Likhetstecknet och tidig algebra - En learning study i årskurs 4

Examensarbete Likhetstecknet och tidig algebra - En learning study i årskurs 4 Författare: Simon Ottosson Högberg & Tilda Olsson Handledare: Helén Sterner Examinatior: Jeppe Skott Datum: 2017-06-09 Kurskod: 4GN04E Ämne: Matematikdidaktik Nivå: Avancerad Institutionen för Matematik

Abstrakt Syftet med det här arbetet är att bidra med praktiska kunskaper kring hur undervisning om likhetstecknets betydelse i algebraiska sammanhang kan bedrivas. Arbetet är utfört enligt modellen learning study, en metod som grundas på variationsteorins syn på lärande. Arbetet i en learning cykel går ut på att undersöka elevers kunskaper inom ett lärandeobjekt för att på så vis kartlägga vilka aspekter som är kritiska för elevernas lärande. Utifrån de kritiska aspekterna ska en lektion planeras, där de kritiska aspekterna lyfts fram och varieras i enlighet med olika variationsmönster. Empirin har samlats in via ett förtest, en observation och ett eftertest. Testerna innehöll uppgifter som behandlade olika aspekter av likhetstecknet och observationen innefattade en granskning av hur de kritiska aspekterna behandlades och varierades under lektionen. Resultatet av learning study cykeln visade att genomförandet gav eleverna goda möjligheter för lärande och att deras kunskaper utvecklades. Nyckelord Likhetstecknet, tidig algebra, variabel, learning study, variationsteori Tack Först och främst vill vi tacka den lärare och den klass som ställde upp och deltog i vårt arbete. Vi vill även tacka vår handledare Helén Sterner för hjälp och goda råd under arbetsprocessen. i

Begreppsförklaring Aritmetik: Ett område inom matematiken som innefattar läran om egenskaper hos tal och räkneregler för tal. Innefattar ofta beräkningar av de fyra räknesätten. Algebra: Ett område inom matematiken, som ofta innefattar räkning med abstrakta symboler och som har generaliserade räkneregler. Variabel: Används ofta i algebraiska uttryck, representeras med en bokstav (ofta bokstaven x). Bokstaven i sig representerar ett okänt tal i ett matematiskt uttryck (t.ex. 1 + x = 3), men den kan ha olika värden beroende på sammanhanget den presenteras i. Ekvation: En formel som säger att två matematiska uttryck är lika, som ofta inrymmer variabler (t.ex. 3x + 5 = 20). Följande begrepp är kopplade till den valda teorin variationsteori och en mer detaljerad beskrivning av begreppen presenteras i avsnittet Teori. Lärandeobjekt: En avgränsad förmåga, färdighet eller kunskap som ska läras ut. Kritiska aspekter: Varje fenomen som ska läras betår av olika beståndsdelar som behöver urskiljas av den lärande för att en fullständig förståelse för fenomenet ska vara möjlig. De kritiska aspekterna a r de delar som den lärande ännu inte har urskiljt och dessa beho ver synliggöras genom undervisning. Variationsmönster: Olika sätt att variera kritiska aspekter för att därigenom synliggöra det som ska läras. ii

Innehållsförteckning 1 Inledning...1 2 Syfte och frågeställningar...2 2.1 Syfte... 2 2.2 Frågeställningar... 2 3 Litteraturbakgrund...3 3.1 Likhetstecknets betydelse... 3 3.2 Algebra... 5 3.2.1 Tidig algebra... 6 3.3 Variabelbegreppet... 9 3.4 Styrdokumenten... 11 4 Teori... 12 4.1 Variationsteori... 12 4.2 Learning study... 12 4.3 Centrala begrepp inom varaitionsteori och learning study... 13 4.3.1 Lärandeobjekt... 13 4.3.2 Kritiska aspekter... 14 4.3.3 Variationsmönster... 14 4.4 Variationsteori, learning study och den här studien... 15 5 Metod... 16 5.1 Metodval... 16 5.2 Datainsamling... 16 5.3 Urval... 17 5.4 Genomförande... 17 5.4.1 Kontakt... 17 5.4.2 Learning study... 17 5.4.3 Konstruktion av räkneuppgifter... 18 5.4.4 Lektionsplanering... 18 5.4.5 Observation av lektionen... 19 5.5 Bearbetning av data... 19 5.6 Trovärdighet, tillförliglighet och överförbarhet... 20 5.7 Etiska överväganden... 21 5.8 Analysmetod... 21 6 Resultat och analys... 23 6.1 Resultat och analys av förtest... 23 6.1.1 Resultat av uppgifter 1-18... 23 6.1.2 Analys av uppgifter 1-18... 24 6.1.3 Resultat av uppgifter 19-32... 24 6.1.4 Analys av uppgifter 19-32... 24 6.1.5 Resultat av uppgifter 33-43... 25 6.1.6 Analys av uppgifter 33-43... 25 6.1.7 Slutsatser utifrån analys av förtest... 25 6.2 Resultat och analys av lektion och eftertest... 26 6.2.1 Resultat av eftertest... 27 6.2.2 Analys av lektion och eftertest... 28 6.2.3 Slutsatser utifrån analys av lektion och eftertest... 28 6.3 Resultat och analys av tillägget på eftertestet... 29 6.3.1 Analys av uppgifter 44-49... 29 iii

6.3.2 Analys av uppgifter 50-54... 29 6.3.3 Analys av uppgifter 55-60... 29 6.3.4 Slutsats utifrån analys av tillägget på förtestet... 30 6.4 Sammanfattning av resultat... 30 7 Diskussion... 31 7.1 Resultatdiskussion... 31 7.1.1 Elever gynnas av variationer i undervisningen... 31 7.1.2 En myt att algebra är svårt?... 32 7.1.3 Det matematiska innehållet... 33 7.2 Metoddiskussion... 33 8 Fortsatt forskning... 35 9 Populärvetenskaplig sammanfattning... 37 Referenser... 38 Bilagor... I Bilaga A Samtyckesbrev... I Bilaga B För- och eftertest...ii Bilaga C Tillägget till eftertestet... IV Bilaga D Lektionsplanering... V Bilaga E Observationsschema... VI iv

1 Inledning I den svenska skolans styrdokument, Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011 (Skolverket, 2011a) och Skollagen (SFS 2010:800 3), står det tydligt formulerat att undervisningen i skolan ska anpassas för att ta utgångspunkt i varje elevs förutsättningar, behov, erfarenheter och tänkande. Alla elever ska ges möjlighet att utvecklas och lära utifrån sina individuella förutsättningar. Den person som står ansvarig för att dessa formuleringar blir till verklighet ute i klassrummet är läraren (Skolinspektionen, 2012). Det är ett stort uppdrag och det kräver arbete, vilja och engagemang. Om det genomförs på ett medvetet sätt kommer det att ge elever bättre förutsättningar till ett meningsfullt lärande (2012). Som framtida lärare ligger det därför i vårt intresse att undersöka hur man kan arbeta för att skapa undervisning som gynnar våra elever. Vi har därför valt att genomföra en Learning study, en metod vars huvudsakliga syfte är att utveckla undervisning och därmed förbättra elevers möjligheter att lära (jfr. Lo, 2014; Holmqvist, 2006; Maunula, Magnusson & Echevarría, 2011). Det område inom skolmatematiken som vi har valt att inrikta oss mot är algebra med fokus på likhetstecknets betydelse. Följande citat ger en motivering till varför vi valde just detta matematiska område: Jag anser att algebra a r fo r matematik vad grammatik a r fo r spra k. Utan en god kunskap i grammatik kan man aldrig bli riktigt duktig pa ett fra mmande spra k, varken muntligt eller skriftligt. Visst kan man go ra sig fo rsta dd, men da handlar det mer om enklare sammanhang och oftast muntligt. I matematik a r det samma sak utan gedigna kunskaper i algebra kommer man aldrig att fa tillga ng till de kraftfulla verktyg den kan erbjuda som hja lp vid problemlo sning och djupare matematisk fo rsta else. (Palm, 2008:41) I citatet belyser författaren algebra som en grundläggande och viktig del för möjligheten att utveckla ett fördjupat och övergripande matematiskt tänkande (Palm, 2008). Detta styrks även av flertalet andra matematikforskare, vilka hävdar att det algebraiska symbolspråket bör tillämpas tidigt och genomsyra matematikundervisningen redan i de tidigare åren av grundskolan (jfr. Brizuela, Martinez & Cayton-Hodges, 2013; Carraher & Schliemann, 2007; Carraher, Schliemann & Schwartz, 2008). Likhetstecknet är en av de symboler som omnämns som en grundläggande beståndsdel i elevers förståelse för det algebraiska tänkandet och trots att det är en av de symboler som används mest inom skolmatematiken, saknar många elever en tillräcklig förståelse för tecknets fullständiga innebörd (jfr. Grevholm, 2012; Malmer, 2002; Powell, 2012). Algebran som matematiskt område har länge haft låg prioritet i den svenska grundskolan, då det har ansetts vara ett för svårt område att både lära och undervisa i (jfr. Grevholm, 2012; Skott, Hansen, Jess & Schou, 2010). På senare år har dock en förändring skett och algebrans roll inom skolmatematiken har förstärkts (Grevholm 2012). Från att se algebran som ett kunskapsområde som bara är nödvändigt att behärska inför vidare studier, ses det idag som en viktig och grundläggande kunskap redan i skolans tidigaste år (2012). I Lgr 11 (Skolverket, 2011a), har algebra tagit en egen plats i det centrala innehållet och det finns kunskapsmål som berör algebra redan i årskurserna 1 3. Algebrans kunskapsmål följer en logisk progression genom hela grundskolan och dessa inleds med just likhetstecknets betydelse (Grevholm, 2012). Likhetstecknets plats i kursplanen innebär att elever ska ges möjligheter att utveckla en fördjupad förståelse för symbolen och därmed tidigt introduceras för det algebraiska tänkandet. Vi vill därför identifiera vilka kritiska aspekter som finns kring 1

likhetstecknets betydelse samt hur undervisningen kan utformas för att förhindra att dessa aspekter blir till framtida svårigheter för våra elever. 2 Syfte och fra gesta llningar I detta avsnitt presenteras studiens syfte och frågeställningar. 2.1 Syfte Syftet med studien är att bidra med praktiska kunskaper kring hur undervisning om likhetstecknets betydelse i algebraiska sammanhang kan bedrivas. 2.2 Frågeställningar Vilka kritiska aspekter går att identifiera i klassen kring likhetstecknets betydelse i algebraiska sammanhang? Hur kan dessa kritiska aspekter varieras i undervisningen för att gynna elevernas lärande? 2

3 Litteraturbakgrund Syftet med den här studien är att kartlägga elevernas förståelse kring likhetstecknets betydelse i algebraiska sammanhang för att därigenom ta reda på hur undervisningen kan utvecklas. I denna litteraturbakgrund kommer tidigare forskning kring de matematiska innehåll som är relevanta för den här studien att presenteras. Inledningsvis kommer tidigare forskning kring likhetstecknets betydelse att presenteras. Vidare kommer det matematiska begreppet algebra att beskrivas, följt av en presentation av forskning kring tidig algebra. Tidig algebra är en inriktning inom skolagebran som har valts att använda, då den skapar förutsättningar för att kunna arbeta med likhetstecknet betydelse på flera sätt. Inom forskning kring skolagebran finns en annan inriktning som kallas pre-algebra. Undervisning enligt pre-algebra fokuseras på att förbereda elever info r den riktiga algebra (Carraher & Schliemann, 2007). Det inneba r att kunskaper inom aritmetik ses som förutsättningar för att skapa god förståelse för algebra, vilket då innebär att aritmetik och algebra ses som två självstående matematiska områden. Undervisning av tidig algebra ser förståelse av algebra som en påbyggnad av förståelsen för aritmetik, vilket innebär att vägen mellan aritmetik och algebra kan ses som en progression, snarare än två självstående matematiska områden (2007). I detta arbete kommer det inte att göras någon form av jämförelse mellan de två inriktningarna, utan studien kommer enbart att förhållas till tidig algebra. Vidare kommer tidigare forskning om variabelbegreppet att presenteras och avslutningsvis kommer en beskrivning av algebrans plats i kursplanen för matematik att presenteras under rubriken styrdokument. 3.1 Likhetstecknets betydelse Symbolen likhetstecknet har en betydande funktion inom skolmatematiken och särskilt inom algebran, då förståelse för likhetstecknets innebörd är en förutsättning för att senare kunna förstå och lösa ekvationer (Powell, 2012). Likhetstecknet infördes i det matematiska symbolspråket på mitten av 1500-talet (Grevholm, 2012). Den man som info rde symbolen, Robert Recorde, menade att det inte finns tva mer lika ting a n tva lika la nga, parallella linjer. Tidigare hade likheter mellan tva matematiska uttryck skrivits med ord och när dessa uttryck istället kom att gestaltas av en och samma symbol, medförde det utrymme för tolkningar och olika uppfattningar om dess innebörd (2012). I dagens skola kan man identifiera två dominerande sätt att förstå och uppfatta likhetstecknets betydelse, en relationell och en operationell förståelse (Skott m.fl., 2010). Den förståelse för likhetstecknet som kallas för den operationella, innefattar synen på likhetstecknet som en dynamisk symbol som kännetecknar att svaret på en uträkning följer efter tecknet (t.ex. a + b = c). Den relationella förståelsen innefattar en bredare och mer abstrakt förståelse, vilken innebär att tecknet är statiskt och symboliserar en symmetrisk relation mellan två uttryck (t.ex. a + b = b + a). Skott m.fl. (2010) skriver att förståelsen för likhetstecknets betydelse kan bli en kritisk aspekt när eleverna senare i skolmatematiken ska lära sig att räkna ut ekvationer. Eleverna saknar då ofta bredd i sin förståelse för likhetstecknet p.g.a. att de enbart har erfarenheter av den operationella innebörden av tecknet. För att undvika att elever hamnar i svårigheter när de ska räkna ut ekvationer anser Skott m.fl. (2010) att stort fokus bör läggas på att undervisa om just likhetstecknets betydelse. På så vis ges elever möjligheten att utveckla en grundläggande och fördjupad förståelse tidigt (2010). Powell (2012) beskriver hur missuppfattningar eller en ofullständig förståelse kring likhetstecknet som inte reds ut i de tidiga skolåren kan resultera i svårigheter för elever i 3

matematiken i skolans senare år. För att minska den risken är det är därför viktigt att behandla likhetstecknets mångfacetterade förekomst och låta eleverna utforska symbolen i olika sammanhang redan tidigt i sin skolgång (2012). Elevers förståelse för likhetstecknets betydelse grundläggs tidigt i skolåren och likhetstecknet är en av de första matematiska symboler som elever möter (Malmer 2002, Powell, 2012). Malmer (2002) beskriver att introduktionen av likhetstecknet ofta sker i samband med beräkningar med addition och subtraktion och förståelsen för likhetstecknet som en operator blir då det synsätt som inledningsvis införlivas hos eleverna. Detta synsätt är hållbart i aritmetiken, där likhetstecknet används fo r att tala om att något har bera knats (t.ex. 4 + 5 = 9), men i algebran anva nds symbolen fo r att visa pa relationer mellan olika tal och uttryck (t.ex. 5 + 5 = x + 6) (Powell, 2012). Malmer (2002) anser därför att likhetstecknet inledningsvis bör introduceras enskilt, och att eleverna bör få bekanta sig med vad likheter och även olikheter innebär innan de börjar använda tecknet. Malmer (2002) uttrycker att en förutsättning för att förstå vad något är så behöver det även finnas förståelse för vad det inte är. Vid introduktionen och arbetet kring likhetstecknet kan därför med fördel även inte lika med tecknet introduceras ( ). Detta tecken symboliserar olikheter istället för likheter (Malmer, 2002). Knuth, Stephens, McNeil och Alibali (2006) påvisar med sin studie att det finns ett samband mellan elevers förståelse för likhetstecknets betydelse och hur väl de lyckas i arbetet med att lösa algebraiska uttryck. I studien undersöktes mellanstadieelevers förståelse för likhetstecknet och hur den påverkar elevernas förmåga att lösa ekvationer. Resultatet i studien påvisade att de flesta eleverna enbart hade en operationell förståelse för likhetstecknet och därmed saknade den relationella förståelsen. Föreställningen att likhetstecknet betecknar att na got blir ista llet fo r a r lika med sta ller till med problem när eleverna senare ska börja arbeta med algebraiska uttryck och ekvationer. Så länge eleverna arbetar med aritmetiska beräkningar är risken mindre att en begränsad förståelse för likhetstecknet ställer till med problem, men i arbetet med ekvationer kan missuppfattningar kring likhetstecknet leda till att eleven hamnar i svårigheter (2006). Uttrycken blir och a r lika med lyfts a ven av Bergsten, Ha ggstro m och Lindberg (2001) som skriver att blir kan innefatta en tolkning av att det a nnu inte finns något värde efter likhetstecknet, då tecknet enbart ses som en uppmaning till att svaret på en uträkning ska ges. Detta innebär en föreställning om att ekvationer bara går att avläsa fra n ett ha ll, d.v.s. fra n va nster till ho ger. Uttrycket a r lika med innefattar en fördjupad förståelse av likhetstecknets betydelse och tyder på en förståelse för att båda sidorna om likhetstecknet alltid är lika mycket värda. Det innebär även förståelse för att ekvationen går att avläsa både från vänster till höger och från höger till vänster, då sidorna alltid är likvärdiga (2001). Powell (2012) beskriver hur en begränsad förståelse för likhetstecknet kan innebära svårigheter när elever ska lösa pseudo-algebraiska uttryck, beräkningar där en siffra i en ekvation ersätts med en lucka som eleverna ska fylla (t.ex. 5 + = 10). Författaren lyfter också hur svårigheter med likhetstecknet begränsar elevernas förmåga att tänka algebraiskt, d.v.s. bestämma x genom att förstå förhållandet mellan ekvationer på varsin sida av likhetstecknet (t.ex. att bestämma värdet av x i uttrycket 6 + 2 = x + 5) (Powell, 2012). Missförstånd kring likhetstecknet tror Powell (2012) beror på att elever ofta saknar varierad undervisning kring olika typer av algebraiska uttryck och ekvationer. Likhetstecknet kan inta olika positioner i olika typer av ekvationer, vilket är 4

något som många elever kan uppleva som svårt ifall de inte är bekanta med att likhetstecknets placering kan variera. Elevernas kunskaper är många gånger att likhetstecknet har en standardplacering i en uträkning (t.ex. 5 + 3 = 8) och denna erfarenhet behöver därför varieras och utmanas för att elevernas förståelse ska breddas (2012). Detta kan göras genom att presentera tal där likhetstecknets position skiftar (t.ex. 13 = 6 + 7, 7 + 3 = 6 + 4, 5 + 7 = 12 o.s.v.). Även Bergsten, Häggström och Lindberg (2001) lyfter det faktum att placeringen av siffrorna och likhetstecknet i både en aritmetisk uträkning och i algebraiska uttryck och ekvationer kan försvåra för många elever. Enligt författarna är ekvationen 4 + x = 13 lättare för många elever att lösa än 13 = 4 + x. Denna svårighet kan bottna i att eleverna har förståelsen för likhetstecknet som en uppmaning till en uträkning snarare än symbolen för likheter. När tecknet byter position kan det innebära förvirring för många elever. Citatet nedan är ett exempel på hur elever reagerade när de fick uppgiften 13 = 4 + x. Hur kan 13 bli någonting, man ska ju inte göra något? Fel håll! Svaret ska stå till höger. Det är inte sant, tretton är inte lika med fyra! (Bergsten, Häggström och Lindberg, 2001:52) Knuth m.fl. (2006) skriver att elevers svårigheter med att förstå likhetstecknets olika betydelser ofta bottnar i att de inte har fått tillräcklig undervisning kring symbolen i sig. Ofta behandlas tecknet i samband med aritmetiska beräkningar och då skildras enbart likhetstecknet som en operator. Om lärare istället undervisar om likhetstecknet som symbol och dess innebörder i olika sammanhang, menar Knuth m.fl. (2006) att elever skulle få en fördjupad förståelse för tecknet. Författaren skriver även att många lärare ofta tar för givet att eleverna har förståelse för likhetstecknets betydelse och därför inte inser vikten av att uppmärksamma tecknet återigen efter att det har introducerats i de tidigare skolåren. I sin studie har författarna sett vinningen med att likhetstecknet och dess innebörd återkommer som moment i matematikundervisningen, även under grundskolans senare år. Eleverna behöver ges möjlighet att diskutera och utforska symbolen kontinuerligt för att på så vis bli påminda om dess betydelse och därmed både befästa och fördjupa sin förståelse (2006). 3.2 Algebra I kommentarmaterialet till kursplanen (Skolverket, 2011b) i matematik beskrivs kunskapsområdet algebra i skolan på följande sätt: Enkelt uttryckt kan algebraisk kunskap beskrivas som att man genom att använda bokstavsbeteckningar i stället för tal, kan uttrycka beräkningar på ett generellt sätt. I kunskapsområdet ingår kunskaper om likhetstecknets innebörd, bokstavsbeteckningar och variabelbegreppet. Tillsammans med kunskaper i aritmetik är detta viktiga byggstenar inom det algebraiska området. De ligger till grund för elevernas förståelse av ekvationer, algebraiska uttryck, funktioner, formler och grafer. (Skolverket, 2011b:16) Skolverket (2011b) lyfter även att algebraiska kunskaper är en förutsättning för att lyckas med senare studier, vilket även flertalet matematikforskare styrker (jfr. Booth, 1984; Kieran, 1981). Trots detta har skolalgebran länge varit ett omdebatterat område. Hur och när det ska undervisas är två frågor som många forskare har ställt, och det har funnits skilda uppfattningar kring svaret på de frågorna. Viss forskning hävdar att det för svårt för elever i grundskolan att tänka algebraiskt, och att algebra bara är 5

nödvändigt om man ska läsa matematik på högre nivåer (jfr. Booth, 1984; Kieran, 1981). Men det finns senare forskning som pekar på att algebra är ett fenomen som elever i grundskolan kan skapa en förståelse för (jfr. Brizuela, Martinez & Cayton- Hodges, 2013; Carraher & Schliemann, 2007). Att introducera algebra under tidigare åldrar är alltså något som senare forskning har behandlat, där det i vissa fall har gett väldigt positiva resultat (jfr. a.a.). De forskare som nämnts ovan har dessutom ställt sig frågan vad som påverkar elevers förmåga att skapa en god förståelse för algebra; är det elevers kognitiva förmåga eller undervisningens utformning? Det algebraiska språket beskrivs som ett effektivt problemlösningsverktyg som möjliggör översättningar från komplicerade verbala formuleringar till lätthanterliga matematiska uttryck (Bergsten, Häggström & Lindberg, 2001). Att behärska det algebraiska språket ger även verktyg till att tänka på ett sätt som underlättar förståelsen för den mer komplexa matematiken. Det är därför viktigt att ge alla elever möjlighet att lära sig algebra redan i de tidiga skolåren (2001). 3.2.1 Tidig algebra Carraher, Schliemann och Schwartz (2008) skriver att begreppet tidig algebra inte är detsamma som algebra tidigt. Tidig algebra handlar alltså inte om att introducera algebra under ett tidigare stadie i skolmatematiken, utan snarare att se på algebra ur en annan synvinkel. Synvinkeln kan förklaras som att tidig algebra är ett försök till att skapa meningsfull algebraundervisning som ska bidra med goda förutsättningar till att skapa förståelse för den senare, mer abstrakta, algebran. Ett exempel på hur tidig algebra skiljer sig från algebra är att undervisande lärare inom tidig algebra ska introducera formella beteckningar (t.ex. variabler) gradvis och med eftertanke (jfr. Carraher och Schliemann, 2007; Carraher, Schliemann & Schwartz, 2008). Inom tidig algebra är det ett förgivettagande att algebra är ett abstrakt fenomen, men författarna hävdar att elever i grundskolan kan besitta förmågan att skapa en förståelse för variabler. Detta kan uppnås genom att lärare introducerar variabler gradvis då det till en början kan uppfattas som ett väldigt abstrakt fenomen. Vidare diskuterar Carraher och Schliemann (2007) elevers upplevda svårigheter med algebra utifrån aritmetik. Algebra är inte helt fristående från aritmetik, hävdar författarna och refererar till Booth (1988), som skriver att svårigheter inom algebra kan grundas i missuppfattningar inom aritmetik som inte har korrigerats. Sådana svårigheter med aritmetik kan t.ex. vara att elevers förståelse för likhetstecknet enbart är utifrån en operationell förståelse. I en studie gjord av Brizuela, Martinez och Cayton-Hodges (2013) diskuterar författarna en anledning till forskning kring tidig algebra. Författarna lyfter fram flertalet studier där man ställer sig kritiskt till att introducera algebra i lägre åldrar. Den största anledningen till denna kritiska inställning till tidig algebra är, enligt författarna, att algebra kräver ett formellt tänkande. Ett sådant tänkande menar tidigare forskning (jfr. Bednarz, 2001; Booth, 1984; Kieran, 1981; Kieran 1989; Vergnaud, 1988) är orimligt att förvänta sig att elever kan uppvisa eller utveckla under ett sådant tidigt stadie (6-12 års ålder) i sitt liv. Brizuela, Martinez och Cayton-Hodges (2013) nämner att forskning kring tidig algebra fungerar som ett slags svar till den kritiska inställningen till att introducera algebra i för tidig ålder. Författarna nämner att forskning kring tidig algebra ställde sig ifrågasättande till att elever inte kan utveckla ett tänkande som algebra kräver, då man menar att man lägger skulden hos eleverna, istället för att titta på de kringliggande faktorer som också kan påverka (t.ex. undervisning). Dessutom lyfter författarna fram att forskning kring tidig algebra inte gjort någon distinktion mellan 6

aritmetik och algebra, vilket tidigare forskning inom algebra har gjort. Forskningen kring tidig algebra såg istället algebra som en utveckling av aritmetik, där många idéer och tankar är applicerbara till algebra. Författarna lyfter sedan fram forskning som pekar på att tidig algebra faktiskt kan ge positiva effekter på elever, trots låg ålder (2013). Carraher och Schliemann (2007) ställer i sin studie frågor om när man bör introducera tidig algebra i skolan och vad det kan få för påverkan på elevers framtida prestationer inom ämnet. Man anser att det idag är väl känt att elever i skolans lägre årskurser kan ha svårt att lära sig algebra. Trots detta ställer författarna sig frågan om det ändå finns mycket vinning i att introducera tidig algebra i de lägre åldrarna, för att de lättare ska kunna klara av algebran de stöter på i de senare årskurserna. Om eleverna skulle förberedas väl genom att få arbeta mycket med aritmetik och geometri, har författarna som tes att man kan skapa bättre förutsättningar för att eleverna ska kunna bygga på sin förståelse, och på så vis kunna skapa god förståelse för algebra. Vidare lyfter författarna fram forskning som pekar på att elever i grundskolan kan lära sig regler och principer inom algebra, även i de lägre åldrarna (2007). Carraher och Schliemann (2007) nämner att man i olika delar av världen väljer att introducera algebra olika tidigt inom skolmatematiken. Författarna lyfter Ryssland och Singapore som två exempel. De är exempel på länder som har valt att introducera algebra i tidigare årskurser, vilket i många fall har gett mycket positiva resultat. Vidare diskuterar författarna hur andra länder bör ställa sig till de resultaten. Man hävdar att läromedel kan ha haft stor inverkan på ländernas positiva resultat (dock nämner inte författarna hur läromedlet kan ha haft inverkan). Trots detta skriver Carraher och Schliemann att det inte räcker att använda samma läroböcker och översätta dem till sitt eget språk (2007). Detta kan tolkas som att andra faktorer behöver beaktas, t.ex. undervisningen av algebra. Att arbeta med tidig algebra sker inte utan problematik. Carraher och Schliemann (2007) lyfter fram fem faktorer som kan innebära hinder när man ska arbeta med tidig algebra. Ett val gjordes att endast beskriva två av dem, då de övriga tre inte är relevanta eller applicerbara till denna studie. Den första faktorn är förhållandet mellan aritmetik och algebra. Det kan finnas lärare, pedagoger, matematikdidaktikforskare, läromedel, o.s.v. som behandlar aritmetik och algebra som två separata områden. Eftersom tidig algebra inte behandlar begreppen som två separata områden, kan det uppstå konflikter. Sådana konflikter kan uppstå t.ex. mellan lärare och lärare eller lärare och läromedel. Om två lärare har ett gemensamt ansvar för matematikundervisningen för en särskild klass, och de ska arbeta tillsammans med området algebra och aritmetik, kan det uppstå problem om de har två olika syner på området (2007). Den ena läraren kan anse att man bör arbeta med olika strategier och metoder enskilt för de två områdena. Den andra läraren kan anse att man bör arbeta med algebra, utifrån samma strategier och metoder som man arbetar med i aritmetiska uttryck. Den andra faktorn är synen på symbolisk representation (variabler). Carraher och Schliemann framhäver forskning som pekar på att algebra med symboliska representationer med stor fördel kan introduceras i tidig ålder, om man som lärare använder effektiva metoder som framställts via forskning. Författarna lyfter även fram motsatt forskning som pekar på att algebra, med eller utan symbolisk representation, bör introduceras betydligt senare i skolmatematiken. Linchevski (2001) hävdar att algebra ska introduceras efter att man har lagt minst sex år 7

på att lära sig aritmetikens grunder. Två lärare som har skilda uppfattningar om när tidig algebra bör introduceras kan komma att hamna i en konflikt även här. Brizuela, Martinez och Cayton-Hodges (2013) har utfört en studie som fokuserar på effektiviteten i undervisning av tidig algebra. Författarna utförde undervisningen med 15 elever från årskurser tre, fyra och fem. När undervisningen hade genomförts utförde man ett test med elevgruppen, och jämförde deras resultat med resultatet från en annan elevgrupp, som inte tagit del av samma undervisning. Studiens resultat visade att elevgruppen som hade blivit undervisad i tidig algebra hade presterat betydligt bättre på testet än den andra elevgruppen. De hade utvecklat kunskaper om flera aspekter av området algebra, t.ex. variabler och algebraiska uttryck. Vidare drar Brizuela, Martinez och Cayton-Hodges (2013) slutsatsen, utifrån tidigare forskning (jfr. Carraher, Schliemann & Schwartz, 2008; Schliemann, Carraher & Brizuela, 2007), att tidig algebra är effektivt för elever mellan 8-11 års ålder. Författarna (Brizuela, Martinez & Cayton-Hodges, 2013) har sammanfattat forskningens slutsatser i åtta kategorier, varav fyra är relevanta till denna studie, dessa fyra beskrivs nedan. Kategorierna beskriver vad undervisning av tidig algebra kan bidra med, sett till utvecklandet av förståelser och förmågor hos elever. Den första kategorin som författarna nämner är elevers förmåga att se aritmetiska uppgifter som funktioner, snarare än att bara se dem som beräkningar av tal. Det kan exempelvis vara att elever går från att enbart ha förståelse för uppgifter som kräver en addition av två termer som ska resultera i en summa (t.ex. 3 + 2 = 5), till att de förstår hur aritmetik kan ses som en funktion (t.ex. 1(3 + 2) = (1 3) + (1 2)). Den andra kategorin är elevers förståelse för variabelbegreppet. En sådan förståelse kan vara att elever förstår att bokstaven x representerar ett okänt tal i förhållande till andra tal i en beräkning. Ett exempel på en sådan beräkning är 3 + x = 7, där bokstaven x ska bytas ut mot ett tal så att den sammanlagda summan blir samma på båda sidorna av likhetstecknet. Den tredje kategorin är elevers förmåga att kunna gå från att göra beräkningar av numeriska svar, till att kunna förklara förhållanden mellan variabler. T.ex. kan det innebära att elever går från att ha en förståelse för enkla numeriska beräkningar (t.ex. 2 3 = 6) till att kunna bedöma storleken på två variabler utifrån deras sammanhang (t.ex. att de kan se att x är större än y i beräkningen 1 + x = 3 + y). Den fjärde och sista kategorin är elevers förmåga att lösa ekvationer med variabler på båda sidorna av likhetstecknet (t.ex. 2x = x + 5) (2013). Brizuela, Martinez och Cayton-Hodges (2013) nämner vikten av att presentera uppgifter i tidig algebra med flera representationer. Författarna lyfter fram fem exempel på representationer som a r gynnsamma att anva nda inom a mnet: a) tabeller som kan användas för att representera funktioner, b) grafer av funktioner i ett koordinatsystem eller på en tallinje, som används för att representera förhållandet mellan variabler, c) naturligt språk, tal och skrift med ett vardagligt språk, d) algebraiska uttryck, som ibland uttrycks som symbolspråk och e) pseudo-algebraiska uttryck, vilket kan vara en ekvation eller en funktion med ett icke-formellt algebraiskt uttryck genom att använda ikoner, t.ex. 7 = 21 (2013:216-217, egen översättning). Författarna hävdar att representationsformerna kan användas både i undervisning, i uppgifter och elevernas egna svar (2013). Lärare behöver även arbeta med att försöka länka samman de olika representationsformerna för att eleverna ska kunna få en samlad förståelse för helheten (Kieran, 2007). 8

3.3 Variabelbegreppet I en studie skriven av Graham och Thomas (2000) nämner författarna att variabler är ett av de största hinder som elever i 11-15 års ålder stöter på i utvecklandet av en god förståelse för algebra. Variabel är ett mångfacetterat begrepp vilket försvårar möjligheten att skapa en god förståelse för dess helhet. Elever behöver ges möjligheter att skapa en förståelse för variabelbegreppet i sig innan de kan börja använda det i förhållande till algebra. Graham och Thomas (2000) hävdar att man sällan diskuterar variabler i klassrummen, trots att det ligger till grund för vad eleverna ska lära sig om algebra under senare skolår. Vidare lyfter författarna fram forskning som pekar på att styrdokumenten i en del länder förhåller sig till begreppet variabler som att det är ett fenomen inom matematiken som är enkelt att lära sig att använda. De vill med detta belysa att variabler kan vara ett mer komplext fenomen än vad dessa styrdokument säger och att variabler ofta blir ett större hinder för elever än vad man som lärare kan tro (2000). Grevholm (2012) lyfter i sin bok att elever ofta har svårt att hantera att bokstäver ska symbolisera ett numeriskt värde och att detta värde kan ändras i olika uttryck. Variablernas innebörd skiftar i olika matematiska sammanhang, då de både kan förekomma som förkortningar för olika enheter (t.ex. m = meter) och stå för ett obekant tal i ett uttryck. Elever har ofta svårt att urskilja vilken av variablernas förekomst som är aktuell. Svårigheter med variabler kan grundas i att för lite tid av undervisningen ägnas åt variablernas innebörd och förekomst. Det är lätt att ta för givet att elever förstår variablernas funktion när de presenteras i olika sammanhang eller att tänka att eleverna kommer att vänja sig vid hanteringen av dem, men Grevholm (2012) skriver att det är viktigt att lyfta variabler explicit i undervisningen. I skolan lär sig elever att matematik handlar om att lösa problem genom att producera ett numeriskt svar ( t. ex. 4 + 6 = 10) (Graham och Thomas, 2000). När sedan eleverna stöter på algebraiska uttryck med variabler kan de uppleva svårigheter med att använda samma strategier som tidigare. I Graham och Thomas studie ges ett exempel där ett problem kan vara x + 1. Problemet är inte att räkna ut vad svaret av additionen x + 1 blir, utan vilket tal som variabeln representerar. För att kunna lösa problemet behöver man se additionen i förhållande till något, exempelvis x + 1 = 3. Utifrån detta utökade problemet behöver eleverna då hitta strategier för att kunna komma fram till vilket tal variabeln representerar. Författarna hävdar att det kan vara problematiskt att gå från ett ta nkande till ett annat. I detta exemplet beho ver eleverna ga fra n att alltid se matematik som en aritmetisk process, till att ha en mångsidig, algebraisk förståelse (2000). Carraher och Schliemann (2007) lyfter fram forskning (Schwartz, 1999) som påtalar att funktioner, snarare än ekvationer, bör vara det fundamentala inom lärandet av algebra. Författarna (Carraher & Schliemann, 2007) hävdar att om undervisningen fokuserar på funktioner i byggandet av grunden av den algebraiska förståelsen kommer eleverna att få en annan förståelse för variabelbegreppet än om undervisningen skulle fokusera på ekvationer, vilket är något som även Schwartz och Yerushalmy (2003) diskuterar. Carraher och Schliemann (2007) och Carraher, Martinez och Schliemann (2008) beskriver att elever behöver skapa en förståelse för att en variabel kan betyda och fylla olika funktioner inom algebra. En variabel kan representera ett okänt tal i ett algebraiskt sammanhang, men den kan även representera ett uttryck för en funktion, vilket i sig ofta representeras i koordinatsystem. Vidare diskuterar Carraher, Martinez och Schliemann 9

(2008) att förståelse för funktioner inom algebra kräver en bred förståelse för likhetstecknet. Författarna beskriver att det i detta sammanhang finns två sätt att se på likhetstecknets funktion. Dels finns det aritmetiska synsättet, som kan ta formen 6 + 4 = 10, där uttrycken på båda sidorna av likhetstecknet kan bytas ut och fortfarande betyda samma sak (t.ex. 5 + 5 = 1 + 9). Det andra synsättet är likhetstecknet i funktionssammanhang. Författarna lyfter ekvationen 3x = 2x + 7 som ett exempel, och förklarar då att likhetstecknet inte definierar de två funktionerna 3x och 2x + 7 som samma funktion utan den beskriver förhållandet mellan funktionerna. Vidare beskriver Carraher, Martinez och Schliemann (2008) en vanlig typ av funktion, som kallas sluten form. Funktionen betecknas med f(x), där f representerar funktion och variabeln x används för att definiera funktionen. Exempelvis kan man titta på uttrycket f(x) = x + 2. Sätter man detta uttryck (funktion) i förhållande till ett koordinatsystem, beskriver x + 2 den linjära funktionens lutning (x) och var linjen skär y-axeln (2). Författarna förklarar att variabeln x inte bara representerar ett okänt tal, utan den kan representera alla naturliga tal (2008). Eftersom detta sätt att arbeta med variabler skiljer sig från hur det används inom arbetet med ekvationer, behöver elever skapa sig en förståelse för att variabler är ett mångfacetterat fenomen. Cobb, Yackel och McClain (2000) diskuterar användandet av variabler i förhållande till multiplikation. Inom matematiken skriver man ofta 2x istället för 2 x för att beskriva att talets värde är lika mycket som det dubbla värdet av x. Författarna beskriver beteckningen 2x som komplex för många elever. De hävdar att många elever finner beteckningen som förvirrande och icke komplett. Cobb, Yackel och McClain (2000) ger uttrycket 2x + 3 som exempel. Många elever tolkar uttrycket som att man ska göra en uträkning (t. ex. 2x + 3 = 5x), vilket är inkorrekt. Författarna hävdar att vissa elever kan helt sakna förståelse för att 2x = 2 x. Dock hävdar författarna att om man skriver ut multiplikationstecknet mellan koefficienten och variabeln är sannolikheten större att eleverna förstår vad uttrycket innebär. Att arbeta med multiplikation och variabler utan multiplikationstecken är även något som Malmer och Adler (1996) har gjort. Författarna beskriver att sättet man skriver uttrycket på kan ställa till det för vissa, men efter att man har fått förklarat för sig att 2x = 2 x kan det bli tydligt för många hur man ska gå tillväga för att göra beräkningar av sådana typ av uttryck (1996). 10

3.4 Styrdokumenten Algebra är ett omdebatterat matematiskt område i skolans historia, då det länge ansetts vara för svårt för elever i de tidigare åren av grundskolan att lära sig (Grevholm, 2012). I Lgr 11 (Skolverket, 2011a) har algebran fått en egen plats i det centrala innehållet för matematik i årskurserna 1-9. Det centrala innehållet för algebra har skrivits så att en tydlig progression går att utläsa genom de olika årskurserna (Grevholm, 2012). Grevholm (2012) beskriver hur de olika målen bygger på varandra i vad författaren väljer att kalla två olika spår. Spår 1 påbörjas med likheter och likhetstecknet i årskurserna 1-3 och fortsätter med obekanta tal och ekvationer i årskurserna 4-6 o.s.v. Spår 2 innefattar mönster, uttryck, formler och variabelbegreppet. I detta arbete ligger fokus främst på det spår som inleds med likhetstecknet, då förståelsen för likhetstecknets betydelser beskrivs som en förutsättning för att utveckla förståelse för den algebra som behandlas på mellanstadiet och i grundskolans senare år (Knuth m.fl., 2006). Algebra Spår 1 (enligt Grevholm, 2012) Åk 1-3 Matematiska likheter och likhetstecknets betydelse. Åk 4-6 Obekanta tal och deras egenskaper samt situationer där det finns behov av att beteckna ett obekant tal med en symbol. Enkla algebraiska uttryck och ekvationer i situationer som är relevanta för eleven. Metoder för enkel ekvationslösning. Åk 7-9 Algebraiska uttryck, formler och ekvationer i situationer som är relevanta för eleven. Metoder för ekvationslösning. Spår 2 (enligt Grevholm,2012) Hur enkla mönster i talföljder och enkla geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas. Hur mönster i talföljder och geometriska mönster kan konstrueras, beskrivas och uttryckas. Enkla algebraiska uttryck och ekvationer i situationer som är relevanta för eleven. Innebörden av variabelbegreppet och dess användning i algebraiska uttryck, formler och ekvationer. Algebraiska uttryck, formler och ekvationer i situationer som är relevanta för eleven. Tabell 1 (Skolverket, 2011a:63-66) 11

4 Teori Detta arbete har genomfo rts i enlighet med modellen learning study (jfr. Holmqvist, 2006; Lo, 2014; Maunula, Magnusson & Echevarría, 2011), en metod vars syfte är att utveckla kunskaper kring undervisning utifra n variationsteorins syn på lärande. Avsnittet inleds med en redogo relse för variationsteorins grundtankar, vilka även utgör grunderna för en learning study. Därefter beskrivs hur en learning study planeras och genomförs. Slutligen redogörs hur variationsteorin och learning study har använts i den här studien. 4.1 Variationsteori Variationsteorin är en relativt ny lärandeteori som är utvecklad från den fenomenografiska forskningsansatsen (Lo, 2014). Den fenomenografiska ansatsen är en kvalitativ forskningsansats vars fokus ligger på att identifiera människors olika uppfattningar kring ett och samma innehåll. Det fundamentala inom fenomenografin är att alla människor tolkar fenomen i världen olika och dessa olika sätt att tolka och uppfatta grundas i tanken att varje människa har sina individuella erfarenheter, upplevelser och tidigare kunskaper om världen (Marton & Booth, 2000). För att skapa förståelse för hur olika människor tänker och agerar i olika sammanhang måste det inledningsvis utvecklas en förståelse för personens förkunskaper och tidigare upplevelser (2000). Variationsteorin bygger på samma grundtankar som fenomenografin men kan ses som ett praktiskt tillägg till ansatsen, då variationsteorin är framarbetad med avsikt att praktiskt utveckla lärandet i den pedagogiska verksamheten (Lo, 2014). Inom variationsteorin ses lärande som att utveckla förmågor och kompetenser genom att bli medveten om saker och ting på ett visst sätt (Holmqvist, 2006). Allt lärande kräver variationer av det som ska läras och lärande blir möjligt först när en person får chans att urskilja nya aspekter av ett fenomen (2006). Följande citat beskriver hur lärande går till enligt variationsteorin. En del personer urskiljer kanske i första hand trädets färger, andra trädets skick och ytterligare en [...] studerar trädets skugga. Om vi börjar samtala om trädet upptäcker vi att vi sett olika aspekter av det, och genom detta samtal lär vi oss att se nya aspekter än de vi först urskilde. Lärande innebär, utifrån vårt sätt att se det, att erfara omvärlden på nytt. (Holmqvist, 2006:15) Holmqvist (2006) skriver att det är lärarens uppdrag att synliggöra nya aspekter av det som ska eleverna ska lära sig för på så vis skapa goda lärtillfällen i sin undervisning. 4.2 Learning study En learning study är en arbetsmodell vars syfte är att utveckla lärares undervisningskompetens genom variationsteorins sätt att se på lärande (Lo, 2014). I arbetsprocessen samarbetar verksamma lärare med en eller flera forskare för att tillsammans skapa goda lärandetillfällen (2014). Modellen har arbetats fram med inspiration från hur lärare i Japan arbetar med kompetensutveckling (Maunula, Magnusson & Echevarría, 2011). I Japan arbetar lärare enligt en modell som kallas för lesson study, vars syfte är att skapa möjligheter till att utforska och utveckla den egna undervisningen. Skillnaden mellan en lesson study och en learning study är att fokus i 12

en learning study alltid ligger på undervisningens innehåll och elevernas förståelse, medan det i en lesson study kan fokuseras på olika saker i undervisningen. En annan skillnad är att learning studymodellen är kopplad till variationsteorin och dess syn på lärande (2011). Det centrala i en learning study är att granska på vilket sätt innehållet i en lektion behandlas och varieras för att skapa möjligheter till lärande (Lo, 2014). Fokus ligger på att utforska det som eleverna ska la ra sig, vad det inneba r att kunna detta samt hur man skall undervisa för att göra detta la rande mo jligt. Man vill komma åt vad som är kritiskt för lärandet för att därigenom kunna utveckla undervisning som möjliggör att eleverna lär sig det som de faktiskt ska lära sig. Lo (2014) beskriver att en learning study kan hjälpa lärare att finna de rätta vägarna att gå för att deras elever ska uppnå de mål som finns beskrivna i kursplanen (Skolverket, 2011a). Målen i kursplanerna beskriver den slutgiltiga kunskapen som eleverna ska besitta efter undervisningen, men hur de ska lära sig detta är upp till varje lärare (Lo, 2014). Vid inledningen av en learning study bestäms först och främst vilket innehåll som arbetet ska fokuseras på och detta kallas för arbetets lärandeobjekt (Maunula, Magnusson & Echevarría, 2011). Lärandeobjektet är ofta något som anses vara svårt för eleverna att lära sig eller något som anses vara svårt att lära ut. När lärandeobjektet är valt utförs resten av arbetet i olika steg, som tillsammans bildar en cyklisk process (2011): 1. Välj ett lärandeobjekt som ska studeras 2. Diagnostisera elevernas svårigheter (förtest) 3. Identifiera de kritiska aspekterna 4. Planera lektionen 5. Genomför och observera lektionen 6. Utvärdera vad eleverna har lärt sig (eftertest) 7. Upprepa steg 3-6 ytterligare två gånger 8. Utvärdera studiens allmänna effekt 9. Sprid och rapportera resultaten. 4.3 Centrala begrepp inom varaitionsteori och learning study Begreppen som följer är centrala inom variationsteorin och vid genomförandet av en learning study. 4.3.1 Lärandeobjekt Alla fenomen i världen har olika särdrag som måste urskiljas för att fenomenet ska förstås fullt ut i helhet (Maunula, Magnusson & Echevarría, 2011). Om något drag aldrig synliggörs och därmed inte urskiljs av en person kommer denne alltid ha en begränsad eller felaktig förståelse för fenomenet i fråga (2011). Detta gäller även för de förmågor, färdigheter och kunnande som ska läras ut i skolan och inom variationsteorin benämns det som ska läras för undervisningens lärandeobjekt (Lo, 2014). När en lärare ska undervisa är det därför viktigt att hen utforskar det tänkta lärandeobjektet på djupet för att ta reda på vilka särdrag som eleverna behöver urskilja, vilka förkunskaper som behövs samt vilka svårigheter eleverna kan komma att möta. Det är genom undervisning som eleverna ska ges möjlighet att urskilja de kritiska aspekterna (2014). 13

Vissa av lärandeobjektets särdrag kommer att bli kritiska aspekter, vilket innebär aspekter som försvårar lärandet och dessa måste synliggöras för att lärande ska vara möjligt. Vilka de kritiska aspekterna blir kan variera från person till person och grundas i vilka aspekter av lärandeobjektet som personen har urskiljt sedan tidigare och därmed också hur personen uppfattar lärandeobjektet, baserat på hens tidigare kunskaper och erfarenheter (Lo, 2014). 4.3.2 Kritiska aspekter För att möjliggöra att elever utvecklar en fullständig förståelse för ett lärandeobjekt måste de kritiska aspekterna synliggöras, utforskas och bearbetas (Maunula, Magnusson & Echevarría, 2011). För lärare är det därför en stor fördel att undersöka det valda lärandeobjektet noggrant under planeringen av undervisningen, t.ex. genom att granska forskning kring kända svårigheter inom området. På så vis kan olika kritiska aspekter som eleverna behöver urskilja synliggöras. Vissa av dessa aspekter kommer att vara avgörande och kritiska för elevernas lärande. När lärandeobjektets olika aspekter blir identifierade utifrån lärarens perspektiv och kunskaper, är det även viktigt att kontrollera vilka aspekter som är kritiska för den specifika elevgruppen. När detta undersöks kan ytterligare kritiska aspekter tillkomma. För att lärandet ska ske under bästa möjliga förutsättningar är det även av stor betydelse att läraren gör sig medveten om hur eleverna uppfattar de olika aspekterna av lärandeobjektet (Lo, 2014). Utan medvetenhet kring elevernas uppfattningar och föreställningar blir lärarens planering av undervisningen relativt slumpartad. En del kritiska drag a r sa rskilt sva ra fo r la rare att identifiera eftersom lärarna sja lva inte tycker att dessa drag a r sva ra att urskilja utan tar dem fo r givna (Lo, 2014:83). Till exempel kan läraren anta att elevernas förståelse är god, medan den i själva verket är bristfällig och en sådan missuppfattning kan göra att lärarens undervisning hamnar på en nivå som elevgruppen ännu inte behärskar. Därför behöver läraren skaffa sig en inblick i sina elevers förkunskaper, erfarenheter och uppfattningar kring det lärandeobjekt som ska behandlas för att undervisningen ska bli anpassad och meningsfull för den specifika elevgruppen (2014). Na r elever inte lyckas la ra sig det som var ma let med la randet a r ska let i de flesta fall inte någon brist på förmåga utan istället att de har missat några av de kritiska dragen och aspekterna. (Lo, 2014:83) Lo (2014) lyfter några olika metoder som möjliggör identifieringen av kritiska aspekter i en klass. Dessa är: elevintervjuer kring lärandeobjektet före lektionen, ett förtest med efterföljande djupanalys, observera lektionen, elevintervjuer efter lektionen och eftertest. 4.3.3 Variationsmönster Enligt variationsteorin är lärande och en utvecklad förståelse möjligt fo rst na r nya perspektiv av ett lärandeobjekt synliggörs och urskiljs (Maunula, Magnusson & Echevarría, 2011). Detta innebär att för att förstå ett fenomen fullt ut måste alla drag hos fenomenet urskiljas. Det räcker inte med att urskilja några drag för då blir förståelsen för fenomenet begränsat (2011). 14

En mamma vill att hennes lilla barn ska lära sig begreppet rent. Om hon pekar pa ett rent kla desplagg och sa ger rent och sedan visar en ren na sduk och andra rena objekt och sa ger rent, kommer barnet da att la ra sig begreppet rent? Det skulle nog bli svårt eftersom barnet kanske i första hand lägger märke till andra gemensamma drag hos objekten, till exempel att de alla är gjorda av tyg och att samtliga är vita. (Lo, 2014:103) Citatet ovan poängterar varför det är viktigt att variera innehållet av det som ska läras för att en tillräcklig förståelse för objektet i fråga ska vara möjlig. I det exempel som ges i citatet hade barnet även behövt få syn på något som inte är rent och att olika objekt i olika former och färger kan vara rena (Lo, 2014). I skolan innebär detta sätt att se på lärande att ett lärandeobjekt och dess kritiska aspekter måste varieras på olika sätt i undervisningen för att alla elever ska ges möjlighet att urskilja alla de aspekter som krävs. Förutsättningen för att förstå ett lärandeobjekt fullt ut är att alla kritiska aspekter kan urskiljas samtidigt och därför måste eleverna ges möjlighet att utforska lärandeobjektet på ett varierande sätt (2014). En viktig aspekt att vara medveten om är att variationer inom variationsteori inte handlar om att variera metoder i undervisningen, utan att variera innehållet på olika sätt (Holmqvist, 2006). Lo (2014) beskriver fyra olika mönster av variation: Kontrast: innebär att ge motexempel till lärandeobjektet för att på så vis synliggöra vad som skiljer lärandeobjektet från andra fenomen. Separation: variera en kritisk aspekt av lärandeobjektet och hålla de andra invarianta. Generalisering: innebär att hålla lärandeobjektet konstant och variera representationsformen eller kontexten i vilken objektet kan förekomma. Fusion: Flera kritiska aspekter varieras samtidigt. 4.4 Variationsteori, learning study och den här studien I den här studien genomfördes en första omgång av den egentligen cykliska processen i en learning study. I en fullständig learning study revideras och upprepas processen tre gånger och genomförs i tre olika elevgrupper. På grund av att denna studie genomfördes inom en begränsad tidsram togs beslutet att enbart fokusera på en lektion i en elevgrupp. Arbetet med learning studyn ute i den pedagogiska verksamheten genomfördes i nära samarbete med den deltagande klassens lärare. Som metod för att identifiera klassens kritiska aspekter valdes att göra ett förtest i klassen med efterföljande analys. 15

5 Metod Kommande avsnitt redogo r fo r val av tillva gaga ngssa tt och genomfo rande för att samla in och analysera empirin till denna studie. Studiens trovärdighet, tillförlitlighet och överförbarhet kommer diskuteras, samt de etiska överväganden som gjorts. 5.1 Metodval Eftersom syftet med denna studie är bidra med praktiska kunskaper kring hur matematikundervisning kan utvecklas och anpassas för att gynna elevers lärande användes en kvalitativ undersökningsmetod (Bryman, 2011). Kvalitativ forskning ämnar att samla in djupgående och detaljerad empiri för att på så vis skapa förståelse för och återge kunskaper kring det valda forskningsområdet, vilket ofta är inriktat mot mänskliga företeelser. Forskare som ägnar sig åt kvalitativ forskning har ofta ett intresse i att undersöka sitt ämnesområde utifra n deltagarnas perspektiv och att se va rlden ur andras o gon (Bryman, 2011:362). Detta sta mmer in pa denna studie i den ma n att syftet är att undersöka ett lärandeobjekt utifrån elevernas perspektiv och därigenom skapa ett anpassat lärandetillfälle. För att detta ska vara genomförbart krävs det att information kring elevernas förkunskaper införskaffas och undersöks. Denna studie är genomförd utifrån modellen learning study som beskrivs i teoridelen och den hamnar därför inom ramen för vad som kallas för praxisnära forskning (Vetenskapsrådet, 2005). Praxisnära forskning är forskning som bedrivs inom den pedagogiska verksamheten och innebär att teoretiska kunskaper används till att utforska ett verkligt problem. Den praxisna ra forskningen är annorlunda jämfört med vedertagen akademisk forskning i den mån att syftet och tillva gaga ngssa tter skiljer sig åt. Fokus för en praxisnära forskning är att arbeta fram praktiska kunskaper som kan användas för att utveckla och underla tta arbetet i en pedagogisk verksamhet (2005). 5.2 Datainsamling Den datainsamlingsmetod som användes i studien påverkades av den valda arbetsmodellen learning study (jfr. Holmqvist, 2006; Lo, 2014; Maunula, Magnusson & Echevarría, 2011). Inledningsvis genomfördes ett förtest i den deltagande elevgruppen. Förtestet innehöll frågor kopplade till det valda lärandeobjektet, likhetstecknets betydelse. När förtestetet hade genomförts rättades och analyserades elevernas svar och sammanställdes i ett stapeldiagram för att på så vis skapa en tydligare bild av resultatet. Genom analysen av elevernas svar identifierades ett antal kritiska aspekter och utifrån dessa planerades en lektion. Lektionen samplanerades med den deltagande läraren och därefter utförde läraren lektionen med elevgruppen. Lektionen observerades och anteckningar fördes kring vad som hände under lektionen med fokus på hur innehållet varierades. Efter lektionen genomfördes samma test återigen med syfte att kontrollera lektionens utfall, d.v.s. ifall eleverna hade lärt sig det som var i fokus under lektionen. Även detta test rättades, analyserades och sammanställdes i ett stapeldiagram och därefter gjordes en jämförelse mellan förtestet och eftertestet. I samband med jämförelsen av testerna, analyserades även lektionen. Vid analysen av lektionen diskuterades lektionens innehåll utifrån hur och om de kritiska aspekterna bearbetades och varierades. 16

5.3 Urval För att välja ut deltagare till studien gjordes vad Denscombe (2016) benämner som ett bekvämlighetsurval. Detta innebär att deltagare väljs ut utifrån att de finns tillgängliga i det geografiska närområdet. Det innebär också att deltagarna finns inom forskarnas kontaktnät sedan tidigare och därför är lättare att få tag på (2016). Den lärare som kontaktades inför denna studie var känd sedan tidigare för författarna och arbetar på en skola i det aktuella närområdet. I studien gjordes även ett subjektivt urval, vilket innebär att deltagarna väljs utifrån deras kunskaper och tidigare erfarenheter (Denscombe, 2016). Sannolikheten att studiens frågeställning besvaras på ett adekvat sätt blir då större. I denna studie var det av intresse att hitta en verksam matematiklärare i årskurs 4 som var villig att delta i studien. 5.4 Genomförande Vid påbörjandet av denna studie beslöts inledningsvis vilket matematiskt område som skulle bli arbetets fokus. Valet baserades på tidigare erfarenheter och relevans för dagens skola och för verksamma lärare. Intresset för att genomföra en studie som kunde bidra med kunskaper kring att utveckla undervisning var stort och därför valdes att genomföra en learning study. För att hitta ett relevant lärandeobjekt påbörjades utforskningen av området algebra. Under inläsningen påträffades ett avgörande problem vid inlärningen av algebra som hade uppmärksammats av flertalet matematikforskare. Detta problem var elevers svårigheter med att förstå likhetstecknets betydelse. Med detta som bakgrund bestämdes studiens lärandeobjekt, vilket blev likhetstecknets betydelse. Hela studien genomfördes i samarbete med en årskurs 4 bestående av en lärare och sexton elever. 5.4.1 Kontakt Läraren som deltog i studien fanns inom vårt kontaktnät och tillfrågades om deltagande tidigt i arbetsprocessen. Kontakten skedde via mail och när förfrågan om deltagande hade besvarats med ett ja, bokades tid för genomförandet av learning studyn i klassen. Innan genomförandet var aktuellt skickades ett informationsbrev till läraren vilket hen i sin tur skickade ut till elevernas vårdnadshavare (Se bilaga A). Brevet innehöll information om studien, villkor för deltagande, samt en förfrågan om vårdnadshavares tillåtelse att deras barn fick delta i arbetet. 5.4.2 Learning study Genomförd learning study inleddes med att eleverna i klassen gjorde ett förtest (se bilaga B). Testet innehöll olika uppgifter som testade elevernas förståelse för likhetstecknet. Elevernas svar på testet rättades och analyserades med syftet att finna de kritiska aspekterna. När testet rättades upptäcktes det att större delen av klassen hade alla rätt på testet, alltså uppvisade de en god förståelse för likhetstecknets betydelse. Däremot uppvisade ett fåtal elever bristande förståelse för symbolens betydelse. Efter denna upptäckt togs beslutet att ändå fortsätta med det tänkta lärandeobjektet och planera en lektion som syftade till att lyfta de elever som uppvisat svårigheter, samt fördjupa och befästa de andra elevernas kunskaper ytterligare. En lektion kring lärandeobjektet likhetstecknets betydelse samplanerades med läraren och hen genomförde sedan lektionen i klassen. Lektionen observerades och det som granskades var om och hur aspekterna av lärandeobjektet varierades eller om de förblev invarianta. Några dagar efter lektionen fick klassen genomföra samma test som de gjorde innan lektionen, men med ett tillägg (se bilaga C). De tillagda uppgifter behandlade vad som 17

ansågs vara en nivå högre kunskapsmässigt än innehållet i uppgifterna i det förtestet. Eftertestet genomfördes för att möjliggöra en jämförelse med förtestet och på så vis kunna kontrollera ifall lektionen gav eleverna de kunskaper som eftersträvades. Svaren på uppgifterna från testerna sammanställdes sedan i tabeller för att ge en tydligare bild och för att lättare kunna se en eventuell förbättring eller försämring av elevernas resultat. Dessa tabeller redovisas i resultat- och analysdelen av detta arbete. 5.4.3 Konstruktion av räkneuppgifter Räkneuppgifterna till för- och eftertestet konstruerades utifrån de vanligaste svårigheterna som uppmärksammats vid inläsningen av den tidigare forskningen. Vid arbetet med räkneuppgifterna varierades uppgifterna med hjälp av variationsmönster, för att på så vis testa olika aspekter av likhetstecknet. När uppgifterna hade konstruerats delades de in i sex kategorier. Varje kategori hade likhetstecknets betydelse i fokus, men utformningen av uppgifterna varierades. Denna variation var framtagen ur tidigare forskning kring kända svårigheter inom likhetstecknet (jfr. Bergsten, Häggström & Lindberg, 2001; Knuth m.fl., 2006; Malmer, 2002; Powell, 2012; Skott m.fl., 2010) och variabler (jfr. Cobb, Yackel & McClain, 2000; Graham & Thomas, 2000; Malmer & Adler, 1996), samt ur forskning kring representationsformer inom tidig algebra (Brizuela, Martinez & Cayton-Hodges, 2013). Nedan presenteras en beskrivning av vilka kända svårigheter och representationsformer som behandlas för respektive kategori. Uppgifter 1-18: pseudo-algebraiska uttryck och likhetstecknets placering, Uppgifter 19-32: samma värde på båda sidorna av likhetstecknet och ej samma värde på båda sidorna av likhetstecknet, Uppgifter 33-43: likhetstecknets betydelse i algebraiska uttryck och variabeln x, Uppgifter 44-49: likhetstecknets betydelse i algebraiska uttryck och variabeln x (här är de kritiska aspekterna samma som för uppgifter 33-43, men svårighetsgraden på uppgifterna är högre eftersom räknesätten varieras. Uppgifter 50-54: likhetstecknets betydelse i algebraiska uttryck med variabeln x där multiplikationstecknet ej är utsatt. I dessa uppgifter testades elevernas kunskaper kring likhetstecknets betydelse samt deras kunskaper i förhållande till den metod som lärdes ut under lektionen. Uppgifter 55-60: pseudo-algebraiska uttryck, likhetstecknets placering och fler likhetstecken i samma matematiska uttryck (t.ex. 3 + 2 = 5 = 4 + 1). 5.4.4 Lektionsplanering När förtestet var rättat och analyserat skulle en lektion planeras utifrån lärandeobjektet och de kritiska aspekter som eleverna uppvisat. Några av eleverna uppvisade att de ännu inte urskiljt alla kritiska aspekter i likhetstecknet och därför togs beslutet att behandla dessa under lektionen. Ett faktum som beaktades vid lektionsplaneringen var att större delen av klassen hade uppvisat en god förståelse för likhetstecknet och därför togs beslutet att testa och utmana deras kunskaper under lektionen. I samråd med läraren bestämdes vad som ansågs vara nästa nivå i användandet av likhetstecknet och utifrån det valdes en metod för hur detta skulle framställas på lektionen. Lektionen fick därför dubbla mål både att de elever som uppvisat svårigheter skulle få möjlighet att urskilja de kritiska aspekterna samt att utmana alla elever genom att höja svårighetsgraden på innehållet. 18

Under lektionsplaneringen beaktades i första hand de kritiska aspekter som återfanns bland svaren hos de elever som uppvisat en begränsad förståelse för likhetstecknet. De frågor som togs i åtanke var: Vad behöver dessa elever urskilja? Hur ska innehållet varieras för att urskiljning ska bli möjlig? Vad ska göras under lektionen? I samråd med läraren skapades ett lektionsupplägg som inleddes med en lärarledd genomgång av likhetstecknets betydelse. Genomgången innehöll olika variationer av likhetstecknets betydelse, förekomst och användning. Under genomgången skulle eleverna göras aktiva genom att utföra olika beräkningar individuellt på små whiteboardtavlor. Därefter togs beslutet att eleverna skulle bli utmanade med en genomgång innehållande matematik som hade en högre svårighetsgra. I samråd med läraren ansågs att ekvationer likt 7x = 49 skulle bli nästa steg i elevernas algebraiska kunskapsutveckling. Eftersom kursplanen innehåller ett mål som innefattar att enkla metoder för ekvationslösning ska läras ut (Skolverket, 2011a) togs beslutet att gå igenom balansmetoden eller vad Bergsten, Häggström, & Lindberg (2001) kallar för gör samma på båda sidor. Metoden innebär att samma räkneoperation genomförs på båda sidorna om likhetstecknet för att på så vis lösa ut x. Exempelvis löses 7x = 49 genom att dividera med 7 på båda sidorna: 7x/7 = 49/7 x = 7 Genom att använda balansmetoden angå vi att elevernas förståelse för likhetstecknets relationella innebörd kunde befästas ytterligare, då metoden synliggör att om en förändring sker på ena sidan likhetstecknet måste samma förändring ske på andra sidan tecknet, för att likvärdigheten ska bibehållas. När båda genomgångarna var genomförda planerades att eleverna skulle få färdighetsträna på att lösa olika algebraiska uttryck genom att använda ett program på sina lärplattor. En detaljerad beskrivning av lektionsupplägget finns att läsa i bilaga D. 5.4.5 Observation av lektionen Lektionen genomfördes av läraren och observerades av båda författarna till denna studie. Observationsschemat utformades med inspiration från hur Holmqvist (2006) och Lo (2014) beskriver att forskare inom tidigare genomförda learning studies har analyserat lektioner. Vid observationen användes ett observationsschema (se bilaga E) och observatörerna förde individuellt löpande anteckningar utifrån händelser under lektionen. Ett observationsschema är till för att säkerställa observerationen genomförs med fokus på samma och rätt aktiviteter (Denscombe, 2016). Lektionen var planerad och uppbyggd i olika moment och det var genomförandet av dessa som låg i fokus under observationen. Det var enbart läraren och undervisningen som granskades och om och hur de olika kritiska aspekterna behandlades genom att titta på vilka variationsmönster som gick att identifiera. Andra aktiviteter, så som elevernas engagemang och delaktighet eller andra händelser som påverkade lektionen, noterades inte. 5.5 Bearbetning av data Den data som samlades in under studiens gång bearbetades, organiserades och förbereddes innan den analyserades (Denscombe, 2016). När för- och eftertestet var genomförda kopierades elevernas respektive test för att på så vis förebygga risken att något test skulle försvinna under arbetsprocessen. Denscombe (2016) lyfter vikten av att 19

säkerhetskopiera kvalitativa data, då de är svåra och tidskrävande att ersätta. Varje test fick även ett eget serienummer, för att på så vis möjliggöra att kunna hålla reda på vilka test som innehöll respektive specifika resultat. Genom att numrera datan på detta vis, underlättas arbetet med det kommande analysarbetet, då det går att hålla reda på vilka data som innehåller särskilt relevant information (Denscombe, 2016). Observationsanteckningarna bearbetades genom att de lästes igenom av båda författarna. Det fördes även en diskussion kring vad som hade setts under lektionen, för att på så vis säkerställa att obeservatörerna var eniga och hade sett samma saker. 5.6 Trovärdighet, tillförliglighet och överförbarhet I en kvalitativ studie är det av stor vikt att styrka att insamlad data är trovärdig (Bryman, 2011). Det innebär att den empiri som samlats in ska överensstämma med verkligheten samtidigt som den ska ge möjlighet att besvara studiens frågeställningar. Arbetet med studien ska även ha genomförts i enlighet med den valda teorin och de regler som gäller ska ha följts (2011). Denna studie har genomförts i enlighet med de riktlinjer som gäller för en learning study (jfr. Holmqvist, 2006; Lo, 2014; Maunula, Magnusson & Echevarría, 2011). Undersökningen och datainsamlingen är utfört i samarbete med en verksam lärare ute i den pedagogiska verksamheten, detta kallar Bryman (2011) för att en respondentvalidering är gjord. Det innebär att deltagarna i studien bekräftar att det material som används i forskningens resultat är en korrekt avspegling av deras verklighet (2011). För att styrka tillförlitligheten i en kvalitativ studie ska forskaren redovisa hela sin arbetsprocess på ett sådant sätt att andra forskare kan upprepa arbetet och få fram ett liknande resultat (Denscombe, 2016). Det ska vara möjligt att följa hur arbetet har genomförts, vilka val och beslut som har påverkat arbetet, hur deltagarna har valts ut samt hur den insamlade empirin har behandlats och analyserats. På detta vis synliggörs hur forskarna har kommit fram till det slutgiltiga resultatet i studien (2016). I denna studie uppfylls detta genom att hela arbetsprocessen finns beskriven i metoddelen och i resultat- och analysdelen. De test som eleverna genomförde, planeringen av lektionen och observationsschemat finns bifogade som bilagor (se bilaga B, C, D och E). Det är dock inte möjligt att garantera att en upprepning av studien skulle ge ett identiskt resultat eftersom varje elevgrupp är unik och varje elev bär på olika förkunskaper, erfarenheter och ka nslor. Det går heller inte att återskapa exakt samma sociala kontext, i vilken denna studie är genomförd. Den insamlade empirin är därför bunden till denna specifika studie. De båda författarna till denna studie har granskat och analyserat allt insamlat material. Anledningen till det var för att minska risken för misstolkningar eller felbedömningar i största möjliga utsträckning. För- och eftertesterna har även granskats och diskuterats tillsammans med klassläraren, för att därigenom stärka analysens trovärdighet ytterligare. Trovärdigheten i en studie ökar om flera forskare arbetar med samma sak (Denscombe, 2016). Överförbarheten i en kvalitativ studie baseras på huruvida resultatet kan omsättas till andra liknande fall (Denscombe, 2016). Eftersom denna learning study är genomförd i en specifik elevgrupp går det inte att svara för huruvida resultatet skulle bli detsamma om samma procedur skulle upprepas i en annan klass. Däremot kan resultatet användas som ett stöd för andra lärare när de ska undervisa om likhetstecknets betydelse. Förkunskaper och medvetenhet kring hur elever kan uppfatta olika lärandeobjekt samt 20

hur andra lärare valt att undervisa är alltid värdefull information för alla lärare när den egna undervisningen ska planeras och utformas. 5.7 Etiska överväganden Inom all humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning måste vissa etiska överväganden göras inför och under arbetets genomförande. Vetenskapsrådet (2002) har formulerat fyra individskyddskrav som måste uppmärksammas vid forskning som innefattar människor: informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet. I detta avsnitt presenteras de etiska överväganden som gjorts i samband med genomförandet av empiriinsamlingen i denna studie. Informationskravet innebär att de som deltar i studien ska informeras om studiens syfte, vilken roll de kommer ha i studien, vilka villkor som gäller för deltagandet samt att deltagandet är helt frivilligt och kan avbrytas när som helst (Vetenskapsrådet, 2002). I denna studie uppfylldes informationskravet genom att läraren fick ett informationsbrev via mail. Detta brev innehöll all för studien relevant information. Eleverna mottog denna information muntligt via läraren, via ett informationsbrev till vårdnadshavare samt vid första träffen i genomförandet. Samtyckeskravet innehåller instruktioner kring de villkor som gäller för deltagarna i studien (Vetenskapsrådet, 2002). Dessa innefattar att deltagarna i studien själva bestämmer över sin delaktighet och sitt deltagande och att ett avhopp från studien ej ska få några konsekvenser för personen i fråga. Ifall de tänkta deltagarna i studien är under 15 år måste samtycke inhämtas från personernas vårdnadshavare (2002). Samtyckeskravet uppfylldes i denna studie genom att det informationsbrev som skickades ut till elevernas vårdnadshavare även innehöll en talong med förfrågan om föräldrarnas tillåtelse att deras barn fick delta i studien. Talongen ombads skrivas under och lämnas till klassläraren, som i sin tur bifogade dessa till författarna. Konfidentialitetskravet innefattar regler för hur personliga uppgifter ska behandlas i en studie (Vetenskapsrådet, 2002). Personliga uppgifter och information som deltagarna lämnar ska anonymiseras i studien och ej vara möjliga för utomstående att identifiera. De dokument som innehåller information ska förvaras oåtkomligt för personer som inte är delaktiga i arbetet med studien. Enligt nyttjandekravet ska även den information som samlas in under ett arbete endast användas inom ramen för studien (Vetenskapsrådet, 2002). Insamlade uppgifter och annan information får därmed varken delas eller lånas ut till andra ändamål. I denna studie bemöttes dessa två krav genom att de tester som samlades in kodades med serienummer för att anonymiseras och behandlades med noggrannhet och försiktighet. De dokument som innehåller information om deltagarna förvaras oåtkomligt för obehöriga. 5.8 Analysmetod Analys 1 - Förtest Förtestet analyserades genom en granskning av elevernas svar i förhållande till uppgifternas utformning, d.v.s de kategoriseringar som gjordes vid konstruktionen av testet. Uppgifter 1-18: pseudo-algebraiska uttryck och likhetstecknets placering, 21

Uppgifter 19-32: samma värde på båda sidorna av likhetstecknet och ej samma värde på båda sidorna av likhetstecknet, Uppgifter 33-43: likhetstecknets betydelse i algebraiska uttryck och variabeln X, Kritiska aspekter identifierades genom att titta på vilka uppgifter som eleverna gav felaktiga svar eller där svar uteblev. De kritiska aspekter som identifierades genom förtestet analyserades även i syfte att bidra med innehåll till den kommande lektionen. Fra gor som: Hur ska eleverna urskilja de kritiska aspekterna? och Vad ska varieras? diskuterades. Analys 2 - lektion och eftertest Lektionen analyserades genom att granska det erbjudna lärandeobjektet i förhållande till det upplevda lärandeobjektet, d.v.s. vad eleverna gavs möjlighet att lära analyserades i förhållande till vad de på eftertestet visade att de hade lärt sig av lärandeobjektet. Fokus i analysarbetet låg på undervisning och lärande, d.v.s. vilka kritiska aspekter som lyftes, hur dessa varierades och ifall undervisningen hade gynnat elevernas resultat på eftertestet. Analys 3 - tillägget på eftertestet Tillägget på eftertestet analyserades på samma sätt som för-testet, elevernas svar granskades i förhållande till det innehåll som uppgifterna testade. Uppgifter 44-49: likhetstecknets betydelse i algebraiska uttryck och variabeln X (här är de kritiska aspekterna samma som för uppgifter 33-43, men svårighetsgraden på uppgifterna är högre), Uppgifter 50-54: likhetstecknets betydelse i algebraiska uttryck med variabeln X där multiplikationstecknet ej är utsatt, Uppgift 55-60: pseudo-algebraiska uttryck, likhetstecknets placering och fler likhetstecken i samma matematiska uttryck (t.ex. 3 + 2 = 5 = 4 + 1). Utifrån elevernas felsvar och uteblivna svar kunde kritiska aspekter identifieras. 22

6 Resultat och analys Syftet med den här studien var att bidra med kunskaper som utvecklar undervisningen kring likhetstecknets betydelse i algebraiska sammanhang. Följande frågeställningar ligger till grund för studiens genomförande. Vilka kritiska aspekter går att identifiera i klassen kring likhetstecknets betydelse? Hur kan dessa kritiska aspekter varieras i undervisningen för att gynna elevernas lärande? Svaret på den första frågeställningen redovisas genom resultatet och analysen av förtestet. Där synliggörs de kritiska aspekter som identifierades i klassen. Den andra frågeställningen besvaras genom resultat och analys av lektionen och eftertestet. Lektionens genomförande var ett alternativ till hur de kritiska aspekterna kunde varieras och elevernas prestationer på eftertestet visade ifall de variationer som valdes var effektiva för elevernas lärande. Avslutningsvis redovisas resultatet på tillägget till eftertestet. Detta resultat analyseras i syfte att identifiera vilka eventuella kritiska aspekter som hade behövts synliggöras för eleverna i en framtida lektion. 6.1 Resultat och analys av förtest I följande del av texten presenteras resultatet av förtestet, med en medföljande analys av det resultatet. Resultatet består av en beskrivning av hur eleverna presterade på de olika delarna av testet, med hänsyn till hur många korrekta svar som angavs. Analysen är framtagen genom den ovan nämnda analysmetod för att studera resultatet. 6.1.1 Resultat av uppgifter 1-18 I följande avsnitt presenteras resultatet och analysen av uppgift 1-18 på förtestet. Elevernas resultat analyseras utifrån det innehåll som uppgifterna behandlar och därigenom identifieras kritiska aspekter. I diagrammet nedan (se diagram 1) beskrivs hur väl eleverna presterade på uppgifterna 1-18. Ju högre stapel, desto fler korrekta svar har eleven angett. En låg stapel innebär att eleven har angett få korrekta svar. 23

Diagram 1. Den vågräta axeln visar varje elevs enskilda resultat. Den lodräta axeln visar antal rätt eleverna hade på uppgifterna. På uppgifterna 1-18 hade elev 1-13 mer än 83% rätt på uppgifterna. Elev 14 och 15 hade rätt på 44% av uppgifterna. Elev 16 svarade rätt på 17% av uppgifterna. 6.1.2 Analys av uppgifter 1-18 Uppgifterna i denna del av testet behandlade likhetstecknet utifrån två kritiska aspekter: pseudo-algebraiska uttryck (Brizuela, Martinez & Cayton-Hodges, 2013) och likhetstecknets placering (jfr. Bergsten, Häggström och Lindberg, 2001; Powell, 2012). Utifrån resultatet för eleverna 1-13 drogs slutsatsen att de kunde urskilja de aspekter som var i fokus i förhållande till likhetstecknet. Eleverna 14-16 uppvisade att de ännu inte hade förmågan att urskilja de kritiska aspekter som testades. Deras svar på uträkningarna uppvisade bl.a. att deras förståelse för likhetstecknet var begränsad till en operationell förståelse för tecknet (Skott m.fl., 2010). 6.1.3 Resultat av uppgifter 19-32 I diagrammet nedan (se diagram 2) beskrivs hur väl eleverna presterade på uppgifterna 19-32. Ju högre stapel, desto fler korrekta svar har eleven angett. En låg stapel innebär att eleven har angett få korrekta svar. Diagram 2. Den vågräta axeln visar varje elevs enskilda resultat. Den lodräta axeln visar antal rätt eleverna hade på uppgifterna. På uppgifterna 19-32 gav eleverna 1-13 och elev 15 ett rätt svar på 100% av uppgifterna. Elev 14 gav rätt svar på 57% av uppgifterna. Elev 16 gav rätt svar på 21% av uppgifterna. 6.1.4 Analys av uppgifter 19-32 Denna del av testet behandlades likhetstecknet utifrån två kritiska aspekter: samma värde på båda sidorna av likhetstecknet och ej samma värde på båda sidorna av likhetstecknet (jfr. Bergsten, Häggström och Lindberg, 2001; Malmer, 2002; Powell, 2012). Utifrån resultatet på testet kunde slutsatsen dras att alla elever förutom elev 14 och 16 kunde urskilja de kritiska aspekter som var i fokus på denna del av testet. På så vis uppvisade de inte en tillräckligt god förståelse för likhetstecknets betydelse i förhållande till de typerna av uppgifter (jfr. Bergsten, Häggström och Lindberg, 2001; Powell, 2012). 24

6.1.5 Resultat av uppgifter 33-43 I diagrammet nedan (se diagram 3) beskrivs hur väl eleverna presterade på uppgifterna 33-43. Ju högre stapel, desto fler korrekta svar har eleven angett. En låg stapel innebär att eleven har angett få korrekta svar Diagram 3. Den vågräta axeln visar varje elevs enskilda resultat. Den lodräta axeln visar antal rätt eleverna hade på uppgifterna. På uppgifterna 33-43 svarade eleverna 1-14 med ett korrekt svar på minst 81% av uppgifterna. Elev 15 svarade rätt på 36% av uppgifterna och elev 16 svarade rätt på 18% av uppgifterna. 6.1.6 Analys av uppgifter 33-43 Uppgifterna som denna del av testet innehöll behandlades två kritiska aspekter i förhållande till likhetstecknet: likhetstecknets betydelse i algebraiska uttryck och variabeln x (jfr. Graham & Thomas, 2000; Grevholm, 2012; Knuth m.fl., 2006) Utifrån elevernas resultat kunde slutsatsen dras att eleverna 1-14 kunde urskilja de kritiska aspekter som var i fokus i uppgifterna. Fortsättningsvis kunde även slutsatsen dras att elev 15 och 16 inte kunde urskilja de kritiska aspekterna, och följaktligen identifierades en bristande förståelse för likhetstecknet i förhållande till den typen av uppgifter (Knuth m.fl., 2006). 6.1.7 Slutsatser utifrån analys av förtest Utifrån förtestet konstaterades att alla elever ännu inte hade urskiljt alla kritiska aspekter som behandlades i testet. För att de elever skulle få chans att utveckla sin förståelse för likhetstecknets betydelse behövde de ges möjlighet att urskilja följande kritiska aspekter: pseudo-algebraiska uttryck likhetstecknets placering samma värde på båda sidorna av likhetstecknet ej samma värde på båda sidorna av likhetstecknet likhetstecknets betydelse i algebraiska uttryck variabeln x För att ge elever möjlighet att urskilja kritiska aspekter krävs enligt variationsteori att lärandeobjektet varieras i undervisningen (Lo, 2014). Eleverna behöver få syn på de 25

kritiska aspekterna samtidigt för att kunna behärska dem. Vid planeringen av lektionen behövdes därför beaktas hur de kritiska aspekterna kunde synliggöras för eleverna, vad som skulle varieras och vad som skulle hållas invariant. 6.2 Resultat och analys av lektion och eftertest I följande del av texten kommer resultatet av lektionen och eftertestet att presenteras, med en medföljande analys av det resultatet. I följande diagram redovisas resultatet utifrån den observation som genomfördes under lektionen. I den vänstra spalten redovisas den kritiska aspekt som skulle urskiljas. I mittersta kolumnen redogörs för hur detta genomfördes praktiskt under lektionen och i högerspalten redovisas hur innehållet varierades utifrån variationsteorins variationsmönster. Vad skulle urskiljas? Likhetstecknets betydelser Hur gick det till? Muntlig genomgång av läraren. Gav flera exempel på tavlan. Gemensam diskussion. Variationsmönster Generalisering läraren visade likhetstecknet i olika sammanhang och genom olika representationsformer. Från fusion, till separation till ny fusion - läraren började med likhetstecknets övergripande betydelser och gick därefter igenom de olika sammanhang där tecknet förekommer och används och gav exempel på aritmetiska uträkningar, algebraiska uttryck, ekvationer och använde olika räknesätt. Därefter relaterade hen tillbaka till att likhetstecknet alltid har samma innebörd oavsett förekomst. Samma värde på Genomgång om vikten av att värdet alltid båda sidorna av måste vara samma på båda sidorna om likhetstecknet resp. likhetstecknet. ej samma värde på båda sidorna av Gemensam diskussion. likhetstecknet Kontrast läraren gav motexempel till likhetstecknet genom att introducera eleverna för tecknet inte lika med. Hen gav exempel på när likhetstecknet används felaktigt d.v.s. när värdet inte är samma på båda sidorna, och att likhetstecknet då ska ersättas med tecknet inte lika med. Likhetstecknets betydelse i algebraiska uttryck med variabeln x Läraren och eleverna löste gemensamt pseudo-algebraiska uttryck och algebraiska uttryck med variabeln x. Generalisering läraren använde olika representationsformer i form av luckor och variabeln x, för att gestalta det okända talet i olika uttryck. Värdet för det okända talet hölls konstant men representationerna varierades. Likhetstecknets placering Läraren och eleverna löste gemensamt pseudo-algebraiska uttryck och algebraiska uttryck med variabeln x gemensamt. Separation läraren skrev upp olika algebraiska uttryck på tavlan och varierade placeringen på likhetstecknet i uttrycken och poängterade att innebörden för tecknet är samma oavsett hur det placeras. Löste uttrycken gemensamt med eleverna. Generalisering läraren varierade sammanhangen för likhetstecknet mellan pseudo-algebraiska uttryck och algebraiska uttryck med variabeln x. Förståelsen att 2x = 2 x Lärarledd genomgång av balansmetoden. 26

Vilka erfarande har eleverna gjort under lektionen? Eleverna fick lösa pseudo-algebraiska uttryck och algebraiska uttryck med variabeln x enskilt på en liten whiteboardtavla. Därefter diskuterades lösningen gemensamt. Diskussioner både kring korrekta och felaktiga lösningar. Eleverna fick färdighetsträna på Ipads genom att träna på att lösa både pseudoalgebraiska uttryck och algebraiska uttryck med variabeln x. Tabell 2 - resultat av observerad lektion 6.2.1 Resultat av eftertest I diagrammet nedan (se diagram 4) beskrivs en jämförelse av hur eleverna presterade på uppgifterna 1-43 i både för- och eftertestet. Ju högre stapel, desto fler korrekta svar har eleven angett. En låg stapel innebär att eleven har angett få korrekta svar. Den ljusblå stapeln indikerar en elevs resultat på förtestet och den mörkblå indikerar en elevs resultat på eftertestet. I tabell 3 anges elevernas sammanlagda resultat procentuellt. Diagram 4. Den vågräta axeln visar varje elevs enskilda resultat på för- och eftertest. Den lodräta axeln visar antal rätt eleverna hade på uppgifterna. Förtest Eftertest Andel rätta svar - hela klassen 91% 97% Tabell 3 27

Nedanstående tabell (se tabell 4) redovisar resultaten för de tre elever som uppvisade svårigheter vid genomförandet av för- och eftertest. Eftersom de tre eleverna uppvisade markanta förbättringar, är det av intresse att lyfta deras resultat. Förbättringarna som eleverna gjorde används för att påvisa hur undervisningen blev en avgörande faktor för deras resultat på eftertestet. Förtest Eftertest Elev 14 Poäng 26 p 42 p Andel rätta svar 60% 97% Elev 15 Poäng 26 p 41 p Andel rätta svar 60% 95% Elev 16 Poäng 8 p 38 p Tabell 4 Andel rätta svar 18 % 88% 6.2.2 Analys av lektion och eftertest Resultatet av lektionen visade att lektionen genomfördes i enlighet med lektionsplaneringen (se bilaga D) och lärandeobjektet varierades i enlighet med de variationsmönster som var tänkta. Elevernas resultat på eftertestet visar att elevernas resultat har bibehållits och/eller förbättrats efter genomförd lektion. Resultaten på elevernas för- och eftertest visade att samtliga elever vid eftertestet hade förmågan att urskilja de kritiska aspekter som lyfts fram i lärandeobjektet likhetstecknets betydelse. De tre elever som uppvisade störst svårigheter vid förtestet visade att deras förståelse förbättrats avsevärt efter lektionen. 6.2.3 Slutsatser utifrån analys av lektion och eftertest Resultatet och analysen av lektionen och eftertestet ger belägg för ett antagande att de variationer som framställdes under lektionen har bidragit till att samtliga elever lyckats urskilja de kritiska aspekterna i lärandeobjektet (Holmqvist 2006). De hade därmed erfarit förståelse för likhetstecknet och lektionen gynnade deras lärande. För att besvara frågeställningen kring hur de kritiska aspekterna kan varieras i undervisningen för att gynna elevers lärande kan tillvägagångssättet utläsas i tabell 2 - resultat av observerad lektion. 28

6.3 Resultat och analys av tillägget på eftertestet I följande del av denna text kommer en presentation av elevernas resultat på uppgifterna som lades till på eftertestet. Eftersom det matematiska innehållet i dessa uppgifter inte fanns med på förtestet kan de inte analyseras i förhållande till lektionen, utan enbart med syfte att identifiera nya kritiska aspekter inför en efterföljande lektion. Diagram 5. Den vågräta axeln visar elevernas sammanlagda resultat per uppgift. Den lodräta axeln visar antalet elever som svarat rätt på uppgiften. I tabellen nedan (se tabell 5) presenteras det sammanlagda procentuella resultatet för eleverna på uppgifterna 44-60 på eftertestet. Andel rätta svar på uppgifterna 44-60 85% Tabell 5 6.3.1 Analys av uppgifter 44-49 I dessa uppgifter testades likhetstecknets betydelse i algebraiska uttryck och att räkna ut variabeln x. Utifrån resultatet uppvisar majoriteten av eleverna att de har urskiljt dessa aspekter. 6.3.2 Analys av uppgifter 50-54 Dessa uppgifter testade likhetstecknets betydelse i algebraiska uttryck med variabeln x där multiplikationstecknet ej är utsatt. Resultatet från testet uppvisar att dessa aspekter inte är urskiljda av många elever och är därför kritiska aspekter i klassen. 6.3.3 Analys av uppgifter 55-60 Uppgifterna testade pseudo-algebraiska uttryck, likhetstecknets placering och fler likhetstecken i samma matematiska uttryck. Utifrån resultatet går det utläsa att eleverna i klassen har urskiljt dessa aspekter. 29