Komponentfysik Övningsuppgifter Halvledare VT-15 Om inget annan anges gäller det rumstemperatur, d.v.s. T =300K, termisk jämvikt och värden som inte ges i uppgiften hämtas från formelsamlingen. Utredande frågor: I Definiera Fermi-nivån i ord och hur kopplas den till koncentrationen av elektroner i ledningsbandet och hål i valensbandet på en halvledare? II Var i bandgapet ligger Fermi-nivån i: a En intrinsisk halvledare? b En p-typ halvledare? c En n-typ halvledare? d Vad händer med Fermi-nivån i b resp. c om vi ökar dopkoncentrationen? III a Definiera begreppen majoritetsladdningsbärare och minoritetsladdningsbärare. b Hur är koncentrationerna av dessa kopplade till varandra i termisk jämvikt? IV Är följande grundämnen acceptorer eller donatorer i kisel och vilken typ av material ger de upphov till: a As arsenik, b B bor c P Fosfor d Ga gallium Beräkningsuppgifter: 1 Beräkna var Fermi-nivån ligger med avseende på valensbandskanten E V i kisel vid 300K. Tänk på att om materialet är dopat med både donatorer och acceptorer så är det nettoeffekten som gäller. a Dopat med As: 1,0 10 0 m -3. b Dopat med B: 1,0 10 4 m -3. c Samtidigt dopat med As: 1,0 10 0 m -3 och B: 1,0 10 0 m -3. d Samtidigt dopat med As: 1,0 10 m -3 och B: 1,0 10 0 m -3. Beräkna den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen för följande ämnen vid 300K. Antag att skillnaden i bandgap är den enda faktorn som spelar in, d.v.s. att vi kan använda värdena på de effektiva tillståndstätheterna N V och N C för kisel vid 300K för samtliga ämnen. a Kol C, dvs. diamant b Galliumarsenid GaAs c Kisel Si d Germanium Ge 3 Vid vilken temperatur är den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen lika stor som bakgrundsdopningen, N D, om N D = 1,0 10 0 m -3. a För Si. b För Ge. 4 Betrakta en bit kisel som har elektriska kontakter i båda ändar på dess längd och en area på 1,0 mm. Beräkna strömmen för både elektroner och hål i n-typ kisel dopad med N D =1,0 10 m -3 med ett pålagt elektrisk fält, ε, på 100 V/m. 5 Utgå från intrinsiskt kisel vid rumstemperatur och termisk jämvikt. a Beräkna elektron- respektive hålkoncentrationen och Fermi-nivån relativt valensbandskanten! b Om Fermi-nivån ökas med 00 mev, hur stora är elektron- respektive hålkoncentrationen? c Om Fermi-nivån istället minskas med 00 mev, hur stora är elektron- respektive hålkoncentrationen? Anders Gustafsson 17 Uppdaterad: 015-04-07
En allmän kommentar är att många formler innehåller exponentialfunktioner, vilket gör att svaren kan variera beroende på vilka värden som används. 1a N D =1,0 10 0 m -3 : E F = 0,79 ev b N A =1,0 10 4 m -3 : E F = 0,08 ev c 1,0 10 0 m -3 B och 1,0 10 0 m -3 As: E F = 0,56 ev d 1,0 10 0 m -3 B och 1,0 10 m -3 As: E F = 0,91 ev a C: n i =,4 10-1 m -3 b GaAs: n i = 1,7 10 13 m -3 c Si: n i = 8,4 10 15 m -3 d Ge: n i = 4,1 10 19 m -3 3a Si: N D = 1,0 10 0 m -3 : => 530 K b Ge: N D = 1,0 10 0 m -3 : => 340 K 4 I n = ma och I p = 7, fa 5a E F = 0,56 ev, n = p = 1 10 16 m -3. b n = 10 19 m -3 och p = 4 10 1 m -3. c n = 4 10 1 m -3 och p = 10 19 m -3. Anders Gustafsson 7 Uppdaterad: 015-04-07
I Fermi-nivån definieras ur statistiksynpunkt som den energinivå där det är 50 procents chans det finns en elektron, under förutsättning att det finns ett energitillstånd där. Över den nivån så är chansen mindre och under den nivån är chansen större. Med en Fermi-nivå någonstans i mitten på bandgapet så är chansen att hitta elektroner i valensbandet mycket stor och chansen att hitta elektroner i ledningsbandet mycket liten. Med en Fermi-nivå i mitten av bandgapet så koncentrationen av elektroner i ledningsbandet lika stor koncentrationen av hål i valensbandet. Samtidigt är koncentrationen av hål i valensbandet bara en bråkdel av elektronkoncentrationen. En ökning höjning av Fermi-nivån medför en ökning av elektronkoncentrationen i ledningsbandet och minskning av hålkoncentrationen i valensbandet. En minskning sänkning av Fermi-nivån medför en minskning av elektronkoncentrationen i ledningsbandet och ökning av hålkoncentrationen i valensbandet. II Fermi-nivån ligger: a Mitt i bandgapet i en intrinsisk halvledare. b I undre halvan av bandgapet i en p-typ halvledare. c I övre halvan av bandgapet i en n-typ halvledare. d Fermi-nivån ökar om vi ökar donatorkoncentrationen i en n-typ halvledare. III a Begreppen gäller bara för dopade halvledare. Majoritetsladdningsbärare Är den typ man får från den aktuella dopningen och minoritetsladdningsbärare är den andra typen. Exempelvis, i en n- typ halvledare är elektroner majoritetsladdningsbärare och hål är minoritetsladdningsbärare. b I termisk jämvikt är koncentrationerna av dessa kopplade genom massverkans lag. Det innebär att produkten av de två koncentrationerna är konstant, där produkten är lika med kvadraten på den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen. c I en dopad halvledare har man flest majoritetsladdningsbärare. IV 1 a As är ett grupp V ämne som har en extra valenselektron jämfört med Si, vilket är en donator och det resulterar i n-typ material. b B är ett grupp III ämne som har en valenselektron mindre än Si, vilket ger en acceptor och det resulterar i p-typ material. c P, samma som i a. d Ga, samma som i b. Anders Gustafsson 37 Uppdaterad: 015-04-07
En allmän kommentar är att många formler innehåller exponentialfunktioner, vilket gör att svaren kan variera beroende på vilka värden som används. 1 Fermi-nivån är en funktion av bandgapet, temperaturen och dopningskoncentrationen. För att räkna fram positionen på Fermi-nivån, behöver vi ekvationerna för Fermi-nivån. Generellt gäller att: E F = E V + E C E F = E V + E C + kt ln N D n i kt ln N A n i för en n-typ halvledare och för en p-typ halvledare. Om vi använder valensbandskanten E V som referensnivå ger det: E F = E g + kt ln # N D för en n-typ halvledare och $ n i E F = E g kt ln $ N A för en p-typ halvledare. n i a Dopat med As n-typ: För N D =10 0 m -3 är: E F = 1,11 $ + 0,059 ln 1 100 1 10 16 = 0,7935 = 0,79 ev E g = 1,11 ev n i = 1,0 10 16 m -3 kt = 0,059 ev b Dopat med B p-typ: För N A =10 4 m -3 är: E F = 1,11 0,059 ln 1 104 1 10 16 * = 0,0779 = 0,08 ev c Samtidigt dopat med 1,0 10 0 m -3 B och 1,0 10 0 m -3 As. Här måste vi först räkna fram en effektiv dopkoncentration genom att ta fram skillnaden mellan den högsta och den lägsta koncentrationen. I det här fallet är båda koncentrationerna lika stor och tar ut varandra. Vad vi får kvar är intrinsiskt material, d.v.s. E F = E g / = 0,555 = 0,56 ev d Samtidigt dopat med 1,0 10 0 m -3 B och 1,0 10 m -3 As. För att få fram den totala laddningskoncentrationen räknar vi fram skillnaden mellan acceptor och donatorkoncentrationerna. Eftersom koncentrationen av As är högre än B är materialet n-typ, och den nettodopningen ges av: N Dnet = N D N A. N Dnet =1 10 1 10 0 =0,99 10 m -3. E F = 1,11 $ + 0,059 ln 0,99 10 1 10 16 = 0,915 = 0,91 ev. Fermi-nivån ligger alltså i övre halvan av bandgapet för n-typ och undre halvan för p-typ. Ju högre dopning desto närmare bandkanten. Anders Gustafsson 47 Uppdaterad: 015-04-07
För att räkna fram den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen behöver vi ekvationen som ger den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen: $ n i = N C N V e E g kt. En förutsättning i uppgiften är att vi ska använda samma värden för Si för N C och N V för alla ämnen. a n i C =,8 10 5 1,04 10 5 e 5,47 0,059 =,3511 10-1 =,4 10-1 m -3 b n i GaAs =,8 10 5 1,04 10 5 e 1,43 0,059 = 1,7494 10 13 = 1,7 10 13 m -3 c n i Si =,8 10 5 1,04 10 5 e 1,11 0,059 = 8,49 10 15 = 8,4 10 15 m -3 Enligt tabellvärde är det 1,0 10 10 m -3. Skillnaden beror på att formeln gäller över ett stort temperaturintervall och tabellvärdet är ett experimentellt värde vid 300K. d n i Ge =,8 10 5 1,04 10 5 e 0,67 0,059 = 4,1188 10 19 = 4,1 10 19 m -3 Här kan vi observera att den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen minskar med ökande bandgap. I diamant som är en isolator finns det inga fria laddningsbärare vid rumstemperatur. Ett litet tankeexperiment är att fundera på hur stor kristall man behöver för att hitta en elektron i ledningsbandet? Speciellt för diamanten! 3 För att räkna fram den temperatur som behövs för att den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen ska vara lika stor som dopningskoncentrationen behöver vi uttrycket för den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen: n i = N C N V e $ Eg kt E g, vilket kan skrivas på ett par olika sätt ger: kt = ln $ n i N C N V eller E g kt = ln $ n $ i = ln N C N V N C N V n i Vi antar att det enda temperaturberoendet finns i det explicita T:et i ekvationen ovan. Med N D = n i ger det: E g T = = E # g ln N C N V # k ln N C N k N V $ D N $ D a Si: k = 8,61 10-5 ev/k N V = 1,04 10 5 m -3 N C =,8 10 5 m -3 E g = 1,11 ev Anders Gustafsson 57 Uppdaterad: 015-04-07
1,11 N D = 1,0 10 0 m -3 : T = 8,61 10 5 ln,8 10 535,05 =540K 5 1,04 10 5 [ 1 10 0 ] b Ge: 0.67 N D = 1,0 10 0 m -3 : T = 8,61 10 5 ln 1,04 105 6,1 10 4 k = 8,61 10-5 ev/k * [ 1 10 0 ] = 344,7 N V = 6,1 10 4 m -3 * N C = 1,04 10 5 m -3 E g = 0,67 ev = 340 K Det lägre bandgapet kräver betydligt lägre temperaturer för att uppnå en bestämd intrinsisk laddningsbärarkoncentration. 4 Driftströmmen som funktion av pålagt elektriskt fält i en n-typ halvledare ges av: I n drift = e A µ n n n ε, där vi antar att alla donatorer är joniserade, d.v.s. n = N D. I n drift =1,60 10 19 10 6 0,135 1 10 100 =,167 10 - A = = ma Motsvarande hålström ges av: I p drift = e A µ p p n ε, där p n fås ur massverkans lag: n n p n = n i. Strömmen blir följaktligen: I p drift = e A µ p n i ε N D I p drift = 1, 60 10 19 10 6 0, 045 1 10 3 100 1 10 = 7,09 10-15 A = 7, fa Vilket är betydligt mindre än elektronströmmen och hålströmmen är därför försumbar. * * = N D = 1,0 10 m -3 µ n = 0,135 m /Vs µ p = 0,045 m /Vs e = 1,60 10-19 As ε = 100 V/m n i = 1,0 10 16 m -3 U t = 0,059 V A = 1,0 mm = 1,0 10-6 m 5a Vi börjar med intrinsiskt kisel. Definitionen på intrinsiskt material är att n = p = n i i termisk jämvikt. Därför ges elektron- och hålkoncentrationerna av den intrinsiska laddningsbärarkoncentrationen: n i = e N c N v $ E g kt. Med insatta värden blir det: N C =,8 10 5 m -3 N C = 1,0 10 5 m -3 kt300 = 0,059 ev E g = 1,11 ev n i =,8 10 5 1,04 10 5 e 1,11 * 0,059 = 8,491 10 15 = 0,8 10 16 m -3. Vilket kan jämföras med tabellvärdet på 1,0 10 16 m -3. Det betyder att elektron- och hålkoncentrationerna är 0,8 10 16 m -3. För en godtycklig halvledare vid termisk jämvikt ges Fermi-nivån av: E F = E v + E c + kt ln # n. Eftersom vi har samma koncentration av elektroner som hål är den $ p andra termen noll. Som förväntat ligger då Fermi-nivån mitt i bandgapet, vilket relativt valensbandskanten ges av: Anders Gustafsson 67 Uppdaterad: 015-04-07
E F = E g = 1,11 = 0,55500 = 0,56 ev b Om vi höjer Fermi-nivån med 00 mev hamnar den på n i = 1 10 16 m -3 E V + 0,755 ev. Med en Fermi-nivå över mitten på bandgapet så rör det kt 300K = 0,059 ev E sig om n-typ material. Den generella formeln för Fermi-nivån i n-typ g = 1,11 ev material under förutsättning att massverkan lag gäller ges av: # E F = E v + E c + kt ln n = E g n i + kt ln # n n = E g $ i + kt ln # n i, vilket gör att vi kan lösa ut $ p $ n elektronkoncentrationen respektive hålkoncentrationen: n = n i e $ Det gör att: E F E g kt och p = n i e $ E F E g kt n =1 10 16 e 0,755 1,11 * 0,059 =,574 10 19 =,3 10 19 m -3 p =1 10 16 e 0,755 1,11 * 0,059 = 4,479 10 1 = 4,4 10 1 m -3. Alternativt hade vi kunnat räkna ut hålkoncentrationen med hjälp av massverkans lag: n p = n i : p = 1 10 3,305 10 19 = 4,497 101 = 4,4 10 1 m -3 c Om vi sänker Fermi-nivån med 00 mev hamnar den på E V + 0,355 ev. Med en Fermi-nivå över mitten på bandgapet så rör det sig om p-typ material. Vi använder samma ekvationer som i b, Vilket ger: p =1 10 16 e 0,355 1,11 * 0,059 =,574 10 19 =,3 10 19 m -3 n =1 10 16 e 0,355 1,11 * 0,059 = 4,497 10 1 = 4,4 10 1 m -3 Alternativt hade vi kunnat räkna ut elektronkoncentrationen med hjälp av massverkans lag: n p = n i : n = 1 10 3,305 10 19 = 4,497 101 = 4,4 10 1 m -3 Som vi ser från b och c har vi bytt koncentrationerna. Det är vad vi hade förväntat oss eftersom vi har Fermi-nivåer på samma avstånd från mitten på bandgapet men på olika sidor om den. Den ena är n-typ och den andra är n-typ. Anders Gustafsson 77 Uppdaterad: 015-04-07