c Mikael Forsberg oktober 009 Exempel :: Spegling i godtycklig linje. abstract:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som går genom origo. Resultatet som vi kommer att härleda är att speglingen i linjen y = kx ges av matrisen S =» k k + k k k Introduktion till problemet Hur ser matrisen ut för en spegling i en godtycklig linje y = kx genom origo? Hur beror matrisen på linjens lutning k? Det finns många sätt att lösa denna uppgift och vi ska gå genom ett par metoder för att lösa problemet. Projektion av vektorer Vi ska härleda speglinsmatrisen genom att använda en metod som utnyttjar projektion av vektorer. Låt oss börja med att titta på projektion om introduceras i figuren : Figur : Projektionen v av vektorn a i vektorn K s riktning. Notera även vektorn u som är ortogonal mot K och uppfyller a + u = v. Man kan visa att v = a K K K = proj K a, där den sista likheten definierar projektionssymbolen proj, och sista uttrycket läser vi vanligen som proj K a = projektionen av vektorn a i riktningen K. Nå, hur löser vi uppgiften? Vi söker ju speglingens matris och denna får vi om vi vet vad speglingen gör med våra standardbasvektorer. Om vi kallar speglingensmatrisen för S så behöver vi alltså ta reda på Se x och Se y där e x = (, 0) och e y = (0, ). I figurerna ser vi vad speglingen gör med standardbasen. Vi
c Mikael Forsberg oktober 009 Figur : Till vänster har vi hur e x speglas. Notera att Se x = e x + u x. I högra figuren har vi hur e y speglas. Här ser vi att Se y = e y + u y har också ritat in projektioner parallella med linjen med färger som är kopplade med färgerna i föregående projektion i figur. Vi kan nu beräkna standardbasvektorernas speglingar: Spegling av e x :: Vi har att vilket ger att v x = proj K e x = (, 0) (, k) + k (, k) = (, k) + k u x = v x e x = (, k) (, 0) = + k + k ( k, k) Se x = e x + u x = (, 0) + + k ( k, k) = + k ( k, k)
c Mikael Forsberg oktober 009 Spegling av e y :: Vi har att vilket ger att v y = proj K e y = u y = v y e y = (0, ) (, k) + k (, k) = k (, k) + k k (, k) (0, ) = (k, ) + k + k Se y = e y + u y = (0, ) + (k, ) = + k + k (k, k ) Speglingsmatrisen :: Vi får nu speglingsmatrisen genom att sätta Se x och Se y som kolonnerna i en matris, dvs S k = [ k k + k k k 3
c Mikael Forsberg oktober 009 3 Rotera och använd spegling i x-axeln Man skulle också kunna tänka sig att använda spegling i x-axeln på något vis. Denna spegling är i någon mening generisk och alla andra speglingar i linjer borde kunna relateras till x-axelspeglingen. Vi ska i detta avsnitt reda ut hur man kan gå till väga. Gör så här:: :: Rotera linjen till x-axeln. :: Spegla i x-axeln 3 :: Rotera tillbaka. 4 :: Matrisen för speglingen i linjen y = kx blir produkten av matriserna för de ovanstående linjära avbildningarna. Vi använder figur 3 Figur 3: Figur för alternativ. Notera de trigonometriska uttrycken som fås från den rätvinkliga triangeln som bestäms av punkterna (0, 0), (, 0) samt (, k). Pythagoras sats har använts för att få hypotenusans längd + k. :: Börja då med att rotera linjen medurs med den vinkel som linjen har till positiva delen av x-axeln, dvs med vinkeln α = arctan k (minustecknet uppkommer eftersom vi roterar medurs, vilket är negativ riktning för vinklarna): Matrisen för denna avbildning blir då [ [ cos( α) sin( α) cos α sin α R α = =, sin( α) cos( α) sin α cos α där vi utnyttjat att cos( α) = cos α och sin( α) = sin α 4
c Mikael Forsberg oktober 009 :: Spegling i x-axeln ges av matrisen S x = [ 0 0 3 :: Rotation tillbaka sker i positiv (moturs) riktning, dvs med vinkeln +α och dess matris blir [ cos α sin α R α = sin α cos α 4 :: Vår matris S k blir (här är de noga med ordningen vi ställer upp matriserna i [ [ [ cos α sin α 0 cos α sin α S k = R α S x R α = sin α cos α 0 sin α cos α [ cos = α sin α cos α sin α cos α sin α cos α sin α = [ k k + k k k, där vi i sista likheten har utnyttjat formlerna i figur 3. 4 Utgångspunkt: egenvärdesegenskaper När man har kännedom om egenvärdesteori så kan man förstå att speglingslinjen och den linje som är ortogonal till denna är spänns upp av egenvektorerna till speglingsmatrisen. Vi känner visserligen inte speglingsmatrisen (det är ju denna vi ska beräkna) men eftersom vi känner till egenvektorerna så borde vi kunna beräkna speglingsmatrisen från dessa. Identifiera egenvektorerna :: Invarianta riktningar:: v = (, k) och v = ( k, ). [ a b Skriv som egenvärdesproblem:: [footnote Sv = v, Sv = v. Om S = c d fyra ekvationer i variablerna a, b, c, d: så får vi a + kb = () c + kd = k () ka b = k (3) kc d = (4) Sortera om ekvationerna och skriv på matrisform :: Skriv ekvationerna i ordningen,3,,4 så får vi på matrisform k 0 0 k 0 0 k 0 0 k k 0 0 k Lös systemet :: Beräkna lösningen:: visas i figur 4 Ställ upp speglingsmatrisen:: S = [ k k + k k k v spänner upp speglingslinjen och denna förändras inte. Linjen som är vinkelrät mot speglingslinjen vänds upp och ned och detta ger att egenvärdet är minus ett. 5
c Mikael Forsberg oktober 009 5 Uppsmartad variant av egenvärdesidén Från speglingidén kan vi få att egenvärdena måste vara λ = ± där den positiva svarar mot speglingslinjen och den negativa från den speglingslinjens ortogonala komplementlinje (denna vänds ju upp och ned och måste därför byta tecken) Detta ger att diagonalmatrisen måste vara [ 0 0 Egenvektorerna är speglingslinjens och den ortogonala linjens riktningsvektorer: v = (, k) och v = ( k, ). Dessa vektorer är naturligtvis ortogonala, vilket vi också lätt verifierar via skalärprodukten, som blir noll. Normerar vi dessa och sätter in i en matris så får vi en ortogonal matris P = + k [ k k Denna matris är den matris som ortogonalt diagonaliserar vår speglingsmatris och detta betyder att vi har D = P T SP, kom ihåg att P = P T för en ortogonal matris från vilket vi löser ut S: [ [ [ S = P DP T k 0 k = + k k 0 + k k }{{} 4 k 3 5 k = [ k k + k k k Exempel. Lös ekvationssystemet 6
c Mikael Forsberg oktober 009 Figur 4: Gausselimination av ekvationssystemet för att bestämma speglingsmatrisens element. 7