OBS: Kontrollera att du har fått rätt tentamen! Denna tentamen gäller Reglerteknik I 5hp för F4/IT4/STS3. På sista sidan av tentamen finns ett försättsblad, som ska fyllas i och lämnas in tillsammans med dina lösningar. Ange där hur många (kurs-) poäng du tenterar för. TENTAMEN Reglerteknik I 5hp Tid: Fredag 23 oktober 29, kl 8. 3. Plats: Gimogatan 4, sal 2 Ansvarig lärare: Kjartan Halvorsen, tel 8-473398. Kjartan kommer och svarar på frågor ungefär kl 9.3 och kl. Tillåtna hjälpmedel: Kursboken (Glad-Ljung), miniräknare, Laplace-tabell och matematisk formelsamling. Preliminära betygsgränser: 3:[23, 33[, 4:[33, 43[, 5:[43, 5 = maxpoäng] Uppgift 7 är istället för inlämningsuppgifterna. OBS: Endast en uppgift per ark. Skriv namn på varje ark. Lösningarna ska vara tydliga och väl motiverade (om inget annat anges). Avläsningar ur diagram behöver inte vara exakta. LYCKA TILL!
Uppgift Det dynamiska systemet ( ) = ( )Í( ) har överföringsfunktionen ( ) =. Systemet styrs med återkoppling från reglerfelet enligt styrlagen: Í( ) = ( + ) Ö ( ) ( ). (a) Beräkna ett explicit uttryck för det slutna systemets stegsvar. (3p) (b) Beräkna det stationära felet när referenssignalen är en ramp med lutningen. (2p) (c) Hur måste regulatorn ovan ( ( ) = + ) modifieras för att det stationära felet i (b) ska elimineras helt? (p) Uppgift 2 (a) Ställ upp en tillståndsbeskrivning för systemet givet i blockdiagrammet nedanför. (4p) + Ü Ù Σ Ý 2 + 2 Ü 2 (b) Bestäm huruvida systemet är styrbart respektive observerbart för följande specialfall: = 2 = = 2 =. (2p)
Uppgift 3 Man vill återkoppla systemet ( ) = ( )Í( ) med lead-lagkompensering så att Í( ) = ( )( Ö ( ) ( )), där ( ) är den totala regulatorn, d.v.s. ( ) = à Р( ) Ð ( ) Nedan visas Bodediagrammet för ( ). 3 6 9 G(iω) arg G(iω) ( o ) 2 5 8 2 24 2 2 ω (rad/s) 27 2 ω (rad/s) Anta att man har följande krav på kretsförstärkningen: (i) skärfrekvensen ska vara = 2 rad/s och (ii) fasmarginalen ska vara ³ Ñ 45 Æ för det återkopplade systemet: (iii) lim ؽ Ý Ö (Ø) Ý(Ø) 25 då Ý Ö är ett enhetssteg. (a) Bestäm ( ), hur stor arg ( ) minst måste vara, samt hur stor () minst måste vara, för en regulator ( ) som uppfyller dessa krav. (4p) (b) Konstruera en regulator ( ) som uppfyller kraven i (a), d.v.s. bestäm förstärkningen Ã, leadfiltret Ð ( ) och lagfiltret Ð ( ). (3p) (c) Betrakta nu ett godtyckligt minimumfassystem ( ) = ( )Í( ) som återkopplas från reglerfelet så att Í( ) = ( )( Ö ( ) ( )). Låt ( ) beteckna överföringsfunktionen från Ý Ö till Ý för det slutna systemet. Om man vill att ( ) = ( är skärfrekvensen), vilken fasmarginal ³ Ñ måste då kretsförstärkningen ha? Ledning: Rita en typisk Nyquistkurva och markera fasmarginalen och punkten. (3p) 2
Uppgift 4 Figuren nedanför visar en schematisk bild av en enkel kompartmentmodell. En sådan modell kan användas för att studera hur koncentrationen av ett läkemedel varierar i olika delar av kroppen på grund av flöde in, ut och mellan olika organ/delar av kroppen ( compartments, fack). Kroppen delas alltså in i ett antal fack, och inom varje sådant fack antas perfekt blandning, med andra ord att koncentrationen är den samma överallt inom facket. Ò = Ù 2 Î Î 2 ÙØ = Õ Figure : Två-kompartmentmodell. Flödet av läkemedlet mellan de två facken är proportionellt mot skillnaden i koncentration, 2. Massbalans för de två facken ger följande ekvationer för mängden läkemedel: Î Ø = Õ( 2 ) Õ + Ó Ù () Î 2 2 Ø = Õ( 2 ) 2 (2) där Î Î 2 anger volymen och 2 koncentrationen i de två respektiv facken. Parametern Õ anger flödet mellan facken, Õ flödet ut av första facket, och Ù flödet in i det samma. Det första facket representerar koncentrationen i blodplasman, medan det andra representerar koncentrationen i den delen av kroppen där läkemedlet är aktivt. (a) Låt Ù(Ø) vara insignalen till systemet, och Ý(Ø) = (Ø) vara utsignalen. Inför parametrarna = Õ Î, = ÕÎ, 2 = ÕÎ 2 och = Î. Ställ upp en tillståndsmodell för systemet med och 2 som tillståndsvariabler. (4p) (b) Bestäm villkor på så att koncentrationen där läkemedlet är verksamt kan skattas från mätningar av koncentrationen i blodet. (3p) 3
Uppgift 5 Ett specialfall av systemet i uppgift 4 har följande tillståndsbeskrivning Ü(Ø) = 2 Ü(Ø) + 2 2 Ý(Ø) = Ü(Ø) där en störsignal Ú(Ø) har inkluderats i modellen. Ù(Ø) + Ú(Ø) (a) Du utnyttjar modellen ovan för att designa en regulator för kontinuerlig dosering av läkemedel intravenöst, där koncentrationen i blodet mäts kontinuerligt. Ta fram en tillståndsåterkoppling Ù = ÄˆÜ + ÑÝ Ö och en observatör, så att det slutna systemet har poler i 2 och statisk förstärkning lika med. Observatören ska ha poler i 3. (4p) (b) Konstanta störningar i systemet ska elimineras helt. Ändra på din regulator så att också detta krav uppfylls. Ställ upp den resulterande tillståndsmodellen och visa att din regulator faktisk uppfyller kravet. (4p) Uppgift 6 Ange för vart och ett av följande påståenden ifall det är sant eller falskt. (a) Varje tillståndsmodell kan alltid överföras till diagonal form. (b) För ett system med en pol i origo är tillståndsbeskrivningens -matris singulär. (c) PI-reglering ( ( ) = Ã Ô + Ã, à Ô, à ) av ett stabilt :a ordningens system ger alltid ett slutet system som är insignal-utsignalstabilt. (d) P-reglering ( ( ) = Ã Ô ) av en dubbelintegrator ( ) = 2 ger alltid ett slutet system som är insignal-utsignalstabilt. (e) Om kretsförstärkningen Ó ( ) har integralverkan så har känslighetsfunktionen Ë( ) nollställe i origo. (f) En omodellerad tidsfördröjning på Ì sekunder i det öppna systemet har mindre negativ inverkan på stabiliteten ju högre skärfrekvensen är. (g) Låt ( ) = ( ) vara överföringsfunktionen för ett stabilt system. Om ( ) = Þ är rötter till ( ) så ger insignalen Ù(Ø) = Ò( Þ Ø) en utsignal som går mot noll. Varje rätt svar ger + poäng och varje felaktigt svar ger - poäng (och utelämnat svar ger noll poäng). Totalt ger dock uppgiften minst poäng. Ingen motivering behövs enbart svaren sant och falskt kommer att beaktas. (6p) 4
Uppgift 7 Denna uppgift är istället för inlämningsuppgifterna. Systemet ( ) = Í( ) ska regleras så att det slutna systemets poler är ( +) reella och till vänster om 2. (a) Återkoppla med styrlagen Í( ) = Ã Ö ( ) ( ). Rita rotortsdiagram och bestäm ett villkor på för att specifikationerna ska kunna uppfyllas med proportionell återkoppling. (2p).(b) Använd istället PD-reglering med styrlagen Í( ) = à + 2 Ö ( ) ( ). Bestäm à så att det slutna systemet har dubbelpol. Vart hamnar dessa? (2p) (c) Använd istället tillståndsåterkoppling från skattade tillstånd. Används styrbar kanonisk form, så ger styrlagen Ù(Ø) = 6 9 ˆÜ(Ø) + 9ÝÖ (Ø) dubbelpol i 3. Bestäm en observatör för tillståndsmodellen med poler i 4 (3p) 5
Lösningar till tentamen i Reglerteknik 5hp 29--23. (a) Det slutna systemet ges av ( ) = Ó( ) = + = + Ó( ) + 2. 2 + 2 +2 Stegsvaret ges av Ý(Ø) = Ä ( ) = Ä ( ) = Ä 2 + 4 ( + 2) = 2 + 2 4 ( e 2 Ø ) = 2 e 2 Ø (b) M.h.a slutvärdesteoremet fås det stationära felet som lim ؽ (Ý Ö(Ø) Ý(Ø)) = lim + Ó ( ) 2 = lim + + = (c) Det krävs integrerande del i regulatorn, t.ex. ( ) = + + à Á. 2. (a) Blocken motsvarar första ordningens system: ( ) = + Í( ) ( ) + ( ) = Í( ) Med tillståndsvektorn Ü = Ü Ü 2 Ì : Ü(Ø) = Ü (Ø) = Ü (Ø) + Ù(Ø) 2 Ý(Ø) = Ü(Ø) Ü(Ø) + (b) Systemet blir varken styrbart eller observerbart: 2 Ù(Ø) det Ë = det = det = det Ç = det = det = 3. Från Bodediagrammet får vi att () = 3, (2) = 7 och arg (2) = 62 Æ. Kretsförstärkningen blir Ó ( ) = ( )( ) =µ Ó () = () () och arg Ó () = arg () + arg (). (a) (i) =µ = Ó ( ) = ( ) ( ) = 7 ( ) µ ( ) = 7 43
(ii) =µ (iii) =µ ³ Ñ 8 Æ = 35 Æ = arg Ó ( ) = arg ( ) + arg ( ) = arg ( ) 62 Æ µ arg ( ) = 35 Æ ( 62 Æ ) = 27 Æ 25 lim ؽ (Ý Ö (Ø) Ý(Ø)) = lim µ Ó () 25 + Ó ( ) = + Ó () = 39 µ () 39 () = 3 (b) Leadfiltret måste fasavancera 27 Æ + 6 Æ = 33 Æ (p.g.a. lagfiltret) vid. Från fig 5.3 i kursboken välj t.ex = 27. Max fasavancering fås vid frekvensen = Ô. Välj därför = 2 Ô 96. Välj à så att 27 = 2 rad/s blir skärfrekvens: Ô 7 = ( ) = Ô Ã µ à = 7 742 För lagfiltret väljs Á = = 2 enligt tumregel. Vi har att () = à Р() = Ã, och måste ha () 3 =µ à 3 57. Välj t.ex. = 2. Den totala regulatorn blir ( ) = à + + Á + Á + = 742 96 + 26 + 5 + 5 + 5 (c) Vi har att ( ) = 2 sin ³ 2 (se t.ex. avsnitt 5.3 i kursboken). = 2 sin ³ 2 µ ³ = 2 arcsin 2 = 3 = 6Æ 4. (a) Modellen är tagit från Åström & Murray Feedback Systems, Princeton Univ Press, 28. Med tillståndsvektorn Ü(Ø) = (Ø) 2 (Ø) Ì fås tillståndsbeskrivningen Ü(Ø) = Ü(Ø) + Ù(Ø) 2 2 Ý(Ø) = Ü(Ø) (b) Ställ upp observerbarhetsmatrisen: Ç = = 2
Ç har full rank om =. 5. (a) Med tillståndsåterkopplingen Ù = slutna systemets karakteristiska polynom: det Á + Ä = det + 2 + Ð + Ð 2 2 + 2 Ð Ð 2 ˆÜ + ÑÝÖ blir det = 2 + (4 + Ð ) + 2( + Ð + Ð 2 ) Det önskade nämnarpolynomet (= karakteristiska polynomet) är 2 + 4 + 4. Motsvarande koefficienter sätts lika varandra, och ger lösningen Ð = Ð 2 = För att bestämma Ñ kan man räkna ut det slutna systemets överföringsfunktion, och betrakta (). Annars kan man studera tillståndsmodellen för det slutna systemet i stationärt tillstånd för konstant insignal Ý Ö = och Ú(Ø) = : = Ü = Ä Ü + Ñ = = Ü = Ü 2 2 2 Ü Ü 2 + Ñ Den andra ekvationen ger Ü = Ü 2 Ì, vilket insatt i den första ekvationen ger Ñ = 2 Ü 2 = Ü = Den sista likheten säger oss att koncentrationen i de två facken är den samma i stationärt tillstånd, vilket är vad man förväntar sig. Observatörens poler ges av lösningarna till det Á + à =. Med à = 2 Ì blir vänsterledet det + 2 + = 2 + (4 + 2 + 2 + 2 ) + 2 + 2 + 2 Koefficienterna sätts lika med motsvarande koefficienter i det önskade polynomet 2 + 6 + 9, vilket ger = 2 2 = 3 (b) Se kursboken avsnitt 9.6. Skillnaden är att här har vi återkoppling från rekonstruerade tillstånd. Låt Ü och ˆÜ vara definierade som i (a)-uppgiften. Introducera en ny tillståndsvariabel Ü 3 (Ø) motsvarande integralen av reglerfelet: Ü 3 (Ø) = Ý Ö (Ø) Ý(Ø) = Ý Ö (Ø) Ü(Ø). Styrlagen ändras till Ù = 3
ÄˆÜ Ð 3 Ü 3 + ÑÝ Ö. Notera att tillståndet Ü 3 kan antas vara mätbart som utsignalen från en integrator där reglerfelet (som ju är mätbart) är insignal. Det utvidgade, återkopplade systemet blir då (jfr. kursboken ekv 9.37) dvs Ü = Ü + Ù + Ú = Ü ÄÜ + Ä Ü Ð 3 Ü 3 + ÑÝ Ö + Ú Ü = ( Ã) Ü Ü 3 = Ü + Ý Ö Ü Ü Ü 3 = Ä Ä Ð 3 Ã Ü Ü Ü 3 + I stationärt tillstånd, med konstant störning Ú(Ø) = Ú fås = Ü Ü Ü 3 = Den sista ekvationen ger Ä Ä Ð 3 Ã Ü Ü Ü 3 + = Ü + Ý Ö = Ý Ö Ý Ñ Ý Ö + Ñ Ý Ö + Á Ú Á Ú dvs lim ؽ Ý(Ø) = Ý Ö (Ø), och effekten av den konstanta störningen har eliminerats. 6. (a) Falskt. Endast diagonaliserbart om egenvärderna till är distinkta. (b) Sant. Systemets poler är dom samma som polynomets egenvärden. Pol i origo innebär egenvärde lika med noll, och därmed singulär -matris. (c) Falskt. Motexempel: Icke-minfassystem ( ) =, där ger + nämnarpolynomet ( ) = ( +)+(Ã Ô +à )( ) = (+Ã Ô ) 2 +(Ã Ô + à ) Ã, vilket har rötter med strikt positiv realdel för à à Ô. (d) Falskt. Nämnarpolynomet blir ( ) = 2 + à Ô, vilket har rent imaginära rötter. (e) Sant. Ó ( ) = ÀÓ( ) ger Ë = + Ó = = +À Ó +À Ó. (f) Falskt. Motsatsen är sann. Tidsfördröjningen (som man alltså inte har tagit hänsyn till i designen av det öppna systemet) ger en faktor e Ì som bidrar med det negative argumentet Ì. Ju högre desto större försämring. (g) Sant. Sinus in sinus ut. Beloppet av överföringsfunktionen blir ( Þ ) =. 7. (a) Rotorten fås genom att låta à variera från till oändligheten och studera rötterna till det karakteristiska polynomet ( + ) + à =. Från rotorten ser man att de två rötterna som börjar i och möts i en reell dubbelpol i 2, och bryter därifrån ut i det komplexa talplanet. Det kan visas analytiskt genom att ansätta en dubbelpol ( +«) 2 = 2 +2«+«2 och jämföra med rotortens polynom. För att få två poler till vänster om punkten 2 måste vi altså ha 4. 4
Root Locus Imaginary Axis a a/2 Real Axis (b) Det slutna systemets nämnarpolynom blir ( + ) + Ã( + 2) = 2 + ( + Ã) + 2Ã. Ansätt dubbelpol ( + «) 2 = 2 + 2«+ «2 och jämför koefficienter. Det ger ekvationssystemet «= + à 2 2à = «2 Första ekvationen insatt i den andra ger en andragradsekvation i Ã: à 2 6à + 2 = som har lösningarna à = (3 Ô 8). Ô Det är altså två situationer med dubbelpol i rotorten. För à = (3 8) hamnar polerna i Ô = Ô Ô 4 2 8), och för à = (3+ 8) i Ô2 = 4+Ô 8). Rotorten återges nedanför. 2 Root Locus Imaginary Axis p 2a a p2 Real Axis (c) Den styrbara kanoniska tillståndsformen för systemet är Ü = Ü + Ù Ý = Ü 5
Systemet är observerbart, (visa gärna), och därmed är det inga problem att placera observatörspolerna i 4. Dessa ges av lösningarna till det( Á + Ã) =. Vänsterledet blir + det( Á + Ã) = det + 2 = 2 + ( + 2 ) + 2 + = ( + )( + 2 ) + Sätt koefficienterna lika med motsvarande koefficienter för det önskade polynomet ( + 4) 2 = 2 + 8 + 6, vilket ger 2 = 8 = 6 2 = 6 (8 ) 6