Huvudräkning är ett relativt nytt innehåll i den australienska

Ann Heirdsfield Att knyta forskning till praktik huvudräkning och taluppfattning Denna artikel med ursprung i Australien redovisar ett projekt där en forskare, författaren, och två lärare samarbetade. De använde resultat från forskning och omsatte det till konkret klassrumspraktik med syfte att eleverna skulle utveckla huvudräkningsstrategier och en god taluppfattning. Huvudräkning är ett relativt nytt innehåll i den australienska matematik kursplanen för de yngsta eleverna. Det är en viktig färdighet eftersom den ger elever möjlighet till att bättre förstå hur tal fungerar, ta beslut om procedurer och kunna utveckla beräkningsstrategier, vilket sammantaget främjar en välutvecklad känsla för tal. Intervjuare: Intervju 1 Mitchell (7 år): 99 $ 36 $ Hur mycket kostar skorna och t-shirten tillsammans? Det är för mycket. Jag kan inte räkna ut det. Intervju 2 (åtta veckor senare) Mitchell: Ta 1 från de 6; det ger 100. Ett hundra plus 35 är lika med 135. Vikten av att stärka elevers förmåga att resonera, representera, kommunicera och upptäcka samband kan inte nog betonas. De är alla viktiga delar i en god matematikundervisning. I undervisningen i och om huvudräkning bör betoning ligga på att elever utvecklar sina strategier genom att undersöka, diskutera och motivera sitt tänkande och sina lösningar. För en del lärare innebär detta att de behöver rucka på sina uppfattningar och attityder om undervisningens innehåll och genomförande de första skolåren. Dessa lärare behöver stöd för att genomföra förändringarna. Vid översättningen har vi valt att anpassa språkbruket till svenska förhållanden, exempelvis kallar vi primary-grade teachers för lågstadielärare. Översättning: Lena Trygg. Nämnaren nr 2 2014 3

Med detta som bakgrund arbetade jag tillsammans med Pam och Sue, två lågstadielärare, för att hjälpa dem förbättra sin praktik och introducera huvudräkning i deras klassrum. Pam och Sue undervisar 6-, 7- och 8-åringar i Brisbane, Australien. Den här artikeln handlar om hur de båda engagerar sina elever för att de ska utveckla ett strategiskt tänkande i matematik genom att tillämpa forskning i klassrumspraktiken. Vad vi gjorde I Australien består läsåret av fyra perioder och i en första tioveckorsperiod fick Pam och Sue läsa en del forskningslitteratur om huvudräkning. Vi tre intervjuade också eleverna individuellt för att identifiera de huvudräkningsstrategier de möjligen redan använde för att exempelvis beräkna 26 + 19 som 26 + 20 1. Under den andra perioden formulerade vi en arbetsplan baserad på den forskning de läst och det matematikkunnande elevernas då hade. Pam och Sue undervisade. Jag observerade under lektionerna, gav feedback och gav föreslag till det följande lektionsinnehållet. Slutligen, under den tredje perioden, intervjuade vi eleverna igen för att se om de hade utvecklat fler huvudräkningsstrategier. Forskningen Relevant forskning fokuserar på tre delar: 1. huvudräkningsstrategier 2. hur elevers utveckling av effektiva huvudräkningsstrategier kan stödjas med hjälp av modeller 3. en begreppskarta för huvudräkning. Huvudräkningsstrategier Lärare behöver ett gemensamt språk med ord och termer för att uttrycka elevers strategier och för att förstå eleverna när de förklarar sina strategier. Tyvärr finns det inte en helt vedertagen terminologi för att identifiera huvudräkningsstrategier, se exempelvis följande tre sätt att beräkna 37 + 28: 30 + 20 = 50; 7 + 8 = 15; 50 + 15 = 65 är känd som the split method i England, som the 1010 (ten-ten) procedure i Nederländerna och även som partitioning. På svenska används talsortsräkning. 37 + 20 = 57; 57 + 8 = 65 är i engelskspråkig litteratur känd som jumping, bridging through 10, sequencing eller cumulative (N10). På svenska sekvensering, dvs att först addera termernas tiotal och därefter entalen. 37 + 30 = 67; 67 2 = 65 kallas compensation eller N10C. På svenska kompensation. För att ge Pam och Sue idéer om olika strategier som elever kan utveckla, eller redan använder, sammanfattade jag de strategier som omnämns i litteratur från Nederländerna, USA, Storbritannien och Australien. Jag föreslog inte att de skulle använda någon särskild terminologi, eftersom det inte är konsensus i litteraturen. Lärarna beskrev strategier på sina egna sätt och de uppmuntrade eleverna att beskriva de egna strategierna. 4 Nämnaren nr 2 2014

Modeller Litteraturen vi läste rekommenderar tre modeller eller representationer som elever kan använda för att stödja huvudräkningsstrategier: 99-rutan, 100- rutan och den tomma talllinjen. Jag föreslog olika sätt som lärarna kunde introducera dessa och hur eleverna skulle kunna använda dem. En del laborativa matematikmaterial är inte effektiva som stöd för elevers huvudräkningsstrategier. Exempelvis representerar tiobasmaterial tal i förhållande till sina platsvärden. När elever använder tiobasmaterial delar de ofta upp tal i talsorter, t ex tiotal och ental, och utvecklar därför inte effektiva huvudräkningsstrategier som jumping eller compensation, dvs att först addera eller subtrahera tiotal respektive använda kompensation. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 52 28: 51 2=50, 50 6=44, 44 20=24 38+25: 38+20=58, 58+2=60, 60+3=63 38 58 60 63 Begreppskarta I min egen forskning har jag utvecklat en begreppskarta som lärare kan använda vid planering av undervisning av huvudräkning. Kartan på nästa sida visar på samband mellan begreppsförståelse och säkerhet i huvudräkning. Ett exempel: En elev kan lösa 246 + 199 genom att använda strategin att 246 + 200 = 446 och 446 1 = 445. För att använda den strategin behöver eleven förstå följande begrepp: talförståelse förståelse för tals storlek och värde, särskilt tals grannar som att 199 är nära 200 och att 1 för mycket lades till vid additionen, inte 10 eller 100 för många. att förstå operationer med tal effekten av att ändra termen 199 till 200 medför att om man lägger till för mycket måste man ta bort motsvarande i slutsumman. talfakta att veta att 9 + 6 = 15. Alternativt, att använda talfakta som en strategi för att gå via 10, t ex 9 + 6 = 10 + 6 1. uppskattning att kontrollera rimlighet i lösningen. Nämnaren nr 2 2014 5

99 is close to 100 246+100=346, so 246+99=346-1 100 = 10 tens Mulitiplicative aspect Proximity of numbers effect of changing addend 346-100=246, so 346-99=246+1 52 = 5 tens + 2 ones Canonical understanding Numeration Effect of operation on number effect of changing subtrahend 5 2 = 4 tens+12 ones or 3 tens+22 ones Noncanonical understanding Mental computation 9+6=10+6-1 sense of size of numbers Estimation Numbe r facts strategies fast accurate Genom begreppskartan kunde Pam och Sue se att huvudräkning är en del av ett större sammanhang och att eleverna måste förstå närliggande begrepp och göra kopplingar mellan dem. Vad lärarna gjorde Pam och Sue planerade sin undervisning utifrån den forskningslitteratur de hade läst och våra elevintervjuer. Några elever hade redan utvecklat strategier, medan andra räknade ett i taget och ytterligare ett fåtal elever klarade inte ens att försöka lösa uppgifterna. I planeringen fokuserade lärarna på frågor att ställa till eleverna: Hur löste du detta? Vem löste detta problem på ett liknande sätt? På vilket sätt är din metod lik denna? Hur är din annorlunda? Pam och Sue gav eleverna uppgifter och förslag på strategier för att hjälpa dem göra beräkningarna. Dessutom hjälpte de eleverna att se samband mellan matematiska begrepp (identifierade i begreppskartan) genom en noggrant planerad struktur av lektionerna. Ett exempel: Uppgifter som 46 + 20 presenterades innan 46 + 24, vilka i sin tur introducerades innan 46 29. Undervisningen fokuserade främst på att uppmuntra eleverna att tänka strategiskt. Tomma tallinjen Eleverna hade ingen tidigare erfarenhet av att använda en tom tallinje. Pam och Sue introducerade först en tallinje där tiotalen var utsatta och det fanns 6 Nämnaren nr 2 2014

graderingar emellan. De uppmuntrade eleverna att föreslå var talen skulle placeras på tallinjen och förklara varför de skulle placeras just där. Sen, för att uppmuntra eleverna att först addera tiotalen i beräkningar, fick eleverna hoppa 10-skutt framåt och bakåt på tallinjen från talet de hade startat med. Lärarna gjorde eleverna uppmärksamma på sambandet mellan 10-skutt och att addera och subtrahera med multiplar av 10, som att 73 40 är detsamma som att starta på 73 och göra fyra 10-skutt bakåt. Därefter introducerade lärarna den tomma tallinjen. De ritade en linje utan markeringar på tavlan och bad eleverna lösa problemet 95 + 30. Sue: Natasha: James: Tanya: Hur kan vi använda den här tallinjen för att lösa uppgiften? Nittiofem ska vara till höger eftersom det är där 95 finns. Vi behöver göra en längre linje. Vi kan markera 95 till vänster så vi kan ta 10-skutt åt höger. Pam och Sue uppmuntrade eleverna att beskriva sina strategier så att de kunde lära av varandra. Eleverna använde var sin tallinje för att beräkna och sedan visa sin strategi. 99-rutan och 100-rutan Pam och Sue introducerade 99-rutan och 100-rutan och bad eleverna hitta olika tal på dem. Sue: Hur fann du 26, Lachlan? Lachlan: Jag drog mitt finger nedför linjen [den första kolumnen på 99-rutan]. Jag hittade raden med 20 först och sen tittade jag efter 6:an. Sue: Var det någon som fann 26 på något annat sätt? Helen: Ja, jag letade efter 6 [i översta raden] och gick sedan neråt till 26. Några elever upptäckte talmönster när de gjorde 10-skutt och var ivriga att få berätta om sina upptäckter för kamraterna: Melissa (drar sitt finger längs 9-kolumnen): 19, 29, 39, 49,, 99. Pam: Vad är det som händer? Mark: De är alla lika i samma kolumn. Mary: De slutar alla på 9. Jane: De ökar med 10. Pam: Hur kan vi addera 19 till 17? Nick: Jag fick 36. Jag gick ner 10 från 17 och sen ner 10 till och sen backade en lade till två 10:or, det är 20, sen backade jag ett till 19. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Nämnaren nr 2 2014 7

Även om eleverna använde tre modeller (99- och 100-rutorna samt den tomma tallinjen) var det elevernas huvudräkningsstrategier som fokuserades. Eleverna bestämde själva hur de skulle lösa uppgifterna. Pam och Sue uppmuntrade hela tiden eleverna att förklara sina tankar, jämföra sina strategier med varandra och diskutera. Jag deltog på de lektioner då Pam och Sue arbetade med huvudräkningsstrategier, men jag var inte med på övriga matematiklektioner. På de andra lektionerna arbetade de med närliggande innehåll som räkning och tabellkunskaper utifrån behov som hade identifierats med hjälp av begreppskartan. Vad lärarna lärde Pam och Sue sa att forskningen som fokuserade på strategier, modeller och sammankopplat kunnande (begreppskartan) hjälpte dem att utveckla sin matematikundervisning. Forskare: Pam: Vad mer hjälpte er att planera era lektioner? Begreppskartor har blivit en del i min planering. Jag använde din begreppskarta för att identifiera var eleverna var och vad varje elev behövde. Nu gör jag en ny begreppskarta innan jag börjar undervisa ett nytt innehåll. Det hjälper mig att se samband Jag tänker också på sambanden mellan lektionerna i min planering. Begreppskartan förändrade mitt sätt att tänka. Den gjorde mig mer medveten om varför vi undervisar vissa saker. Begrepp och färdigheter kommer inte upp isolerade. Efter att ha blivit introducerade till begreppskartan utvecklade Pam och Sue sina egna begreppskartor innan de påbörjade undervisning inom ett nytt kursplaneområde, inte bara i matematik. Båda tyckte att stöd från en forskare och läsning av bakgrundsmaterial hade hjälpt dem att göra undervisningen mer intressant. Eleverna deltog entusiastiskt. De såg mening i sitt matematiklärande, de kunde exempelvis se varför de skulle lära sig tabeller och om positionssystemet eller att räkna i 10-skutt, och att det hjälpte dem att göra beräkningar. Med betoning på process istället för produkt kunde Pam och Sue notera att eleverna utvecklade tilltro till sin matematikförmåga. Eleverna blev allt bättre på att använda olika och mer lämpliga strategier. Lärarna gladde sig också åt att eleverna blev allt mer intresserade och mer engagerade. lyser igenom blått Vad eleverna lärde Pam och Sue använde de tre modellerna för att stödja eleverna, men visade dem inte särskilda strategier att använda. Istället uppmuntrade de eleverna att få syn på sina egna. Som en följd utvecklade eleverna en mångfald av strategier. Ett exempel: När eleverna använde den tomma tallinjen för att beräkna 43 + 32 tog en del elever först 1-skutt och sedan 10-skutt, medan andra först tog 10-skutt och sedan 1-skutt. 8 Nämnaren nr 2 2014

Eleverna delade ivrigt med sig av sina idéer och lyssnade på kamraterna. Här är en del av ett klassrumssamtal om att använda den tomma tallinjen för att lösa uppgiften 109 47: Pam: Vad är det som är annorlunda med detta exempel? Mandy: Det är ta bort. Ben: Vi måste starta i den andra änden. Pam: Ben sa att vi måste starta i den andra änden Tim: Nej, det behöver vi inte. Vi kan starta på 47 och sen lägga till. Efter denna inledande diskussion använde eleverna både lägga till - och ta bort -strategier för att subtrahera. Nämnaren nr 2 2014 9

Under läsåret utvecklade många elever användbara strategier. I de inledande och uppföljande intervjuerna fick eleverna lösa uppgifterna i huvudet utan att använda den tomma tallinjen eller rutorna som konkret hjälp. I de första intervjuerna kunde åtskilliga elever bara lösa några uppgifter eller så räknade de på fingrarna. När vi intervjuade eleverna andra gången hade alla utvecklat strategier. Några hade utvecklat särskilt kraftfulla strategier. Många elever, som Molly 6 år, hade vid första intervjun använt fingrarna för att lösa 5 + 9. I den andra intervjun sa hon: Tio plus fem är lika med femton, ett mindre är lika med fjorton. De flesta löste uppgifter genom att använda effektiva strategier liknande Mollys. De använde även effektiva strategier för att operera med större tal. Exempelvis sa Mitchell om 26+9: Ta bort 1 från 6, lägg till det till 9; 10 plus 25 är lika med 35. Jackson sa om samma uppgift: Jag tog 1 från de 6, och då var det 5 kvar; 25 plus 10 är lika med 35. Subtraktion är ofta svårare än addition och flertalet elever kunde inte lösa så många subtraktionsuppgifter före projektet. Genom undervisningen utvecklade de effektiva strategier även för subtraktion. Ett exempel: Lachlan, 7 år, löste 30 19 och förklarade: Nitton är nära tjugo. Trettio minus tjugo är tio. Svaret är elva. Jackson använde en annan effektiv metod: Tio mindre är tjugo. Men det är två tior. Så nitton mindre är elva. Molly löste 134 99 genom att: ändra 99 till 100 och lägg 1 till 134 för att få 135. Ta bort 100 från 135, det är 35. Avslutande kommentarer Genom projektet fick lärarna förståelse för några principer för att öka elevernas lärande, inte bara i huvudräkning, genom att införa och använda dem i sin undervisning: 1. Avgöra vilket kunnande eleverna har. (I detta projekt genom enskilda intervjuer med eleverna.) 2. Identifiera närliggande begrepp som är nödvändiga för att förstå samband. (Jag gav lärarna en begreppskarta för huvudräkning och sedan sammanställde de egna när de introducerade nya områden.) 3. Att undervisa om närliggande begrepp, samband mellan begrepp och att hjälpa eleverna se sambanden. 4. Upprätthålla en klassrumsmiljö där eleverna känner sig trygga med att undersöka, dela, kritisera och motivera sina strategier och lösningar; där processen är lika viktig som produkten. Fokus i de båda klassrummen var inte bara att hjälpa eleverna att utveckla huvudräkningsstrategier utan också att hjälpa dem utveckla högre ordning av tänkande resonemang, bedömning, förståelse för tal och operationer med tal avseende både vad de gjorde och vad de sa. Detta undervisningsexperiment har gett en god inblick i unga elevers möjlighet att utveckla och effektivisera ett antal huvudräkningsstrategier. Framgångarna berodde på att lärarna fick ta del av forskningsfakta och att de fick hjälp att omvandla forskning till praktik. På Nämnaren på nätet kompletteras denna artikel med en litteraturlista. 10 Nämnaren nr 2 2014