Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Linjär algebra II, 5 hp ES, KandFy, Q, X 20010-08-31 Kursinformation. Undervisning: 17 föreläsningar och 8 lektioner (om vardera 2 45 minuter). Under föreläsningarna går vi igenom teorin och demonstrerar hur den tillämpas på praktisk problemlösning. Lektionerna ägnas åt redovisninguppgifterna (se nedan) samt, i mån av tid, ytterligare problemgenomgång. Kurslitteratur: H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 9:e upplagan. Wiley, 2005 (betecknas A nedan). Innehåll: Vi läser kapitel 5.1 6, 6.1 6, 7.1 3, 8.1 6, 9.1, 9.5 7 i A. Närmare detaljer framgår av nedanstående lektionsanvisningar. Examination: Kursen avslutas med en skriftlig tentamen. Som betyg på kursen används beteckningarna U (underkänd), 3 (godkänd), 4 (icke utan beröm godkänd) och 5 (med beröm godkänd). Maxpoängen på tentan är 40. Betygskraven är; 18 (25, 32) poäng för betyg 3 (4, 5). Kurshemsida: http://www.math.uu.se/~styf/la2ht10 Material som delas ut på föreläsningarna, och mer, kan återfinnas här. Besök sidan varje dag så att du inte missar något. Lärare: Ramon Horvath: Ramon.Horvath@math.uu.se. Lektioner för ES3A, KandFy, Q2. Jimmy Kungsman: Jimmy.Kungsman@math.uu.se. Lektioner för X2B. Bo Styf: styf@math.uu.se, 0707-253107. Föreläsningar. Lektioner för ES3B, X2A. Preliminär plan: 1
Tillfälle Innehåll Kapitel i A 1-4 Föreläsningar (1-4) om vektorrum, delrum, linjärt beroende, bas, dimension, basbyte, nollrum, rang. 5 5 Lektion 1. 5 6-7 Föreläsningar (5-6) om inre produkter, vinkel, ortogonalitet, ON-baser, Gram-Schmidt. 6.1-6.3 8 Lektion 2. 6 9-10 Föreläsningar (7-8) om Gram-Schmidt, basbyte, ortogonala matriser. 6.3-6.6 11 Lektion 3. 6 12-13 Föreläsningar (9-10) om egenvärden, egenvektorer, diagonalisering, ON-diagonalisering. 7.1-7.3 14 Lektion 4. 7 15-16 Föreläsningar (11-12) om allmänna linjära transformationer, kärna och rang, inversa transformationen, matriser för linjära transformationer. 8.1-8.4 17 Lektion 5. 8 18 Föreläsning (13) om matriser för linjära transformationer, similaritet, isomorfier. 8.4-8.6 19 Föreläsning (14) om system av differentialekvationer och kvadratiska former 9.1, 9.5 20 Lektion 6. 8, 9 21 Föreläsning (15) om kvadratiska former, kägelsnitt och andragradsytor. 9.6-9.7 22 Lektion 7. 9 23-24 Föreläsningar (16-17) som ägnas åt tentamensförberedelser. 5 9 25 Lektion 8, som ägnas åt tentamensförberedelser 5 9 Lektioner med kryssproblem (redovisningsuppgifter): Till var och en av de åtta lektionerna hör tre problem som du skall försöka lösa. När du kommer till lektionen skall du, på en krysslista som tillhandahålls av läraren, kryssa i de problem som du, helt eller delvis, har lyckats lösa. Lösningarna skall sedan redovisas och betygsättas på lektionen enligt följande: Klassen kommer, på sätt vi finner lämpligt, att indelas i grupper om tre personer. Dessa grupper kommer att vara intakta under hela kursen. Om, till exempel, klassen består av 30 studenter så får vi tio grupper; A B C D E F G H I K. Innan lektionens början lottar läraren ut fem av dessa grupper, säg A B E H K. Dessa grupper skall presentera lösningar på kryssproblemen. Lösningarna, som skall presenteras både skriftligt och muntligt, skall granskas och betygssättas av de återstående grupperna, i detta fall alltså C D F G I. Antag att en ytterligare lottning, som görs av läraren innan lektionsstart, utfaller så att A B E H K skall betygsättas av F C I G respektive D. Efter en omflyttning kommer vi då att ha fem par av grupper A-F B-C E-I H-I och K-D, som förhoppningsvis kan genomföra redovisningen utan att störa varandra alltför mycket. Under nästföljande lektion byter grupperna roller så att grupperna C D F G I presenterar 2
lösningar och grupperna A B E H K sätter betyg. Vi gör en lottning så att man inte i förväg vet vilken grupp som sköter betygsättningen. Hur redovisningen/betygsättningen i detalj skall gå till är något vi får diskutera. En modell kan vara: Antag att A skall betygsättas av F. Medlemmarna, F1, F2 och F3, av grupp F har på förhand delat upp problemen så att, säg, F1 betygsätter problem 2, F2 betygsätter problem 1 och F3 betygsätter problem 3. I förväg har var och en av F1, F2 och F3 (i samråd?) gjort skriftliga betygsmallar för de problem man lyckats lösa. Om, till exempel, var och en av F1, F2 och F3 lyckats lösa alla tre problemen kommer varje gruppmedlem vid lektionens början ha tre betygmallar liggande framför sig. Betyget (eller poängen) på en lösning är någon av siffrorna 0, 1, 2, 3, 4, 5. Av mallen för problemet skall framgå vilken prestation som krävs för respektive betyg. För att lektionerna ska kunna fungera effektivt måste du uppmärksamma följande: Gör, innan lektionen, en lättläst skriftlig lösning, på A4-ark, av varje problem som du, helt eller delvis, kan lösa (varje problem du tänker kryssa alltså). Använd inte rödpenna (men ta gärna med en rödpenna till lektionen)! Överst på varje ark skall din klass, lektionsnummer, problemnummer och grupptillhörighet, samt lösningssidan anges. Exempelvis: ES3B, lektion 1, problem 3 Trazan Apansson A1 - sid 2 av 2 Här betyder A1 att Trazan Apansson är medlem nummer ett (av tre) av grupp A. Efter A1 - har utrymme lämnats för att skriva in beteckningen på betygsättaren om det blir så att Trazan Apansson ska redovisa sin lösning av problem 3. Om så blir fallet och F3 (den tredje medlemmen av grupp F) väljs ut att så fyller Trazan i detta så att sidhuvudet blir ES3B, lektion 1, problem 3 Trazan Apansson A1 - F3 sid 2 av 2 Skriv bara på arkets ena sida. Lämna ordentligt med utrymme för kommentarer på varje sida. Börja nytt problem på nytt ark. Gör, innan lektionen, en skriftlig betygsmall, på separat ark, till varje problem som du, helt eller delvis, kan lösa. Överst på arket skall din klass, lektionsnummer, problemnummer, namn och grupptillhörighet anges. Exempelvis: ES3B, lektion 1, problem 3 Apan Trazansson F3 betygsmall Givetvis kan man inte betygsätta ett problem som man inte, åtminstone delvis, lyckats lösa, så det kan uppkomma en del udda situationer, exempelvis att en student får betygsätta två problem eller att läraren får hoppa in. Redovisningen, i vårt exempel, börjar med att F3 ber A1 (om A1 kryssat detta problem!) att redovisa lösningen av problem 3. A1 överlämnar sin skriftliga lösning till F3 och går sedan igenom lösningen muntligt. Under redovisningen noterar F3 (och övriga medlemmar av grupp F) lösningens förtjänster och brister och ställer frågor till A1 om något är oklart. F3 skriver, 3
med rött, in kommentarer till lösningen. När redovisningen är klar bestämmer F3 ett betyg som skrivs in i slutet av lösningen. F3 överlämnar sedan A1:s skriftliga, vid det här laget rödkommenterade, lösning av problem 3, tillsammans med sin betygsmall för problem 3, till läraren. När läraren har gått igenom de inlämnade papperen återfår A1 och F3 sin lösning respektive betygsmall. Likadant gör man förstås med de båda andra problemen. För att underlätta för läraren skall grupp F göra en sammanställning av redovisningsresultatet, som bifogas till de övriga papperen. Sidhuvudet på sammanfattningen kan, till exempel, ha formatet ES3B, lektion 1 A - F redovisning och betygsättning Själva sammanfattningen kan, till exempel, se ut som Problem 1: A2 - F1, betyg 3 Problem 2: A3 - F2, betyg 4 Problem 3: A1 - F3, betyg 5 Hela redovisningen skall vara avklarad under den första halvan av lektionen. Det bör faktiskt gå mycket fortare än så! Under min första lektion tog jag hand om betygsättningen av en hel grupp. Hela proceduren (tre redovisningar/betygsättningar) gick på mindre än en kvart. Det är mycket viktigt att vi har ordentligt med tid för frågor och problemdemonstration. Om du kryssat minst 50%, respektive minst 80%, av redovisningsuppgifterna får du 1, respektive 2, bonuspoäng. Dessa kommer att adderas till skrivningspoängen vid ordinarie tentamen. Betyget du får på kursen kommer bara att bero på hur du lyckas på sluttentan. Betygen du får (eller ger) under lektionerna kommer inte att vägas in på något sätt. Givetvis kommer din aktivitet (eller brist på aktivitet) under lektionerna att i hög grad påverka ditt kursbetyg. Har du två bonuspoäng ligger du mycket bra till! Bonuspoängen från kryssuppgifterna tillgodoräknas enbart vid första tentamenstillfället. 4
Lektionsanvisningar Inför lektion nr 1 Till lektion nr 1 bör du förbereda (dvs lösa) följande uppgifter: avs.5.1, s.226-227: 1-3, 6, 10, 12, 15, avs.5.2, s.238-239: 1-3, 6, 7, 9-12, 15, avs.5.3, s.248-249: 1, 3, 4, 9, avs.5.4, s.263-265: 1-5, 9-11, 21, 22, 27, avs.5.5, s.276-278: 1-3, 5-9, 12, avs.5.6, s.288-289: 2, 3, 7, 8, 12, 13. Extraövningar 1. Delrummet M av R 4 spänns upp av vektorerna u 1 = (1, 1, 0, 1), u 2 = (2, 1, 1, 1), u 3 = (0, 3, 1, 3), u 4 = (1, 2, 3, 1), u 5 = (1, 1, 2, 4). För vilka värden av den reella konstanten a tillhör vektorn v = (4, a + 3, 5, a 4) delrummet M? Finn en bas i M bland de givna vektorerna u 1,..., u 5. Bestäm även, för a = 2, koordinaterna för vektorn v i den bas du valde. 2. Visa att om M och N är delrum till ett vektorrum V så är även M N ett delrum till V. Två delrum till R 4 är och Bestäm en bas i M N. M = span{(1, 2, 0, 1), ( 1, 1, 3, 2), (2, 7, 3, 1)} N = span{(0, 1, 2, 3), (0, 2, 4, 6), (1, 3, 1, 6), (1, 5, 3, 0)} 3. N är det delrum till R 4 som spänns upp av vektorerna u 1 = (1, 0, 1, 1), u 2 = (2, 1, 1, 1) och u 3 = (1, 1, 2, 1), d.v.s. N = span{u 1, u 2, u 3 }. (a) Avgör om vektorerna v = (0, 2, 2, 11) och w = (2, 1, 2, 1) tillhör N. (b) För vilka värden av den reella konstanten a tillhör vektorn u = (2 a, 1 2a, 2, 1) det linjära höljet N? (c) Beskriv det linjära höljet N som en lösningsmängd till ett homogent linjärt ekvationssystem i 4 obekanta. 5
(Obs: om du föredrar det, kan du först lösa del (c) och därefter delarna (a) och (b) av uppgiften.) 4. För vilka värden på den reella konstanten b är vektorerna v 1 = (1, 0, 1, 1) v 2 = (2, 1, 1, 1) och v 3 = (1, 2 + b, 1 b, 2) i R 4 linjärt oberoende? 5. Delrummet M till R 4 ges av Finn en bas i M. M = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) R 4 x 1 x 3 + 2x 4 = 0 och x 1 x 2 + x 3 x 4 = 0}. 6. L är ett linjärt rum, u, v, w är tre linjärt oberoende vektorer i L. Låt a vara en reell konstant. M är det delrum till L som spänns upp av vektorerna g 1 = u+(a+1)v +w g 2 = u+(3 a)v +aw och g 3 = au + 2v + (2 a)w, M = span{g 1, g 2, g 3 }. Bestäm dim M för varje värde av den reella konstanten a. 7. Bestäm en bas i det linjära höljet M av v 1 = (1, 1, 2, 1), v 2 = ( 1, 1, 2, 1), v 3 = (2, 1, 0, 1), v 4 = (3, 2, 2, 0), v 5 = (1, 0, 2, 2), v 6 = (0, 1, 4, 3) och ange koordinaterna för de givna vektorerna i denna bas. Facit: 1. a = 2. u = (u 1, u 2, u 4 ) utgör en bas i M (t.ex.). Om a = 2 : v = u 1 + 2u 2 + u 4 = ( 1, 2, 1) u. 2. T.ex (1, 5, 3, 0). 3. (a) v N, w / N, (b) a = 1, (c) N = {(y 1, y 2, y 3, y 4 ) R 4 y 1 y 2 y 3 = 0} 4. b 1. 5. v 1 = (1, 2, 1, 0), v 2 = ( 2, 3, 0, 1) (t.ex.) 6. dim M = 3 om a 6, 1, dim M = 2 om a = 6 och dim M = 1 om a = 1. 7. T.ex. {v 1, v 3 } är en bas i M och v 2 = v 1 ; v 4 = v 1 + v 3 ; v 5 = v 3 v 1 ; v 6 = 2v 1 v 3. 6
Inför lektion nr 2 Till lektion nr 2 bör du förbereda (dvs lösa) följande uppgifter: avs.6.1, s.304-305: 3-6, 9-13, 16, 19, avs.6.2, s.315-316: 1-11, 15-18, avs.6.3, s.329-330: 3-9, 16, 18, 20, 22, 23 Extraövningar 1. Använd Gram-Schmids metod för att ortogonalisera: (1, 1, 1), (1, 0, 2), ( 1, 2, 1) i E 3. 2. Bestäm en ON-bas i M = span{(2, 1, 1, 1), (2, 2, 0, 3), (0, 1, 1, 2), (1, 0, 0, 1)} som ett delrum i E 4. 3. M är ett delrum till E 4 som definieras genom M = {(x 1, x 2, x 3, x 4 ) E 4 x 1 + x 2 + x 4 = 0 och x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 = 0}. (a) Finn en ON-bas i M. (b) Finn en ON-bas i det ortogonala komplementet M. (c) Skriv vektorn u = (1, 1, 2, 0) E 4 som en summa u = u 1 + u 2 med u 1 M och u 2 M. (d) P : E 4 E 4 är den ortogonala projektionen av E 4 på M. Finn P :s matris i standardbasen i E 4. (Gör denna uppgift inför lektion 3!) Obs: Kunde du först lösa del (d) och därefter, med hjälp av denna lösning, del (c) av uppgiften? 4. Bestäm den ortogonala projektionen av u = (1, 1, 2) på linjära höljet M av (2, 1, 0), (1, 1, 2), (1, 0, 2) och använd den för att finna avståndet från u till M. Facit: 1. (1, 1, 1), (0, 1, 1), ( 2, 1, 1). 2. T. ex. 1 (1, 0, 0, 1), 1 2 2 ( 1, 1, 1, 1), 1 (1, 5, 3, 1). 6 3.(a). e 1 = 1 2 (0, 1, 0, 1), e 2 = 1 10 ( 2, 1, 2, 1). (t.ex.) 3.(b). e 3 = 1 2 (1, 0, 1, 0), e 4 = 1 10 (1, 2, 1, 2). (t.ex.) 3.(c). u = u 1 + u 2 med u 1 = (1, 0, 1, 1) M och u 2 = (0, 1, 1, 1) M. 7
3.(d). A = 1 5 2 1 2 1 1 3 1 2 2 1 2 1 1 2 1 3. 4. Projektionen är 1 21 (5, 11, 34) och avståndet är 8/ 21. 8
Inför lektion nr 3 Till lektion nr 3 bör du förbereda (dvs lösa) följande uppgifter: avs.6.4, s.339-340: 4-6, 9-11, avs.6.5, s.345-346: 1-6, 8, 10, avs.6.6, s.353-355: 1-3, 6, 8, 9, 12, 13. Extraövningar 5. Låt u = (1/ 3, 1/ 3, 1/ 3) E 3. Bestäm en ON-bas B i E 3 sådan att u har koordinatvektorn (u) B = (0, 1, 0) i basen B. 6. Låt M = span{(1, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 0)} och låt proj M : E 4 E 4 vara ortogonala projektionen på M. Bestäm standardmatrisen för proj M. Vad blir proj M (1, 2, 3, 5)? Bestäm även avståndet från (1, 2, 3, 5) till M. 7. Rummet P 2 (av alla polynom med grad högst 2) förses med den inre produkten u, v = 1 1 u(x)v(x) dx. Bestäm med Gram-Schmidt s metod, utgående från basen 1, x, x 2, en ONbas i P 2. Visa 2 1 att a 0 + a 1 x + a 2 x 2, b 0 + b 1 x + b 2 x 2 = (3a 0 + a 2 )(3b 0 + b 2 ) 9 Låt M = span{1 + x x 2 }. Bestäm ON-baser i M och M. 8. Låt M = {x E 4 x 1 + x 3 + x 4 = x 2 x 3 + x 4 = 0}. + a 1b 1 3 + 4a 2b 2 45 (a) Bestäm standardmatrisen P för ortogonala projektionen på M och standardmatrisen Q för ortogonala projektionen på M. (b) Beräkna proj M (1, 2, 3, 4) och proj M (1, 2, 3, 4). (1, 2, 3, 4) till M respektive M. Beräkna även de båda avstånden från (c) Låt F vara projektionen på M parallellt med N = span{(1,0,1,-1),(1,2,0,-1)} och låt G vara projektionen på N parallellt med M. Bestäm standardmatriserna A och B för F respektive G (d.v.s F (x) = Ax och G(x) = Bx). (d) Beräkna F (1, 2, 3, 4) och G(1, 2, 3, 4). 9. E = {e 1, e 2, e 3 } är en bas i vektorrummet V. Inför en ny bas B = {b 1, b 2, b 3 } genom b 1 = 2e 1 + e 2 + e 3 b 2 = e 1 + e 2 e 3 b 2 = 2e 1 + 3e 2 e 3 9
Bestäm koordinaterna för vektorn u = 3e 1 2e 2 + e 3 i basen B och bestäm koordinaterna för vektorn v = 3b 1 2b 2 + b 3 i basen E. Bestäm även koordinaterna för v u i baserna B och E. Ange basbytesmatriserna T be och T eb. Facit: 5. T.ex v 1 = (1, 0, 1)/ 2, v 2 = u och v 3 = ( 1, 2, 1)/ 6. 6. proj M har standardmatrisen 1 1 0 0 1 1 1 0 0 2 0 0 1 1 0 0 1 1 proj M (1, 2, 3, 5) = (3, 3, 2, 2)/2. Avståndet är 1 2 130. 7. ON-basen i P 2 (som Gram-Schmidt frambringar) är {1, 5 3 x, 2 (3x2 1)}. En ON-bas i M { } { } 15 3 5 är 13 (1 + x x2 ). En ON-bas i M är (1 2x), 7 2 (1 3x2 ). 8. (a) P = P 2 = 1 3 2 0 1 1 0 2 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 Q = I P = Q 2 = 1 3 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 2 0 1 1 0 2 (b) proj M (1, 2, 3, 4) = ( 5, 3, 4, 1)/3 och proj M (1, 2, 3, 4) = (8, 3, 5, 11)/3. 1 1 219 respektive 51. 3 3 (c) A = A 2 = 2 1 2 4 4 1 2 6 1 0 0 1 3 1 2 5 B = I A = B 2 = Avstånden är 3 1 2 4 4 2 2 6 1 0 1 1 3 1 2 4 (d) F (1, 2, 3, 4) = ( 26, 36, 5, 31), G(1, 2, 3, 4) = (27, 38, 8, 27) = (1, 2, 3, 4) F (1, 2, 3, 4). 9. u = 7 4 b 1 4b 2 + 5 4 b 3, v = 10e 1 + 4e 2 + 4e 3 och v u = 19 4 b 1 + 2b 2 1 4 b 3 = 7e 1 + 6e 2 + 3e 3 10
Inför lektion nr 4 Till lektion nr 4 bör du förbereda följande uppgifter: avs.7.1, s.367-368: 1-6, 12, 14, 19, 22, avs.7.2, s.378-379: 1, 2, 6, 7, 17, 19, 21, avs.7.3, s.383-384: 7, 9, 10, 12. Extraövningar 1. Den linjära avbildningen F : R 3 R 3 har i standardbasen matrisen 2 1 2 A = a 2 a 3, 1 1 1 där a är en reell konstant. För vilka värden på konstanten a är avbildningen F diagonaliserbar? För varje sådan a bestäm en bas i R 3 bestående av egenvektorer till F. 2. Bestäm samtliga egenvärden och egenvektorer till A = 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1. Facit: 1. F är diagonaliserbar omm a = 1. Om a = 1 : en bas av egenvektorer till F : u 1 = (1, 1, 0), u 2 = (2, 0, 1), u 3 = ( 1, 1, 1). (t.ex.) 2. Egenvärden: 0, 4. Egenvektorer för 0: (1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0), (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1); egenvektorer för 4: (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0). 11
Inför lektion nr 5 Till lektion nr 5 bör du förbereda följande uppgifter: avs.8.1, s.398-400: 2-5, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 22, 31, 32, avs.8.2, s.405-406: 1-6, 13, 21, avs.8.3, s.413-416: 1-6, 13, 17. avs.8.4, s.426-428: 1, 3, 4, 6-8, 10, 12 Extraövningar 1. För vilka värden på den reella konstanten a finns en linjär operator på R 3 vars nollrum spänns upp av vektorerna (1, 0, 1), (1, 1 a, a) samtidigt som värderummet spänns upp av vektorerna (1, 1, 1) och (1, 1 a, 1)? Ge exempel på en sådan linjär operator i de fall sådana existerar. 2. Låt F vara den linjära operatorn på R 3 som har standardmatrisen 4 3 3 A = 1 1 1 1 2 2 och låt M vara delrummet till R 3 som spänns upp av vektorn (1, 2, 3). Delrummet N till R 3 definieras genom N = {u R 3 F (u) M}. (i) Visa att N är ett delrum till R 3 (ii) Bestäm en bas i N. 3. Vi ser vektorerna i R 2 som kolonnmatriser. Avbildningen F : R 2 M 22 definieras genom ( ) F (x) = b x T 1, där b = och x R 2 1 (a) Visa att F är linjär. (b) Bestäm F :s matris med avseende på standardbaserna i R 2 och M 22. (c) Bestäm en bas i N(F ) och en bas i V (F ). Facit: 1. Antag att F har standardmatrisen A. Av dimensionssatsen, d.v.s dim(n(f ))+dim(v (F )) = 3, följer att endera har vi dim(n(f )) = 1 eller dim(v (F )) = 1. Detta inträffar då a = 1 respektive då a = 2 (då a / {1, 2} finns ingen operator F av önskat slag). I det första fallet 12
(a = 1) gäller N(F ) = span{(1, 0, 1)}, V (F ) = span{(1, 0, 1), (0, 1, 0)}. Vektorerna (x 1, x 2, x 3 ) i A:s radrum måste då uppfylla x 1 + x 3 = 0 så en bas i radrummet är t.ex (1, 0, 1) och (0, 1, 0). Om A = 1 0 0 1 1 0 ( 1 0 1 0 1 0 har vi därför en operator F som uppfyller kraven. ) = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 I det andra fallet (a = 2) gäller V (F ) = span{(1, 1, 1)}, N(F ) = span{(1, 0, 1), (0, 1, 1)}. Vektorerna (x 1, x 2, x 3 ) i A:s radrum måste då uppfylla x 1 + x 3 = 0 och x 2 + x 3 = 0 så en bas i radrummet är t.ex (1, 1, 1). Om A = 1 1 1 ( 1 1 1 ) = får vi därför en operator F med N(F ) och V (F ) enligt ovan. 2. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (i) Om u, v N, k R så får vi F (ku + v) = kf (u) + F (v) M ty F (u) M, F (v) M och M är ett delrum. (ii) Då x N F (x) = (s, 2s, 3s) för något s R följer att N utgörs av lösningarna till det på matrisform skrivna ekvationssystemet 4 3 3 s 1 0 0 s 1 1 1 2s 0 1 1 s 1 2 2 3s 0 0 0 0 Av den sista matrisen framgår att N = {(x 1, x 2, x 3 ) x 1 = s, x 3 = x 2 + s} vilket betyder att N = span{(1, 0, 1), (0, 1, 1)}. 3. (a) (b) F (ku + v) = b (ku + v) T = k b u T + b v T = k F (u) + F (v). [F ] = 1 0 0 1 1 0 0 1 (c) N(F ) = { 0} {( 1 0 V (F ) = span 1 0 ), ( 0 1 0 1 )} 13
Inför lektion nr 6 Till lektion nr 6 bör du förbereda följande uppgifter: avs.8.5, s.439-441: 1, 3, 4, 12, 13, 14, avs.8.6, s.445: 1-4. avs.9.1, s.456-457: 1-9, avs.9.5, s.485-486: 1, 3, 4, 6, 9, 10, 14 Extraövningar 1. Låt n vara ett positivt heltal. Mängden Q av alla kvadratiska former q : R n R utgör ett delrum till funktionsrummet över R n (vektorrummet av alla funktioner f : R n R). Låt M vara det linjära rummet av alla n n-matriser och betrakta avbildningen F : M Q som ges av F (A) = q A, där q A (x) = x T Ax (x ses som en kolonnmatris). (a) Visa att F är linjär. (b) Bestäm dimensionerna av N(F ), V (F ) och Q. 14
Inför lektion nr 7 Till lektion nr 7 bör du förbereda följande uppgifter: avs.9.6, s.496-497: 9-14, avs.9.7, s.501-502: 1-3, 7, 9-12. Extraövningar 1. Låt n vara ett positivt heltal. Mängden Q av alla kvadratiska former q : R n R utgör ett delrum till funktionsrummet över R n (vektorrummet av alla funktioner f : R n R). Låt M vara det linjära rummet av alla n n-matriser och betrakta avbildningen F : M Q som ges av F (A) = q A, där q A (x) = x T Ax (x ses som en kolonnmatris). (a) Visa att F är linjär. (b) Bestäm dimensionerna av N(F ), V (F ) och Q. 15
Inför lektion nr 8 Till lektion nr 8 bör du förbereda följande uppgifter: Extraövningar 1. Låt n vara ett positivt heltal. Mängden Q av alla kvadratiska former q : R n R utgör ett delrum till funktionsrummet över R n (vektorrummet av alla funktioner f : R n R). Låt M vara det linjära rummet av alla n n-matriser och betrakta avbildningen F : M Q som ges av F (A) = q A, där q A (x) = x T Ax (x ses som en kolonnmatris). (a) Visa att F är linjär. (b) Bestäm dimensionerna av N(F ), V (F ) och Q. Blandade övningar 1. Visa att det finns en unik inre produkt i R 2 på formen x, y = c 11 x 1 y 1 + c 12 x 1 y 2 + c 21 x 2 y 1 + c 22 x 2 y 2, sådan att b 1 = (3, 2) och b 2 = (4, 3) utgör en ON-bas i R 2 med avseende på denna inre produkt. Bestäm även alla 2 2-matriser A sådana att x, y = (Ax) (Ay). Facit: 1. Den unika inre produkten är x, y = 13x 1 y 1 18x 1 y 2 18x 2 y 1 + 25x 2 y 2. De sökta matriserna ges av A = P M, där P är en godtycklig ortogonalmatris, ( ) ( ) M = B 1 3 4 3 4 = och B = (b 2 3 1 b 2 ) = 2 3 16