Transmissionsfel - störkraftsanalys Fredrik Nisserud Niclas Forsman Kandidatarbete Stockholm 2008 0
Transmissionsfel - störkraftsanalys av Fredrik Nisserud Niclas Forsman Kandidatarbete MMKB 2008:3 MKNB 016 KTH Maskinkonstruktion SE-100 44 STOCKHOLM
Kandidatarbete MMKB 2008:3 MKNB 016 Transmissionsfel - Störkraftsanalys Datum 2008-05-07 Examinator Ulf Sellgren Fredrik Nisserud Niclas Forsman Handledare Ellen Bergseth Uppdragsgivare KTH-Maskinkonstruktion Kontaktperson Ulf Sellgren Sammanfattning I denna rapport studeras kontakten mellan två kuggar med evolventprofil. En interfacemodell av kontakten skapas och används i en dynamisk simulering där vibrationerna som orsakats av transmissionsfel ingår. Hur en kugges inspänningsvekhet beror på kuggghulets radie undersöks även. Transmissionsfel är det som anses vara den största orsaken till oljud och vibrationer i en kuggväxel. Ökade krav på sänkt ljud- och bullernivå har gjort att transmissionsfelsmätningar blivit allt vanligare. Datormodeller som kan bidra till att förutse händelseförloppet är till stor hjälp med tanke på tid och kostnader. Modeller har här skapats i FEM-programmet Ansys, ur vilka mätvärden har erhållits. Med hjälp av dessa har en styvhet för kontakten tagits fram. För att få fram styvheten har förskjutningen tagits fram i två steg, ett gällande kuggens böjstyvhet och ett för dess ytstyvhet. Förskjutningen för böjstyvheten togs fram från analyser av modeller i Ansys, och blev 1,0879 10 6 m. Ytstyvheten räknades ut med hjälp av Hertzmodellen för linjekontakt, vilket resulterade i en förskjutning på 2,89662 10 9 m. Dessa två deformationer har sedan adderas och därefter räknas styvheten ut från formeln för fjäderkraft. Styvheten för kontakten vid delningsdiametern blev 9167611,8 N m. Denna styvhet har sedan implementerats i en interfacemodell av kuggkontakten, en modell tänkt att avgränsa simuleringen och spara datorkraft. Efter att vibrationerna från transmissionsfelet simulerats i ett frekvensintervall som avgränsats till 0-20 khz, post-processas resultaten. De störkrafter som uppstod undersöks med avseende på förskjutning i y-led, förskjutning i x-led och uppstådda Von Mises-spänningar. Samtliga störkrafter ökade generellt med frekvensen, och en resonansfrekvens kunde identifieras vid 2666 Hz för kuggkontaktens förskjutning i x-led. Tidsramen för projektet resulterade i att en rad svagheter med modellen identifierades men inte hann åtgärdas. Graden av realism har därefter blivit lidande, varför simuleringen i dess nuvarande stadium inte är att betrakta som mer än en byggsten på vägen mot en mer realistisk modell.
Bachelor Thesis MMKB 2008:3 MKNB 016 Transmission error contact vibration analysis Fredrik Nisserud Niclas Forsman Date 2008-05-07 Examiner Ulf Sellgren Commissioner KTH-Maskinkonstruktion Supervisor Ellen Bergseth Contact person Ulf Sellgren Abstract In this report two involute gears in contact are examined. An interface-model of the contact is created to be used in a dynamic simulation in which the vibrations generated by the transmission error are included. It is also examined how the weakness of the area where the gear is fixed is varying due to the radii of the gear-wheel sizes. Transmission error is considered to be one of the main causes of noise and vibrations in a gear set. Increased demand for reduced noise in this kind of applications is why transmission error measurement has grown more common, and as computers has become more powerful, costs and time for this kind of measurement has been reduced. Models has been created in the FEM-program Ansys, from which measurements have been attained. These have been used to obtain a stiffness, applicable for the gears in contact. This is achieved in two steps. Both the Hertzian displacement for linear contacts and and displacement due to bending is taken into account when calculating the total stiffness. The bending displacement reached 6 1,0879 10 m, and the Hertzian displacement 2,89662 10 9 m. This resulted in a total stiffness at 9167611,8 N m. This stiffness was then implemented in an interface-model of the gears in contact, a model with the purpose of limiting the scope of the simulation and to reduce the demand for computer resources. After finishing the simulation of the transmission error in the gear contact, in a frequency-range limited to 0-20 khz, the results was postprocessed. The consequences of the vibrations in the contact was examined by the following aspects: y-displacement, x-displacement and Von Mises-stresses. The amplitude of these unwanted phenomena was generally seen to be increasing with the frequency, and a resonance could be identified by 2666 Hz in the x-displacement results. Due to the limited timeframe of the project, a series of shortcomings concerning the model was identified but not dealt with. Therefore, the simulation in its current state is not to be considered a realistic model, but a step in the process of creating one.
Sammanfattning... 4 Abstract... 6 Inledning... 1 Bakgrund... 1 Mål/Syfte... 1 Inledande avgränsningar... 1 Metod... 2 Arbetsgång... 2 Den analyserade kuggen... 2 Ytstyvheter... 3 Böjstyvheter... 4 Interfacemodellen... 5 Cylindrarna... 7 Fjädern... 8 Elementindelning... 8 Kraftanalys... 11 Resultat... 14 Styvheter... 14 Störkrafter... 15 Diskussion... 20 Svagheter och begränsningar... 20 Störkrafter... 20 Slutsatser... 21 Möjligheter till vidareutveckling... 21 Referenser... 21
Inledning Större efterfrågan på tystare växlar har resulterat i att en noggrannare analys av ingreppen i växeln sedan en tid studerats. Genom att modellera hela växellådan i ett FEM-program kan väldigt realistiska analyser göras, problemet kan vara att få tillgång till den datorkraft som beräkningarna för ett sådant system kräver. Därför är det viktigt att i modellen avgränsa systemet så att mindre resurser krävs, men ändå genererar resultat med acceptabel precision. Bakgrund Växlar ger ofta upphov till hög- och lågfrekventa vibrationer. Dessa vibrationer fortplantar sig genom växeln ut i växellådan, och oväsen bildas när vibrationerna sprids i den omgivande luften. Bakom det hela ligger ett s.k transmissionsfel. Transmissionsfelet definieras som skillnaden mellan den teoretiska positionen av det drivna kugghjulet och dess verkliga position. Orsaken till transmissionsfel är vanligtvis tre faktorer: Avvikelser från den ideala evolventen. Monteringsfel Kuggens elastiska deformation Allt eftersom kraven blir hårdare, växlar mer avancerade och mer högpresterande ökar behovet av att få exaktare modeller för att kunna minska ljudet som dessa ger ifrån sig och minimera de skador som vibrationerna ger upphov till. Mål/Syfte Att med en så enkel modell som möjligt kunna köra en dynamisk simulering ur vilken resultat som kan öka förståelsen för vilka störkrafter som transmissionsfel skapar i kuggkontakten kan avläsas, och på så sätt kunna förhindra dessa. Kuggens inspänningsvekhet ska även analyseras med avseende på hur den beror på kugghjulets radie. Målet med det är att kunna modifiera inspänningsvekheten och därmed styvheten, beroende på vilka typ av kugghjul som är i ingrepp utan att behöva göra en helt ny geometrisk modell. Inledande avgränsningar Beräkningar är avsedda för endast en typ av kugge. Ingreppet är för två kuggar i kontakt vid vid varderas delningsdiameter, med likadana profiler. Nötning eller andra tribologiska effekter har inte tagits hänsyn till. 1
Metod Arbetsgång 1. Geometrin för kuggen som ska analyseras bestäms. 2. Styvheten som ska implementeras i interfacemodellen erhålls genom att ytstyvheten och böjstyvheten för kuggen tas fram och adderas. 3. Ett samband mellan kuggens inspänningsvekhet och kugghjulets radie fås ut. 4. Interfacemodellen byggs upp, styvheten implementeras. 5. Vibrationer i kuggkontakten orsakade av transmissionsfel simuleras och analyseras. Den analyserade kuggen Ett kugghjul skapas i CAD-programmet Solid Edge. Av tidsskäl avgränsas analysen till att enbart omfatta en sorts rakkugg (Figur 1), med följande geometri: Modul: 3,5 mm Kuggbredd: 30 mm Bottenradie: 0,2 mm Bottentjocklek: 7,61 mm Topptjocklek: 2,74 mm Lokal krökningsradie vid delningsdiametern: 22,9 mm Figur 1. Kuggen i vars delningsdiameter (linjen) styvheten kommer räknas ut. 2
Ytstyvheter Beräkningar görs på en linjekontakt [1]. Denna Hertziska modell representerar kontakten mellan två cylindrar, förutom vid dess kanter. Kontakten antas att ha konstant bredd 2b över längden 2a. P är en linjekraft (kraft/längdenhet) snarare än den verkliga kraften. d1, d2är referenspunkter till kontaktpunkten: Halva kontaktbredden 4PR c b = π Ec 1 2 (1) Relativa radien 1 1 1 = + (2) R R R c 1xx 2xx Kontaktmodul 2 2 1 1 ν1 1 ν 2 = + (3) E E E c 1 2 P 4d1 4d2 Förskjutning δ ln + ln 1 π Ec b b (4) Ytdeformationens bidrag till den totala styvheten erhålls sedan genom att dividera den kraft F som uppstår mellan kuggarna i kuggkontakten med deformationen, enligt F k= (5) δ 3
Böjstyvheter För att få ut böjstyvheten hos kuggen så togs enbart den och sattes i Ansys som fast inspänd. Kuggarna är i kontakt i respektives delningsdiameter, böjpåfrestningarna kommer alltså bara påverka den undre delen av kuggen. Modellen kan därför avgränsas genom att skära bort den del av kuggen som är obelastad (Figur 2). Böjdeformationens bidrag till styvheten erhölls även den enligt ekv. (5). Figur 2. Fast inspänd kugge, snittad för att endast ta med den del som påverkas av böjningen, med deformationen i delningsdiametern markerad. Därefter analyserades böjstyvheten med avseende på inspänningsvekheten hos kugghjulet (Figur 3). Analys gjordes för olika kugghjul med samma modul för att få ett samband mellan inspänningsvekheten och kugghjulsradien. Bredden har varit konstant i dessa fall. 4
Figur 3. Total böjdeformation vid delningsdiametern Interfacemodellen Att skapa en enskild modell av kuggkontakten underlättar studier av de störkrafter som vibrationer från transmissionsfel ger upphov till. Detta kan göras i FEM-programmet Ansys genom att approximera kontakten som två cylindrar med samma radie som den punkt på respektive kugge som är i kontakt, enligt Figur 4. Med ett fjäderelement mellan sig som simulerar kuggkontaktens styvhet kan kontakten skapas. 5
Figur 4. Kuggkontakten med kraftpar, approximerad som två cylindrar med kuggarnas lokala krökningsradier som radie. Endast en kugge på vardera kugghjul är utritat. 6
Cylindrarna Cylindrarna modelleras med hjälp av Area-verktyget som två cirklar. Krökningsradien vid delningsdiametern på kuggarna i kontakt har uppmäts till 22,9 mm, samma radie tilldelas cirklarna. De spänns fast in med hjälp av ett hål i vardera cylinders centrum. Avståndet mellan cylindrarna sätts till 0,1 mm (Figur 5). Figur 5. Kuggkontakten modellerad som två cylindrar med riktningar för koordinataxlarna utritade. Elementet Plane42 (Figur 6) väljs åt modellen. Det är ett plant element som lämpar sig för de typer av 2D-simuleringar som här ska genomföras. Det har fyra noder vilka kan translatera i x- och y-riktning. 7
Figur 6. Elementet Plane42. Noderna utmarkerade som punkter [2]. Genom att sätta Element behaviour till Plane strs w/thk kan en tjocklek definieras i Real constants för cylindrarna, och sätts här till 30 mm precis som kuggbredden. Materialet sätts till stål, med E= 200 GPa, ν = 0.3 och ρ =7900 kg/m 3. Fjädern Styvheten modelleras genom att dra en linje med längd 0,1 mm mellan de noder på cylindrarna som ligger varandra närmst. Elementet Link1 (Figur 7) lämpar sig väl för den här typen av applikationer. Det har två noder som kan translatera i x- och y-riktning. Ingen böjning är möjlig. I Real constants sätts den ursprungliga töjningen till 0. Tvärsnittsarean och E-modulen varierar beroende på vilken styvhet fjädern ska simulera enligt ekv. 15, och antas inte ha någon vikt. EA k= (6) L Figur 7. Elementet Link1, med noderna utmarkerade som punkter [2]. Elementindelning Ett fint elementnät bör med tanke på den approximation som redogörs för i Figur 3 endast återfinnas vid cylindrarnas kontaktyta. En för grov elementindelning ger ett mindre exakt resultat, och en för fin blir vid alla simuleringar för tidskrävande, varför en optimering är önskvärd. De två noderna kring fjädern markeras (Figur 8) och sex förfiningsgrader undersöks för att få en uppfattning om när lösningen konvergerar. Fjädern sätts som ett element. 8
Figur 8. De två noderna där fjäderelementet ansluts, i samma riktning som kontaktkrafternas ingreppslinje. Elementindelningen förfinas efter en grundindelning med Refine mesh -verktyget i ytterligare fem finheter. Den maximala, näst- och tredje största förskjutningen i y-led i vid kontakten mäts upp för frekvensfallet 100 Hz, och plottas enligt Figur 9. (Se avsnittet Kraftanalys för hur simuleringen av det slag som nu tillämpades vid 100 Hz gick tillväga). Den slutgiltiga förfiningen av kontakten som innebar 1929 noder i simuleringen visas i Figur 10. 9
-0.8 x 10-8 -0.9-1 Förskjutning y-led -1.1-1.2-1.3-1.4 X: 1929 Y: -1.42e-008-1.5 0 5000 10000 15000 Noder Figur 9. Ett tillräckligt fint elementnät uppnås vid 1929 noder. I figuren har den största, näst största och tredje största förskjutningen vid 100 Hz plottats mot antalet noder som indelningen gav upphov till. 10
Figur 10. Det slutgiltiga elementnätet i interfacemodellen. Kraftanalys Styvheterna kan nu implementeras i interfacemodellen genom att modifiera fjäderelementets tvärsnittsarea så att önskat k-värde erhålls. Styvhetsanalysen ledde till en total styvhet k = 9167611,8 N/m. L = 0.0001 m innebär då enligt ekv. (6) att A exempelvis kan sättas till 2 0,045838059 m och E = 0,2 GPa (sålänge EA är konstant är styvheten konstant). Vibrationerna som transmissionsfel ger upphov till i kuggkontakten ska undersökas med en dynamisk simulering. Detta görs bäst med en harmonisk analys, ur vilken det framgår hur strukturer reagerar på en sinusformad vibration. Det antas att den drivande (övre) kuggen trycker på med en kraft 10 N i kuggkontakten. I simuleringen antas det även att vibrationerna gör att den kraften börjar variera periodiskt i kontakten med en amplitud 10. En imaginär och en reell kraftkomponent kan anges, varav förstnämnda sätts till 0 och den rella till 10 N. Det ger en kraftamplitud på 10 enligt Figur 11. 11
Figur 11. Kraftvariationen i en harmonisk analys i Ansys [2]. Det är svårt att säga exakt inom vilket frekvensintervall som vibrationerna pga transmissionsfel i kuggkontakten befinner sig i, då typ och grad av transmissionsfel, rotationshastighet för kugghjulen m.m spelar in. Störkrafter inom det hörbara frekvensområdet, 0-20 khz, kan vara av intresse. Med hänsyn tagen till datorkraft sker lösningen med steglängden 40 Hz (500 steg). Upptäcks tendenser till resonansfenomen plottas det frekvensområdet finare, enskilt för sig. De noder som antas utsättas för störst påfrestningar (Figur 12) plottas mot frekvenserna. Den generella belastningen för alla noder fås även ut. 12
Figur 12. Noder utritade för modellen, med kraften som ska variera och de noder som kan antas utsättas för störst påfrestningar markerade. 13
Resultat Styvheter I Figur 13 visas resultatet av förskjutningen i vertikalled för kuggen, både totaldeformationens samt inspänningsvekhetens bidrag i förhållande till radien. Nedan listas värden för det analyserade kugghjulet: 4 δ kugge = 2,0361 10 mm 3 δ totalaböj = 1,0879 10 mm 6 δ Hertz = 2,89662 10 mm 3 δ tot = 1, 0907966 10 mm Den i interfacemodellen använda styvheten=9167611,8 N m Figur 13. Inspänningsvekhetens bidrag till förskjutningen, samt den totala förskjutningen plottade mot radien på kugghjulet. 14
Störkrafter Störkrafter i form av deformation i y-led, x-led, skjuvspänningar i xy-planet och Von Misesspänningar som uppstår hos de två noderna i kuggkontakten i frekvensintervallet 0-20 khz presenteras grafiskt i plottar nedan (Figur 14, 16, 17, 19).. För de frekvenser i graferna där de största påfrestningarna påvisats genereras även bilder där samtliga noders maximala belastningar i kontakten framgår (Figur 15, 18,20). Figur 14. De två nodernas största förskjutning i y-led s.f.a frekvensen. 15
Figur 15. Kontaktnodernas maximala förskjutning i y-led vid 20 khz. 16
Figur 16. De två nodernas största förskjutning i x-led s.f.a frekvensen. Figur 17. Resonanseffekten vid 2666 Hz plottad med steglängden 1 Hz. 17
Figur 18. Kontaktnodernas maximala förskjutning i x-led inträffar vid 2666 Hz. 18
Figur 19. De två nodernas maximala Von mise-spänning s.f.a frekvensen. Figur 20. Kontaktnodernas maximala Von mise-spänningar vid 20 khz. 19
Diskussion Svagheter och begränsningar För att hålla arbetet inom den givna tidsramen har kompromisser och begränsningar av modellen funnits nödvändiga, och vissa uppenbara fel inte hunnit åtgärdas: Modellen bygger endast på två helt identiska rakkuggar. Kuggarna är endast i kontakt i samma punkt som vardera kugges delningsdiameter. Simulationen av vibrationerna som ett transmissionsfel ger upphov till analyseras alltså då endast för det ögonblicket i kuggarnas kontakt. I den styvhet som implementeras i interfacemodellen ingår även ett bidrag från Hertzdeformationen. Dock har inte denna använda deformation hunnit verifieras genom Ansys. Kraftsimulationen är bristfällig, då ett mer realistiskt alternativ vore att ha ett kraftpar som verkade in mot respektive cylinder, varierandes mellan 0 och 10 N. Med en harmonisk analys varierar de dock mellan -10 och 10. Den använda kraftsimulationen bidrar till asymmetrin i ytornas lösningar. Deformationerna i kuggkontakten simuleras endast elastiskt. Information om systemets dämpning saknas och inkluderas därför inte i Ansys. Resultatet borde bli detsamma oavsett hur fjäderns area och E-modul modifieras, så länge deras produkt är konstant. Så är dock inte fallet. En för liten area ger orimligt stora störkrafter i kontakten. Ett felmeddelande anger att något blivit fel med meshningen: Previous testing revealed that 43 of the 1832 selected elements violate shape warning limits. Störkrafter Utbredningsområdena för både nodernas förskjutningar i y-led och Von mises-spänningar verkar rimliga eftersom att de överensstämmer med den elliptiska form som den hertziska tryckutbredningskurvan har vid kontakten mellan två cylindrar. Förskjutningarna i x-led håller sig på en mycket lägre nivå än de i y-led, med undantag för en kraftig resonanseffekt vid 2666 Hz som bör försöka kringgås för att minimera oljud och skador på kuggtanden. Storleksordningen på förskjutningarna verkar inte orimligt stora. Med en maximal Von Mises-spänning på 3,17 MPa föreligger det ingen risk för att sträckgränsen för materialet vid växlande belastning överskrids (270 MPa) [3]. Samtliga grafer tyder på att ännu en resonanseffekt kan finnas strax bortom 20 khz. 20
Slutsatser De störkrafter som uppstår i kuggkontakten pga vibrationerna från transmissionsfel i det undersökta intervallet är i vissa avseenden någorlunda förutsägbara, i andra inte. Förvisso ökar störkrafternas amplitud alltid med frekvensen, något som torde vara beroende av kugghjulens varvtal. Resonanseffekter som den vid 2666 Hz är dock oförutsägbara, och den här typen av analyser är ett utmärkt verktyg för att upptäcka dessa tendenser och då modifiera konstruktionen för att förebygga utmattning och oljud i växelhuset. Den snäva tidsramen har dock gjort att modellens tillförlitlighet är bristfällig, och kan inte sägas ligga till grund för simuleringar med sådan nogrannhet att användbara resultat kan erhållas. Med en vidare utveckling av modellen skulle dock sådana resultat kunna fås, och arbetet är en byggsten på vägen mot det. Möjligheter till vidareutveckling Ett första steg i vidareutvecklingen av modellen är lösa problemet med att modifiering av stångelementets area leder till varierande störkraftsresultat även om EA är konstant. Innan det är löst är inte styvhetsmodelleringen alls giltig. En mer realistisk vibrationssimulering måste implementeras med ett kraftpar i kontakten, information om systemets dämpning måste tas fram och Hertz-bidraget till deformationen som här räknats ut analytiskt skulle behöva verifieras genom Ansys. Om möjlighet finns skulle det vid det läget vara aktuellt med ett test i verkligheten för att verifiera modellen. Överenstämmer störkrafterna då precist nog så finns det möjligheter till en (användbar) vidareutveckling: störkraftsanalyser hos andra sorters kuggar, i kontaktpunkter andra än delningsdiametern, m.m, information som skulle kunna ge nya perspektiv på lämpligheten med en viss sorts kuggtyp vid olika tillämpningar. Referenser [1] Rolling Bearing Analysis (Tedric Harris) [2] Ansys ED 10.0, Hjälpavsnitt [3] Handbok och formelssamling i hållfasthetslära (Institutionen för hållfasthetslära, KTH) 21