Fö 2 - TMEI01 Elkraftteknik Trefas effektberäkningar Christofer Sundström 23 januari 2019
Outline 1 Trefaseffekt 2 Aktiv, reaktiv och skenbar effekt samt effektfaktor 3 Beräkningsexempel 1.7 4 Beräkningsexempel 1.22d 5 Faskompensering 6 Beräkningsexempel 5.8 7 Mätning av effekt
Effekt: Grunder Betrakta en impedans som har en spänning U över sig. Den komplexa effekten (skenbara effekten) blir då (jmf med P = U2 R ): Resistans: S = U2 e j0 Re j0 = U2 R ej0 Spole (induktor): S = U2 e j0 jωl = U2 e j0 ωle j90 = U2 ωl e j90 Kondensator: S = U2 e j0 1 jωc = U2 e j0 1 ωc e j90 = U2 ωce j90
Aktiv, reaktiv och skenbar effekt samt effektfaktor Effektbegrepp - (vad är egentligen komplex effekt?) Momentan effekt skrivs: p(t) = u(t) i(t) = û sin(ωt) î sin(ωt ϕ) P = Aktiv effekt, dvs medelvärdet av den momentant utvecklade effekten Vi har att P = U I cos(ϕ). Härledning: P = T 1 T p(t)dt = û î T sin(ωt) [sin(ωt) cos(ϕ) cos(ωt) sin(ϕ)] dt = 0 T / 0 T / sin(ωt) cos(ωt) = 0 = û î T 0 T cos(ϕ) sin 2 (ωt)dt = û î T 0 T cos(ϕ) 1 cos(2ωt) dt = 0 2 û î T2 cos(ϕ) = û î cos(ϕ) = U I cos(ϕ) T 2 2 där cos ϕ kallas effektfaktorn. Q = Reaktiv effekt, en hjälpstorhet som håller reda på effekt som flödar fram och tillbaka S = P + j Q - Komplex effekt Komplex effekt P är medelvärde, Q är mängden som flödar fram och tillbaka, S är den skenbara effekten
Aktiv, reaktiv och skenbar effekt samt effektfaktor Betrakta en krets bestående av en spänningskälla, Ū = 1 V, och en komplex last Z = 0.8 + j 0.6, dvs Ī = 1e j37 A. Den momentana effekten är p(t) = u(t) i(t) = û sin(ωt) î sin(ωt ϕ) = 2 sin(ωt) sin(ωt 37 ) = /Se t.ex. härledning ovan/ = p A (t) + p R (t) p A (t) = U I cos(ϕ) (1 cos(2ωt)) p R (t) = U I sin(ϕ) sin(2ωt) Notera: cos och sin är fasförskjutna 90 = vi representerar P och Q som visare med 90 vinkelskillnad. Power 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 Motsvarar reaktiv effekt Motsvarar skenbar effekt Motsvarar aktiv effekt 0.8 0 60 120 180 240 300 360 420 480 540 600 660 Angle [deg] Momentan Aktiv Reaktiv
Aktiv, reaktiv och skenbar effekt samt effektfaktor Betrakta en krets bestående av en spänningskälla, Ū = 1 V, och en komplex last Z = 0.8 + j 0.6, dvs Ī = 1e j37 A. Den momentana effekten är p(t) = u(t) i(t) = û sin(ωt) î sin(ωt ϕ) = 2 sin(ωt) sin(ωt 37 ) = /Se t.ex. härledning ovan/ = p A (t) + p R (t) p A (t) = U I cos(ϕ) (1 cos(2ωt)) p R (t) = U I sin(ϕ) sin(2ωt) Notera: cos och sin är fasförskjutna 90 = vi representerar P och Q som visare med 90 vinkelskillnad. Im S Q P Re
Trefaseffekt: Y-koppling Betrakta en symmetrisk Y-koppling (lika stora laster i varje gren) Linjeström = Fasström P Y /3 Ū F L 1 Ī L1 Z L 2 Ī L2 Z L 3 Ī L3 Z En tredjedel av effekten utvecklas i varje resistans/kretselement Spänningen över lasterna är fas-spänningen U F Strömmen genom lasterna är linjeströmmen I L P Y,3fas = 3 U F I L cos(ϕ) = 3 U H I L cos(ϕ)
Trefaseffekt: D-koppling Betrakta en symmetrisk D-koppling (lika stora laster i varje gren) L 1 Ī L Ū H Z Ī Ū H L 2 Z Ū H Z L 3 P.s.s. som för Y-koppling utvecklas en tredjedel av effekten i varje gren Spänningen över lasterna är huvud-spänning U H Strömmen genom lasterna är fasströmmen I P,3fas = 3 U H I cos(ϕ) = 3 U H IL 3 cos(ϕ) = 3 U H I L cos(ϕ) Slutsats: Trefaseffekten för både Y- och D-kopplingar skrivs P 3fas = 3 U H I L cos(ϕ)
Trefaseffekt: Sammanfattning Total aktiv effekt: P 3fas = 3 U H I L cos(ϕ) W Total reaktiv effekt: Q 3fas = 3 U H I L sin(ϕ) VAr Total skenbar effekt: S 3fas = 3 U H I L VA Im Alternativ: Antag att Z = R +j X S P Q Re P 3fas = 3 R I 2 Q 3fas = 3 X I 2 S 3fas = 3 Z I 2 S har samma vinkel ϕ som strömmens förhållande till spänningen.
Beräkningsexempel 1.7 Till ett symmetriskt trefassystem med huvudspänningen 220 V anslutes via korta ledningar en Y-kopplad last med impedanserna Z = 6 + j 8 [Ω] Ū 1 Ū 1 L 1 Ī L1 Z Beräkna: a) Linjeströmmen I L i varje fas Ū 2 L 2 Ī L2 Z b) Den i lasten utvecklade effekten P Ū 3 L 3 Ī L3 Z c) Effektfaktorn cos(ϕ)
Beräkningsexempel 1.7 Givet: Ū 1 Ū 1 L 1 Ū 2 L 2 Ī L1 Ī L2 Z Z Z = 6 + j 8 Ω Z = 10, dvs 345-triangel U H = 220 V U F = 127 V Symmetrisk last Ū 3 L 3 Ī L3 Z Sökt: a) I L, b) P 3fas,Q 3fas,S 3fas, c) cos(ϕ) Lösning: a) I L = U F Z = U H/ 3 R2 + X = 220/ 3 = 12.7 A 2 10 b) P 3fas = 3 R I 2 L P 3fas = 3 6 12.7 2 = 2903 W c) Q 3fas = 3 X IL 2 Q 3fas = 3 8 12.7 2 = 3871 VAr S 3fas = P3fas 2 + Q2 3fas = 4839 VA (alt.s 3fas = 3 Z I 2 ) cos(ϕ) = P 3fas S = 2903 4839 = 0.6
Beräkningsexempel 1.7 Alternativ lösning: a) Lös på samma sätt c) och b) P 3fas = S 3fas cos(ϕ), med / S 3fas = 3 U F I L = U F = U / H = 3 U H I L 3 = 3 220 12.7 = 4839VA ( ) X ϕ = arctan = 53.1 cos(ϕ) = 0.6 R P 3fas = 3 U H I L cos(ϕ) = 3 220 12.7 0.6 = 2903 W
Beräkningsexempel 1.22 d Till ett 380/220 V, 50Hz nät anslutes följande: Mellan fas och nolledaren en resistans på 44 Ω. Mellan fas 2 och nolledaren en spole med induktansen 0.0955 H och resistansen 40 Ω. Mellan fas 3 och nolledaren en resistans på 30 Ω och en kondensator med kapacitansen 79,6 µf Uppgifter: L 1 Ī L1 Z 1 a) Beräkna linjeströmmarna L 2 Ī L2 Z 2 d) Beräkna den från nätet uttagna totala aktiva och reaktiva effekten L 3 N Ī L3 Ī 0 Z 3
Beräkningsexempel 1.22d a) I L,1 = 5 A; I L,2 = 4, 4 A; I L,3 = 4, 4 A (från Fö 1) d) Beräkna totala aktiva och reaktiva effekten från nätet (Observera att I och Ī betecknar samma sak) P Tot = R 1 I 2 1 + R 2 I 2 2 + R 3 I 2 3 = / Z 2 = 50(0.8 + j 0.6)/ = 44 5 2 + 40 4.4 2 + 30 4.4 2 = = 1100 + 774.7 + 580.8 = 2.5 kw Q Tot = ωl Ī2 2 1 ωc Ī 3 2 = 30 4.4 2 40 4.4 2 = = 580.8 774.4 = 194VAr
Faskompensering Strömvärmeförluster dimensionerar den maximala överföringskapaciteten hos t.ex. en ledare eller transformator. Dessa beror på strömmens storlek. För ett visst effektbehov hos slutkunden (Aktiv effekt) är det därför önskvärt att minimera den reaktiva effekten så att strömmens storlek minimeras. (Vi har ju P = U I cos(ϕ)) Enligt tidigare svenska normer gällde att Q 0.75P. Man brukar säga att induktanser förbrukar reaktiv effekt medan kapacitanser genererar kapacitiv effekt. Följaktligen har vi Kapacitans: Q < 0, (Vi har ju Z = j ωc Induktans: Q > 0 för en kapacitans) (Om tecknen känns konstiga: Notera att P > 0 oftast betyder att effekt förbrukas i en last)
Faskompensering Faskompensering För att minska den reaktiva effekten hos en förbrukare kan effekten genereras på plats. Detta kallas faskompensering. När man vill påverka cos(ϕ) används parallellkopplade kondensatorer, eller shunt-kondensatorer. När man vill förbättra spänningsfallet hos en ledare används serie-kondensatorer.
Faskompensering: Exempel på parallellkopplad kondensator Före kompensering Efter kompensering Im Im S Q ind. S Q kond. Q ind. P cos(ϕ) = 0.8 Re P Re Induktiv last Kondensator Induktiv last Parallellkopplad kondensator Vid parallellkoppling påverkas inte den aktiva effektförbrukningen P eftersom spänningen över den induktiva lasten är densamma
Beräkningsexempel 5.8 I en maskinanläggning som matas från ett 50Hz, 380 V trefasnät förbrukas 80 kw. De drivande maskinernas resulterande effektfaktor är 0,72 ind. Parallellt med dessa finns också installerat ett kondensatorbatteri bestående av tre lika stora D-kopplade kondensatorer på vardera 480 µf. Man vill sätta in ytterligare en maskin som kommer att kräva en effekt på 14 kw och med effektfaktorn 0,6 ind. Hur stor ström kommer anläggningen att dra från nätet och vad blir effektfaktorn för hela anläggningen? U H = 380 V f = 50 Hz Förenklat ritsätt Ī L P 1 = 80 kw cos(ϕ) = 0.72ind. L 1 L 2 L 3 P 2 = 14 kw cos(ϕ) = 0.6ind. Faktiskt koppling P 3 = 0 C = 480 µf D-koppl.
Beräkningsexempel 5.8 Givet: P 1, P 2, U H, o.s.v. (se figur) Sökt: Beräkna I L och cos(ϕ Tot ) Lösning: Vi har att P Tot,3fas = P 1 + P 2 + P 3 = = 80 + 14 + 0 = 94 kw U H = 380 V f = 50 Hz Förenklat ritsätt Q Tot,3fas = Q 1 + Q 2 + Q 3 = Faktiskt koppling Q 1 = P1 80 sin(ϕ1) = 1 0.72 cos(ϕ 1) 0.72 2 = 77.1 kvar Q 2 = P2 cos(ϕ 2) L 1 L 2 L 3 14 sin(ϕ2) = 0.8 = 18.67 kvar 0.6 Q 3 = 3 U 2 H ωc = 3 380 2 100π 480 10 6 = 65.3 kvar = 77.1 + 18.67 65.3 kvar = 30.6 kvar S Tot,3fas = PTot,3fas 2 + Q2 Tot,3fas = 98.8 kva Vi får därför S = 3 U H I L I L = S Tot,3fas 3 UH cos(ϕ Tot ) = P Tot,3fas S Tot,3fas = 94 98.8 = 0.951 ind. Ī L = 150 A och P 1 = 80 kw cos(ϕ) = 0.72ind. P 2 = 14 kw cos(ϕ) = 0.6ind. P 3 = 0 C = 480 µf D-koppl.
Mätning av effekt: Tvåwattmetermetoden Trick för att slippa 3 wattmetrar - 3 wattmerar, en för varje fas, fungerar alltid! - 1 wattmeter räcker om lasten är symmetrisk. (Vi kan ju multiplicera med 3) Metoden fungerar även i osymmetriskt belastade system vid allmän kurvform (dvs även vid icke-sinus). Kräver att nolledare saknas i systemet. Härledning: Kom ihåg definitionen av momentan effekt p(t) = u(t) i(t). För tre faser har vi p 3fas (t) = u 1 i 1 + u 2 i 2 + u 3 i 3 = /Vilket kan skrivas som/ = = (u 1 u 2 ) i 1 + (u 3 u 2 ) i 3 + u 2 (i 1 + i 2 + i 3 ) }{{}}{{}}{{} u 12 u 32 =0 om nolla saknas = u 12 i 1 + u 32 i 3 =
Mätning av effekt: Tvåwattmetermetoden
Mätning av effekt: Tvåwattmetermetoden L 1 Ī 1 Ū 12 P I 3-fas Last cos ϕ L 2 P I = U 12 I 1 cos(30 + ϕ) P II = U 32 I 3 cos(30 ϕ) P I + P II = U H I L (cos(ϕ) cos(30 ) sin(ϕ) sin(30 )+ L 3 Ū 32 + cos(ϕ) cos(30 ) + sin(ϕ) sin(30 ) ) = = 3 U H I L cos(ϕ) = P 3fas P II P I = = U H I L sin(ϕ) = Q 3fas 3 tan(ϕ) = Q 3fas = 3 PII P I P 3fas P II + P I Överkurs: Vid användning av tvåwattmeter-metoden kan ibland P I eller P II bli negativt. Alla wattmetrar kan inte hantera detta utan visar siffror utan tecken. Ibland måste därför tecknet på P I eller P II kastas om för att få rätt värden. Ī 3 P II