl godkänd (31 poäng), är markerade. Mot bakgrund av studien bedömer jag det som värdefullt att på detta sätt diagnostisera elevers taluppfattning även i gymnasieskolan, speciellt när dessa brister inte uppmärksammats och åtgärdats tidigare. Som lärare måste man sedan söka hjälpa eleven till större förståelse. De använda testuppgifterna utgör ett bra diskussionsunderlag för att starta detta arbete. * Då kurs A i matematik är ett kärnämne och därmed obligatorisk har elevernas förkunskaper och förståelse för matematiken blivit en viktig fråga i den nya gymnasieskolan. Krav ställs på en individualiserad undervisning och på att gymnasieskolan arrangerar inlärningen så att eleverna når kunskapsmålen. Så länge inte nivågruppering görs efter elevernas förmåga och förkunskaper kommer alla lärare att möta elever med brister i sin taluppfattning. En ytterligare fråga som då kan inställa sig är Har vi fått en bättre matematikundervisning sedan kraven på ämneskunskaper höjts för de blivande gymnasielärarna? * I Nämnaren 22(4) och 23(1) ges exempel på aktiviteter för undervisning. Nämnaren nr 1, 1997 Personligen måste jag erkänna att jag i inledningen av studien mest lockades av att i min hand få ett material som jag statistiskt skulle kunna bearbeta och redovisa. Efter påtryckningar från min handledare genomförde jag även intervjuerna. Det var den delen av arbetet som gav den största behållningen. Intervjuerna väckte förundran över elevers sätt att tänka men gav också upphov till känslor av beklämdhet över hur elever kan behandlas i vårt skolsystem. Jag tror visserligen att alla verksamma matematiklärare haft liknande upplevelser som jag fick vara med om, men för mig var det nya och betydelsefulla erfarenheter. Jag kände att examensarbetet kom att berika mig personligen och gav mig förutsättningar till en bättre start som lärare. Referenser Reys m fl (1995a). Vad är god taluppfattning? Nämnaren 22(2), 23 29. Göteborg Reys m fl (1995b). Svenska elevers taluppfattning. Nämnaren 22(3), 34 40. Göteborg Sönnerby, I. (1996). Över 100 år och fortfarande elev...?! Högskolan i Växjö, Institutionen för pedagogik. 35