Två-vägs NOV Om två oberoende variabler (faktorer) kommer in i spelet Experiment med två faktorer Två oberoende variabler ( faktorer ) Mängd gödsel / mängd vatten mängd skördade potatis Faktor: gödsel Level:0 mg/m 2 ; 500 mg/m 2 ; 700 mg/m 2 Faktor: vatten Level:0.3 l/m 2 ; 0.5 l/m 2 ; 0.9 l/m 2 uwe.menzel@math.uu.se Treatment Population alanced och ortogonal design Faktor 1 Faktor 1 Faktor 2 Level 1 T 1 T 2 T 3 Level 2............ Level 3............... Faktor 2 Level 1 5 5 5 5 Level 2 5 5 5 5 Level 3 5 5 5 5 Treatment = kombination av faktor och level, t.ex. gödsel = 0 mg/m 2 ett treatment vatten = 2 ggr / dygn antalet replikat detsamma för alla celler orthogonal design inga celler saknas Table of means Graph of means Graph / Scatterplot / With Connect and Groups Faktor 2 Faktor 1 Level 1 12.5 5.4 3.4 1.2 Level 2 5.3 7.5 6.5 3.7 Level 3 5.0 5.3 5.4 5.5 medelvärden över alla replikat i respektive cell medelvärden för alla replikat i en grupp
Graph of means Interaction McKillup p. 1 response Scatterplot of response vs Temp humidity 33 66 No interaction: parallela linjer Temp Interaction: fuktighet har större effekt för grader tt dela upp variationen Fyra andel: Variation pga. slumpmässigt fel Variation pga. faktor Variation pga. faktor Variation pga. växelverkning (interaction) Exempel: C C 4 värden 4 värden 4 värden 4 värden Total Sum of Squares (TotalSS) Sum of Squares för differenserna mellan alla värden och det globala medelvärdet (grand mean). Sum of Squares for error (SSE) Sum of Squares för f r faktor (SST ) - Temperatur och medelvärde D 2 8 Sum of Squares för differenserna mellan värden i varje grupp och dess respektive gruppmedelvärdet (variation inom replikat för samma treatyment; förorsakas av ren slump ) Sum of squares för differenserna mellan de enskilda värden och ett medelvärde som beräknas genom att ignorera faktor.
Sum of Squares för f r faktor (SST ) Fuktighet Sum of Squares for interaction SSI TotalSS SST SST SSE gäller exakt C och C medelvärde C och C ( pooled ) Mean Squares, F-värdenF D 2 8 Sum of squares för differenserna mellan de enskilda värden och ett medelvärde som beräknas genom att ignorera faktor. SST MST SST MST SSI MSI SSE I E # levels # levels I E 1 1 ( c 1) c = antalet replicates för varje treatment, så att n = a b c (totala antalet värden) MST F MST F MSI FI Two-way way NOV i Minitab Plankton: kombinerad effekt av sjö och näring ska undersökas, dvs. 2 faktorer 2 sjöar kombinerade med 3 olika näringar Näring 1 Näring 2 Näring 3 Worksheet two-way NOV_1.MPJ Sjö1: Sjö2: Två faktorer Orthogonal design två replicates i varje cell Supplement = näring Resultat Two-way way NOV Exempel 2 Two-way NOV: Zooplankton versus Supplement; Lake Supplement 2 1918,50 959,0 9, 0,0 Lake 1 21,33 21,333 0,21 0,666 Interaction 2 561,17 280,583 2,71 0,145 Error 6 622,00 3,667 Total 11 3123,00 Signifikant effekt (0.05) för faktor näring, ty p<0.05 Ingen signifikant effekt för faktor sjö Ingen signifikant effekt för växelverkning (interaction) Fuktighet Temp C C C 1 5 9 2 6 3 7 11 9 13 17 14 18 11 19 17 21 99% 18 22 26 19 23 27 3 värden för varje treatment McKillup s. 139
Minitab, samma data: NOV_1.MPJ 3 replikat ( alla C och 99%) 3 replikat ( alla C och ) Minitab, samma data Stat / NOV / Two-Way Two-way NOV: Response versus Temp; Fukt Temp 2 288 144 144,00 0,000 Fukt 2 12 576 576,00 0,000 Interaction 4 0 0 0,00 1,000 Error 18 18 1 Total 26 1458 Individual 95% CIs For Mean ased on Pooled StDev Faktor humidity pooled Temp Mean ---+---------+---------+---------+------ (--*--) 14 (--*--) 18 (--*--) ---+---------+---------+---------+------,0 12,5,0 17,5 additive = utan växelverkning (interaction) Individual 95% CIs For Mean ased on Pooled StDev Faktor - temp pooled Fukt Mean ---------+---------+---------+---------+ 33 6 (*) 66 14 (*) 99 22 (*) ---------+---------+---------+---------+,0,0,0,0 Resultat: Lådagramm, samma data Two-way NOV: Response versus Temp; Fukt Temp 2 288 144 144,00 0,000 Fukt 2 12 576 576,00 0,000 Interaction 4 0 0 0,00 1,000 Error 18 18 1 Total 26 1458 Graph / oxplot / One Y / With Groups Graph variable: response Categorical variabel: Fukt Response oxplot of Response Graph / oxplot / One Y / With Groups Graph variable: response Categorical variabel: Temp Response oxplot of Response (Mycket) låg p-värde slh. är mycket låg att gruppmedelvärden avviker så starkt pga. ren slump H 0 (alla gruppmedelvärden är lika) förkastas det finns en effekt av faktorerna: Fuktighet och temperatur har ett inflytande. Hög p-värde det erhållna resultatet kan komma till stånd pga. ren slump H 0 förkastas inte ingen effekt (ingen växelverkning). 5 5 0 0 33 66 99 Fukt Temp Man anar att det finns en effekt av både fukt och temperatur. posteriori test Om en faktor har effekt, dvs. om respektive F-värdet blev signifikant stor, vet man ännu inte var effekten ligger (finns ett språng mellan C och C eller mellan C och C osv.) Tukey-test för f r faktor Temp One-Way NOV ; ignorerar faktor Fukt Temp Response response 19 18 17 16 14 13 12 11 grupp 1 grupp 2 Tukey-test om det inte finns någon växelverkning. Man måste alltså poola den andre faktorn... och köra One-Way (!) NOV inklusive Tukey-test. Tukey-test det finns nu faktiskt 9 replikat för varje temperatur T/Celsius 45 misslyckades, inga kluster hittades, spridning för stor, se lådagramm ovan... (Tukey testet är konservativ.)
Tukey-test för f r faktor Fukt One-Way NOV och ignorera faktor Temp 3 kluster hittades, se nästa sida... Tukey-test Fukt Response det finns nu faktiskt 9 replikat för varje fuktighet Tukey-test, temperatur pooled. Ingen konfidensintervall (för skillnaden mellan medelvärden) innehåller nollpunkten. (Med slh. 95% är skillnaden inte noll.) lla medelvärden skiljer sig signifikant. One-way NOV: Response versus Fukt Fukt 2 12,0 576,0 45,18 0,000 Error 24 6,0 12,8 Total 26 1458,0 Tukey 95% Simultaneous Confidence Intervals ll Pairwise Comparisons among Levels of Fukt Individual confidence level = 98,02% Fukt = 33 subtracted from: Fukt Lower Center Upper --+---------+---------+---------+------- 66 3,798 8,000 12,2 (---*---) 99 11,798 16,000,2 (---*---) --+---------+---------+---------+------- - 0 Fukt = 66 subtracted from: Fukt Lower Center Upper --+---------+---------+---------+------- 99 3,798 8,000 12,2 (---*---) --+---------+---------+---------+------- - 0 Interaction kan gömmag en effekt Temperaturändring har en motsatt effekt för och för fuktighet. phospor; level1 Nested NOV phospor; level2 phospor; level3 humidity pooled: temperature pooled: Om växelverkningen är signifikant, kan man inte lita på F- värdena för faktor och. Extremfall: alla gruppmedelvärden har samma storlek som det globala medelvärdet Extremfall: detsamma för fuktighet... Tukey-test för unpooled data, McKillup S. 144 phospor; level2 phospor; level1 phospor; level3 phospor; level3 phospor; level1 phospor; level2 Vare sig äkta replikat eller två-faktors situation Stat / NOV / Fully Nested NOV McKillup s. 169 MNOV Multivariate nalysis Of Vriance generalisering flera beroende variabler (response variables, dependent variables) kg / m 2 Vitamin mg/kg Två faktorer: gödsel, vatten Två response-variabler