Linköpings Tekniska Högskola TNK047 Optimering och systemanalys ITN Laboration 2 13 november 2008 Laboration 2: Spelteori Laborationen består av två delar, den första om 2-personersspel och andra om ett n- personersspel. Organisation och genomförande Del A består av frågor som kan besvaras utifrån relativt enkla beräkningar, medan del B kräver mer omfattande beräkning. Beräkningarna i både del A och del B genomförs med fördel i Excel och eventuellt AMPL. Laborationen görs i grupper om 2 personer. Förberedelse Alla deluppgifter kan förberedas inför laborationstillfället som är schemalagt 21 november 10-12. De moment som kräver datorberäkningar (och programmet AMPL eller Excel) är uppgift 3 i del A och uppgifterna 4, 5 och 6 i del B. Redovisning Uppgifterna under del A och del B ska utförligt besvaras i en skriftlig rapport. Rapporten bör lämnas in före den 31 november. Rapporten skickas, som en bifogad fil, till clryd@itn.liu.se eller lämnas i Clas postfack på plan 5 i Kåkenhus. Notera att för laborationsuppgifternagäller att det är tillåtet att mellan gruppernadiskutera uppgifterna, men allt närmare samarbete mellan grupperna och plagiering av lösningar är otillåtet. Vid behov kan redovisningen komma att kompletteras med att gruppen muntligt redogör för densamma. 1
Del A: Spel med blandade strategier Problembeskrivning Betrakta spelet: 1 2 3 4 5 1 1 2 3 8 1 2 4 2 1 3 0 3 2 3 5 2 2 4 4 4 2 1 5 I spelet har radspelaren 4 strategier, och kolumnspelaren 5 strategier, och vinstmatrisen anger vinsten för radspelaren. Spelet ska analyseras då radspelaren har en maximinstrategi och kolumnspelaren en minimax-strategi. Uppgifter 1. Visa att spelet går att reducera från 4 strategier för radspelaren och 5 för kolumnspelaren till ett spel med 3 strategier för radspelaren och 4 för kolumnspelaren. 2. Bestäm gain floor (vinstgolvet) och loss ceiling (förlusttaket) för rad- respektive kolumnspelaren, och avgör om spelet har en optimal ren strategi (sadelpunkt). 3. Bestäm rad- och kolumnspelarens optimala strategier genom att formulera radspelarens problem som ett LP-problem. Lös problemet med AMPL. Använd dualitet för att bestämma kolumnspelarens optimala strategi. 4. Ange spelets värde. Avgör om spelet är rättvist eller inte, och i så fallivemsfavör. 5. Visa att både rad- och kolumnspelaren kommer bättre ut genom att använda en blandad strategi istället för att använda en ren strategi. 6. Utgå från de beräknade optimala blandade strategierna från deluppgift 3. Antag nu att kolumnspelaren håller sig till den beräknade optimala blandade strategin, men att radspelaren väljer en annan strategi (t.ex. skulle radspelaren kunna använda en strategi där han/hon konsekvent väljer strategi ett). Vad innebär det för radspelaren och spelets resultat? Vilket blir spelets förväntade värde? Varför förhåller det sig på detta sätt? (Tips: 7. Vinsten given i vinstmatrisen ovan är 2 för radspelaren om radspelaren spelar strategi nummer ett och kolumnspelaren spelar strategi nummer två. I nuvarande optimala blandade strategi använder inte kolumnspelaren strategi nummer två. Till vilket värde måste denna vinst sänkas för att kolumnspelaren ska börja använda strategi 2? (Stjärna i kanten får den grupp som kan räkna ut detta värde utan prövning och omlösning av något optimeringsproblem.) 2
Del B: Kostnadsdelning Bakgrund Det fiktiva företaget PLW9 AB tillverkar och säljer petroleumprodukter och är en stor aktör på den svenska marknaden. Deras så kallade direktmarknadsdivision utvecklar och säljer smörjoljor för fordon, motorer och maskiner och är den största aktören på den svenska smörjmedelsmarknaden. Planeringen divisionen gör bygger på att kunder ringer in sina order. För varje tidsperiod, som är ett par dagar, planeras i vilken ordning leveranserna ska göras, och efter vilken leveransrutt kunderna kommer att besökas. Verksamheten bedrivs från företagets depå i Frihamnen, Stockholm, varifrån de sköter både produktion och lagerhållning. Transporterna görs till stor del med inhyrda fordon och transportuppdragen regleras med långsiktiga avtal mellan PLW9 AB och transportföretagen. I dessa avtal regleras hur transporterna ska genomföras och tariffen för distributionen. Problembeskrivning Vi betraktar här en dag då en rutt med fem kunder servas från depån. Även om kunderna har efterfrågat smörjoljor av lite olika kvalitet förenklar vi här genom att betrakta dem som en och samma kvalitet, vilket innebär att vi inte behöver ta hänsyn till indelning och storlek på de tankar som distributionsfordonen har. PLW9 har beräknat det billigaste sättet att besöka dessa fem kunder. Alla leveranser kan göras i en, genom endast en tankning vid depån. Kunderna för den aktuella rutten är numrerade 1 till 5, och depån kallas 0. Kundernas placering finns i Figur 1. Den lägst distributionskostnaden är att använda rutten 0 1 2 3 4 5 0. och därför använder PLW9 den för denna dags distribution. Inom PLW9 har man behov av att dela upp distributionskostnaden på kunderna av två skäl. Det ena skälet är att man behöver detta av redovisningsskäl, det andra skälet är att man vill erbjuda en konkurrenskraftig distributionskostnad för sina kunder. Efterfrågad mängd smörjolja hos kunderna 1 till 5 ges i Tabell 1. De fasta och rörliga kostnaderna för distributionen ges i Tabell 2. Bastidskostnaden i Tabell 2 innehåller den kostnad som PLW9 förknippar med den administration som behöver göras (ordermottagning, registrering och planering) inför varje distributionsrutt. Avlastningskostnad är den kostnad som förknippas med avlastningen. Denna kostnad är beroende av volymen som lastas eftersom en större volym tar mer tid än en mindre. Stoppkostnaden är den kostnad som förknippas med anslutningen av fordonstanken till kundens tank. Lastningen vid depån har ingen stoppkostnad, utan dess kostnader är inräknade i bastidskostnaden. 3
Tabell 1: Kundefterfrågan (m 3 ) Kund Efterfrågan (m 3 ) Kundort 1 7,0 Västerås 2 9,5 Hallstahammar 3 2,5 Eskilstuna 4 4,0 Nyköping 5 9,8 Kungens kurva Tabell 2: Kostnader förknippade med distributionen (kr) Kostnadstyp Kostnad Bastidskostnad (kr) 2900,00 Avlastningskostnad (kr/m 3 ) 25,50 Stoppkostnad (kr) 560,00 Transportkostnad (kr/km) 170,20 Transportkostnaden är den kostnad som förknippas med själva utkörningen med fordonet. Den kostnaden beror av avståndet. Avståndsmatrisen, sträckor i kilometer, mellan de olika kunderna och depån ges i Tabell 3. Avstånden antas vara symmetriska, dvs det är samma avstånd från t.ex. kund 1 till kund 2, som det är från kund 2 till kund 1. Kunderna och depån finns markerade på en karta i Figur 1. Tabell 3: Avståndsmatris (km) kund 0 1 2 3 4 1 110 2 130 22 3 118 46 40 4 105 131 124 85 5 23 120 135 99 87 Vi antar att vi endast vill dela på transportkostnaden och bastidskostnaden för den givna turen mellan kunderna, medan stoppkostnaden och avlastningningskostnaden (som ju är kopplad till storleken på kundens beställning) betalas av respektive kund. Er uppgiftbestår i att använda några kostnadsdelningskoncept för att analysera fördelningar av transport- och bastidskostnaderna på de kunder som besöks i en distributionsrutt under en dag. Uppgifter 1. Beräkna den karaktäristiska funktionen v för alla möjliga koalitioner S från kunderna i N = {1, 2, 3, 4, 5}. Denkaraktäristiska funktionen ges av v(s) = transportkostnaden(s) + bastidskostnaden Ingen metod behöver redovisas för beräkningen av karaktäristiska funktionens värde. Det ruttplaneringsproblem som behöver lösas för varje koalition kan alltså löses genom inspektion. Notera att den karaktäristiska funktionen beskriver en kostnad. 4
Figur 1: Karta över kundplacering 2. Definiera x j = den kostnad som kund j ska betala, j =1, 2, 3, 4, 5. och formulera den imputation som uppfyller kraven att: i) ingen kund ska få betala mer än om den hade varit ensam i distributionsrutten; ii) kostnaden som delas mellan kunderna är exakt den totala distributionskostnad och bastidskostnad som är förknippad med distributionsrutten som används. 3. Formulera det system av olikheter som beskriver kärnan (core) i spelet.gör en kort förklaring av vad kärnan beskriver, och som motiverar att kostnadsdelningar i kärnan kan anses rimliga för kunderna. 4. Utgå från systemet för kärnan för att formulera och lös fem optimeringsproblem. I optimeringsproblemen minimeras kostnaden för kund 1, 2, 3, 4, respektive 5, under kravet att kostnaderna ligger i kärnan. För det första problemet väljs följdaktligen målfunktionen min x 1. Redovisa i en tabell kostnaderna för alla fem kunder för vart och ett av de fem optimeringsproblemen. Vad kan du dra för slutsatser utifrån dessa beräkningar? Vad kan sägas om huruvida kärnan är tom eller ej? Vad kan kan dras för slutsatser från respektive löst optimeringsproblem? 5. Bestäm Shapley-värdet σ i = S N:i S (s 1)!(n s)! [v(s) v(s\{i})], för alla i N, n! där s är antalet kunder i S, ochn är antalet kunder totalt, för varje kund. Beskriv hur formeln för beräkningen av Shapley-värdet kan tolkas och motiveras för distributionsproblemet. 5
6. Ange den totala kostnad (inklusive avlastningskostnad och stoppkostnad) som varje kund ska betala enligt er Shapley-värdesberäkning. 7. Avgör om den kostnadsdelning som Shapley-värdet innebär är en kostnadsdelning som ligger i kärnan. 6