Mätvärdesanalys mätfel och mätosäkerhet Intro Sprint 3 Mätsystem och Mätmetoder, HT-16, 7.5 HP Florian Schmidt Tillämpad fysik och elektronik Umeå University
LECTURE OUTLINE Del 1 Varför behövs en mätvärdesanalys? Mätdata och mätmodell Mätosäkerhet Noggrannhet, precision Repeterbarhet och reproducerbarhet Typer av mätfel - Tillfälliga och systematiska Feluppskattning i labbet, en mätning Hur behandlas systematiska fel? Paus Del Statistik - Normalfördelning Statistik medelvärde och standardavikelse Fortplantning av mätosäkerheter Kurvanpassning Korrelation Sammanfattning Kundens krav
VARFÖR MÄTVÄRDSANALYS? Alla mätresultat är mer eller mindre osäkra på grund av mätfel Mätfelet är skillnaden mellan det uppmätta värdet/skattningen ( y) och det sanna värdet (y ): sanna värd mätvärd, y ŷ Vi känner inte till det sanna värdet Sanna värdet går ej att mäta/veta exakt pga. brus, störningar, onoggrannhet i instrument, mänskliga faktorn,... Därför känner vi inte heller till felet, och talar om osäkerhet. Man kan uppskatta osäkerheten i mätresultatet. Mätfelet redovisas i mätosäkerheten för ett mätvärde: Sanna värdet y = y ± U
VARFÖR UPPSKATTA MÄTOSÄKERHETEN? Det möjliggör att man kan jämföra resultat Olika experiment, olika instrument, olika experimentatorer, som funktion av tid, osv. Ökar tillit i mätresultat, förståelse av resultatens signifikans Det möjliggör en mer rigorös användning av data Kurvanpassning, modeller, teorier, osv. Det hjälper att förstå källorna av osäkerheten Validering och förbättring av mätningen Hur kan man minska osäkerheten? Uppskattning och rapportering av osäkerheten är ett krav för bra vetenskap och industriell R&D.
EXEMPEL 1 - GRAVITATIONSKONSTANT Gravitationskonstant G N Cavendish Accepterad värde: G N = 6.674(1) x 1-11 m 3 kg -1 s - Vi mäter: G N = 6.9 x 1-11 m 3 kg -1 s - G N = 6.9 ±.5 x 1-11 m 3 kg -1 s - G N = 6.9 ±.1 x 1-11 m 3 kg -1 s - Stämmer väl med accepterad värde Intressant resultat. Nobelpris? Mätosäkerheten kan också vara försumbart. Någon har uppmät värdet med mycket hög precision. Viktig att förstår vilken noggrannhet och precision man behöver.
VAD ÄR MÄTDATA? Definition av det man mäter Temperatur Mätresultat (siffra och enhet) 96.4 K eller 3.3 C Uppskattad mätosäkerhet i varje mätning.3 Kelvin eller.3 C Experimentell sammanhang (metod och omgivning) Termoelement, utomhus, sommar, osv. Kontext osäkerhet (kontrollerade och okontrollerade parametrar) Direkt solinstrålning, vind, hus- eller kroppstemperatur, osv. Modell av mätningen Teori, antaganden och definitioner använd i genomförandet av mätningen Graden eller intensiteten av värme som finns i ett ämne eller föremål, uttryckt enligt en jämförande skala. Proportionell mot den genomsnittliga kinetiska energin hos de slumpmässiga rörelser av mikroskopiska partiklar (t.ex. elektroner, atomer, molekyler) som rör sig fritt inom materialet.
MÄTMODELL Nästan alla mätningar är indirekta. En teori eller modell behövs som relatera det som faktisk mäts till det man vill mäta. Eller en kalibrering Modellen är känd/antagen i förväg och användas för att utforma mätsystemet. Syftet kan också vara att validera eller förbättra modellen under användning av mätresultaten Exempel temperaturmätning Termometer: förutsätter en linjär värmeutvidgningskoefficient för att konvertera längd till temperatur Termoelement: använder Seebeck-effekten för att konvertera skillnad i spänning till skillnad i temperatur Resistanstermometer: ändring i motstånd är relaterad till ändring i temperatur.
NOGGRANHET OCH PRECISION Noggrannhet Hur nära mätvärdena (skattningen) ligger det sanna värdet. God noggrannhet betyder att mätvärdet ligger nära det sanna värdet. Precision Ett mått på hur stor spridningen mellan mätvärdena är (runt skattningen). Ju större spridning, desto sämre precision. Total fel Noggrannhet (systematiska fel) y = y ± U Precisionsfel U (tillfälliga fel) y y
NOGGRANHET OCH PRECISION Låg noggrannhet och låg precision. Noggrann (låg systematiskt fel) men låg precision. Sanna värdet ligger i mitten Låg noggrannhet men hög precision. Hög noggrannhet och hög precision. En bra skattning bör ha bra noggrannhet och bra precision.
REPETERBARHET OCH REPRODUCERBARHET Repeterbarhet Variation (standardavvikelse) i mätresultat när samma person utför samma mätning många gånger under förhållanden som är så lika som möjligt. Inneboende precision av mätsystemet (precisionsfel) Reproducerbarhet Variation (standardavvikelse) i mätresultat när olika personer mäter samma sak med olika mätinstrument, under olika förhållanden, vid olika tidpunkter, osv. Både systematiska fel och precision Viktig för att kunna bedöma hur tillförlitliga resultaten är.
TYPER AV MÄTFEL Misstag/grova fel Systematiska fel (påverkar noggrannheten) Lika från mätning till mätning T.ex. felaktig kalibrering, förslitning, systematisk felavläsning, drift, instrumentet korrigerbara/ej korrigerbara Mätsystem påverkas av andra variabla än den uppmätta Mätning påverkar mätobjekt Operatören kan tillför omedvetet bias (förväntar eller önskar ett visst resultat) Slumpmässiga/tillfälliga fel (påverkar precisionen) Standardosäkerhet från upprepade mätningar Variabler som inte kan kontrolleras under mätprocessen T.ex. Brus, tillfälliga variationen, datainsamling, störningar T.ex. shot-noise, Brownian motion, Boltzmann statistik Följer en sannolikhetsfördelning, ofta Normalfördelning N(µ, σ ) Behandlas statistiskt väntevärdet varians
EXEMPEL - BREVVÅG Vi väger ett brev 13 gånger på brevvåg. Följande resultat: 18, 19, 18, 17,, 18, 18, 18, 19, 17 och 18 gram Spridning av mätvärden Möjliga tillfälliga fel Brevets placering på vågskålen, tröghet i det mekaniska systemet, dålig avläsning av skalan, osv. Statistik: medelvärde och standardavvikelse Kanske brevet väger inte alls runt 18 gram. Möjliga systematiska fel Förslitning - utslaget stämmer inte med skalstrecken Vågen inte nollställt Avläsning snett i förhållandet till skalan Försvinner inte med medelvärdbildning
HUR BEHANDLAS SYSTEMATICKA FEL? Systematiska fel kan lokaliseras och minimeras med noggrann analys och design av testförhållande och förfarande. Kalibrering: mest tillförlitliga sättet att minska systematiska fel. Prova ett experimentellt förfarande på, eller jämföra med, kända referensvärden. Justerar proceduren tills önskat resultat uppnås. Jämföra resultaten till andra resultat som erhållits oberoende (olika utrustning eller teknik, någon annans resultat, resultat från en teoretisk modell). Kanske oklart vilka resultat som är korrekt? Påverka instrumentet eller experimentatorn mätningen? (t.ex. stor temperaturgivare på ett litet föremål) Kontrollera att alla ekvationer eller datorprogram som används för att behandla data bete sig på det sätt du förväntar dig (försöka ett program på en uppsättning av värden för vilka korrekta resultat är kända i förväg (som kalibrering). Indirekt mätning: går genom alla antagningar och beräkningssteg. Genomtänk experiment och försök. Att göra en uppskattning (och att minimera) systematiska fel kräver både erfarenhet och fysikkunskaper, och kan vara mer tidskrävande än själva mätningen.
EXEMPEL - KALIBRERING TDLAS temperature / K Err / % 13 1 11 1 9 8 7 4 - -4 4 % H O Temp WMS Temp DAS SPR thermocouple 7 8 9 1 11 1 13 Absorbance.3..1. Measured CO concentration / ppmv 3 5 15 1 5 DAS f-wms peak value Linear fit (b) 5 1 15 5 3 Nominal CO concentration / ppmv 8 6 4 f-wms peak value / a.u. SPR thermocouple temperature / K
STATISTIK - NORMALFÖRDELNING Vanligaste fördelning för kontinuerliga variabler 1 ( x ) f( x) exp varians standardavvikelse Mwtoews based on figure by Jeremy Kemp, on 5--9, CC BY.5, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=193871 Konfidensintervall Om systematiska felet är 68.%-sannolikhet att y finns i intervallet y ± σ 95.4%-sannolikhet att y finns i intervallet y ± σ Väntevärdet µ är värdet man skulle mäta flest gånger om man tog oändligt många sampel Signal-brus-förhållande (signal-to-noise ratio) x f ( x) dx SNR
STATISTIK MEDELVÄRDE OCH STANDARDAVVIKELSE Medelvärdet av upprepade mätningar närmar sig det sanna värdet medelvärdet ( y) är en bättre skattning än en enskild mätning y i 1 n y n i i1 y Standardavvikelse för en mätserien n 1 1 n i1 ( y i y) Standardavvikelse för medelvärdet (standardosäkerhet, SE) u n Väntevärdet påverkas inte av medelvärdsbildning Standardavvikelsen och SNR förbättras med en faktor n vid medelvärdsbildning
STATISTIK PÅ EXEMPEL Medelvärdet y = 18. g Standardavvikelse σ =.83 g Standardavvikelse i medelvärdet.83 u.3 13 y=(18. ±.) g Vikt / gram 1 N = 13 Mean = 18.377 Vikt brev SD =.835 19 18 17 16 4 6 8 1 1 14 Mätning # +1 SD 19.68 Mean 18.377-1 SD 17.3987 Sannolikheten att massan ligger utanför gränserna är 3%. SNR förbättring av 1 kostar 1 mätningar. Counts 8 6 4 1 8 6 4 Cumulative Percent Normal Percentiles 95 7 4 1 Percentiles Reference Line Normal Probability Plot of B. mu = 18.377 sigma =.835 17 18 19 1 Mätvärde / gram 1 16.5 17. 17.5 18. 18.5 19. 19.5. Mätvärden / gram
FLER MÄTVÄRDEN SIGNIFIKANT STATISTIK 1 8 White Gaussian noise N = 1 Mean = 5.63 SD = 1.179 Counts 15 1 5 1 8 6 4 Cumulative Percent Mätvärde / a.u. 6 4 +1 SD 6.1477 Mean 5.63-1 SD 3.89354 4 6 8 1 99.999 Percentiles Reference Line Mätvärde / a.u. 4 6 8 1 1 Mätning # Normal Percentiles 99.5 95 7 4 1 1.1 Normal Probability Plot of A. mu = 5.63 sigma = 1.179 1 3 4 5 6 7 8 9 1 Mätvärden / a.u.
TOTAL MÄTOSÄKERHET EN VARIABLE Ett mätvärde ska presenteras med en total (standard)mätosäkerhet, u t Två typer av osäkerhetsbidrag Tillfälliga fel beräknas med statistiska metoder, u = SE Systematiska fel eller bara en/få mätning(ar) Datablad (givare, instrument...), kalibreringsresultat, egen uppskattning Alla okända (icke-korrigerbara) systematiska fel betraktas slumpmässiga, δy u = 1 3 δy Kombinerad/total standardosäkerhet OBS! Antar rektangelfördelning (±δy bildar skarpa gränser) om inget annat anges. Därav 1/ 3. u ( y) t u1 u1 u1... un ui ( y) i Antar att bidragen är okorrelerade
LAGEN FÖR FORTPLANTNING AV MÄTOSÄKERHETER Om mätningen involvera flera oberoende variabler Propagation of uncertainty, Felfortplantningslagen Om y = f v 1, v,, v n där v i är andra mätbara storheter med standardosäkerhet u v i Totala osäkerheten (en approximation, antar linjärt kring v i ) u y = f v 1 u v 1 + f v u v + + f v n u v n känslighetskoefficient
EXEMPEL - FELFORTPLANTNINGSLAGEN Resistansen (R) hos en elektrisk ledare ges av, R = ρ L L = ρ A πr där ρ är resistiviteten (betraktas som en konstant) hos ledaren, L är dess längd och A är dess tvärsnittsarea. För en cylindrisk ledare gäller A = πr, där r är radien. Vad är den den (totala) standardosäkerheten i R (dvs u R )? Använder felfortplantningslagen = ρ 1 πr Vilket kan förenklas u R = R L u L + ρ L πr 3 u R R u L + = u L L u r = R r R L + 4 u r r u r = u L + R r u r
KURVANPASSNING Regressionsanalys: trendlinjeanpassning, kurvanpassning, modellanpassning 15 Spridning i y (slumpvariabel) pga mätfel x fix Överbestämt ekvationssystem Fler ekvationer än obekanta modellparametrar Minsta-kvadrat (MK)-metoden Summan av de kvadratiska felen (till trendlinjen) minimeras parametrar som ger bästa anpassningen i MK-mening Modellen måste vara linjärt beroende av parametrarna Korrelation Spridning i både x och y (båda slumpvariabler) Vi vill veta korrelationen dvs om x och y följer varandra (linjärt) Korrelationskoefficent 1 r 1 y 1 5 4 6 8 1 x
VARFÖR KURVANPASSNING? Mätvärden har mäts som funktion av en fix variabel (tid, längd, osv.) Test av en hypotes (modell eller teori). Hur hänger mätvärden ihop med variabeln? Optimering och bestämning av fria variabler/parametrar. Interpolation av mätvärden Y 14 1 1 8 6 4 B Linear Fit of lin_awgn5 B exp(x) 15 1 5 Model Equation Reduced C hi-sqr ExpGro1 y = A1*exp(x/t1) + y 66.9 46 Adj. R-Squ.98784 Value Standard Er B y -39.647 67.1751 B BA1 1.43314.3734 B ExpGro1 t1 Fit 1.49 of Sheet1.4143 B B k.9533.19 B tau 7.7113.16735 - -4 y=-.149+.97*x 4 6 8 1 X 4 6 8 1 X
(LINJÄR) REGRESSIONSANALYS MK-METODEN y 15 1 5 y = f(x) = a + bx 4 6 8 1 x Rät linje: y = f x = a + bx Q = n i=1 a + bx i y i Derivera Q m.a.p. a och b Q a = Q b = n i=1 n i=1 Generellt: Ansätt y = f(x) därefter bilda Q Q = n i=1 f x i y i Minimera Q genom att derivera Q m.a.p. f(x):s parametrar. Sätt derivatorna = och lös ekvationssystemet. f(x):s parametrar som minimerar Q bästa anpassning a + bx i y i = a + bx i y i x i = f(x):s parametrar från MK-metoden b = i=1 n x i x y i y x i x n i=1 a = y b x
KURVANPASSNING KOMPLEXA FUNKTIONER Absorptionslinje Absorptionslinje (modulationsspektroskopi) Absorbance Res..3..1..4 -.4 CO absorption spectrum Voigt fit 1 = 8.74 1-4.8 ppmv (a) 131.58 131.63 131.68 Res. f-wms signal / a.u..9.6.3. -.3.4 -.4 CO f-wms spectrum Voigt fit.8 ppmv 1 =.87 1-3 131.58 131.63 131.68 (b) Wavenumber / cm -1 Wavenumber / cm -1 Voigt-fördelningen Heisenberg Tryck/kollisioner Rörelse/Doppler Vit brus kvar Andra derivaten av Voigt-fördelningen Residua visar differensen mellan modell och mätdata per mätpunkt Bakgrund och vit brus kvar Mätsystem och mätmetoder HT 16 Florian Schmidt Signalanalys i frekvensrummet
(LINJÄR) KORRELATIONSKOEFFICENT Starkt positiv korrelation (y ökar då x ökar) r = 1 Starkt negativ korrelation (y minskar då x ökar) r = 1 Ingen korrelation mellan x och y, dvs r = r = n i=1 n i=1 x i x i x y i y x n i=1 y i y 15 r=.98675 1 1 8 exp 1 5 exp Linear Fit of exp_awgn8 B lin1 6 4 r=.6978 Linear Fit of exp_awgn8 C"lin1" lin1 5 1 15 exp1 5 1 15 exp1
KOM IHÅG ATT Okänt mätfel erhålles vid mätning; avvikelse från sant värde. Mätosäkerhet: den oskärpa vi har i mätresultatet; en uppskattning på felets storlek; anges tillsammans med ett mätvärde. 1. Identifierar oberoende variabler; definiera samband mellan resultat och dessa variabler. Lista över felkällor för varje uppmätt variabel. Kategorier: kalibreringsfel, datainsamlingsfel, datareduktionsfel 3. Uppskatta de enskilda felen. Tillfälliga fel och systematiska fel. 4. Beräkna den totala mätosäkerheten. En liten mätosäkerhet är dock ingen garanti att mätfelet är litet En mätning är ingen mätning!