Susanne Frisk Subtraktion i läromedel för årskurs 2 Elever kan uppleva subtraktion som svårt när de möter det i skolan. Här kategoriseras olika situationer eller problem som leder till en subtraktion oc läromedel analyseras med avseende på dessa kategorier. a Många elever upplever subtraktion som betydligt svårare än addition. Det beror bl and annat på att man kan tänka på många olika sätt när man utför en subtraktionsberäkning i uvudet oc att subtraktion förekommer i flera olika typer av situationer i vardagen. Det är viktigt att eleverna får träffa på olika situationer så att de lär sig att känna igen oc identifiera situationer i olika sammanang som subtraktioner. I den är artikeln beskrivs först ur problem som kan lösas med en subtraktionsberäkning kan kategoriseras. Med utgångspunkt i kategoriseringen ar några olika läromedel analyserats med avseende på ur de beandlar subtraktion. b Figur 1. Subtraktion = a + b a = b b = a Subtraktion Subtraktion kan illustreras som en relation mellan en elet () oc två delar (a) oc (b). I sammansatta problem kan varje del i oc för sig bestå av flera delar men i det enklaste fallet ar vi ett subtraktionsproblem bestående av två termer. I figuren är intill kan man också se att subtraktion är det omvända räknesättet till addition. Vid en addition vet man de båda delarna (a oc b) oc söker eleten (). Vid en subtraktion är däremot eleten känd oc man söker en av delarna. Hur man går till väga för att utföra själva beräkningen ar egentligen inget med själva problemkontexten att göra. Men olika subtraktionssituationer får, bland annat på grund av sammananget, språket oc ur frågan formuleras, eleven att associera till en viss beräkningsstrategi. Det är viktigt att eleverna beärskar flera olika beräkningsstrategier för att kunna bortse från kontexten oc välja den strategi som är lämpligast beroende på ur de ingående talen i uppgiften ser ut. Subtraktionsproblem Situationer eller problem som leder till en subtraktion kan vara av olika typ. En översikt över forskningen (Fuson, 1992) visar en i grunden stor samsyn, men 10 Nämnaren nr 3 2009
olika forskare kategoriserar subtraktionsproblem på lite olika sätt. I Sverige ar bland andra Kilborn (1987), Malmer (1990), Doverborg & Emanuelsson (2006) oc Löwing (2008) beskrivit ur subtraktionsproblem kan kategoriseras. I min läroboksanalys ar jag använt tre uvudkategorier ämtade från Kilborn oc Löwing. De är ta bort, komplettera oc jämföra. Ta bort Problem i den är kategorin andlar om en minskning av en mängd. Här är den ursprungliga eleten känd oc man söker en av delarna efter minskningen. Det finns två varianter: A. Man känner den del som tas bort (a) oc man söker den andra delen (x), dvs det som är kvar. a x Figur 2. Ta bort, variant A a = x Exempel: Kalle ar 100 kr, an köper en tidning som kostar 20 kr. Hur mycket ar an kvar? B. Man känner det som finns kvar (b) oc då söker man efter den del som tagits bort. x b Figur 3. Ta bort, variant B b = x Exempel: Kalle ar 100 kr. När an köpt en bok ar an 20 kr kvar. Vad kostar boken? Båda dessa typer av uppgifter är dynamiska. De beskriver situationer som förändras i tid, där eleten oc den del som blir kvar inte finns samtidigt. Det ena finns först oc det andra finns senare, efter att något skett. Uppgifter av den är typen kan leda yngre barn till att utföra beräkningen genom att räkna bakåt i talraden. Uppgifterna inneåller ofta så kallade signalord som köper, tappar, äter upp, ger bort. Komplettera Problem i den är kategorin andlar om en ökning av en mängd. Här är den slutliga eleten känd oc man söker en av delarna före ökningen. Det finns två varianter. Nämnaren nr 3 2009 11
A. Man känner det man ar från början (b) oc söker den andra delen, uttryckt som det som saknas, det man beöver lägga till eller ar lagt till för att få eleten. x b Figur 4. Komplettera, variant A b = x Exempel 1: Pelle skall köpa en glass som kostar 10 kr. Han ar bara 8 kr. Hur mycket fattas? Exempel 2: Reza är 6 år, om ur många år fyller an 9 år? B. Man känner ur mycket som saknas, eller ur mycket man måste komplettera med (a) för att få eleten. Man söker det man ade från början. a x Figur 5. Komplettera, variant B a = x Exempel 1: Om Malin får 2 kr till kan on köpa en glass som kostar 10 kr. Hur mycket ar on nu? Exempel 2: Om tre år fyller Petter 6 år. Hur gammal är an nu? Dessa typer av uppgifter är också dynamiska men i någon mening omvända till problem av typen ta bort. Här finns en del först oc måste kompletteras för att bli eleten. Dessa typer av uppgifter kan leda in barn mot att använda sig av beräkningar som bygger på räkna upp. Vanliga signalord är fattas, ur länge, ur många beöver. Jämför Dessa uppgifter andlar om en jämförelse mellan två olika mängder. I dessa fall är den större mängden känd, liksom den mindre mängden eller differensen. Dessa typer av uppgifter är statiska, de två mängderna finns samtidigt. Även är finns två uvudsakliga varianter. A. Man känner de två mängderna oc söker differensen. x b Figur 6. Jämför, variant A b = x 12 Nämnaren nr 3 2009
I uppgifter kan frågan ta utgångspunkt i den större eller den mindre mängden. Hur mycket större är än b? Hur mycket mindre är b än? Exempel 1: Eva ar 70 kr oc Lotta ar 50 kr. Hur mycket mer än Lotta ar Eva? Exempel 2: Karl är 10 år oc Joan är 8 år. Hur mycket yngre är Joan? B. Man känner den större mängden oc differensen (a). Man söker den mindre mängden. a x Figur 7. Jämför, variant B a = x Exempel 1: Lisa ar 70 kr, Linda ar 20 kr mindre. Hur mycket ar Linda? Exempel 2: Karl är 10 år oc två år äldre än Joan. Hur gammal är Joan? Uppgifter av typen jämföra leder inte elever mot speciella beräkningstekniker lika tydligt. Vanliga signalord i textuppgifter i den är kategorin är mer, fler, färre, längre, tyngre, dyrare eller mindre, kortare, lättare, yngre, billigare. Andra varianter De tre uvudkategorierna ovan täcker in de flesta uppgifter i de analyserade läromedlen, men det förekommer uppgifter som inte elt lätt låter sig infogas i dessa. Det är t ex uppgifter som skulle kunna beskrivas som en uppdelning av en större mängd i två mindre delar, men som inte innebär en ökning eller en minskning. Exempel 1: Elin ar 15 djurböcker. Av dessa andlar 7 om dinosaurier. Hur många andra djurböcker ar on? Exempel 2: Tommy ar ridit i 39 timmar i år. Han red på Filur i 12 timmar. Hur många timmar ar an ridit på någon annan äst? I sammanställningen nedan finns därför en kolumn övrigt för de subtraktionsuppgifter som inte på ett tydligt sätt går att kategorisera i uvudkategorierna. Språkets betydelse Textuppgifter i läroböcker berör många olika områden som pengar, längd, vikt, ålder oc tid. För att eleverna ska kunna identifiera ett problems struktur oc använda en lämplig beräkning krävs även språkkunskaper. Exempelvis krävs det att barnen ar förståelse för vad som menas med ögre, kortare, fler än, färre än, mindre, yngre, äldre, ökat mm. Malmer (2002) tar upp aspekten av språkets betydelse i matematikundervisningen oc menar att läraren aktivt måste stödja eleverna i deras språkutveckling. Hon tar bl a upp användningen av begreppen fler än oc färre än som används vid jämförelser av antal oc Nämnaren nr 3 2009 13
större än oc mindre än som används vid jämförelse av tal oc menar att det är viktigt att läraren använder rätt terminologi. Malmer (1990) påpekar också att det är viktigt att observera de varierande språkliga formuleringarna, se den blåa rutan är intill. Ord som t ex, mer, äldre, längre, vinner etc förknippar eleverna ofta direkt med addition utan att närmare granska inneållet. Sådana signalord förekommer ofta i samband med jämförelser av olika slag. Just när det gäller jämförelser mellan två objekt, [...], finns det ofta flera olika tänkbara formuleringar, där somliga av dem mycket sällan förekommer i läroböckerna oc därför får alltför lite övning som t ex: David är 11 år oc fyra år äldre än Erik. Hur gammal är Erik? Joans resväska vägde 18 kg. Den var 4 kg tyngre än Britas. Hur mycket vägde Britas väska? (s 52) Det är viktigt att man som lärare är medveten om oc uppmärksam på ur dessa signalord påverkar eleverna. En elev i årskurs fyra uttryckte De går ju oc andlar oc om man andlar måste man ju a minus. Man bör se till att eleverna kommer i kontakt med olika typer av uppgifter oc olika sätt att formulera frågorna, vilket kan jälpa dem att resonera sig fram till en lösning oc inte bara luta sig mot signalorden. Analys av fyra olika läromedel I analysen ingår fyra olika läromedel för årskurs 2. Jag ar gått igenom alla textuppgifter oc klassificerat de som andlar om subtraktion enligt de beskrivna kategorierna. Utöver rena textuppgifter ar jag tagit med sådana som förekommer i en situation/ett sammanang på något annat sätt, t ex ar även uppgifter som med jälp av bilder illustrerar en ändelse tagits med. Uppgifter som inte tagits med i den är analysen är, förutom rent numeriska uppgifter, sådana där det inte är möjligt att utläsa någon speciell problemsituation. Andra uppgifter som ej tagits med är sådana där eleven uppmanas att skriva en räknesaga till en bild, eftersom man inte kan förutse vilken typ av uppgifter eleven kan tänkas itta på. Uppgifter där eleven bara uppmanas att jämföra två tal, vilket som är störst/ minst ar eller ej räknats med. I ett läromedel uppmanades eleverna att i en tabell först uppskatta vikten av ett föremål oc sedan väga det oc till sist räkna ut skillnaden mellan ypotesen oc den verkliga vikten. I den är analysen ar detta endast räknats som en uppgift, men elever kan i själva verket a gjort flera sådana uppgifter. Läromedel Ta bort Jämföra Komplettera A B A B A B Övrigt Matteboken, 2A, 2B 44 1 25 4 12 1 5 FLEX 4 54 0 35 0 25 0 1 Lilla Mattestegen 2 0 9 6 3 0 0 Matematikboken, 2A, 2B 101 0 34 5 60 0 16 Tabell 1. Subtraktionsuppgifter i fyra läromedel. Referenser finns i slutet av artikeln. 14 Nämnaren nr 3 2009
Diskussion Endast läroböcker för årskurs 2 ar analyserats. Fördelningen mellan olika kategorier skulle kunna se annorlunda ut om man även inkluderat t ex böcker för årskurs 3 oc 4. I vissa av de läromedel som består av två böcker är det stor skillnad mellan de olika delarna. Det kan t ex saknas en el kategori i en av böckerna medan det förekommer uppgifter av den kategorin i den andra boken. Man kan också fundera över antalet subtraktionsuppgifter som förekommer. Spännvidden mellan dessa läromedel är ju rätt stor vad gäller typen ta-bortuppgifter, från 2 till 101. Av tabellen framgår en avsaknad av vissa uppgifter såsom ta bort (B) oc komplettera (B) i flera av läromedlen. Av samtliga uppgifter i kategorin ta bort var det endast en uppgift av variant B. Detsamma gäller för variant B i kategorin komplettera. Båda dessa fanns i Matteboken (Bonniers). Ta bort, variant B: Hur många grader sjönk temperaturen från fredag till lördag? Komplettera, variant B: Elin vill köpa ett spel som kostar 195 kr. Det fattas 8 kr för enne. Hur mycket pengar ar on? Den är beskrivna analysen är gjord med ett relativt enkelt analysinstrument som föroppningsvis kan jälpa andra lärare att analysera läromedel. Man måste dock vara medveten om begränsningarna med en analys av det är slaget. Jag ar endast undersökt kontextbundna subtraktionsuppgifter. Det finns betydligt mer som man kan analysera beträffande subtraktion, t ex ur läromedlet lyfter fram olika subtraktionssituationer, ur det tar upp olika beräkningsstrategier oc ur kunnande inom talområdet upp till tio kan generaliseras till ett större talområde, för att nämna några andra intressanta aspekter. Jag ar inte eller undersökt fördelningen mellan olika räknesätt, vilket också skulle vara intressant att göra. Läromedel Andersson, K. mfl (2004). Matematikboken 2A. Almqvist & Wiksell. Liber. Andersson, K. mfl (2004). Matematikboken 2B. Almqvist & Wiksell. Liber. Brogren, L. mfl (2008). FLEX 4. Igelkott. Gleerups. Jakobson, B. & Marand, E. (2006). Lilla Mattestegen. Tredje boken. Natur & Kultur. Jakobson, B. & Marand, E. (2006). Lilla Mattestegen. Fjärde boken. Natur & Kultur. Rockström, B. & Lantz, M. (2007). Matteboken 2A. Bonniers. Rockström, B. & Lantz, M. (2007). Matteboken 2B. Bonniers. Litteratur Doverborg, E. & Emanuelsson, G. (red) (2006). Små barns matematik: erfareneter från ett pilotprojekt med barn 1 5 år oc deras lärare. NCM, Göteborgs universitet. Fuson, K. C. (1992). Reseac on wole number addition and subtraction. D. A. Grouws (red), Handbook of researc on matematics teacing and learning. New York: Macmillan. Kilborn, W. (1989). Didaktisk ämnesteori i matematik. Del 1. Grundläggande aritmetik. Stockolm: Utbildningsförlaget. Löwing, M. (2008). Grundläggande aritmetik. Lund: Studentlitteratur. Malmer, G. (1990). Kreativ matematik. Solna: Ekelunds Förlag AB. Malmer, G. (2002). Bra matematik för alla. Nödvändig för elever med inlärningssvårigeter. Lund: Studentlitteratur. Nämnaren nr 3 2009 15