MA2047 Algebra och diskret matematik

Relevanta dokument
Kaliningrad) låg vid bägge sidor av floden Pregel samt på

Kap.6 Grafer. Egenskaper: Handskakningslemmat och Eulers formel Sats om eulerkrets/väg Isomorfi och representation av grafer Graffärgning

Uppgifter 6: Grafteori

Om plana och planära grafer

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

Om plana och planära grafer

N = {i}: noder (hörn) Graf: G = (N, B) Definitioner. Väg: Sekvens av angränsande bågar. Cykel: Väg som startar och slutar i samma nod.

Föreläsning 10. Grafer, Dijkstra och Prim

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

1. (a) Lös ekvationen (2p) ln(x) ln(x 3 ) = ln(x 6 ). (b) Lös olikheten. x 3 + x 2 + x 1 x 1

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik, SF1610 och 5B1118, torsdagen den 21 oktober 2010, kl

Efternamn förnamn pnr årskurs

Föreläsning 10. Grafer, Dijkstra och Prim

Föreläsning 10. Grafer, Dijkstra och Prim

Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl

Efternamn förnamn pnr kodnr

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

Grafer. Bilder: Illustrationer s.9 av Hans Hillerström. Grafiska konstruktioner av Nils-Göran Mattsson. Författarna och Bokförlaget Borken, 2011

Föreläsning 6 Datastrukturer (DAT037)

MA2047 Algebra och diskret matematik

Efternamn förnamn ååmmdd kodnr

Hjalpmedel: Inga hjalpmedel ar tillatna pa tentamensskrivningen. 1. (3p) Los ekvationen 13x + 18 = 13 i ringen Z 64.

Eulerska grafer: egenskaper och tillämpningar

Algoritmer, datastrukturer och komplexitet

1. (3p) Bestäm den minsta positiva resten vid division av talet med talet 31.

Föreläsning 6. Slumptal Testa slumptal Slumptal för olika fördelningar Grafer Datastrukturen graf

Algoritmer, datastrukturer och komplexitet

Grafer. 1 Grafer. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Oriktade grafer. Marco Kuhlmann

Grafteori med inriktning på färgläggning

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

Undflyende delgrafer Några elementära bevis

Algoritmer, datastrukturer och komplexitet

, S(6, 2). = = = =

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, onsdagen den 17 augusti 2011, kl

MA2047 Algebra och diskret matematik

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610 och 5B1118, tisdagen den 7 januari 2014, kl

Lars-Daniel Öhman Lördag 2 maj 2015 Skrivtid: 9:00 15:00 Hjälpmedel: Miniräknare, lock till miniräknare

Föreläsn. anteckn. TMV206-VT13. Vecka 6-7. Egenvärden och Egenvektorer. Kap. 8-9

Diskret matematik: Övningstentamen 1

MA2047 Algebra och diskret matematik

Matematik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Författare: Marco Kuhlmann 2013

MA2047 Algebra och diskret matematik

Grafer och grannmatriser

729G04 - Diskret matematik. Lektion 4

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

Institutionen för matematik, KTH Mats Boij. Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 20 december, 2000

Föreläsningsanteckningar F6

Träd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik

Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, m fl, SF1610, tisdagen den 2 juni 2015, kl

Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1610 Diskret Matematik för CINTE 30 maj 2018, kl

Föreläsn. anteckn. HT13. Vecka 6-7. Egenvärden och Egenvektorer. Slumpvandringar på Grafer. Kap. 8-9

IX Diskret matematik

SF2715 Tillämpad kombinatorik Kompletterande material och övningsuppgifter Del IV

MA2047 Algebra och diskret matematik

Korsningar i kompletta multipartita grafer

PCP-satsen på kombinatoriskt manér

Parallella och rätvinkliga linjer

Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2017

15 juli 2015 sida 397 # 397. Elementär grafteori

729G04 - Diskret matematik. Lektion 3. Valda lösningsförslag

Googles sidrankning - linjär algebra värt en förmögenhet

Diskret matematik: Övningstentamen 4

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Grafer, allmänt. Med datastrukturen graf menas vanligen: en mängd av noder (vertices) och en mängd av bågar (edges).

Grafteori. Engelsk svensk ordlista. Isomorfi av grafer

Lösningar för tenta i TMV200 Diskret matematik kl. 14:00 18:00

de Bruijn-sekvenser Det effektiva paketbudet

Modelltentamen. Ditt svar ska vara ett ändligt uttryck utan summationstecken.

MITTUNIVERSITETET TFM. Modelltenta Algebra och Diskret Matematik. Skrivtid: 5 timmar. Datum: 1 oktober 2007

Lösning av tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, tisdagen den 27 maj 2014, kl

Lösning till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF1631 och SF1630, den 10 januari 2011 kl

x 23 + y 160 = 1, 2 23 = ,

Föreläsning 5: Grafer Del 1

Tentamen TMV210 Inledande Diskret Matematik, D1/DI2

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

Modul 1: Funktioner, Gränsvärde, Kontinuitet

Graärgning och kromatiska formler

Dagens Teori. Figur 12.1:

MA2001 Envariabelanalys

a n = A2 n + B4 n. { 2 = A + B 6 = 2A + 4B, S(5, 2) = S(4, 1) + 2S(4, 2) = 1 + 2(S(3, 1) + 2S(3, 2)) = 3 + 4(S(2, 1) + 2S(2, 2)) = = 15.

Diskret Matematik A för CVI 4p (svenska)

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 11 april, 2002

Grafer MST Top. sortering Starkt samm. komponenter Kortaste avstånd. Grafalgoritmer 1. Douglas Wikström KTH Stockholm

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning

TDP015: Lektion 5 - Svar

Detta är föreläsningsanteckningar från Jakob Nordströms föreläsning om Expandergrafer,

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002

Föreläsning Datastrukturer (DAT037)

Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter

Tentamen i Linjär algebra , 8 13.

TMV206: Linjär algebra

Föreläsning Datastrukturer (DAT036)

MA2047 Algebra och diskret matematik

Handledning till laboration i geometri

TNK049 Optimeringslära

M = c c M = 1 3 1

Transkript:

MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer Mikael Hindgren 26 september 2018

roarna i Königsberg De sju broarna i Königsberg (nuvarande Kaliningrad) på 1700-talet: (a) Königsberg 1652 (b) Graf Finns det en sluten väg genom staden sådan att samtliga broar passeras endast en gång? Leonard Euler (1707-1783) publicerade en lösning på problemet 1736. Detta betraktas som grafteorins födelse. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 2 / 22

Terminologi och definitioner Definition 1 En graf G är ett ordnat par av mängder G = (, E). bågar (kanter, edges) b c E a e Graf a b noder (hörn, vertices) e = {a,b} = ab a och b är grannar ågen e = {a, b} = ab är incident med a och b som kallas ändpunkter. ågen cc kallas en ögla. Anm: Om man tillåter att ett nodpar förbinds med flera bågar används termen multigraf. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 3 / 22

Terminologi och definitioner Exempel 1 a e5 f e1 e6 b e2 e3 c e4 d (a) Graf e 1, e 2,..., e 7 bågar a, b, c, d, f, g noder e 7 ögla e7 Ögla g Isolerad (b) iktad graf Anm: I en riktad graf är varje båge försedd med en orientering. eteckningen graf används här för oriktade grafer. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 4 / 22

Terminologi och definitioner Definition 2 För en graf G gäller följande: Om a och b är noder så är: a = a 0, e 1, a 1, e 2, a 2,..., a n 1, e n, a n = b, e i = a i 1 a i, en väg från a till b. n = vägens längd (= antal bågar). Om a = b är vägen sluten och kallas en cykel. Om a b är vägen öppen. En väg som passerar varje nod högst en gång kallas enkel. Längden av den kortaste vägen mellan a och b kallas avståndet. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 5 / 22

Terminologi och definitioner Definition 3 En graf G är: Sammanhängande om två godtyckliga noder kan förbindas med en väg. Planär om den kan ritas i ett plan utan att några bågar skär varandra. Komplett (fullständig) om den är öglefri och det finns en båge mellan varje par av noder. En komplett graf med n noder betecknas K n. Ett träd om den är sammanhängande och saknar cykler. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 6 / 22

Terminologi och definitioner Exempel 2 a e1 b e2 e6 e3 c e4 f e5 d Sammanhängande planär graf e 1, e 2 öppen enkel väg från a till c, längd n = 2. e 1, e 3, e 5, e 6 cykel eller sluten väg e 1, e 2, e 4, e 3, e 2 är ej enkel G är sammanhängande och planär men ej komplett. Exempel 3 g h f b e K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 a c d (a) De kompletta graferna K 1,..., K 5 (b) Träd Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 7 / 22

Terminologi och definitioner Definition 4 Om v är en nod i grafen G så är graden (valensen) av v deg(v) = Antal bågar som har ändpunkt i v Exempel 4 G = (, E). estäm v deg(v). arje båge e = ab i E ger bidraget 1 till deg(a) och bidraget 1 till deg(b) dvs bidraget 2 till v deg(v). Sats 1 Om G = (, E) så är v deg(v) = 2 E. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 8 / 22

Terminologi och definitioner Exempel 5 På en fest där folk hälsar på varandra är antalet personer som hälsat ett udda antal gånger jämnt. arför? v deg(v) = 2 E Antalet noder med udda grad är jämnt. (The handshaking lemma.) Exempel 6 estäm om G = (, E) är öglefri, har 18 bågar och alla noder har grad 3. Lösning: Sätt n = antal noder deg(v) = 3n = 2 E = 2 18 = 36 v n = 36 3 = 12 Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 9 / 22

Terminologi och definitioner Exempel 7 (T160816, uppg 6a, 2p) Grafen G = (, E) är sammanhängande och varje nod har grad 5. Dessutom gäller det att E = 4 18. estäm och E. Lösning: deg(v) = 5 = 2 E = 2(4 18) 3 = 36 v = 12 och E = 30. Exempel 8 (T150109, uppg 3a, 2p) Grafen G har 9 bågar. 3 av noderna har grad 3 och 2 av noderna har grad 4. Hur många noder har grad 1? Lösning: Sätt n = antal noder med grad 1: v deg(v) = 3 3 + 2 4 + n 1 = 2 E = 2 9 n = 1. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 10 / 22

Terminologi och definitioner Exempel 9 (Instant insanity) Stapla de fyra kuberna på varandra så att varje sida i stapeln innehåller alla fyra färgerna. Är det möjligt med nedanstående kuber? 1 G G 2 G G 3 G 4 G 3 1 4 Två motstående sidor 3 2 4 1 2 4 G G 1 2 3 Två motstående sidor i pelaren motsvarar 4 bågar med olika nummer. Alla 4 färgerna finns på båda sidorna arje nod är ändpunkt 2 ggr. Anm: Det finns 41472 olika konfigurationer och endast två ger en lösning. Att testa sig fram är alltså ingen jättebra idé... Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 11 / 22

Terminologi och definitioner Exempel 9 (Instant insanity forts) De 4 bågarna bildar en delgraf som: En cykel genom alla fyra noderna En cykel genom 3 av noderna, en ögla i den 4:e En cykel genom 2 av noderna, öglor i de 2 andra En cykel genom 2 av noderna, en cykel genom de 2 andra En ögla i varje nod Finns en sådan för just dessa kuber? Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 12 / 22

Terminologi och definitioner Exempel 9 (Instant insanity forts) G 4 1 1 3 4 2 4 3 1 3 2 2 G 4 3 2 1 G 2 1 4 3 Kan vi hitta ytterligare en likadan delgraf som motsvarar de andra paret sidor i pelaren är problemet löst. Lösning: G G G G 1 2 3 4 Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 13 / 22

Grannmatris Hur kan man representera en graf i en dator? Definition 5 Om G är en öglefri graf med n noder och e bågar så är Grannmatrisen till G n n matrisen X = (x ij ) där { 1 om det finns en båge mellan nod i och nod j x ij = 0 annars Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 14 / 22

Grannmatris Exempel 10 estäm Grannmatrisen X till grafen v3 e2 e3 x 11 x 12 x 13 x 14 x 15 0 1 1 1 0 x 21 x 22 x 23 x 24 x 25 X = x 31 x 32 x 33 x 34 x 35 x 41 x 42 x 43 x 44 x 45 = 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 x 51 x 52 x 53 x 54 x 55 0 0 0 1 0 v2 e1 e7 v1 e6 e5 v4 e4 v5 Allmänt Grannmatrisen X: Är symmetrisk. x ii = 1 ögla vid nod i Öglefri graf Antal 1:or i en rad eller kolonn = graden av motsv nod. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 15 / 22

Eulergrafer och Eulercykler Definition 6 En cykel som passerar varje båge precis en gång kallas en Eulercykel. En graf som innehåller en Eulercykel kallas en Eulergraf. Exempel 11 Är G en Eulergraf? a b c abcdfbda är en Eulercykel G är en Eulergraf f d Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 16 / 22

Eulergrafer och Eulercykler Sats 2 (Euler-Hierholzer s sats) En sammanhängande graf G innehåller en Eulercykel omm varje nod har jämnt gradtal. De sju broarna i Königsberg: Finns Eulercykel? Fyra noder av udda grad Enligt Euler-Hierholzer s sats finns ingen Eulercykel. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 17 / 22

Eulergrafer och Eulercykler Exempel 12 (T160104, uppg 5a, 2p) Grafen G har 6 noder vilka alla har grad 4. a) Finns det en Eulercykel i G? b) Är det möjligt att rita en graf med 7 noder där alla noder har grad 3? Lösning: a) Alla noder har jämnt gradtal: Euler-Hierholzer s sats G innehåller Eulercykel b) v deg(v) = 7 3 = 21 2 E Nej, det går inte. Anm: I en graf är alltid antalet noder med udda grad jämnt (Handskakningslemmat). Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 18 / 22

Kromatiska tal och kromatiska polynom Definition 7 Färgning av en graf G betyder att noderna färgas så att angränsande noder har olika färg. χ(g) = Det minsta antalet färger som krävs för att färga G kallas det kromatiska talet för G. P G (λ) = Antalet sätt att färga G med högst λ färger kallas det kromatiska polynomet för G. Anm: χ(g) = det minsta λ för vilket P G (λ) 0. Exempel 13 Det kromatiska talet för grafen är χ(g) = 2. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 19 / 22

Kromatiska tal och kromatiska polynom Exempel 14 Den triangulära (och kompletta) grafen K 3 : P K3 (0) = P K3 (1) = P K3 (2) = 0 P K3 (3) = 3 2 1 = 6 P K3 (4) = 4 3 2 = 24. P K3 (λ) = λ(λ 1)(λ 2) = λ 3 3λ 2 + 2λ χ(g) = 3 Allmänt Det kromatiska polynomet för den kompletta grafen K n är P Kn (λ) = λ(λ 1)(λ 2) (λ (n 1)) Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 20 / 22

Kromatiska tal och kromatiska polynom Exempel 15 (T141030, uppg 6a, 2p) estäm det kromatiska polynomet P G (λ) och det kromatiska talet χ(g) till grafen G. Innehåller G någon Eulercykel? Lösning: P G (λ) = antalet sätt att färga G med λ färger. För att optimera detta antal börjar vi färga en av de två noderna i mitten: Har vi λ färger kan den färgas på λ olika sätt. Den andra mitt-noden kan då färgas på λ 1 olika sätt. De resterande tre noderna kan nu färgas på vardera λ 2 olika sätt. Multiplikationsprincipen P G (λ) = λ(λ 1)(λ 2) 3 P G (0) = P G (1) = P G (2) = 0 och P G (3) = 3 2 1 = 6 0 χ(g) = 3. Grafen G är sammanhängande och alla noder har jämn grad: Euler-Hierholzers sats G har en Eulercykel. (i svarade på detta i Ex 11!) Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 21 / 22

Fyrfärgsproblemet Är det möjligt att med endast 4 färger måla en plan karta så att alla länder med gemensam gräns får olika färg? Problemet kan överföras på planära grafer: Kan varje planär graf färgas med 4 färger? Sats 3 (The four color theorem, Kenneth Appel & Wolfgang Haken 1976) Om G är en planär graf är χ(g) 4. Anm: Satsen formulerades av Francis Guthrie redan 1852. Appel & Haken reducerade problemet till 1936 olika fall som sedan kontrollerades mha dator. Akademin för Informationsteknologi - ITE MA2047 Algebra och diskret matematik Något om grafer 22 / 22